《一元二次方程的實根分布問題》

1、一元二次方程的實根分布問題一元二次方程的實根分布問題問題問題 已知方程已知方程x x+(m+(m3)x+m=)x+m=0，求實數(shù)，求實數(shù)mm的的 取值范圍。取值范圍。條件條件1：若方程有兩個正根。：若方程有兩個正根。0)0(02304) 3(2mfmmm10 mOxy如右圖知如右圖知分析分析 設(shè)設(shè)f(x)=xf(x)=x+(m+(m3)x+m)x+m條件條件2：若方程的兩個根均小于：若方程的兩個根均小于1。022) 1 (12304) 3(2mfmmm9m如右圖知如右圖知分析分析 設(shè)設(shè)f(x)=xf(x)=x+(m+(m3)x+m)x+mOxy1問題問題 已知方程已知方程x x+(m+(m3)

2、x+m=)x+m=0，求實數(shù)，求實數(shù)mm的的 取值范圍。取值范圍。條件條件3：若方程的一個根大于：若方程的一個根大于1，一個根小于，一個根小于1。1m如右圖知如右圖知分析分析 設(shè)設(shè)f(x)=xf(x)=x+(m+(m3)x+m)x+mOxy1022) 1 (mf問題問題 已知方程已知方程x x+(m+(m3)x+m=)x+m=0，求實數(shù)，求實數(shù)mm的的 取值范圍。取值范圍。條件條件4：若方程的兩個根均在：若方程的兩個根均在( ( 0，2) )內(nèi)。內(nèi)。023)2(0)0(223004)3(2mfmfmmm132 m如右圖知如右圖知分析分析 設(shè)設(shè)f(x)=xf(x)=x+(m+(m3)x+m)x+

3、mOxy2問題問題 已知方程已知方程x x+(m+(m3)x+m=)x+m=0，求實數(shù)，求實數(shù)mm的的 取值范圍。取值范圍。條件條件5：若方程的兩個根有且僅有一個在：若方程的兩個根有且僅有一個在( ( 0，2) )內(nèi)。內(nèi)。132 m如右圖知如右圖知分析分析 設(shè)設(shè)f(x)=xf(x)=x+(m+(m3)x+m)x+mOxy232m0)23()2()0(mmff3 3、12300)0(mf且1 1、22310)2(mf且2 2、由于由于1 1，2 2，3 3知知mm的取值范圍是的取值范圍是132 m問題問題 已知方程已知方程x x+(m+(m3)x+m=)x+m=0，求實數(shù)，求實數(shù)mm的的 取值范

4、圍。取值范圍。條件條件6：若方程的一個根在若方程的一個根在( (2 ，0) )，另一個根，另一個根 在在( (0 ，4) )。045)4(0)0(010)2(mfmfmf054m如右圖知如右圖知分析分析 設(shè)設(shè)f(x)=xf(x)=x+(m+(m3)x+m)x+mxOy42問題問題 已知方程已知方程x x+(m+(m3)x+m=)x+m=0，求實數(shù)，求實數(shù)mm的的 取值范圍。取值范圍。條件條件7：若方程的一個根小于若方程的一個根小于2，另一個根大于，另一個根大于4。045)4(023)2(mfmf54m如右圖知如右圖知分析分析 設(shè)設(shè)f(x)=xf(x)=x+(m+(m3)x+m)x+mOxy24

5、問題問題 已知方程已知方程x x+(m+(m3)x+m=)x+m=0，求實數(shù)，求實數(shù)mm的的 取值范圍。取值范圍。條件條件8：若方程有一個正根，一個負(fù)根且正根若方程有一個正根，一個負(fù)根且正根 的絕對值較大。的絕對值較大。0230)0(mmf0m如右圖知如右圖知分析分析 設(shè)設(shè)f(x)=xf(x)=x+(m+(m3)x+m)x+mOxy問題問題 已知方程已知方程x x+(m+(m3)x+m=)x+m=0，求實數(shù)，求實數(shù)mm的的 取值范圍。取值范圍。 一元二次方程的根，其實質(zhì)就是其相應(yīng)二次函數(shù)的圖象一元二次方程的根，其實質(zhì)就是其相應(yīng)二次函數(shù)的圖象與與x x軸交點的橫坐標(biāo)，因此，可以借助于二次函數(shù)及其

6、圖象，軸交點的橫坐標(biāo)，因此，可以借助于二次函數(shù)及其圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法來研究一元二次方程的實根分布問題，利用數(shù)形結(jié)合的方法來研究一元二次方程的實根分布問題，下面通過例題具體情況來說明。下面通過例題具體情況來說明。設(shè)二次方程設(shè)二次方程 )0(02acbxax的二實根為的二實根為 )(,2121xxxxacb42方程對應(yīng)的二次函數(shù)為方程對應(yīng)的二次函數(shù)為 )0()(2acbxaxxf小結(jié)小結(jié)兩個根均小于兩個根均小于k k兩個根均大于兩個根均大于k k一個根小于一個根小于k k，一個根大于一個根大于k k。Oxyk0)(20kfkabOxyk0)(20kfkabxOyk0)(kf小結(jié)：小結(jié)：一般地

7、，一元二次方程一般地，一元二次方程axax+ +bxbx+c=0(a0)+c=0(a0)的實根分布的實根分布兩個根均在兩個根均在 (m(m，n)n)內(nèi)內(nèi)X X1 1(m(m，n)n) ，X X2 2(p(p，q)q) 。0)(0)(20nfmfnabm小結(jié)：小結(jié)：一般地，一元二次方程一般地，一元二次方程axax+ +bxbx+c=0(a0)+c=0(a0)的實根分布的實根分布0)()0(nfmf兩根均在兩根均在mm，nn外兩旁外兩旁O(shè)xynmnOxymOxypmqn0)(0)(0)(0)(qfpfnfmf小結(jié)：小結(jié)：一般地，一元二次方程一般地，一元二次方程axax+ +bxbx+c=0(a0)

8、+c=0(a0)的實根分布的實根分布兩個根有且僅有一個在兩個根有且僅有一個在(m(m，n)n)內(nèi)內(nèi)0)()(nfmf220)(nmabmmf 且或或nabnmnf220)(且或或nOxymnOxymnOxym注意：注意： 由函數(shù)圖象與由函數(shù)圖象與x x軸交點的位置寫出相應(yīng)的充要條件，一般軸交點的位置寫出相應(yīng)的充要條件，一般考慮以下三個方面：考慮以下三個方面： 判別式判別式 的符號；的符號； acb42對稱軸對稱軸 abx2的位置分布；的位置分布； 二次函數(shù)在實根分布界點處函數(shù)值的符號。二次函數(shù)在實根分布界點處函數(shù)值的符號。 k課堂練習(xí)：課堂練習(xí)：1. 1.若方程若方程7x7x(m+13)x+m(m+13)x+mmm2=0在區(qū)間在區(qū)間( (0，1) 1)、 (1 (1，2) )上各有一個實根，求實數(shù)上各有一個實根，求實數(shù)mm的取值范圍。的取值范圍。 )4 , 3() 1, 2(2.2.若方程若方程2x x(m(m2)x2)x2mmm=m=0的兩根在區(qū)間的兩根在區(qū)間 0，1 1 之外兩旁，求實數(shù)之外兩旁，求實數(shù)mm的取值范圍。的取值范圍。), 1 ()2,(4.4.若方程若方程x x2mx+m2mx+m1=1=0在區(qū)間在區(qū)間( (2 2，4)4)上有兩根，上有兩根， 求實數(shù)求實數(shù)mm的取值范