二次函數(shù)解題技巧分析(詳細(xì)解答)

1、第二講 二次函數(shù)綜合問(wèn)題二次函數(shù)是中學(xué)代數(shù)的基本內(nèi)容之一，它既簡(jiǎn)單又具有豐富的內(nèi)涵和外延. 作為最基本的初等函數(shù)，可以以它為素材來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、最值等性質(zhì)，還可建立起函數(shù)、方程、不等式之間的有機(jī)聯(lián)系；作為拋物線，可以聯(lián)系其它平面曲線討論相互之間關(guān)系. 這些縱橫聯(lián)系，使得圍繞二次函數(shù)可以編制出層出不窮、靈活多變的數(shù)學(xué)問(wèn)題.同時(shí)，有關(guān)二次函數(shù)的內(nèi)容又與近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展緊密聯(lián)系，是學(xué)生進(jìn)入高校繼續(xù)深造的重要知識(shí)基礎(chǔ). 因此，從這個(gè)意義上說(shuō)，有關(guān)二次函數(shù)的問(wèn)題在高考中頻繁出現(xiàn)，也就不足為奇了. 學(xué)習(xí)二次函數(shù)，可以從兩個(gè)方面入手：一是解析式，二是圖像特征. 從解析式出發(fā)，可以進(jìn)行純粹的代數(shù)推

2、理，這種代數(shù)推理、論證的能力反映出一個(gè)人的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)；從圖像特征出發(fā)，可以實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的自然結(jié)合，這正是中學(xué)數(shù)學(xué)中一種非常重要的思想方法. 本文將從這兩個(gè)方面研究涉及二次函數(shù)的一些綜合問(wèn)題. 1. 代數(shù)推理由于二次函數(shù)的解析式簡(jiǎn)捷明了，易于變形（一般式、頂點(diǎn)式、零點(diǎn)式等），所以，在解決二次函數(shù)的問(wèn)題時(shí)，常常借助其解析式，通過(guò)純代數(shù)推理，進(jìn)而導(dǎo)出二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì). 1.1 二次函數(shù)的一般式中有三個(gè)參數(shù). 解題的關(guān)鍵在于：通過(guò)三個(gè)獨(dú)立條件“確定”這三個(gè)參數(shù). 例1已知，滿足1且，求的取值范圍.分析：本題中，所給條件并不足以確定參數(shù)的值，但應(yīng)該注意到：所要求的結(jié)論不是的確定值，而是與條件相對(duì)應(yīng)的“

3、取值范圍”，因此，我們可以把1和當(dāng)成兩個(gè)獨(dú)立條件，先用和來(lái)表示. 解：由，可解得： （*）將以上二式代入，并整理得, .又，, .例2 設(shè)，若，, 試證明：對(duì)于任意，有.分析：同上題，可以用來(lái)表示.解： , , . 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，綜上，問(wèn)題獲證. 1.2 利用函數(shù)與方程根的關(guān)系，寫(xiě)出二次函數(shù)的零點(diǎn)式例設(shè)二次函數(shù)，方程的兩個(gè)根滿足. 當(dāng)時(shí)，證明.分析：在已知方程兩根的情況下，根據(jù)函數(shù)與方程根的關(guān)系，可以寫(xiě)出函數(shù)的表達(dá)式，從而得到函數(shù)的表達(dá)式. 證明：由題意可知., , 當(dāng)時(shí)，.又, ,綜上可知，所給問(wèn)題獲證. 例4已知關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(1

4、，0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1，2)內(nèi)，求m的范圍(2)若方程兩根均在區(qū)間(0，1)內(nèi)，求m的范圍 命題意圖 本題重點(diǎn)考查方程的根的分布問(wèn)題知識(shí)依托 解答本題的閃光點(diǎn)是熟知方程的根對(duì)于二次函數(shù)性質(zhì)所具有的意義錯(cuò)解分析用二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)方程的根進(jìn)行限制時(shí)，條件不嚴(yán)謹(jǐn)是解答本題的難點(diǎn)技巧與方法 設(shè)出二次方程對(duì)應(yīng)的函數(shù)，可畫(huà)出相應(yīng)的示意圖，然后用函數(shù)性質(zhì)加以限制解 (1)條件說(shuō)明拋物線f(x)=x2+2mx+2m+1與x軸的交點(diǎn)分別在區(qū)間(1，0)和(1，2)內(nèi)，畫(huà)出示意圖，得 (2)據(jù)拋物線與x軸交點(diǎn)落在區(qū)間(0，1)內(nèi)，列不等式組1.3 緊扣二次函數(shù)的頂點(diǎn)式對(duì)稱軸、最值、判別式顯合力例5 已知函數(shù)。

5、（1）將的圖象向右平移兩個(gè)單位，得到函數(shù)，求函數(shù)的解析式；（2）函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，求函數(shù)的解析式；（3）設(shè)，已知的最小值是且，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：(1)(2)設(shè)的圖像上一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，由點(diǎn)Q在的圖像上，所以 ，于是 即 （3）.設(shè)，則.問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：對(duì)恒成立. 即 對(duì)恒成立. （*）故必有.（否則，若，則關(guān)于的二次函數(shù)開(kāi)口向下，當(dāng)充分大時(shí)，必有；而當(dāng)時(shí)，顯然不能保證（*）成立.），此時(shí)，由于二次函數(shù)的對(duì)稱軸，所以，問(wèn)題等價(jià)于，即，解之得：.此時(shí)，故在取得最小值滿足條件.2. 數(shù)形結(jié)合二次函數(shù)的圖像為拋物線，具有許多優(yōu)美的性質(zhì)，如對(duì)稱性、單調(diào)性、凹凸性等. 結(jié)合這些圖像特征解

6、決有關(guān)二次函數(shù)的問(wèn)題，可以化難為易.，形象直觀.2.1 二次函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱， 特別關(guān)系也反映了二次函數(shù)的一種對(duì)稱性. 例6 設(shè)二次函數(shù)，方程的兩個(gè)根滿足. 且函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，證明：.解：由題意 .由方程的兩個(gè)根滿足, 可得且, ，即 ，故 .2.2 二次函數(shù)的圖像具有連續(xù)性，且由于二次方程至多有兩個(gè)實(shí)數(shù)根. 所以存在實(shí)數(shù)使得且在區(qū)間上，必存在的唯一的實(shí)數(shù)根. 例7 已知二次函數(shù)，設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為和. （1）如果，設(shè)函數(shù)的對(duì)稱軸為，求證：；（2）如果，求的取值范圍.分析：條件實(shí)際上給出了的兩個(gè)實(shí)數(shù)根所在的區(qū)間，因此可以考慮利用上述圖像特征去等價(jià)轉(zhuǎn)化. 解：設(shè)，則的二根為和.（

7、1）由及，可得 ，即，即 兩式相加得，所以，;（2）由, 可得 .又，所以同號(hào). ，等價(jià)于或,即 或解之得 或.2.3 因?yàn)槎魏瘮?shù)在區(qū)間和區(qū)間上分別單調(diào)，所以函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值、最小值必在區(qū)間端點(diǎn)或頂點(diǎn)處取得；函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值必在區(qū)間端點(diǎn)或頂點(diǎn)處取得. 例8 已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有，求證：當(dāng)時(shí)，有.分析：研究的性質(zhì)，最好能夠得出其解析式，從這個(gè)意義上說(shuō)，應(yīng)該盡量用已知條件來(lái)表達(dá)參數(shù). 確定三個(gè)參數(shù)，只需三個(gè)獨(dú)立條件，本題可以考慮，這樣做的好處有兩個(gè)：一是的表達(dá)較為簡(jiǎn)潔，二是由于正好是所給條件的區(qū)間端點(diǎn)和中點(diǎn)，這樣做能夠較好地利用條件來(lái)達(dá)到控制二次函數(shù)范圍的目的. 要考慮在區(qū)間上函數(shù)

8、值的取值范圍，只需考慮其最大值，也即考慮在區(qū)間端點(diǎn)和頂點(diǎn)處的函數(shù)值.解：由題意知：， ， .由時(shí)，有，可得 . ,.（1）若，則在上單調(diào)，故當(dāng)時(shí)， 此時(shí)問(wèn)題獲證. （2）若，則當(dāng)時(shí)，又， 此時(shí)問(wèn)題獲證. 綜上可知：當(dāng)時(shí)，有. 鞏固練習(xí) 1 若不等式(a2)x2+2(a2)x4<0對(duì)一切xR恒成立，則a的取值范圍是( )A(,2B2,2C(2,2D(,2)2 設(shè)二次函數(shù)f(x)=x2x+a(a>0),若f(m)<0,則f(m1)的值為( )A正數(shù)B負(fù)數(shù)C非負(fù)數(shù)D正數(shù)、負(fù)數(shù)和零都有可能3 已知二次函數(shù)f(x)=4x22(p2)x2p2p+1,若在區(qū)間1，1內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)c,使f(c)>0,則實(shí)數(shù)p的取值范圍是_4 二次函數(shù)f(x)的二次項(xiàng)系數(shù)為正，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒有f(2+x)=f(2x),若f(12x2)<f(1+2xx2),則x的取值范圍是_參考答案1 解析 當(dāng)a2=0即a=2時(shí),不等式為40,恒成立a=2,當(dāng)a20時(shí)，則a滿足,解得2a2,所以a的范圍是2a2答案 C2解析f(x)=x2x+a的對(duì)稱軸為x=,且f(1)>0,則f(0)>0,而f(m)0,m(0,1),m10,f(m1)>0答案A3 解析 只需f(