平面向量的線性運(yùn)算

1、尚師教育教師教案表課題平面向量的線性運(yùn)算授 課 時(shí) 間年月日星期_ _ 時(shí)_ 分 -_ 時(shí)_ 分教師李老師學(xué)生簽名年級(jí)九年級(jí)學(xué)科數(shù)學(xué)作業(yè)完成情況教學(xué)內(nèi)容線性運(yùn)算的意義，線性組合的概念；線性組合的簡(jiǎn)單應(yīng)用. 教學(xué)目標(biāo)畫一個(gè)向量在已知兩個(gè)不平行向量方向上的分向量; 向量的線性組合與分解的的辯證關(guān)系. 教學(xué)重點(diǎn)線性運(yùn)算的意義，線性組合的概念；線性組合的簡(jiǎn)單應(yīng)用. 教學(xué)難點(diǎn)線性運(yùn)算的意義，線性組合的概念；線性組合的簡(jiǎn)單應(yīng)用. 新課內(nèi)容知識(shí)梳理六、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)（一）溫故知新復(fù)習(xí)：1向量的加法和減法的運(yùn)算方法是什么？怎么表示的？平行四邊形法則是怎么表示的？2a已知：向量ba,求： （1）ba（2）ba（二

2、）探索新知1思考：已知aaa3a，那么aaa？幾個(gè)相同的向量相加，是否能像幾個(gè)相同的數(shù)相加一樣呢？例題 1 已知向量a，如何求（ 1）aaaba學(xué)生動(dòng)手畫圖驗(yàn)證猜測(cè)結(jié)論并歸納.變式： （2）求)()()(aaa=？2歸納我們規(guī)定向量的另一種新的運(yùn)算，即實(shí)數(shù)與向量相乘的運(yùn)算：一般的，設(shè)為正整數(shù)n，a為向量，我們用表示ann個(gè)a相加；用表示個(gè)相anna加.又當(dāng)為正整m數(shù)時(shí)，amn表示與同向a且長(zhǎng)度為的amn向量. 說(shuō)明 例題 1是根據(jù)實(shí)數(shù)與向量相乘的意義畫圖后與學(xué)生共同歸納, 體會(huì)實(shí)數(shù)與向量相乘的幾何表示，初步感受到實(shí)數(shù)與向量相乘的積是一個(gè)與原向量平行的向量. 例題 2 已知非零向量a，求作并指出

3、,3,3,25aaa他們的長(zhǎng)度和方向 . a例題 3 已知平行四邊形abcd 中，e、f、g 、h、分別是各邊的中點(diǎn)eg 與 fh相交于點(diǎn)o.設(shè)請(qǐng)用向量bbaaad,a或表示向量bofoe,，并寫出圖中與向量相等oe的量. 說(shuō)明本例題將平行四邊形的性質(zhì)與向量加法的平行四邊法則結(jié)合運(yùn)用例題 4 已知點(diǎn) d、e分別在的abc邊 ab 與 ac上 de bc ，3ad=4db ，試用向量表示bc向量de. 說(shuō)明 本例題引導(dǎo)學(xué)生初步認(rèn)識(shí)兩個(gè)平行向量的代數(shù)表達(dá)形式a b c d e h g f o a b e c d （三）鞏固練習(xí)1、ak表示實(shí)數(shù)與k向量相乘的a運(yùn)算，下列表示運(yùn)算是否正確：（1）ak表

4、示為ka或者ka（）（2）ak表示a k（）（3）ak表示ak（）2、已知非零向量a，求作 4a，-2a，-21a，并指出他們的長(zhǎng)度和方向. 3如圖， 矩形 abcd 中， e、 m 、 f、 n 是 ab 、 dc 的三等分點(diǎn)，設(shè)試用向量bdaaab,ba,表示向量adae,，并寫出圖中與向相等的daae,向量. （四）反思小結(jié)1、這節(jié)課你學(xué)會(huì)了什么？2、你還有什么疑惑嗎？例題 1 已經(jīng)知非零向量a，求作aaaaaa21)4( ,27)3( ,223)2( ,321) 1(. 問(wèn)題 1：觀察、比較（ 1）與（3），（ 2）與（ 4）的結(jié)果，你有什么發(fā)現(xiàn)？歸納: 同向的兩個(gè)向量相加，和向量的方

5、向取同向，長(zhǎng)度取和；反向的兩個(gè)向量相加，和向量的方向同較長(zhǎng)向量，長(zhǎng)度取差（正）相反向量的和向量為零向量. 問(wèn)題 2：實(shí)數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律以及乘法對(duì)加法的分配律，實(shí)數(shù)與向量相乘有類似的運(yùn)算律嗎？歸納：一般地，如果是非零nm,實(shí)數(shù)，a是非零向量，那么anamanm)(，這個(gè)等式是實(shí)數(shù)與向量相乘對(duì)于實(shí)數(shù)加法的分配律. a e d m b f n c 例題 2、如圖，已經(jīng)知非零向量a、b（1）等式成立嗎baba33)(3？作圖驗(yàn)證所得的結(jié)論；（2）設(shè)實(shí)數(shù)指出0k對(duì)算式去括)(bak號(hào)的法則 . ab 說(shuō)明 本題為了探討實(shí)數(shù)與向量相乘對(duì)于向量加法的運(yùn)算律而設(shè)計(jì)，從特殊到一般分層遞進(jìn)問(wèn)題 3：若實(shí)

6、數(shù)0k，那么等式還bkakbak)(成立嗎？歸納：一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)和非零向k量a、b，總有()k abkakb，這個(gè)等式是實(shí)數(shù)與向量相乘對(duì)于向量加法的分配律. 問(wèn)題 4：)3(2a=？a)32(=？( 2)( 3 )a=？( 2 ( 3a）=？它們與有什a6么關(guān)系？歸納：任意的非零實(shí)數(shù)和非零nm,向量a，總有amnanm)()(這是實(shí)數(shù)與向量相乘的結(jié)合律. 概括：設(shè)nm,為實(shí)數(shù)，則（1）amnanm)()(；（2）amamanm)(；（3）bnambam)(例題 3 計(jì)算（1）)5(3ba；（2）)23(23baa；（3）)3(2)3(cbacba. （三）課堂練習(xí)1、計(jì)算：cbacba3

7、26)4341(8)231(3. 2、如果向量滿xba,足關(guān)系式)(5)( 3xbba，試用向量表ba,示向量x. 3、計(jì)算下列各式：（1）、)2(5ba；（2）、aba21)2(；（3）、)32()2(cacba. （四）、反思小結(jié)1、這節(jié)課你學(xué)會(huì)了什么？2、你還有什么疑惑嗎？（一）新課引入問(wèn)題 1： （1）若是一個(gè)非a零向量，amb，那么向量與a向量有什么b關(guān)系？（ 2）若設(shè)則直線,bbfaaebf 與直線 ae 有什么關(guān)系？答：（ 1）若m是正數(shù)，則a與b同向，ba；若m是負(fù)數(shù)，則a與b反向，ba；（2）直線 bf 與直線 ae 重合或平行.且 bf=mae 說(shuō)明 利用“實(shí)數(shù)與向量相乘”

8、的意義來(lái)研究幾何中的兩直線平行及線段長(zhǎng)度問(wèn)題，這是一種新思路 . （二）探索新知例題 1 如圖， ef 是 abc 的中位線，則如何證明 efbc，且 ef=21bc 說(shuō)明 用向量方法證明三角形中位線只是為了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)向量的興趣，無(wú)須進(jìn)一步展開說(shuō)明. 例題 2 梯形 abcd 中，adbc，ef 是梯形的中位線， ad=2，bc=3，設(shè)aad，能將向量用efbc,a表示出來(lái)嗎？問(wèn)題 2：已知是一個(gè)a非零向量，如果ba，那么能用表ba示出來(lái)嗎？概括： 1平行向量定理：如果向量與b非零向量平a行，那么存在唯一的實(shí)數(shù)使,mamb 說(shuō)明 定理中mab，關(guān)于的符號(hào)m，由和同向還b a是反向來(lái)確定2單位

9、向量：我們把長(zhǎng)度為1 的向量叫做單位向量.設(shè)為單位向e量，則1e.對(duì)于任意非零向量a，與它同方向的單位向量記作0a，則aaaaaa1,00 說(shuō)明 在實(shí)數(shù)中 1和 0 是特殊的數(shù)；在向量中和e 0是特殊的向量 . 例題 3 如果cbacba3,2，那么是平行ba,向量嗎？ 說(shuō)明 解這樣的向量方程組的方法，與解二元一次方程組的方法類似 . a b e c d a d b c e f （三）鞏固練習(xí)1、設(shè)向量ba,且baba)(2，試判斷向量ba,是否平行？2、已知cbca31,5，試判斷向量ba,是否同向或反向？3、如圖：梯形 abc d 中，adbc，ef 是梯形的中位線（1）化簡(jiǎn)：dfadea

10、，cfbceb（2）化簡(jiǎn)：cfbcebdfadea（四）反思小結(jié)1、這節(jié)課你學(xué)會(huì)了什么？2、你還有什么疑惑嗎？（一）新課導(dǎo)入我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了向量加法、減法以及實(shí)數(shù)與向量相乘等運(yùn)算、并且知道，向量的減法可以轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算；向量加法以及實(shí)數(shù)與向量相乘，有類似于實(shí)數(shù)加法和乘法的運(yùn)算律 .這些運(yùn)算還可以組合起來(lái)， 如果沒(méi)有括號(hào)， 那么運(yùn)算的順序是先將實(shí)數(shù)與向量相乘，再進(jìn)行向量的加減. （二）探索新知例題 1 已知兩個(gè)不平行的向量.,ba求作：ba23，ba2. 解:略a d b c e f 例題 2 已知兩個(gè)不平行的向量.,ba求作：).227()(baba揭示概念向量加法、減法、實(shí)數(shù)與向量相乘以及它們

11、的混合運(yùn)算叫做向量的線性運(yùn)算.如ba23，ba2、)5(3ba等，都是向量的 線性運(yùn)算 . 如果是兩個(gè).,ba不平行的向量，x、y是實(shí)數(shù)，那么叫做線byax.,ba性組合 .如兩個(gè)不平.,ba行的向量，向量,23baoe，這時(shí)就說(shuō)可oe由的線性組.,ba合表示. 例題 3 如圖，點(diǎn)m 是cab 的邊ab 的中點(diǎn) .設(shè)ca=a，bcb，試用的線性.,ba組合表示向量cm教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)（一）復(fù)習(xí)引入_ o_ c_ d_ e_ a_ bbc a b m aab想一想在圖一中，任取一點(diǎn)z作向量能用,oz.,ba的線性組合表示,oz嗎？ba圖一根據(jù)向量加法的意義，ab所得的和向量是向量a與b的合成，如果.

12、,ba是兩個(gè)不平行的向量，cmanb（m、n是實(shí)數(shù)），那么向量c就是向量與ma nb的合成. 用.,ba的線性組合表示向量c， 也可以說(shuō)是對(duì)向量分解c， 這時(shí)， 向量與是向ma nb量c分別在.,ba方向上的分向量，manb是向量c關(guān)于.,ba的分解式 . ( 二) 探索新知例題 4 如圖二：已知平行四邊形abcd ，點(diǎn) e、f 在邊 ab 上，ae=ef=fb ，點(diǎn) p是邊 ad的中點(diǎn)；直線 eg 、fh都與 ad平行，分別交 dc 于點(diǎn) g 、h；直線 pq與ab平行，分別交 eg 、fh 、bc于點(diǎn) o 、m 、q.設(shè)試用的線bogaom,.,ba性組合表示向量：oc、od、oa、ob、

13、.oqqfehgmopabdc圖二解：略說(shuō)明如例題 4 中，ob分別在.,ba方向上的分向量是2a和b；ob關(guān)于.,ba的分解式是2ab . 思考給定兩個(gè)不平行的向量.,ba，對(duì)于平面內(nèi)任意一個(gè)向量c，都可以確定它關(guān)于的分.,ba解式嗎？nmc0ab圖三如圖三，在平面內(nèi)取一點(diǎn)o ，作oaa，obb，occ；再作直線 oa 、ob . 設(shè)點(diǎn) c 不在直線 oa 和 ob 上，過(guò)點(diǎn) c分別作直線 oa、ob的平行線，由于向量不.,ba平行， 可知所作兩直線分別與直線ob 、 oa 有唯一的交點(diǎn)，記為 n、 m. 作向量om、on. 因?yàn)? /oma，所以存在唯一的實(shí)數(shù)x，使omxa；因?yàn)? /on

14、b，所以存在唯一的實(shí)數(shù)y，使onyb . 而四邊形 omcn 是平行四邊形，因此ocomonxayb即cxayb如果點(diǎn) c 在直線 oa 或 ob上，那么/ / ,ca或/ /cb . 這時(shí)得0cxaxab或0cybayb所以c關(guān)于a、b的分解式總是確定的 .說(shuō)明由此可知，平面上任意一個(gè)向量都可以在給定的兩個(gè)不平行向量的方法畫圖，可以作出這個(gè)向量在給定的兩個(gè)不平行向量的方向上的分向量. 例題5 如圖四，已知向量和oboa;p、q求作： （1）向量分別在poboa、方向上的分向量；（2）向量分別在qoboa 、方向上pb qo a 圖四的分向量 . 例題 6 如圖五，已知平行四邊形abcd ，點(diǎn) m 、n分別是邊 dc 、bc的中點(diǎn)，射線 am與bc