新課程初中生數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)芻議

1、新課程初中生數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)芻議黎秋玲摘要：在數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生能力的核心乃是培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的思維能力。木 文對(duì)數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)進(jìn)行了探討。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；思維；能力；培養(yǎng)；方法作者簡(jiǎn)介：黎秋玲，任教于廣東省郁南縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)。一、數(shù)學(xué)思維能力概述1. 數(shù)學(xué)思維能力數(shù)學(xué)思維就是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的木質(zhì)屬性的反映。所以，數(shù)學(xué)思維就是人腦 和數(shù)學(xué)對(duì)象的相互作用，并按普通的思維規(guī)律認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對(duì)象的木質(zhì)屬性的過(guò)程。 這就是說(shuō)，數(shù)學(xué)思維是以認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對(duì)象為任務(wù)、以數(shù)學(xué)語(yǔ)言為載休、以認(rèn)識(shí)和發(fā) 現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律（木質(zhì)屬性）為目的一種思維?？梢?jiàn)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程，解決問(wèn)題的過(guò) 程，就表現(xiàn)為一種思維活動(dòng)過(guò)程。有了問(wèn)題，就要解決它，解

2、決就有思維。所以， 概念、判斷和推理是數(shù)學(xué)思維的基木形式。具體（形象）思維、抽象思維、直覺(jué)的 創(chuàng)造性思維以及函數(shù)的辯證思維是數(shù)學(xué)思維的基木成分。而觀察與實(shí)驗(yàn)、比較與 分類(lèi)、概括與抽象、個(gè)別與整體、化歸與轉(zhuǎn)化、演繹與歸納等等就是數(shù)學(xué)思維常 用的基木方法。2. 數(shù)學(xué)思維能力要素高度的抽象性是數(shù)學(xué)最為木質(zhì)的特點(diǎn)，數(shù)學(xué)的抽象性導(dǎo)致了極大的概括 性，抽象和概括構(gòu)成了數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)，數(shù)學(xué)的思維是抽象概括的思維。因此，抽象 概括能力構(gòu)成了數(shù)學(xué)思維能力的第一要素，除此之外，還有推理能力，判斷選擇 能力和探索能力。二、數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)牛的數(shù)學(xué)思維能力1抽象概括能力數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)牛的抽象概括能力呢？我認(rèn)為主要從

3、以下幾方面入手:(1) 教學(xué)中將數(shù)學(xué)材料中反映的數(shù)與形的關(guān)系從具體的材料中抽象出來(lái), 概括為特定的一般關(guān)系和結(jié)構(gòu)，做好抽象概括的示范工作，要特別注意重視“分 析”和“綜合”的教學(xué)。在教學(xué)過(guò)程中，注意展示和發(fā)展思維的過(guò)程，就是“讓 學(xué)生易于參與并且主動(dòng)參與知識(shí)的形成過(guò)程”以促使學(xué)生的思維的發(fā)展，培養(yǎng)其 獨(dú)立思考和解決問(wèn)題的能力。(2) 培養(yǎng)學(xué)生概括的習(xí)慣，激發(fā)學(xué)生概括的欲望，形成遇到一類(lèi)新的課 題時(shí)，經(jīng)常把這種類(lèi)型的問(wèn)題一般化，找出其本質(zhì)，善于總結(jié)。一般學(xué)生由于抽象能力差，不會(huì)從人量具體事物中抽象出它的本質(zhì)屬性, 所以盡管他們可以把中學(xué)課程中的許多概念、公式、定理，背得爛熟，但不會(huì)具 體運(yùn)用。因

4、此，概念、公式、定理的形成，必須通過(guò)學(xué)生大腦的加工，經(jīng)歷一個(gè) 抽象概括過(guò)程，知其所以然，才能真正掌握。女口： (a + b) 2=a2+2ab+b2o要學(xué)生承認(rèn)這個(gè)公式并不難，但要使學(xué)生做 到正確運(yùn)用就不容易了。如有的學(xué)生在背下這個(gè)公式許久以后，還大惑不解地提 岀：既然(a+b) (a-b) =a2-b2, (a + b) 2就應(yīng)當(dāng)?shù)扔赼2 + b2 了。這就說(shuō)明，學(xué) 生沒(méi)有真正理解(a + b)2=a2 + 2ab + b2o要使學(xué)生真正理解這個(gè)公式，只有通過(guò) 學(xué)生的積極思維才能實(shí)現(xiàn)?？梢韵冗@樣啟發(fā)學(xué)生：(10+3) 2是不是等于102 + 32=? (10 + 3) 2=132=169,

5、102 + 32=100 + 9=109,可知：(10 + 3) 2≠102 + 32« 那么，(a + b) 2 應(yīng)該等于什么呢？ (a + b) 2= (a + b) (a + b) =a2 + ab + ab + b2=a2 + 2ab + b2o學(xué)生即使知道了這個(gè)公式的由來(lái)，但有吋當(dāng)作一個(gè)“公式” 來(lái)運(yùn)用還會(huì)有問(wèn)題。女口：(2x + 3y) 2這個(gè)題，有的學(xué)生寫(xiě)出2x2 + 6xy+3y2o顯 然，他們還未真正理解公式中字母代表的一-般意義。對(duì)照公式，要強(qiáng)調(diào)指出，公 式中的每一項(xiàng)代表一個(gè)數(shù)，可以是任何形式表示的數(shù)。(2x + 3y) 2這個(gè)題也是 兩個(gè)數(shù)的和的平

6、方。因此，可以把2x看成a,把3y看成b。這吋學(xué)生就會(huì)寫(xiě)出： (2x+3y)2=(2x)2 + 2&middot; (2x) (3y) + (3y) 2=4x2+12xy+9y2<>2 推理能力數(shù)學(xué)運(yùn)算、證明以及數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)活動(dòng)都離不開(kāi)推理，數(shù)學(xué)的知識(shí)體系實(shí)質(zhì) 上就是用邏輯推理的方法構(gòu)成的命題系統(tǒng)，因此，教學(xué)中應(yīng)注重推理能力的培養(yǎng)。教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的推理能力呢？我認(rèn)為重要的是要注意推理過(guò)程 的教學(xué)，一開(kāi)始就要逐步養(yǎng)成推理過(guò)程“步步有根據(jù)”。嚴(yán)密的推理要求教師在 熟練的基礎(chǔ)上又要逐步訓(xùn)練學(xué)生簡(jiǎn)縮推理過(guò)程。培養(yǎng)邏輯思維能力，可以嘗試讓 學(xué)生通過(guò)“去粗取精、去偽存真、由表及里、由此

7、及彼”，去弄清問(wèn)題的本質(zhì)與 非本質(zhì)的東西。進(jìn)一步尋找解題思路并能對(duì)解題過(guò)程作準(zhǔn)確合理的表達(dá)。要充分利用學(xué)科教學(xué)特點(diǎn)，如幾何教學(xué)，并充分利用教材的分析圖表適 宜地逐步地培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。3. 選擇判斷能力教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的選擇判斷能力呢？我認(rèn)為主要從以下幾方面人手：(1) 直覺(jué)判斷和選擇往往要經(jīng)歷獲取信息、信息評(píng)價(jià)(判斷)、策略選 擇等幾個(gè)環(huán)節(jié)，因此，教學(xué)中應(yīng)首先注意信息的獲取，這是培養(yǎng)選擇、判斷能力 的關(guān)鍵。(2) 在解題教學(xué)中應(yīng)激發(fā)學(xué)生探求最佳解法的欲望，不僅提倡一題多 解，而且還要判斷幾種解法誰(shuí)最佳？好在何處？譬如，解一元二次方程，除了掌握求根公式外，還應(yīng)訓(xùn)練學(xué)生如何通過(guò) 觀察、判斷來(lái)

8、實(shí)施操作，迅速地選取合適的方法求解。女口，解下列方程： 18x2-33x + 15=0； (1992x)2-1991&times;1993x-l=0；這些方程分別有1或j的根，若能通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)這個(gè)根，則另-根就很 容易求出。4. 數(shù)學(xué)探索能力教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的探索能力呢？我認(rèn)為應(yīng)著重從以下幾方面人手:(1) 激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生始終處于探索未知世界的主動(dòng)地位。(2) 使學(xué)生學(xué)會(huì)“引中”所學(xué)的知識(shí)。(3) 從具體的探索方法上給學(xué)生以指導(dǎo)，在探索過(guò)程中要廣泛應(yīng)用各 種思維方法，要重點(diǎn)給學(xué)生介紹邏輯的探索方法綜合法和分析法。（4）鼓勵(lì)學(xué)生勇于探索，善于探索，發(fā)揚(yáng)創(chuàng)新精神，提岀獨(dú)立見(jiàn)解

9、， 形成探索意識(shí)。通過(guò)不斷地挖掘教材中的問(wèn)題，設(shè)計(jì)一些探索題型鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行探索，培養(yǎng)學(xué)生 的探索能力。例如：如圖，已知圓0內(nèi)切于四邊形abcd, ab=ad,連接ac、bd、ac 過(guò)圓心0,由這些條件你能得出哪些結(jié)論？（要求：不添加輔助線和字母，不寫(xiě) 推理過(guò)程）解：cd=bc；ac 垂直平分 bd；&ang;abd=&ang;adb；&ang;dac=&ang;bac；aadc竺abc； s 四邊形 abcd=ac&middot;bd； &ang;acd二&ang;acb通過(guò)這一問(wèn)題的解答，開(kāi)闊了學(xué)生的思路，提高學(xué)生的求異思維能力，培養(yǎng)學(xué)

10、生 探索能力。三、數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)1精選例題培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、深刻性和廣闊性思維的深刻性的重要標(biāo)志是思維嚴(yán)謹(jǐn)，思考問(wèn)題嚴(yán)密、周全、準(zhǔn)確。凡 是思維疏漏、膚淺、或思維不到位都是思維深刻性不強(qiáng)造成的。思維的廣闊性包 含思維的全面性，它表現(xiàn)了思維的寬度。它反映問(wèn)題的整體性；注意產(chǎn)生結(jié)論的 過(guò)程性。思維廣闊性好的學(xué)生，思考數(shù)學(xué)問(wèn)題嚴(yán)謹(jǐn)、全面，特別是不遺漏隱含的 數(shù)學(xué)條件。思維廣闊性差的學(xué)生，思考復(fù)雜問(wèn)題丟三落四，顧此失彼、漏洞百出。例如圖1, bc是半圓0的直徑，ad&perp;bc,垂足為d, ab =af,bf和ad交于點(diǎn)e,求證：ae=be證法1若聯(lián)想到垂徑定理，就可

11、補(bǔ)畫(huà)出整個(gè)o0連接ab,延長(zhǎng)ad交 于 m,如圖 2,易證&ang;bae=&ang;abe,得 ae=be。證法2若著眼于“ab二af”，即a為bf中點(diǎn)，聯(lián)想到垂徑定理的推論， 可連接 0a,先證 rtaoadrtaobm,再證 rtaaemrtabed,即得 ae=be （如 圖3）證法3若著眼于“bc是半圓0的直徑”,可連接ab、ac,得rt&ang;bac易證&ang;abe=&ang;bae二&ang;c,從而 ae=be （如圖 4）證法 4 連接 ab、af、fc,則有 ab=af, &ang;bfc=90&deg;

12、,于是&ang;aeb=&ang;def二 180&deg; &ang;c,而&ang;baf=180&deg; &ang;c &there4;&ang;baf二&ang;bea, abafabea, &ang;bae=&ang;afb,又 &ang;abf=&ang;afb&there4;&ang;abe二&ang;bae &there4;ae=be （如圖 5）在課堂教學(xué)中通過(guò)精選例題，引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度去思考，得到不同 的證明方法，既復(fù)習(xí)了諸多

13、知識(shí)，也培養(yǎng)了學(xué)生思維的靈活性、廣闊性、深刻性。 寓數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)于課堂教學(xué)中。2 加強(qiáng)學(xué)生逆向思維訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生思維的散發(fā)性和創(chuàng)新性所謂逆向思維，是指由果索因，知本求源，從原問(wèn)題的相反方向進(jìn)行的 一種思維。是指和正向思維方向相反而又相互聯(lián)系的思維過(guò)程，即我們通常所說(shuō) 的“倒著想”或“反過(guò)來(lái)想一想”。逆向思維屬于發(fā)散性思維的范疇，是一種創(chuàng) 造性的求異思維。那么數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)如何培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力呢？（1）重視數(shù)學(xué)定義的逆向性定義是對(duì)一個(gè)名詞的說(shuō)明，它使得數(shù)學(xué)概念和語(yǔ)言聯(lián)系起來(lái)，揭示了事 物的本質(zhì)屬性，所以，它的逆命題都是成立的，即定義具有逆向性，對(duì)防止學(xué)生 思維的單向定勢(shì)是有益的。例如，

14、線段中點(diǎn)定義：點(diǎn)b把線段ac分成兩條相等 的線段，點(diǎn)b叫做線段ac的中點(diǎn)。它的逆命題敘述成“若點(diǎn)b是線段ac的中 點(diǎn)，則b把a(bǔ)c分成兩條相等的線段”。并用符號(hào)語(yǔ)言表示成:b是ac中點(diǎn)&there4;ab=bc=ac（2）強(qiáng)調(diào)公式（法則）的可逆性教學(xué)實(shí)踐表明，學(xué)生對(duì)公式（法則）的逆向應(yīng)用不習(xí)慣，缺乏應(yīng)有的潛意 識(shí)，思維常定勢(shì)在順向應(yīng)用公式上。所以，教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)公式（法則）的可逆性。（3）重視引導(dǎo)學(xué)生探討命題（定理）的逆命題有些數(shù)學(xué)命題，探討它的逆命題的正確與否，既可以訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維能 力，又能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)造思維。例 4,如圖，zxabc 中，ab二ac, p、q為 bc 上

15、兩點(diǎn)，且&ang;bap=&ang;caq。 求證：bp=cq命題證完以后，再引導(dǎo)學(xué)生將原命題的題設(shè)、結(jié)論一一交換，構(gòu)造逆命 題，再判斷真假，學(xué)生會(huì)很有興趣地得到并證明以下兩個(gè)命題：命題1：如上圖，已知aabc中，ab=ac, bp二cq,求證：&ang;bap=&ang;caq。命題 2：如上圖，已知aabc 中,&ang;bap=&ang;caq, bp二cq。求證: ab=aco(4) 應(yīng)用反例進(jìn)行逆向思維訓(xùn)練肯定一個(gè)命題時(shí)，必須在題設(shè)條件下，對(duì)所有可能的情形證明結(jié)論真?zhèn)? 而否定一個(gè)命題時(shí)，只要舉一個(gè)符合題設(shè)條件而結(jié)論不正確的例子，即反例即可。 教學(xué)中尋找反例正是要突破固有的正向思維模式從問(wèn)題的逆向思考的，所以，反 例教學(xué)也是培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力的一個(gè)重要途徑。例5：若兩個(gè)三角形有一邊及另兩邊上的高分別相等，這兩個(gè)三角形全 等嗎?為什么？此例正需從問(wèn)題的對(duì)面去尋求-個(gè)符合題設(shè)，但結(jié)論不成立的例子，為 此引導(dǎo)學(xué)生思考以下反例：如圖a