結(jié)構(gòu)力學(xué)——靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算

1、學(xué)習(xí)內(nèi)容學(xué)習(xí)內(nèi)容 實(shí)功和虛功、廣義力和廣義位移，變形體虛功原理，功的實(shí)功和虛功、廣義力和廣義位移，變形體虛功原理，功的互等定理、位移互等定理、反力互等定理。靜定結(jié)構(gòu)在荷載作互等定理、位移互等定理、反力互等定理。靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下產(chǎn)生的位移計(jì)算。剛架和梁的位移計(jì)算圖乘法。用下產(chǎn)生的位移計(jì)算。剛架和梁的位移計(jì)算圖乘法。 學(xué)習(xí)目的和要求學(xué)習(xí)目的和要求 目的：目的：靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算是驗(yàn)算結(jié)構(gòu)剛度和計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算是驗(yàn)算結(jié)構(gòu)剛度和計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)所必需的。變形體虛功原理是結(jié)構(gòu)力學(xué)中的重要理論，位所必需的。變形體虛功原理是結(jié)構(gòu)力學(xué)中的重要理論，位移計(jì)算公式就是在此原理上得到的，對(duì)于進(jìn)一步學(xué)習(xí)

2、也起移計(jì)算公式就是在此原理上得到的，對(duì)于進(jìn)一步學(xué)習(xí)也起到重要作用。到重要作用。 要求：要求： 領(lǐng)會(huì)變形體虛功原理和互等定理。領(lǐng)會(huì)變形體虛功原理和互等定理。 掌握實(shí)功、虛功、廣義力、廣義位移的概念。掌握實(shí)功、虛功、廣義力、廣義位移的概念。 熟練荷載產(chǎn)生的結(jié)構(gòu)位移計(jì)算。熟練荷載產(chǎn)生的結(jié)構(gòu)位移計(jì)算。 熟練掌握?qǐng)D乘法求位移。熟練掌握?qǐng)D乘法求位移。第四章第四章虛位移原理與靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算虛位移原理與靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算第一節(jié)第一節(jié) 位移計(jì)算概述位移計(jì)算概述 1、結(jié)構(gòu)的位移、結(jié)構(gòu)的位移桿系結(jié)構(gòu)在外界因素作用下會(huì)產(chǎn)生變形和位移。桿系結(jié)構(gòu)在外界因素作用下會(huì)產(chǎn)生變形和位移。變形變形是指結(jié)構(gòu)原有形狀和尺寸的改變；

3、是指結(jié)構(gòu)原有形狀和尺寸的改變；位移位移是指結(jié)構(gòu)上各點(diǎn)位置產(chǎn)生的變化是指結(jié)構(gòu)上各點(diǎn)位置產(chǎn)生的變化線位移（位置移動(dòng)）線位移（位置移動(dòng)）角位移（截面轉(zhuǎn)動(dòng)）。角位移（截面轉(zhuǎn)動(dòng)）。思考：變形與位移的差別？思考：變形與位移的差別？第一節(jié)第一節(jié) 位移計(jì)算概述位移計(jì)算概述 形狀的改變稱變形；位置的改變稱位移形狀的改變稱變形；位置的改變稱位移 Ay Ax AAAB Ax Bx AB= Ax+ BxAAB無(wú)論是線位移還是角位移，無(wú)論絕對(duì)位移還無(wú)論是線位移還是角位移，無(wú)論絕對(duì)位移還是相對(duì)位移統(tǒng)稱是相對(duì)位移統(tǒng)稱廣義位移廣義位移絕對(duì)位移絕對(duì)位移相對(duì)位移相對(duì)位移FP第一節(jié)第一節(jié) 位移計(jì)算概述位移計(jì)算概述 2、結(jié)構(gòu)位移計(jì)算

4、的目的、結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的目的(1) (1) 結(jié)構(gòu)剛度驗(yàn)算的要求。結(jié)構(gòu)剛度驗(yàn)算的要求。吊車梁允許的撓度吊車梁允許的撓度 1/600 跨度；跨度；高層建筑的最大位移高層建筑的最大位移 1/1000 高度。最大層間位高度。最大層間位移移 1/800層高層高(3) (3) 為分析超靜定結(jié)構(gòu)計(jì)算、動(dòng)力計(jì)算和穩(wěn)定計(jì)算打基礎(chǔ)為分析超靜定結(jié)構(gòu)計(jì)算、動(dòng)力計(jì)算和穩(wěn)定計(jì)算打基礎(chǔ). .(2) (2) 施工要求：結(jié)構(gòu)的制作、架設(shè)、養(yǎng)護(hù)過(guò)程中往往需要施工要求：結(jié)構(gòu)的制作、架設(shè)、養(yǎng)護(hù)過(guò)程中往往需要預(yù)先知道結(jié)構(gòu)的變形情況，以便采取施工措施預(yù)先知道結(jié)構(gòu)的變形情況，以便采取施工措施; ; 第一節(jié)第一節(jié) 位移計(jì)算概述位移計(jì)算概述 如

5、屋架在豎向荷如屋架在豎向荷載作用下，下弦載作用下，下弦各結(jié)點(diǎn)產(chǎn)生虛線各結(jié)點(diǎn)產(chǎn)生虛線所示位移。所示位移。將各下弦桿做得將各下弦桿做得比實(shí)際長(zhǎng)度短些，比實(shí)際長(zhǎng)度短些，拼裝后下弦向上拼裝后下弦向上起拱。起拱。在屋蓋自重作用下，下弦各桿位于原設(shè)計(jì)的水平位置。在屋蓋自重作用下，下弦各桿位于原設(shè)計(jì)的水平位置。建筑起拱第一節(jié)第一節(jié) 位移計(jì)算概述位移計(jì)算概述 3、產(chǎn)生位移的主要原因、產(chǎn)生位移的主要原因各種因素對(duì)靜定結(jié)構(gòu)的影響各種因素對(duì)靜定結(jié)構(gòu)的影響內(nèi)力內(nèi)力變形變形位移位移荷載荷載溫度改變或溫度改變或材料脹縮材料脹縮支座移動(dòng)或支座移動(dòng)或制造誤差制造誤差產(chǎn)生位移的主要原因主要三種：荷載作用、溫度改變和材料脹縮、產(chǎn)

6、生位移的主要原因主要三種：荷載作用、溫度改變和材料脹縮、支座移動(dòng)和制造誤差。支座移動(dòng)和制造誤差。 4 4 體系特征假定體系特征假定(3) (3) 理想聯(lián)結(jié)理想聯(lián)結(jié)(1) (1) 線彈性線彈性(2) (2) 小變形小變形可以利用虛功概念計(jì)算結(jié)構(gòu)的位移第二節(jié)第二節(jié) 變形體虛功原理變形體虛功原理 1、功的概念、功的概念功功：是能量變化的度量。用定量形式表述了力在其作是能量變化的度量。用定量形式表述了力在其作用點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程上對(duì)物體作用的效果。用點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程上對(duì)物體作用的效果。功功 = = 力力力作用點(diǎn)沿力方向上的位移力作用點(diǎn)沿力方向上的位移FW P 理解為廣義力理解為廣義力PF廣義力與廣義位移的乘積具

7、有功的量綱。廣義力與廣義位移的乘積具有功的量綱。第二節(jié)第二節(jié) 變形體虛功原理變形體虛功原理 力在自身所產(chǎn)生的位移上所作的功。力在自身所產(chǎn)生的位移上所作的功。(1) 常力作功常力作功SFP cosSFW P(2) 變力作功變力作功FPyFyFFWddddPPP )(PP21dFWW y（力與位移有因果關(guān)系）（力與位移有因果關(guān)系）ydO第二節(jié)第二節(jié) 變形體虛功原理變形體虛功原理 虛功虛功：力在非自身所產(chǎn)生的位移上所作的功。：力在非自身所產(chǎn)生的位移上所作的功。（力與位移相互獨(dú)立）（力與位移相互獨(dú)立）121P12FW FP11112FP222（此過(guò)程力保持為常量）（此過(guò)程力保持為常量）虛功具體有兩種情

8、況：虛功具體有兩種情況： 1 作功雙方其一是虛設(shè)的；作功雙方其一是虛設(shè)的； 2 作功雙方均是實(shí)際存在的，但彼此無(wú)關(guān)。作功雙方均是實(shí)際存在的，但彼此無(wú)關(guān)。第二節(jié)第二節(jié) 變形體虛功原理變形體虛功原理 注意：定義定義“功功”時(shí)對(duì)產(chǎn)生位移的原因沒(méi)有給予限制，作功時(shí)對(duì)產(chǎn)生位移的原因沒(méi)有給予限制，作功的兩個(gè)要素中，若力在其自身引起的位移上作功，則的兩個(gè)要素中，若力在其自身引起的位移上作功，則稱稱實(shí)功實(shí)功；若力在由其他原因引起的位移上作功，則稱；若力在由其他原因引起的位移上作功，則稱虛功虛功；為便于功的計(jì)算，引入廣義力和廣義位移的概念：為便于功的計(jì)算，引入廣義力和廣義位移的概念：凡與力相關(guān)的因子均稱凡與力相

9、關(guān)的因子均稱廣義力廣義力（如集中力、分布（如集中力、分布力，力偶等）力，力偶等）凡與位移相關(guān)的因子均稱凡與位移相關(guān)的因子均稱廣義位移廣義位移（如線位移、（如線位移、角位移等）角位移等） ：結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的各種位移，包括截面的線位移、結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的各種位移，包括截面的線位移、角位移、相對(duì)線位移、相對(duì)角位移或者是一組位移等角位移、相對(duì)線位移、相對(duì)角位移或者是一組位移等等都可泛稱為廣義位移。等都可泛稱為廣義位移。 廣義位移廣義位移 ：與廣義位移對(duì)應(yīng)的就是廣義力，可以是與廣義位移對(duì)應(yīng)的就是廣義力，可以是一個(gè)集中力，集中力偶或一對(duì)大小相等方向相反一個(gè)集中力，集中力偶或一對(duì)大小相等方向相反的力或力偶，也可以是一組力

10、系的力或力偶，也可以是一組力系。 注意：廣義位移與廣義力的對(duì)應(yīng)關(guān)系，注意：廣義位移與廣義力的對(duì)應(yīng)關(guān)系，能夠在某一組廣義位移上做功的力系，才能夠在某一組廣義位移上做功的力系，才稱為與這組廣義位移對(duì)應(yīng)的廣義力。稱為與這組廣義位移對(duì)應(yīng)的廣義力。 廣義力廣義力第二節(jié)第二節(jié) 變形體虛功原理變形體虛功原理 作功的廣義力可以是單個(gè)力，也可以是一組力；作功的廣義力可以是單個(gè)力，也可以是一組力；未必發(fā)生但能滿足物體連續(xù)變化和約束條件的微小變未必發(fā)生但能滿足物體連續(xù)變化和約束條件的微小變形稱形稱虛變形虛變形。虛變形是合理的，但不一定是真實(shí)的。虛變形是合理的，但不一定是真實(shí)的。虛變形各種各樣，但在某一原因作用下的真

11、實(shí)變形卻虛變形各種各樣，但在某一原因作用下的真實(shí)變形卻是確定的，真實(shí)變形是虛變形中的一個(gè)。是確定的，真實(shí)變形是虛變形中的一個(gè)。廣義力和廣義位移均可有不同的量綱，但其乘積必廣義力和廣義位移均可有不同的量綱，但其乘積必須具有功的量綱。須具有功的量綱?；仡櫍?）質(zhì)點(diǎn)系的虛功原理 具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，在某一位具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，在某一位置處于平衡的必要和充分條件是：置處于平衡的必要和充分條件是：1PF2NF1NF2PF1m2mfi ri=0 對(duì)于任何對(duì)于任何可能可能的虛位移，作用于質(zhì)的虛位移，作用于質(zhì)點(diǎn)系的主動(dòng)力所做虛功之和為點(diǎn)系的主動(dòng)力所做虛功之和為零零。也。也即即（2）剛體系的虛功原理 去掉約

12、束而代以相應(yīng)的反力，該反力便可看成外力。去掉約束而代以相應(yīng)的反力，該反力便可看成外力。則有：剛體系處于平衡的必要和充分條件是：則有：剛體系處于平衡的必要和充分條件是： 對(duì)于任何對(duì)于任何可能可能的虛位移，的虛位移，作用于剛體系的所有外力所做作用于剛體系的所有外力所做虛功之和為零。虛功之和為零。FPAxFBFAyFPB-FPP+FBB=0第二節(jié)第二節(jié) 變形體虛功原理變形體虛功原理 2 2 虛功原理虛功原理（1 1）剛體系的虛功原理）剛體系的虛功原理剛體系處于平衡的必要和充分條件是：對(duì)于任何可能的剛體系處于平衡的必要和充分條件是：對(duì)于任何可能的虛位移，作用于剛體系的所有外力所做虛功之和為零。虛位移，

13、作用于剛體系的所有外力所做虛功之和為零。（2 2）變形體的虛功原理）變形體的虛功原理任何一個(gè)處于平衡狀態(tài)的變形體，當(dāng)發(fā)生任意一個(gè)虛位移任何一個(gè)處于平衡狀態(tài)的變形體，當(dāng)發(fā)生任意一個(gè)虛位移時(shí)，變形體所受外力在虛位移上所作的總虛功時(shí)，變形體所受外力在虛位移上所作的總虛功 We恒等恒等于變形體各于變形體各微段外力微段外力在在微段變形微段變形上作的虛功之和上作的虛功之和 Wi i。也即恒有如下虛功方程成立：也即恒有如下虛功方程成立： We = Wi變形體虛功原理的必要性證明變形體虛功原理的必要性證明: :FNM+dMMqdd剛體位移變形力狀態(tài)力狀態(tài)（滿足平衡條件）（滿足平衡條件）位移狀態(tài)位移狀態(tài)（滿足約

14、束條件）（滿足約束條件）FN dFNFSFS dFS第二節(jié)第二節(jié) 變形體虛功原理變形體虛功原理 d 按外力虛功和內(nèi)力虛功計(jì)算按外力虛功和內(nèi)力虛功計(jì)算微段虛功總和微段虛功總和 = = 微段外力虛功微段外力虛功 + + 微段內(nèi)力虛功微段內(nèi)力虛功所以所以由于變形連續(xù)及相鄰截面內(nèi)力是作用力和反作用力的關(guān)系由于變形連續(xù)及相鄰截面內(nèi)力是作用力和反作用力的關(guān)系d Wz=d We+d Wi Wz= We+ Wi Wz= We Wi = 0第二節(jié)第二節(jié) 變形體虛功原理變形體虛功原理 按剛體虛功和變形虛功計(jì)算按剛體虛功和變形虛功計(jì)算微段虛功總和微段虛功總和 = = 微段剛體虛功微段剛體虛功 + + 微段變形虛功微

15、段變形虛功所以所以基于平衡狀態(tài)的剛體虛功原理基于平衡狀態(tài)的剛體虛功原理d Wz= d Wg+d Wid WZ = d Wid Wg = 0 Wz = Wi故有故有 Wz= We Wi第二節(jié)第二節(jié) 變形體虛功原理變形體虛功原理 對(duì)于直桿體系，由于變形互不耦連，有對(duì)于直桿體系，由于變形互不耦連，有:虛功方程虛功方程dddSNFFM內(nèi)力總虛功內(nèi)力總虛功dddSNiFFMWsqPWiijiiidqP e外力總虛功外力總虛功sqPiijiiidqP ieWW 力狀態(tài)的外力和內(nèi)力都是不變的常力；力狀態(tài)的外力和內(nèi)力都是不變的常力；“虛虛”僅僅表明作功雙方是相互獨(dú)立的。當(dāng)一僅僅表明作功雙方是相互獨(dú)立的。當(dāng)一方

16、是真實(shí)的時(shí)候，另一方即可按要求假設(shè)。方是真實(shí)的時(shí)候，另一方即可按要求假設(shè)。 當(dāng)體系沒(méi)有變形時(shí)當(dāng)體系沒(méi)有變形時(shí)Wi= 0 ,即即 We= 0。說(shuō)說(shuō)明剛體虛功原理是變形體虛功原理的特例明剛體虛功原理是變形體虛功原理的特例; ;原理說(shuō)明：第二節(jié)第二節(jié) 變形體虛功原理變形體虛功原理 從變形類型看從變形類型看：即可以考慮彎曲變形，也可考慮拉伸和剪：即可以考慮彎曲變形，也可考慮拉伸和剪切變形；切變形； 虛功原理的虛功原理的結(jié)論具有普遍性。表現(xiàn)在：結(jié)論具有普遍性。表現(xiàn)在： 從變形因素看從變形因素看：即可以考慮荷載作用引起的位移，也可考：即可以考慮荷載作用引起的位移，也可考慮溫度改變和支座移動(dòng)引起的位移；慮溫

17、度改變和支座移動(dòng)引起的位移；從結(jié)構(gòu)類型看從結(jié)構(gòu)類型看：即可用于靜定結(jié)構(gòu)，又可用于超靜定結(jié)構(gòu)；：即可用于靜定結(jié)構(gòu)，又可用于超靜定結(jié)構(gòu)；從材料性質(zhì)看從材料性質(zhì)看：即可用于線彈性結(jié)構(gòu)，又可用于非彈性結(jié)構(gòu)。：即可用于線彈性結(jié)構(gòu)，又可用于非彈性結(jié)構(gòu)。第二節(jié)第二節(jié) 變形體虛功原理變形體虛功原理 由于作功雙方地位平等，所以可虛擬任何一方，由此原理由于作功雙方地位平等，所以可虛擬任何一方，由此原理可有兩個(gè)方面的應(yīng)用：可有兩個(gè)方面的應(yīng)用： 虛功方程同時(shí)應(yīng)用了平衡條件和變形連續(xù)條件，虛功方程同時(shí)應(yīng)用了平衡條件和變形連續(xù)條件，因此方程是即可用來(lái)代替幾何方程，又可代替平因此方程是即可用來(lái)代替幾何方程，又可代替平衡方程

18、的綜合方程。衡方程的綜合方程。 實(shí)際待分析的協(xié)調(diào)位移狀態(tài)，虛設(shè)的平衡力狀態(tài)，實(shí)際待分析的協(xié)調(diào)位移狀態(tài)，虛設(shè)的平衡力狀態(tài)，將將位移分析化為平衡問(wèn)題來(lái)求解位移分析化為平衡問(wèn)題來(lái)求解。 虛力原理虛力原理 實(shí)際待分析的平衡力狀態(tài)，虛設(shè)的協(xié)調(diào)位移狀態(tài)，實(shí)際待分析的平衡力狀態(tài)，虛設(shè)的協(xié)調(diào)位移狀態(tài)，將將平衡問(wèn)題化為幾何問(wèn)題來(lái)求解平衡問(wèn)題化為幾何問(wèn)題來(lái)求解。 虛位移原理虛位移原理第二節(jié)第二節(jié) 變形體虛功原理變形體虛功原理 第三節(jié)第三節(jié) 位移計(jì)算公式位移計(jì)算公式 單位荷載法單位荷載法 (Dummy-UnitLoadMethod) 是是 Maxwell,1864和和Mohr, 1874 1874提出，故也稱為提出

19、，故也稱為Maxwell-MohrMethod。 用虛功原理，位移狀態(tài)即實(shí)際狀態(tài)，另虛設(shè)一個(gè)力狀態(tài)用虛功原理，位移狀態(tài)即實(shí)際狀態(tài)，另虛設(shè)一個(gè)力狀態(tài)（稱力虛設(shè)狀態(tài)），要（稱力虛設(shè)狀態(tài)），要使虛擬力的虛功正好等于所求位移使虛擬力的虛功正好等于所求位移，故稱為單位荷載法故稱為單位荷載法。1 1、一般位移計(jì)算公式、一般位移計(jì)算公式協(xié)調(diào)的位移狀態(tài)協(xié)調(diào)的位移狀態(tài)平衡的力平衡的力 狀狀 態(tài)態(tài)ABk1P FByFAyFAxFc1c2k kFPq(x)AB考察同一結(jié)構(gòu)的兩個(gè)狀態(tài)，欲求考察同一結(jié)構(gòu)的兩個(gè)狀態(tài)，欲求 k 點(diǎn)位移點(diǎn)位移 k實(shí)際狀態(tài) 虛設(shè)狀態(tài) iNQdddWMFF iikcFWRe1iikcFFFMRS

20、Nddd外力虛功外力虛功內(nèi)力虛功內(nèi)力虛功由虛功方程由虛功方程eiWW此式即為平面結(jié)構(gòu)位移計(jì)算一般公式。此式即為平面結(jié)構(gòu)位移計(jì)算一般公式。若結(jié)果為正，表明的實(shí)際位移方向與虛設(shè)力的方向相同。若若結(jié)果為正，表明的實(shí)際位移方向與虛設(shè)力的方向相同。若結(jié)果為負(fù)，表明的實(shí)際位移方向與虛設(shè)力的方向相反結(jié)果為負(fù)，表明的實(shí)際位移方向與虛設(shè)力的方向相反(1)(1)在擬求位移點(diǎn)沿位移方向虛設(shè)相應(yīng)單位荷載；在擬求位移點(diǎn)沿位移方向虛設(shè)相應(yīng)單位荷載；(2)(2)在單位荷載作用下，由平衡條件求虛內(nèi)力和虛在單位荷載作用下，由平衡條件求虛內(nèi)力和虛反力；反力；(3)(3)由位移計(jì)算公式求相應(yīng)位移。由位移計(jì)算公式求相應(yīng)位移。第三節(jié)第

21、三節(jié) 位移計(jì)算公式位移計(jì)算公式 求求1點(diǎn)豎向點(diǎn)豎向線位移線位移求求1點(diǎn)絕對(duì)點(diǎn)絕對(duì)角位移角位移求求1、2點(diǎn)的點(diǎn)的相對(duì)線位移相對(duì)線位移廣義力與廣義位移對(duì)應(yīng)關(guān)系：廣義力與廣義位移對(duì)應(yīng)關(guān)系：11121PF1 M1P F1P F第三節(jié)第三節(jié) 位移計(jì)算公式位移計(jì)算公式 求求1、2兩截面的兩截面的相對(duì)角位移相對(duì)角位移求求12桿件的桿件的轉(zhuǎn)角位移轉(zhuǎn)角位移廣義力與廣義位移對(duì)應(yīng)關(guān)系：廣義力與廣義位移對(duì)應(yīng)關(guān)系：12aF/ 1P 12aaF/ 1P 1 M1 M第三節(jié)第三節(jié) 位移計(jì)算公式位移計(jì)算公式 線彈性、小變形假設(shè)下，荷載作用引起的位移：線彈性、小變形假設(shè)下，荷載作用引起的位移： dddSNFFMk真實(shí)變形真實(shí)變

22、形虛擬內(nèi)力虛擬內(nèi)力2 2、荷載作用下的位移計(jì)算公式、荷載作用下的位移計(jì)算公式第三節(jié)第三節(jié) 位移計(jì)算公式位移計(jì)算公式 sGAFFksEAFFsEIMMkdddSPSNPNPP例題例題：求結(jié)構(gòu)求結(jié)構(gòu)A A點(diǎn)豎向位移點(diǎn)豎向位移ABCqxxABC1221qxMP0N PFqxFPSxM0N F1SF221qlMPAB段內(nèi)力函數(shù)段內(nèi)力函數(shù)BC段內(nèi)力函數(shù)段內(nèi)力函數(shù)lMxx1N FqlFP N0SPF0SF第三節(jié)第三節(jié) 位移計(jì)算公式位移計(jì)算公式 llAVEIxqllEIxqxx02210221dd)()( llGAxqxkEAxql00d1d1)()()(2245458185GAlEIkAlIEIql 設(shè)桿

23、件截面形狀為矩形：設(shè)桿件截面形狀為矩形：bhA 3121bhI 56 k則：則：101 lh土木工程中桿件一般：土木工程中桿件一般：EG40. 150175011854EIqlAV可見(jiàn)對(duì)以彎曲為主的細(xì)長(zhǎng)桿可見(jiàn)對(duì)以彎曲為主的細(xì)長(zhǎng)桿結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算可忽略軸向結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算可忽略軸向變形和剪切變形的影響變形和剪切變形的影響第三節(jié)第三節(jié) 位移計(jì)算公式位移計(jì)算公式 各類結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算公式各類結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算公式1、梁和剛架：、梁和剛架： EIsMMidPP2、桁、桁 架：架： EAlFFEAsFFiNPNNPNPd3、組合結(jié)構(gòu)：、組合結(jié)構(gòu)： sEAFFsEIMMkddNPNPP4、拱結(jié)構(gòu)：、拱結(jié)構(gòu)：拱內(nèi)彎矩

24、較小時(shí)：拱內(nèi)彎矩較小時(shí)：拱內(nèi)彎矩較大時(shí)：拱內(nèi)彎矩較大時(shí)： sEIMMkdPP荷載引起的位移與桿件的絕對(duì)剛度值有關(guān) sEAFFsEIMMkddNPNPP第三節(jié)第三節(jié) 位移計(jì)算公式位移計(jì)算公式 例6-1圖示剛架，已知各桿的彈性模量E和截面慣性矩I 均為常數(shù)，試求B點(diǎn)的豎向位移BV，水平位移BH,和位移B。qaaACBxEI=常數(shù)解解: ( (1) ) 作出荷載作用下作出荷載作用下的彎矩圖，寫出各桿的彎矩方程。的彎矩圖，寫出各桿的彎矩方程。橫梁橫梁BC 2P21)(qxxM)0(ax 豎柱豎柱CA2P21)(qaxMACBql2MP0.5)0(ax (2)求B 點(diǎn)的豎向位移BVACaBMa1寫出各桿

25、單位力作用下的寫出各桿單位力作用下的彎矩方程彎矩方程式，式，畫出彎矩圖畫出彎矩圖橫梁BC 豎柱CAxxM)(axM)(aoBxEIMMdPVEIxqaaEIxqxxaoaod21d2122)(85212141434EIqaxaxEIqao)0(ax )0(ax (3)求求B點(diǎn)的水平位移點(diǎn)的水平位移BH 在在B點(diǎn)加單位水平力。畫出點(diǎn)加單位水平力。畫出彎矩圖并寫出各桿的彎矩方程彎矩圖并寫出各桿的彎矩方程 BCM=a xxAaa-x1橫梁BC0)(xM豎柱CAxxM)(aBxEIMM0PHdEIxqaxad21)(02)(414EIqa注意：負(fù)號(hào)表示位移的方向與假設(shè)的單位力的方向相反。 )0(ax

26、)0(ax （4）求B點(diǎn)的線位移B2U2VBBBEIqa4829 在桿件數(shù)量多或荷載較復(fù)雜的情況下，不方在桿件數(shù)量多或荷載較復(fù)雜的情況下，不方便。下面尋求一種簡(jiǎn)單的計(jì)算位移的法。便。下面尋求一種簡(jiǎn)單的計(jì)算位移的法。 sEIMMidPP受彎為主的構(gòu)件位移計(jì)算常遇到積分公式：受彎為主的構(gòu)件位移計(jì)算常遇到積分公式：利用圖形的靜矩原理將利用圖形的靜矩原理將圖形積分圖形積分變?yōu)樽優(yōu)閳D形相乘圖形相乘稱莫爾積分第四節(jié)第四節(jié) 圖乘法及其應(yīng)用圖乘法及其應(yīng)用 sEIMMdP sMMEId1P xxMEIdtanP ccAyEIxAEI1tan xMMEId1P對(duì)于直桿對(duì)于直桿xsdd tanxM 對(duì)直線彎矩圖對(duì)直

27、線彎矩圖 EIAyciP對(duì)于等剛度桿對(duì)于等剛度桿constEI AxEIdtan xcxycxyCABMPM第四節(jié)第四節(jié) 圖乘法及其應(yīng)用圖乘法及其應(yīng)用 方法使用條件方法使用條件注意事項(xiàng)1 1、等剛直桿、等剛直桿2 2、至少有一直線圖、至少有一直線圖 和和 yc為代數(shù)量，若它們?cè)跅U軸線同側(cè)，則乘積為正；為代數(shù)量，若它們?cè)跅U軸線同側(cè)，則乘積為正；反之為負(fù)；反之為負(fù)； 拱、曲桿結(jié)構(gòu)和連續(xù)變截面的結(jié)構(gòu)只能通過(guò)積分的拱、曲桿結(jié)構(gòu)和連續(xù)變截面的結(jié)構(gòu)只能通過(guò)積分的方式求解；方式求解； 應(yīng)用圖乘法首先熟練掌握常用圖形面積及形心位置。應(yīng)用圖乘法首先熟練掌握常用圖形面積及形心位置。這也是圖乘法的亮點(diǎn)這也是圖乘法的

28、亮點(diǎn)3 3、yc 應(yīng)取自直線圖中應(yīng)取自直線圖中第四節(jié)第四節(jié) 圖乘法及其應(yīng)用圖乘法及其應(yīng)用 EIAyciP常見(jiàn)圖形面積和形心常見(jiàn)圖形面積和形心矩矩 形形al lxc21三角形三角形al21 lxc31 拋物形拋物形al31 lxc41 al32 lxc83 al32 lxc21lalalaal第四節(jié)第四節(jié) 圖乘法及其應(yīng)用圖乘法及其應(yīng)用al當(dāng)圖形的面積或形心位置不便確定時(shí)，可把它們分解為當(dāng)圖形的面積或形心位置不便確定時(shí)，可把它們分解為幾個(gè)簡(jiǎn)單圖形的疊加（分解方法不唯一）幾個(gè)簡(jiǎn)單圖形的疊加（分解方法不唯一）lablab1y2y1y2ycdy31321 cdy32312 cdy31321 cdy323

29、12 al211 bl212 dc2 1 1 2 dc i，yi是是代數(shù)量代數(shù)量第四節(jié)第四節(jié) 圖乘法及其應(yīng)用圖乘法及其應(yīng)用第四節(jié)第四節(jié) 圖乘法圖乘法例題例題. .已知已知 EI 為常數(shù)，求為常數(shù)，求B點(diǎn)的轉(zhuǎn)角位移點(diǎn)的轉(zhuǎn)角位移l/2ABl/2EIFP1MAB4 /lFP1432212211PlFlEIB ( EIlFlFl16431212212PP )421212PlFlEIlFlFlEIB162142112PP )( MP圖圖M圖圖第四節(jié)第四節(jié) 圖乘法圖乘法ql2/2EIqlllqlEIB843231142 例題：例題：求梁求梁B 點(diǎn)豎向位移。點(diǎn)豎向位移。3l/4解題步驟：解題步驟： 虛擬力狀

30、態(tài)；虛擬力狀態(tài)； 分別作荷載彎矩圖和單位彎矩圖；分別作荷載彎矩圖和單位彎矩圖； 計(jì)算位移。計(jì)算位移。 lqABMP圖圖P=1lM圖圖qllEIB1EIqllqllllqlEIBV241128323223211422ql2/83ql2/2MPlM求求B點(diǎn)豎向位移。點(diǎn)豎向位移。第四節(jié)第四節(jié) 圖乘法圖乘法PPaaa例題例題：求圖示梁中點(diǎn)的撓度。求圖示梁中點(diǎn)的撓度。PaPaP=1EIPaPaaaaPaEIaa24232222232213432a/2a/2PaaaEI343211？?jī)蓚€(gè)圖形均非直線性MP圖圖M圖圖43 a例題：例題：求圖示梁求圖示梁C點(diǎn)的撓度。點(diǎn)的撓度。l/2l/6l6EIPl123Pl

31、EIC212EIPl4853Pl65llEIyC222105Pl/6？豎標(biāo)不是取在直線圖形中Pl/2l/2CPlMP圖圖CP=1M圖圖第四節(jié)第四節(jié) 圖乘法圖乘法 對(duì)折線段要分對(duì)折線段要分成直線段做成直線段做。)(3322111yyyEI 1y2y3yl1y2y3y 對(duì)剛度不同的對(duì)剛度不同的區(qū)段要分段做區(qū)段要分段做1 2 3 l1 2 3 333222111EIyEIyEIy第四節(jié)第四節(jié) 圖乘法圖乘法 取取 yc的圖形必須是直線，不能是曲線或折線。的圖形必須是直線，不能是曲線或折線。 不同的圖乘方式，其難易程度不同。不同的圖乘方式，其難易程度不同。 當(dāng)兩個(gè)圖形均為直線圖形時(shí)，取那個(gè)圖形的面當(dāng)兩個(gè)

32、圖形均為直線圖形時(shí)，取那個(gè)圖形的面積均可。積均可。第四節(jié)第四節(jié) 圖乘法圖乘法練習(xí)練習(xí).已知已知 EI 為常數(shù)，求中點(diǎn)為常數(shù)，求中點(diǎn)C點(diǎn)的豎向位移點(diǎn)的豎向位移l/2ABEICql/2第四節(jié)第四節(jié) 圖乘法圖乘法練習(xí)練習(xí). 已知已知 EI 為常數(shù)，求距右支座為常數(shù)，求距右支座l/3處處C點(diǎn)的豎向位移。點(diǎn)的豎向位移。2l/3ABEICql/39/2qlMP圖圖9/2lM圖圖第四節(jié)第四節(jié) 圖乘法圖乘法求求C截面豎向位移截面豎向位移 C 9232913221922132813232122lqllllqlEIB ( )923291321922138133222lqllllql )( 972114EIql9/

33、2qlMP圖圖9/2lM圖圖1. 1. 圖乘法的應(yīng)用條件：圖乘法的應(yīng)用條件：（1 1）等剛度直桿；）等剛度直桿；（2 2）兩個(gè)內(nèi)力圖中應(yīng)有一個(gè)是直線）兩個(gè)內(nèi)力圖中應(yīng)有一個(gè)是直線；（3 3）yc 應(yīng)取自直線圖中。應(yīng)取自直線圖中。2. 2. 若若 與與yc 在桿件的同側(cè)，在桿件的同側(cè)， yc 取正值；反之，取正值；反之，取負(fù)值。取負(fù)值。3. 3. 如圖形較復(fù)雜，可分解為簡(jiǎn)單圖形如圖形較復(fù)雜，可分解為簡(jiǎn)單圖形. .圖乘法小結(jié)圖乘法小結(jié)練習(xí)練習(xí). 已知已知 EI 為常數(shù)，求為常數(shù)，求A、B兩點(diǎn)的相對(duì)位移兩點(diǎn)的相對(duì)位移 ABlhABCDq求求AB兩點(diǎn)的相對(duì)水平位移。兩點(diǎn)的相對(duì)水平位移。36189MPP=

34、1P=163MEI-7563322318EI6436363112639632EI618336318263626616kN2kN/m2kN/m6m3m3mABEI=常數(shù)常數(shù)9999999練習(xí)練習(xí). 已知已知 EI 為常數(shù)為常數(shù),求求C鉸兩側(cè)相對(duì)轉(zhuǎn)角位移鉸兩側(cè)相對(duì)轉(zhuǎn)角位移 qlllABDC第四節(jié)第四節(jié) 圖乘法圖乘法練習(xí)練習(xí). 已知已知 EA 為常數(shù)為常數(shù),求求D點(diǎn)水平位移點(diǎn)水平位移 D以及以及EC桿的轉(zhuǎn)角位桿的轉(zhuǎn)角位移移 ECABCDEFFP2aa只需求出都為非零桿內(nèi)力第四節(jié)第四節(jié) 圖乘法圖乘法練習(xí)練習(xí). . 已知已知 EI 為常數(shù)，試問(wèn)當(dāng)為常數(shù)，試問(wèn)當(dāng)FP為何值時(shí)，為何值時(shí)，B點(diǎn)豎向位點(diǎn)豎向位移

35、移 B0.ABlqFP彈性支座處理：彈性支座處理：方法方法1. 將彈簧看成是結(jié)將彈簧看成是結(jié)構(gòu)中的一個(gè)可變形的構(gòu)件構(gòu)中的一個(gè)可變形的構(gòu)件（拉壓桿）（拉壓桿）方法方法2. 將彈簧支座的變將彈簧支座的變形看成是主體結(jié)構(gòu)的支形看成是主體結(jié)構(gòu)的支座位移。座位移。kFFdFcNNN )(kFFcFcRRiRikFPlaABCEI第四節(jié)第四節(jié) 圖乘法圖乘法第五節(jié)第五節(jié) 非荷載因素作用下位移計(jì)算非荷載因素作用下位移計(jì)算1 1、溫度的改變雖不產(chǎn)生內(nèi)力，但產(chǎn)生位移、溫度的改變雖不產(chǎn)生內(nèi)力，但產(chǎn)生位移1t2t溫度改變引起的微段變形溫度改變引起的微段變形中性軸中性軸hxdxt d2 xt d1 xttd212 st

36、sd d d0 shtshttsdddd12 )(當(dāng)溫度變形與虛內(nèi)力變形當(dāng)溫度變形與虛內(nèi)力變形方向一致時(shí)，乘積為正方向一致時(shí)，乘積為正溫度改變不產(chǎn)生剪切變形溫度改變不產(chǎn)生剪切變形0d stFshtMkdd0Nt N0 FMAtAht 1t2tABC單位彎矩單位彎矩圖面積圖面積單位軸力單位軸力圖面積圖面積第五節(jié)第五節(jié) 非荷載因素作用下位移計(jì)算非荷載因素作用下位移計(jì)算 由溫度變化引起的位移與剛度系數(shù)無(wú)關(guān)，由溫度變化引起的位移與剛度系數(shù)無(wú)關(guān)，所以不能通過(guò)增加剛度的方法控制位移。所以不能通過(guò)增加剛度的方法控制位移。 溫度改變引起的軸向變形已不能忽略。溫度改變引起的軸向變形已不能忽略。注：注：第五節(jié)第五

37、節(jié) 非荷載因素作用下位移計(jì)算非荷載因素作用下位移計(jì)算2 2下料誤差處理下料誤差處理將桿件加長(zhǎng)看成桿件變形。將桿件加長(zhǎng)看成桿件變形。只須求出下料有誤的桿只須求出下料有誤的桿件內(nèi)力件內(nèi)力020212C.)( C例題例題. . 桁架上弦桿每桿按設(shè)計(jì)長(zhǎng)出桁架上弦桿每桿按設(shè)計(jì)長(zhǎng)出0.02米，求由此引起的米，求由此引起的C點(diǎn)豎向位移點(diǎn)豎向位移 C ？ABCDEF2 6 m6 m lFkNCm 020. 第五節(jié)第五節(jié) 非荷載因素作用下位移計(jì)算非荷載因素作用下位移計(jì)算3 3支座移動(dòng)引起的位移支座移動(dòng)引起的位移利用剛體虛功原理利用剛體虛功原理例題例題. . 由于由于固端固端支座發(fā)生偏轉(zhuǎn)，求引起支座發(fā)生偏轉(zhuǎn)，求引

38、起k 點(diǎn)的豎向位移。點(diǎn)的豎向位移。iikcF Rk1M = lk kl/2ll/2iikcF R)( l第五節(jié)第五節(jié) 非荷載因素作用下位移計(jì)算非荷載因素作用下位移計(jì)算第五節(jié)第五節(jié) 其它因素產(chǎn)生的位移其它因素產(chǎn)生的位移 例題：例題：求圖示結(jié)構(gòu)由于支座移動(dòng)產(chǎn)生的位移。求圖示結(jié)構(gòu)由于支座移動(dòng)產(chǎn)生的位移。abl/2l/2h1 10AY1BhX0BY1AhX弧度hacR解：虛擬單位荷載，由平衡條件，求支座反力。解：虛擬單位荷載，由平衡條件，求支座反力。代入公式求位移。代入公式求位移。第五節(jié)第五節(jié) 其它因素產(chǎn)生的位移其它因素產(chǎn)生的位移 例題：例題：求圖示剛架求圖示剛架C C點(diǎn)的豎向位移。各桿截面為矩形。點(diǎn)

39、的豎向位移。各桿截面為矩形。aa01010CP1P11a10010520100tt）（ aahthtNMc523102haa315FN圖圖M圖圖材料滿足線彈性，小變形的假設(shè)材料滿足線彈性，小變形的假設(shè)ABFPq 2ABMq 1考察同一結(jié)構(gòu)的兩種受力和變形狀態(tài)?？疾焱唤Y(jié)構(gòu)的兩種受力和變形狀態(tài)。兩種狀態(tài)均滿足受力平衡和變形協(xié)調(diào)。兩種狀態(tài)均滿足受力平衡和變形協(xié)調(diào)。第六節(jié)第六節(jié) 線彈性體系的互等定理線彈性體系的互等定理 sEAFFGAFFkEIMMWil)d(NNQQ210212112 sEAFFGAFFkEIMMWil)d(NNQQ120121221 2112WW 功的互等定理功的互等定理：處于平

40、衡且滿足協(xié)調(diào)的兩處于平衡且滿足協(xié)調(diào)的兩個(gè)狀態(tài)個(gè)狀態(tài)1 1、2 2，狀態(tài)，狀態(tài)1 1 的外力在狀態(tài)的外力在狀態(tài)2 2 的位移的位移上所作的總虛功等于狀態(tài)上所作的總虛功等于狀態(tài)2 2 的外力在狀態(tài)的外力在狀態(tài)1 1 的位移上所作的總虛功。的位移上所作的總虛功。第六節(jié)第六節(jié) 線彈性體系的互等定理線彈性體系的互等定理 12212121212112WFFWPP 211P21P21212 FFABFP2 2ABFP1 1第六節(jié)第六節(jié) 線彈性體系的互等定理線彈性體系的互等定理 2112 位移互等定理位移互等定理：同一結(jié)構(gòu)，在位置同一結(jié)構(gòu)，在位置1 1 作用作用單位力引起位置單位力引起位置2 2 處的位移，等于在位置處的位移，等于在位置2 2 作用單位力引起位置作用單位力引起位置1 1 處的位移。處的位移。 ij 是廣義位移與產(chǎn)生該位移的力的比值，它乘是廣義位移與產(chǎn)生該位移的力的比值，它乘以力后得位移，故應(yīng)稱以力后得位移，故應(yīng)稱位移影響系數(shù)位移影響系數(shù)（或稱或稱柔度系數(shù)）柔度系數(shù)），注意它不具有位移的量綱。，注意它不具有位移的量綱。 ij ji 表示不