2022年平面解析幾何初步典型例題整理后

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載平面解析幾何初步 7.1 直線(xiàn)和圓的方程經(jīng)典例題導(dǎo)講例 1 直線(xiàn) l 經(jīng)過(guò) p（2,3 ）, 且在 x,y 軸上的截距相等, 試求該直線(xiàn)方程. 解：在原解的基礎(chǔ)上,再補(bǔ)充這樣的過(guò)程: 當(dāng)直線(xiàn)過(guò) (0,0) 時(shí) ,此時(shí)斜率為 :230203k, 直線(xiàn)方程為y=23x 綜上可得 : 所求直線(xiàn)方程為x+y-5=0 或 y=23x . 例 2 已知?jiǎng)狱c(diǎn)p到 y 軸的距離的3 倍等于它到點(diǎn)a(1,3) 的距離的平方, 求動(dòng)點(diǎn) p的軌跡方程 . 解：接前面的過(guò)程 , 方程化為(x-52 )2+(y-3)2 = 214 , 方程化為 (x+12 )2+(y-3)2 = - 34 ,由于兩個(gè)平

2、方數(shù)之和不可能為負(fù)數(shù), 故所求動(dòng)點(diǎn)p的軌跡方程為: (x-52 )2+(y-3)2 = 214 (x 0) 例 3m是什么數(shù)時(shí)，關(guān)于x,y 的方程（ 2m2+m-1）x2+（m2-m+2）y2+m+2=0的圖象表示一個(gè)圓？解： 欲使方程 ax2+cy2+f=0表示一個(gè)圓，只要a=c 0，得 2m2+m-1=m2-m+2，即 m2+2m-3=0，解得 m1=1，m2=-3，(1) 當(dāng) m=1時(shí)，方程為2x2+2y2=-3 不合題意，舍去. (2) 當(dāng) m=-3 時(shí)，方程為14x2+14y2=1,即 x2+y2=114 , 原方程的圖形表示圓. 例 4自點(diǎn) a(-3 ，3) 發(fā)出的光線(xiàn)l 射到 x

3、 軸上，被x 軸反射，其反射光線(xiàn)所在直線(xiàn)與圓x2+y2-4x-4y+7 0 相切，求光線(xiàn)l 所在的直線(xiàn)方程. 解：設(shè)反射光線(xiàn)為l, 由于 l 和 l關(guān)于 x 軸對(duì)稱(chēng)， l 過(guò)點(diǎn) a(-3 ，3) ，點(diǎn) a關(guān)于 x 軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) a(-3 ，-3) ，于是 l過(guò) a(-3 ，-3). 設(shè) l的斜率為k，則 l的方程為y-(-3)kx-(-3) ，即 kx-y+3k-3 0，已知圓方程即(x-2)2+(y-2)2 1，圓心 o的坐標(biāo)為 (2 ， 2)，半徑 r 1 因 l和已知圓相切，則o到 l的距離等于半徑r 1 即11k5k51k3k32k222整理得 12k2-25k+12 0 解得 k34或

4、 k43l的方程為y+334(x+3);或 y+343(x+3) 。即 4x-3y+3 0 或 3x-4y-3 0 因 l 和 l關(guān)于 x 軸對(duì)稱(chēng)故 l 的方程為4x+3y+30 或 3x+4y-3 0. 例 5求過(guò)直線(xiàn)042yx和圓014222yxyx的交點(diǎn)， 且滿(mǎn)足下列條件之一的圓的方程：精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁(yè)，共 9 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載（1） 過(guò)原點(diǎn)；（2）有最小面積 . 解： 設(shè)所求圓的方程是：04214222yxyxyx即：04122222yxyx（1）因?yàn)閳A過(guò)原點(diǎn)，所以0

5、41，即41故所求圓的方程為：0274722yxyx. （2）將圓系方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，有：545245222222yx當(dāng)其半徑最小時(shí)，圓的面積最小，此時(shí)52為所求 . 故滿(mǎn)足條件的圓的方程是54585422yx. 例 6（ 06 年遼寧理科） 已知點(diǎn) a(11,yx) ， b(22, yx) （21xx0） 是拋物線(xiàn))0(22ppxy上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，o是坐標(biāo)原點(diǎn)，向量oboa,滿(mǎn)足oboaoboa . 設(shè)圓 c的方程為0)()(212122yyyxxxyx（1）證明線(xiàn)段ab是圓 c的直徑；（2）當(dāng)圓 c的圓心到直線(xiàn)02yx的距離的最小值為552時(shí)，求p的值 . 解： （1）證明oboaoboa，（

6、oboa）2（oboa）2，整理得：oboa0 21xx21yy0 設(shè) m （yx,）是以線(xiàn)段ab為直徑的圓上的任意一點(diǎn)，則mbma0 即)(21xxxx)(21yyyy0 整理得：0)()(212122yyyxxxyx故線(xiàn)段 ab是圓 c的直徑 . （2）設(shè)圓 c的圓心為 c（yx,） ，則222121yyyxxx精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁(yè)，共 9 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載1212pxy，)0(2222ppxy22221214pyyxx又21xx21yy0 ，21xx21yy21yy2222

7、14pyy21xx0，21yy0 21yy 42p2121222122212141)2(41)(412yypyyyypyypxxx)2(122pyp所以圓心的軌跡方程為222ppxy設(shè)圓心 c到直線(xiàn)02yx的距離為，則pppyypypyx5|)( |5|2)2(1|5|2|2222當(dāng)yp時(shí)，有最小值5p，由題設(shè)得5p552p2. 圓錐曲線(xiàn)經(jīng)典例題導(dǎo)講 例 1 設(shè)雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為：xy23，求其離心率 . 解： 由雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為xy23是不能確定焦點(diǎn)的位置在x 軸上的，當(dāng)焦點(diǎn)的位置在y軸上時(shí)，32ab，故本題應(yīng)有兩解，即：213122abace或313. 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - -

8、 - - - - - - - - - - - - 第 3 頁(yè)，共 9 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載例 2 設(shè)點(diǎn) p(x,y)在橢圓4422yx上，求yx的最大、最小值. 剖析： 本題中x、y 除了分別滿(mǎn)足以上條件外，還受制約條件4422yx的約束 . 當(dāng) x=1時(shí),y 此時(shí)取不到最大值2, 故 x+y 的最大值不為3. 其實(shí)本題只需令sin2,cosyx，則)sin(5sin2cosyx，故其最大值為5，最小值為5. 例 3 已知雙曲線(xiàn)的右準(zhǔn)線(xiàn)為4x，右焦點(diǎn))0,10(f, 離心率2e, 求雙曲線(xiàn)方程 . 解法一：設(shè)),(yxp為雙曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，因?yàn)殡p曲線(xiàn)的右準(zhǔn)線(xiàn)為

9、4x， 右焦點(diǎn))0,10(f，離心率2e，由雙曲線(xiàn)的定義知.2|4|)10(22xyx整理得.14816)2(22yx解法二：依題意，設(shè)雙曲線(xiàn)的中心為)0 ,(m, 則.21042acmcmca解得.284mca, 所以,481664222acb故所求雙曲線(xiàn)方程為.14816)2(22yx例 4設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸x在軸上，離心率23e，已知點(diǎn))23,0(p到這個(gè)橢圓上的最遠(yuǎn)距離是7，求這個(gè)橢圓的方程. 解： 若21b，則當(dāng)by時(shí)，2d（從而d）有最大值 . 于是,)23()7(22b從而解得矛盾與21,21237bb. 所以必有21b，此時(shí)當(dāng)21y時(shí)，2d（從而d）有最大值，所以22

10、)7(34b，解得.4, 122ab于是所求橢圓的方程為.1422yx例 5 從橢圓12222byax,(ab0) 上一點(diǎn) m向 x 軸所作垂線(xiàn)恰好通過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)f1，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁(yè)，共 9 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載a、b分別是橢圓長(zhǎng)、短軸的端點(diǎn)，ab om 設(shè) q是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)qf2ab時(shí)，延長(zhǎng)qf2與橢圓交于另一點(diǎn)p ，若 f1pq的面積為203，求此時(shí)橢圓的方程解： 本題可用待定系數(shù)法求解b=c, a=2c，可設(shè)橢圓方程為122222cycxpq ab, kpq=-2

11、1bakab，則 pq的方程為y=2(x-c)，代入橢圓方程整理得5x2-8cx+2c2=0，根據(jù)弦長(zhǎng)公式，得cpq526, 又點(diǎn) f1到 pq的距離 d=362c dpqspqf2112534c , 由,2532053422cc，得故所求橢圓方程為1255022yx例 6已知橢圓：1922yx，過(guò)左焦點(diǎn)f 作傾斜角為6的直線(xiàn)交橢圓于a、b兩點(diǎn)，求弦 ab的長(zhǎng)解： a=3,b=1,c=22; 則 f（-22，0）由題意知：)22(31:xyl與1922yx聯(lián)立消去y 得：01521242xx設(shè) a（),11yx、b（),22yx，則21,xx是上面方程的二實(shí)根，由違達(dá)定理，2321xx4152

12、1xx，223221xxxm又因?yàn)?a、b、f 都是直線(xiàn)l上的點(diǎn)，所以 |ab|=21518324)(32|3112122121xxxxxx點(diǎn)評(píng)： 也可利用“焦半徑”公式計(jì)算精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁(yè)，共 9 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載例 7 （06 年全國(guó)理科）設(shè)p是橢圓)1(1222ayax短軸的一個(gè)端點(diǎn)，q為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求 pq 的最大值 . 解：依題意可設(shè)p（0,1 ） ， q （yx,） ，則 pq 22) 1(yx，又因?yàn)閝 在橢圓上，所以，)1 (222yax， pq 212

13、)1(222yyya22212)1(ayya22222111)11)(1 (aaaya. 因?yàn)閨 y1，a 1，若a2，則|11|2a1，當(dāng)211ay時(shí)， pq取最大值11222aaa；若 1a2，則當(dāng)1y時(shí)， pq 取最大值2. 例 8已知雙曲線(xiàn)的中心在原點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)f（2，0）作斜率為53的直線(xiàn)，交雙曲線(xiàn)于m 、n 兩點(diǎn)，且mn=4，求雙曲線(xiàn)方程解： 設(shè)所求雙曲線(xiàn)方程為)0,0(12222babyax，由右焦點(diǎn)為（2，0） 知 c=2，b2=4-a2則雙曲線(xiàn)方程為142222ayax，設(shè)直線(xiàn) mn 的方程為：)2(53xy，代入雙曲線(xiàn)方程整理得： (20-8a2)x2+12a2x+5a4-

14、32a2=0 設(shè) m （x1,y1） ,n(x2,y2),則222182012aaxx，22421820325aaaxx212124531xxxxmn482032548201258224222aaaaa解得12a，3142b故所求雙曲線(xiàn)方程為：1322yx點(diǎn)、直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)經(jīng)典例題導(dǎo)講 例 1 求過(guò)點(diǎn))1 ,0(的直線(xiàn)，使它與拋物線(xiàn)xy22僅有一個(gè)交點(diǎn). 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁(yè)，共 9 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載解：當(dāng)所求直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，即直線(xiàn)垂直x軸，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn))1 ,0(，所以,0 x即

15、y軸，它正好與拋物線(xiàn)xy22相切 . 當(dāng)所求直線(xiàn)斜率為零時(shí)，直線(xiàn)為y = 1平行x軸，它正好與 拋 物 線(xiàn)xy22只 有 一 個(gè) 交 點(diǎn) . 一 般 地 ， 設(shè) 所 求 的 過(guò) 點(diǎn))1 ,0(的 直 線(xiàn) 為1kxy)0(k, 則xykxy212，.01)22(22xkxk令,0解得 k = 12 , 所求直線(xiàn)為.121xy綜上，滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)為：.121, 0, 1xyxy 例 2 已知曲線(xiàn)c：2202xy與直線(xiàn) l：mxy僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求m的范圍 . 解：原方程的對(duì)應(yīng)曲線(xiàn)應(yīng)為橢圓的上半部分.（如圖），結(jié)合圖形易求得m的范圍為52525mm或. 注意：在將方程變形時(shí)應(yīng)時(shí)時(shí)注意范圍的變化，這樣

16、才不會(huì)出錯(cuò). 例 3 已知 a、b是圓122yx與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)， cd是垂直于 ab的動(dòng)弦，直線(xiàn)ac和 db相交于點(diǎn)p，問(wèn)是否存在兩個(gè)定點(diǎn) e、 f, 使 | | pe | | pf | | 為定值？若存在，求出e、f的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 解： 由已知得 a ( 1, 0 )、b ( 1, 0 ), 設(shè) p ( x, y ), c ( 00, yx) , 則 d (00,yx), 由 a、c、p三點(diǎn)共線(xiàn)得1100 xyxy由 d、b、p三點(diǎn)共線(xiàn)得1100 xyxy得11202022xyxy又12020yx, 20201xy，代入得122yx，即點(diǎn) p在雙曲線(xiàn)122yx上，故由雙

17、曲線(xiàn)定義知，存在兩個(gè)定點(diǎn)e ( 2, 0 )、f (2, 0 )（即此雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)） ，使 | | pe | pf | | = 2 (即此雙曲線(xiàn)的實(shí)軸yxoy x o a c d b p 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁(yè)，共 9 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載長(zhǎng)為定值 ). 例 4 已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)o ，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上， 直線(xiàn) y=x+1 與該橢圓相交于p和 q ，且 op oq ， pq =210，求橢圓的方程. 解： 設(shè)所求橢圓的方程為2222byax=1. 依題意知，點(diǎn)p 、q的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程

18、組：1xy1byax2222將代入，整理得0)1 (2)(222222baxaxba，設(shè)方程的兩個(gè)根分別為1x、2x，則直線(xiàn)y=x+1 和橢圓的交點(diǎn)為p(1x,1x+1) ，q(2x,2x+1) 由題設(shè) op oq ， op =210，可得22122122211)210()1()1()(111xxxxxxxx整理得0516)(4012)(212212121xxxxxxxx解這個(gè)方程組，得23412121xxxx或21412121xxxx根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，由式得 (1)41)1(2322222222bababaa或 (2) 41)1(2122222222bababaa解方程組 (1) 、(2) 得32222ba或23222ba故所求橢圓方程為32222yx=1 ，或23222yx =1. 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁(yè)，共 9 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載 例5 （ 06年 高 考 湖 南 ） 已 知 橢 圓c1：3422yx 1 ， 拋 物 線(xiàn)c2：)0(2)(2ppxmy，且 c1、c2的公共弦ab過(guò)橢圓 c1的右焦點(diǎn)。（1）當(dāng) ab x軸時(shí)，求m、p的值