2020年初升高自主招生數(shù)學(xué)模擬試題(含解析)

1、2019年初升高自主招生數(shù)學(xué)模擬試題、填空題（共10小題，每小題5分）.1.求值 cos30 Sin45 tan602.3設(shè)實(shí)數(shù)a, b滿足a b 1 ,則ab33ab的值為3.1反比例函數(shù)y -與二次函數(shù)yX4x 3的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為6.若實(shí)數(shù)a為常數(shù)，關(guān)于X的不等式組對任意三個(gè)實(shí)數(shù) a,b,c ,用M a, b, C2a2a的整數(shù)解只有7表示這三個(gè)數(shù)的平均數(shù)，用個(gè)數(shù)中最小的數(shù)，若M 2x y 2, X 2y, 2x y min 2x y在等腰梯形 ABCD 中，AB CD 13, AD 6 , BC 16, CE8個(gè)，則a的取值范圍min2, xAB ,a, b, C表示這三2y, 2x

2、y ,則則 BCE的內(nèi)切1圓半徑為7.已知2m 11 m 3 I m 8 ,則m的取值范圍為.&已知X, y為實(shí)數(shù)，則5X2 4y2 8xy 2x 4的最小值為9.已知正整數(shù)X, y滿足 2xy X V 127,則 X y.10 .在 ABC 中，B 2 C , AD為 A的平分線，若JAB-BD 2 ,則BD ABtan C二、解答題（共5小題，每小題10分）.11.已知關(guān)于X的一兀2 2一次方程X kx 5 0與X 5x k 0只有一個(gè)公共的實(shí)根，求關(guān)于X的方程X2 kxIk所有的實(shí)根之和.12三角形的一邊和該邊上的高相等的三角形稱為“優(yōu)美三角形”.如圖，在3 3的網(wǎng)格中找一個(gè)格點(diǎn)

3、 C ,使得 ABC是優(yōu)美三角形.符合條件的C點(diǎn) 共有幾個(gè)？已知拋物線y ax2經(jīng)過A 1,1 , P是y軸正半軸上一動點(diǎn)（不與原點(diǎn)重合），射線AP 與拋物線另一交點(diǎn)為 B 問 AQP和厶PQB是否一定是“優(yōu)美三角形”，若是，請 說明理由；若不是，求出 P點(diǎn)的位置，使得兩個(gè)三角形均為“完美三角形”.B圖13.平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有四個(gè)定點(diǎn)A x1, yB X2,y2、C X3,y3、D X4,y4 ,其中xX2XaX48, y y2 y y12 .試確定點(diǎn)P的坐標(biāo)，使得P 到 A, B,C, D 四個(gè)點(diǎn)的距離的平方和最小.14.若一個(gè)正整數(shù)n能寫成另外兩個(gè)整數(shù)的平方和，則稱這樣的數(shù)n為“好數(shù)”，若

4、一個(gè)實(shí)數(shù)X能寫成兩個(gè)好數(shù)的商，則稱這樣的數(shù)X為“壞數(shù)” 例如5 12 22， 9 O2 32，2 12 I2 ,則2,5,9是好數(shù)，從而均為“壞數(shù)”.2 5 9 5 9 2求證：任何兩個(gè)好數(shù)的積還是好數(shù)；任何一個(gè)壞數(shù)可以寫成兩個(gè)有理數(shù)的平方和.15如圖，數(shù)軸上從左到右依次有A,B,C, D四個(gè)點(diǎn)，它們對應(yīng)的實(shí)數(shù)分別為a,b,c,d ,如果存在實(shí)數(shù) ，滿足：對線段 AB或CD上的任意點(diǎn)M ,其對應(yīng)的數(shù)為X ,若實(shí)數(shù)一對X應(yīng)的點(diǎn)N仍然在線段 AB或CD上，則稱a,b,c,d,為“完美數(shù)組”，例如：1,2,3,6,6就是一組“完美數(shù)組”，已知AB 1 , BC 5, CD 4 ,求此時(shí)所有的“完美數(shù)

5、組” A BCD5答案與解析、填空題（共10小題，每小題5分）.1 .求值 cos30 sin45tan60解答：cos30 Sin 45tan603242.設(shè)實(shí)數(shù)a, b滿足a則a33b 3ab的值為答案：1.解答：a3 b33ababb23aba2abb23ab3反比例函數(shù)1與二次函數(shù)X4x3的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為答案：3.解答：如右圖.4 .若實(shí)數(shù)a為常數(shù)，關(guān)于X的不等式組2a2a的整數(shù)解只有8個(gè)，則a的取值范圍7答案：a 1解答：由已知得這8個(gè)整數(shù)解應(yīng)恰為 6,5,4,3, 2, 1,0,1 ,則 1 2a由1 2aa2得 a2 2a 10 ,即210 ,貝y a 1 .a-7-6-5-4

6、-3-25 .對任意三個(gè)實(shí)數(shù) a,b, C ,用M a, b, c表示這三個(gè)數(shù)的平均數(shù)，用mina, b, C表示這三2y, 2x y ,則個(gè)數(shù)中最小的數(shù)，若M 2x y 2, X 2y, 2x y min 2x y 2, x答案：4 解答：由已知得2x y 2 , X 2y , 2x y的平均數(shù)等于三者中的最小數(shù)，貝UX3十口2x y 2 x 2y 2x y ,解得 y I ,于是 X y 4 .6在等腰梯形 ABCD 中，AB CD 13 , AD 6 , BC 16, CE AB ,則 BCE 的內(nèi)切圓半徑為答案:32132從而得CoS5Sin121313則BEBCCOS80CE BC

7、Sin192,進(jìn)而得r13，13解答：作DH BC于H ,由已知記 DCH EBC ,且易得 CH - BC AD 5 ,則 DH . CDCH 212 ,BE CE BC 322137.已知2m 11 m 3 m 8 ,則m的取值范圍為答案：m3或m 8 .解答：記y2m 11m3m 8,則m3時(shí)，y112m3m8m 0 ；3m 5.5 時(shí)，y112mm38 m6 2m0 ；5.5m 8時(shí)，y2m11m38 m2m 160m8時(shí)，y2m11m3m8 0 .綜上，當(dāng)m 3或m 8時(shí)恒有yO ,即原等式成立.2x 4的最小值為2 2&已知X, y為實(shí)數(shù)，則5x 4y 8xy答案：3.1時(shí)

8、原式取最小值3 . , 2 2解答：原式 4x y X 13 ,則當(dāng)X y9 .已知正整數(shù)x, y滿足2xy Xy 127,則 X y解答：由已知得4xy 2x 2y 1255 ,即 2x 1 2y 1255 ,不妨設(shè)X y ,則答案：15或27或432x 1 3 亠 2x 1 或2y 1 852y 151 或 2y11517，X 1 十 X 2或或y 42 y 25進(jìn)而得15 或 27 或 43 10 在 ABC 中，B 2 C , AD 為AB BDA的平分線，若2 ,則BD ABtan C 二、解答題（共11.已知關(guān)于X5小題，每小題 的一元二次方程10 分）.X2 kX 5 0 與 X

9、25x于X的方程X2 kx k所有的實(shí)根之和.X0只有一個(gè)公共的實(shí)根，求關(guān)答案：1解答：不妨設(shè)BD 1 ,且設(shè)ABX，則 X -X2 延長CB至E ,使得EBAB X ,連接AE ,則1EEAB ABCC 2由于AD平分 BAC ,則ADEC1 2EABEAD ,故 AE DE X 1又因?yàn)?CE ,則ACAE 1 X 由角平分線的性質(zhì)得 ACCDABX ,則BD1 XCD -X1由 X 2 得 CD BDAB BE ,則CAE 90,進(jìn)而得 C 45 ,故tan C 1X所有根之和為 12 7答案：12 解答：設(shè)這兩個(gè)方程的公共根為m，顯然m O，則m2 5m ,故32m 4m 50，即 m

10、21 m 5m 50 m2 5m 50，貝U k5 ,從而兩個(gè)方程有兩個(gè)相同根,不符題意;m 1 ,得k 6 ,則考察的方程為X2 6x 6 ,即 X239 6 ,由對稱性知其12三角形的一邊和該邊上的高相等的三角形稱為優(yōu)美三角形如圖，在3 3的網(wǎng)格中找一個(gè)格點(diǎn) C ,使得 ABC是優(yōu)美三角形.符合條件的C點(diǎn) 共有幾個(gè)？已知拋物線y ax2經(jīng)過A 1,1 , P是y軸正半軸上一動點(diǎn)（不與原點(diǎn)重合），射線AP 與拋物線另一交點(diǎn)為 B 問 AOP和厶PoB是否一定是 優(yōu)美三角形”，若是，請說明 理由；若不是，求出 P點(diǎn)的位置，使得兩個(gè)三角形均為優(yōu)美三角形”.1f(LJ'4bB4圖11答案：

11、8個(gè)；不是，當(dāng)P為0,1或0, 2時(shí)滿足兩個(gè)三角形均為優(yōu)美三角形 解答：滿足條件的8個(gè)頂點(diǎn)如圖所示如圖.厶POB 一定是 優(yōu)美三角形”而 AOP不一定是，當(dāng)P為0,1或0,2時(shí)滿足兩個(gè) 三角形均為 優(yōu)美三角形”，理由如下：將A點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式得a 1 ,即二次函數(shù)解析式為 y x2.設(shè)直線AB的解析式為ykxb ,將A點(diǎn)坐標(biāo)代入得1k b ,即k b 1故直線AB的解析式為yb1 Xb ,其中 P 0,b .2聯(lián)立y X,得2Xb1 X b 0 ,解得 Xl1 , Xb .y b 1 x b于是B到y(tǒng)軸的距離與OP恒相等，即 POB恒為 優(yōu)美三角形”.設(shè)厶AOP三邊上的高分別為 AD,

12、OE, PF ,若 AOP是 優(yōu)美三角形”，則AD OP ,即bXAPF AO ,已知AO、2 ,且易知POA 45 ,則 PF OP cos45 b , 2于是得b 2 ,即2APOEAP21-AP22 11 ,即 S AOP -,此時(shí)AOPOE1AP2 ,而由A2211,1 , P 0,b 得又 s AOPOP -AD綜上得當(dāng)P為0,1或0,2時(shí)，AOP為優(yōu)美三角形13.平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有四個(gè)定點(diǎn)A x,y、B X2,y2、C x3, y3、D x4, y4 ,其中x×2X3X48 ,y1y2y3y412 .試確定點(diǎn)P的坐標(biāo)，使得P到A, B, C, D四個(gè)點(diǎn)的距離的平方和最小.

13、答案：2,3 .解答：設(shè)P x, y ,并記P到A, B,C, D四個(gè)點(diǎn)的距離的平方和為 S .2則 S X X12y y1X X22yy22XX32 2y y3X22X4y y4x 22XX2X3X4 X4yac bd ad be ,由ac bd, ad be均為整數(shù)知2y1y2y3y4 y22222222X1X2X3X4y1y2y3y4由 A, B, C,D是疋點(diǎn)知X1 X22X32X42y12 2y2 y3y2為常數(shù)，記為C,則S 4 X216x 4y224 y C2 2 _4x24 y 3 C 52故當(dāng)P為2,3時(shí)，S取最小值.14.若一個(gè)正整數(shù)n能寫成另外兩個(gè)整數(shù)的平方和，則稱這樣的

14、數(shù)n為好數(shù)”若一個(gè)實(shí)數(shù)2 2 2 2X能寫成兩個(gè)好數(shù)的商，則稱這樣的數(shù)X為壞數(shù)”例如5 12 , 9 03 ,2 12 12 ,則2,5,9是好數(shù)，從而-,2,5,9,2,-均為壞數(shù)”2 5 9 5 9 2求證：任何兩個(gè)好數(shù)的積還是好數(shù)；任何一個(gè)壞數(shù)可以寫成兩個(gè)有理數(shù)的平方和.證明：設(shè)M,N是兩個(gè)好數(shù)” M則 MN a2 b2 c2 d22 2 2 2MN亦為好數(shù)”2 2設(shè)A是壞數(shù)”則A可表示為A xr-12 ,其中Z W2 2 2 2XyZW22 2 ZZ W2XZ yw XW yzz2 w2 z2w2x, y, z, W均為整數(shù).2,即A是兩個(gè)有理數(shù)的平方和.a b , N C d ,其中

15、a,b, c, d均為整數(shù).15.如圖，數(shù)軸上從左到右依次有A,B,C, D四個(gè)點(diǎn)，它們對應(yīng)的實(shí)數(shù)分別為a,b, e,d ,如果存在實(shí)數(shù) ，滿足：對線段 AB或CD上的任意點(diǎn)M ,其對應(yīng)的數(shù)為X ,若實(shí)數(shù)對X應(yīng)的點(diǎn)N仍然在線段AB或CD上，則稱a,b,e,d,為 完美數(shù)組”例如：1,2,3,6,6就是一組 完美數(shù)組”已知IAB 1 , BC 5 , ICD 4 ,求此時(shí)所有的 完美數(shù)組答案： 2,3,8,12,24 或 4, 3,2,6,12 或 2, 1,4,8, 8 解答：由已知，不妨設(shè)A,B,C,D對應(yīng)的數(shù)依次為 a,a 1, a 6, a 10 由題意知O對應(yīng)的點(diǎn)既不在線段 AB ,也不在線段CD上，則當(dāng)存在實(shí)數(shù) 使得a0 ,按要求，此時(shí)必有0 ,則(i)aaa 10aa66a1a(ii)a10a6a6 a 10a6a10(iii)aa1且a6a 10a6a <a 10a a10且a1a,a 1,a 6, a 10,構(gòu)成 完美數(shù)組”時(shí)，可分情況討論如下:a a 10a 1a 10 a6a1a1 ,貝U a a1aa 1 ,矛盾a 1 aa10,矛盾.a 1 aa10 ,則a 6a1a6 ,得a 6 ,解得a2 ,進(jìn)而得 完美數(shù)組” 2,3,8,12, 24a 10且a 60 ,即(ii )0 ,則10)