第三節(jié) 頻率與公理化概率

1、某人向目標(biāo)射擊，以某人向目標(biāo)射擊，以A A表示事表示事件件“命中目標(biāo)命中目標(biāo)”，P P（A A）= =？定義定義:事件事件A在在n次重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)次重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)nA(頻數(shù)）頻數(shù)）次，次，則比值則比值nA/n稱為事件稱為事件A在在n次重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻次重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率，記為率，記為fn(A). 即即fn(A) nA/n1.3 頻率頻率與公理化概與公理化概率率頻率的性質(zhì)頻率的性質(zhì)(1) 0 fn(A) 1；(2) fn(S)1； fn( )=0(3) 可加性：若可加性：若A1,A2,Ak兩兩不相容兩兩不相容，則則 fn(A1A2 Ak) fn(A1) +fn(Ak).(4) 隨機(jī)波動(dòng)性。隨

2、機(jī)波動(dòng)性。(5) 當(dāng)當(dāng)n充分大時(shí)，具有穩(wěn)定性。充分大時(shí)，具有穩(wěn)定性。歷史上曾有人做過(guò)試驗(yàn)歷史上曾有人做過(guò)試驗(yàn),試圖證明拋擲勻質(zhì)硬幣試圖證明拋擲勻質(zhì)硬幣時(shí)時(shí),出現(xiàn)正反面的機(jī)會(huì)均等。出現(xiàn)正反面的機(jī)會(huì)均等。 實(shí)驗(yàn)者實(shí)驗(yàn)者n nH fn(H)De Morgan 2048 1061 0.5181（德（德摩根）摩根）Buffon 4040 2048 0.5069（蒲（蒲 豐）豐）K. Pearson 12000 6019 0.5016（K 皮爾遜）皮爾遜）K. Pearson 24000 12012 0.5005實(shí)踐證明：當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)實(shí)踐證明：當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n增大時(shí)，增大時(shí)， fn(A) 逐漸逐漸 趨向一個(gè)穩(wěn)定

3、值。可將此穩(wěn)定值記作趨向一個(gè)穩(wěn)定值。可將此穩(wěn)定值記作P(A)，作為事件作為事件A的概率的概率. 此為概率的統(tǒng)計(jì)定義此為概率的統(tǒng)計(jì)定義.概率是頻率的穩(wěn)定值概率是頻率的穩(wěn)定值;頻率是概率的反映頻率是概率的反映, 用頻率去解釋概率用頻率去解釋概率.例如例如: P(A)=0.8,: P(A)=0.8,則應(yīng)理解為在觀察則應(yīng)理解為在觀察A A而而做的做的20002000次次試驗(yàn)中試驗(yàn)中, ,事件事件A A的出現(xiàn)次數(shù)應(yīng)在的出現(xiàn)次數(shù)應(yīng)在16001600次左右次左右. .兩者的關(guān)系兩者的關(guān)系第五章第五章 伯努利大數(shù)定律伯努利大數(shù)定律卡爾卡爾.皮爾遜（皮爾遜（Karl Pearson，18571936）英國(guó)數(shù)學(xué)家

4、、哲學(xué)家、現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)的創(chuàng)始人之一、生物統(tǒng)計(jì)英國(guó)數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家、現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)的創(chuàng)始人之一、生物統(tǒng)計(jì)學(xué)家、應(yīng)用數(shù)學(xué)家，又是名副其實(shí)的歷史學(xué)家、科學(xué)哲學(xué)家、學(xué)家、應(yīng)用數(shù)學(xué)家，又是名副其實(shí)的歷史學(xué)家、科學(xué)哲學(xué)家、倫理學(xué)家、民俗學(xué)家、人類學(xué)家、宗教學(xué)家、優(yōu)生學(xué)家、彈倫理學(xué)家、民俗學(xué)家、人類學(xué)家、宗教學(xué)家、優(yōu)生學(xué)家、彈性和工程問(wèn)題專家、頭骨測(cè)量學(xué)家，也是精力充沛的社會(huì)活性和工程問(wèn)題專家、頭骨測(cè)量學(xué)家，也是精力充沛的社會(huì)活動(dòng)家、律師、自由思想者、教育改革家、社會(huì)主義者、婦女動(dòng)家、律師、自由思想者、教育改革家、社會(huì)主義者、婦女解放的鼓吹者、婚姻和性問(wèn)題的研究者，亦是受歡迎的教師、解放的鼓吹者、婚姻和性問(wèn)題的研究

5、者，亦是受歡迎的教師、編輯、文學(xué)作品和人物傳記的作者。一句話，他是編輯、文學(xué)作品和人物傳記的作者。一句話，他是19和和20世世紀(jì)之交的活躍的哲人科學(xué)家和百科全書(shū)式的學(xué)者。紀(jì)之交的活躍的哲人科學(xué)家和百科全書(shū)式的學(xué)者。1857年年3月月27日生于倫敦，日生于倫敦，1936年年4月月27日卒于金港灣。日卒于金港灣。1879年畢業(yè)于劍橋大學(xué)，并獲優(yōu)等生稱號(hào)。在校期間，他除年畢業(yè)于劍橋大學(xué)，并獲優(yōu)等生稱號(hào)。在校期間，他除了主修數(shù)學(xué)外，還學(xué)習(xí)法律，了主修數(shù)學(xué)外，還學(xué)習(xí)法律，1881年，他取得了法庭律師資年，他取得了法庭律師資格和法學(xué)學(xué)士學(xué)位，隨后，他去德國(guó)海登堡大學(xué)和柏林大學(xué)格和法學(xué)學(xué)士學(xué)位，隨后，他去德

6、國(guó)海登堡大學(xué)和柏林大學(xué)留學(xué)，留學(xué)，1882年獲文學(xué)碩士學(xué)位。接著又獲博士學(xué)位。歷任倫年獲文學(xué)碩士學(xué)位。接著又獲博士學(xué)位。歷任倫敦大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系主任、優(yōu)生學(xué)教授、哥爾登實(shí)驗(yàn)室主任，敦大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系主任、優(yōu)生學(xué)教授、哥爾登實(shí)驗(yàn)室主任，并長(zhǎng)期兼任并長(zhǎng)期兼任生物統(tǒng)計(jì)學(xué)雜志生物統(tǒng)計(jì)學(xué)雜志和和優(yōu)生學(xué)年刊優(yōu)生學(xué)年刊的編輯，的編輯，英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)員。建立皮爾遜曲線族，用數(shù)學(xué)方法描述自英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)員。建立皮爾遜曲線族，用數(shù)學(xué)方法描述自然現(xiàn)象，對(duì)發(fā)展數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論及其應(yīng)用有重要貢獻(xiàn)。他是生然現(xiàn)象，對(duì)發(fā)展數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論及其應(yīng)用有重要貢獻(xiàn)。他是生物統(tǒng)計(jì)學(xué)的奠基人。在哲學(xué)上，宣揚(yáng)物統(tǒng)計(jì)學(xué)的奠基人。在哲學(xué)上，宣揚(yáng)“人是自然

7、規(guī)律的創(chuàng)造人是自然規(guī)律的創(chuàng)造者者”，科學(xué)規(guī)律是人的認(rèn)識(shí)能力的產(chǎn)物，主要著作有，科學(xué)規(guī)律是人的認(rèn)識(shí)能力的產(chǎn)物，主要著作有科學(xué)科學(xué)的基本原理的基本原理、進(jìn)化論的數(shù)學(xué)研討進(jìn)化論的數(shù)學(xué)研討等。等。 皮爾遜在數(shù)學(xué)上的主要貢獻(xiàn)是在數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)方面。皮爾遜在數(shù)學(xué)上的主要貢獻(xiàn)是在數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)方面。1894年年,他提出了矩估計(jì)方法他提出了矩估計(jì)方法,其核心思想就是用樣本矩去估計(jì)總體其核心思想就是用樣本矩去估計(jì)總體矩矩,用樣本矩的函數(shù)估計(jì)總體矩的同一函數(shù)用樣本矩的函數(shù)估計(jì)總體矩的同一函數(shù).他首先提出了頻他首先提出了頻率曲線的理論。率曲線的理論。1895年，他有由經(jīng)驗(yàn)得出了頻率分布的一般年，他有由經(jīng)驗(yàn)得出了頻率分布的一

8、般性質(zhì)，選定常微分方程來(lái)描述頻率曲線。通過(guò)解這個(gè)微分方性質(zhì)，選定常微分方程來(lái)描述頻率曲線。通過(guò)解這個(gè)微分方程可導(dǎo)出程可導(dǎo)出13種曲線形式。種曲線形式。 1900年皮爾遜提出了擬合優(yōu)度檢年皮爾遜提出了擬合優(yōu)度檢驗(yàn)。這是一種很有用的方法，在現(xiàn)代數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論中占有重驗(yàn)。這是一種很有用的方法，在現(xiàn)代數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論中占有重要地位。他在要地位。他在1896年發(fā)表的題為年發(fā)表的題為回歸、遺傳和隨機(jī)交配回歸、遺傳和隨機(jī)交配的論文中，導(dǎo)出了乘積動(dòng)差相關(guān)系數(shù)公式和其他兩種等價(jià)的的論文中，導(dǎo)出了乘積動(dòng)差相關(guān)系數(shù)公式和其他兩種等價(jià)的公式，提出了計(jì)算方法，還以三個(gè)變量為例，闡述了一般相公式，提出了計(jì)算方法，還以三個(gè)變量為

9、例，闡述了一般相關(guān)理論。他還進(jìn)一步發(fā)展了回歸與相關(guān)的理論，成功的創(chuàng)建關(guān)理論。他還進(jìn)一步發(fā)展了回歸與相關(guān)的理論，成功的創(chuàng)建了生物統(tǒng)計(jì)學(xué)，提出了樣本總體概念。皮爾遜對(duì)個(gè)體變異性、了生物統(tǒng)計(jì)學(xué)，提出了樣本總體概念。皮爾遜對(duì)個(gè)體變異性、統(tǒng)計(jì)量的概率誤差進(jìn)行了深入的研究。特別應(yīng)當(dāng)指出的事，統(tǒng)計(jì)量的概率誤差進(jìn)行了深入的研究。特別應(yīng)當(dāng)指出的事，皮爾遜于皮爾遜于1900年創(chuàng)辦的年創(chuàng)辦的生物計(jì)量學(xué)雜志生物計(jì)量學(xué)雜志，對(duì)推動(dòng)數(shù)理統(tǒng)，對(duì)推動(dòng)數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)科的發(fā)展，產(chǎn)生了十分深遠(yuǎn)的影響計(jì)學(xué)科的發(fā)展，產(chǎn)生了十分深遠(yuǎn)的影響。 皮爾遜建立了世界上第一個(gè)數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的實(shí)驗(yàn)室，吸引皮爾遜建立了世界上第一個(gè)數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的實(shí)驗(yàn)室，吸引了一

10、大批訓(xùn)練有素的數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)家來(lái)到這個(gè)中心實(shí)驗(yàn)室研究了一大批訓(xùn)練有素的數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)家來(lái)到這個(gè)中心實(shí)驗(yàn)室研究工作，培養(yǎng)了一大批數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)家，推動(dòng)了這個(gè)學(xué)科的發(fā)展。工作，培養(yǎng)了一大批數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)家，推動(dòng)了這個(gè)學(xué)科的發(fā)展。 皮爾遜在倫敦大學(xué)學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)哥德斯米德教席教授皮爾遜在倫敦大學(xué)學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)哥德斯米德教席教授時(shí)，顯示出堅(jiān)忍不拔的工作勁頭和異乎尋常的多產(chǎn)性。他的時(shí)，顯示出堅(jiān)忍不拔的工作勁頭和異乎尋常的多產(chǎn)性。他的專業(yè)職責(zé)是講授靜力學(xué)、動(dòng)力學(xué)、力學(xué)、近代幾何、畫(huà)法幾專業(yè)職責(zé)是講授靜力學(xué)、動(dòng)力學(xué)、力學(xué)、近代幾何、畫(huà)法幾何和投影幾何，他用直觀的作圖法深入淺出地講解力學(xué)問(wèn)題，何和投影幾何，他用直觀的

11、作圖法深入淺出地講解力學(xué)問(wèn)題，很受初學(xué)者歡迎。皮爾遜還在為學(xué)科學(xué)技術(shù)的學(xué)生講應(yīng)用數(shù)很受初學(xué)者歡迎。皮爾遜還在為學(xué)科學(xué)技術(shù)的學(xué)生講應(yīng)用數(shù)學(xué)，為學(xué)工程的學(xué)生講制圖，他也講過(guò)天文學(xué)，并用得到的學(xué)，為學(xué)工程的學(xué)生講制圖，他也講過(guò)天文學(xué)，并用得到的資助在學(xué)院的草坪上建立了兩個(gè)小天文臺(tái)，以訓(xùn)練學(xué)生觀察資助在學(xué)院的草坪上建立了兩個(gè)小天文臺(tái)，以訓(xùn)練學(xué)生觀察天象。天象。概率的公理化定義概率的公理化定義1.定義：定義：若對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)若對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)E所對(duì)應(yīng)的樣本空間所對(duì)應(yīng)的樣本空間S中的中的每一事件每一事件A，均賦予一實(shí)數(shù)均賦予一實(shí)數(shù)P(A)，集合函數(shù)集合函數(shù)P(A)滿足條件：滿足條件：(1) 非負(fù)性：非負(fù)性：P(A)

12、 00；(2) 規(guī)范性規(guī)范性（歸一性）（歸一性）：P(S)1； (3) 可列可加性可列可加性：設(shè)設(shè)A1，A2，, 是一列兩兩互不是一列兩兩互不相容的事件，即相容的事件，即AiAj ，(i j), i , j1, 2, , 有有 P( A1 A2 ) P(A1) P(A2)+. 則稱則稱P(A)為事件為事件A的概率。的概率。(2) 有限有限可加性可加性：設(shè)設(shè)A1，A2，An , 是是n個(gè)兩兩互不個(gè)兩兩互不相容的事件，即相容的事件，即AiAj ，(i j), i , j1, 2, , n ,則則有有 P( A1 A2 An) P(A1) P(A2)+ +P(An); (4) 事件差：事件差： A、

13、B是兩個(gè)事件，則是兩個(gè)事件，則P(A-B)=P(A)-P(AB)(3) 單調(diào)不減性單調(diào)不減性：若事件：若事件A B，則則P(A)P(B) ( )0P(1),0( )1ASP A概率的性質(zhì)概率的性質(zhì)(5) 加法公式加法公式：對(duì)任意兩事件：對(duì)任意兩事件A、B，有有 P(A B)P(A)P(B)P(AB) P(A)1-P(A)(6)(6) 互補(bǔ)性互補(bǔ)性()()()()()()()()P ABCP AP BP CP ABP ACP BCP ABC三個(gè)事件的加法公式三個(gè)事件的加法公式例例1解解: P(AB)P0.3ABP B 某市有甲某市有甲,乙乙,丙三種報(bào)紙丙三種報(bào)紙, 訂每種報(bào)紙訂每種報(bào)紙的人數(shù)分別

14、占全體市民人數(shù)的的人數(shù)分別占全體市民人數(shù)的30%, 其中有其中有10%的人同時(shí)定甲、乙兩種報(bào)紙的人同時(shí)定甲、乙兩種報(bào)紙. 沒(méi)有人同時(shí)沒(méi)有人同時(shí)訂甲丙或乙丙報(bào)紙訂甲丙或乙丙報(bào)紙. 求從該市任選一人求從該市任選一人, 他至他至少訂有一種報(bào)紙的概率少訂有一種報(bào)紙的概率.%80000%103%30)()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP解解: 設(shè)設(shè)A,B,C分別表示選到的人訂了甲分別表示選到的人訂了甲,乙乙,丙報(bào)丙報(bào)P(A)=30% , P(B)=30% , P(C)=30%P(AB)=10% ,P(AC)=0 , P(BC)=0, P(ABC)=0例例2 2 在在1 1 1010這這1010個(gè)自然數(shù)中任取一數(shù)，求個(gè)自然數(shù)中任取一數(shù)，求（1 1）取到的數(shù)能被）取到的數(shù)能被2 2或或3 3整除的概率，整除的概率，（2 2）取到的數(shù)既不能被）取到的數(shù)既不能被2 2也不能被也不能被3 3整除的概率，整除的概率，（3 3）取到的數(shù)能被）取到的數(shù)能被2 2整除而不能被整除而不能被3 3整除的概率。整除的概率。1( )2P A 3( )10P B (1) ()( )( )()P ABP AP BP AB1()10P AB 107(2) ()1()P ABP AB 103(3) (