高等數(shù)學課件 167;9.3重積分計算

1、定義定義),(zyxf設設在在有有界界閉閉區(qū)區(qū)域域上上 有界有界)1(: 分割分割,1v ,2v nv )2(iv 取點取點 ),(iii 作和：作和：)3(iv ),(iiif ni 1)4(求極限求極限0limdiv ),(iiif ni 1, 若此極限若此極限則稱之為則稱之為( , , )f x y z上的上的在在 三重積分三重積分記為記為 ),(zyxfdv9.39.3 三重積分的計算三重積分的計算9.39.31 1直角坐標系中直角坐標系中三重積分的計算三重積分的計算2的體積dxdydz （時 1),(zyxf） 。 注注: 1dxdydzzyxfdvzyxf),( ),(， dxdy

2、dz 稱為直角坐標系下的體積元素。 如果),(zyxf表示某物體在點),(zyx處的密度，是 該物體所占有的空間閉區(qū)域，),(zyxf上在連續(xù)，則 iiiinivf) , ,(1是該物體質(zhì)量 m 的近似值， niiiidfdvzyxfm10),(lim),(。 dxdydzzyxfdvzyxf)()(，二.直角坐標系下三重積分的計算 。面上，得投影域投影到把xydxy).(型區(qū)域為的交點不多于兩個邊界曲面的的直線與軸且穿過區(qū)域設平行于xyszxyzoxyd),(1yxzz ),(2yxzz 分成兩部分：的交線把柱面，柱面與軸的行于的邊界為準線作母線平以sszdxy)()(, )()(21221

3、1yxzyxzyxzzsyxzzs，：，：xyzoxyd),(1yxzz ),(2yxzz ),(),(21)(yxzyxzddzzyxfdxdyxy，先對 z 積分（“先一后二”或“細棒法”），則，與，的交點的縱坐標為線，此直線與軸的的直作平行于，內(nèi)任一點過)()()(21yxzyxzszyxdxy xydyxzyxzdxdydzzyxfdxdydzzyxf)()(),(),(21，注注：1若平行于) ( 軸或軸yx的直線與 s 的交點不多于 兩個，則同樣可把投影到y(tǒng)oz面（xoz或面）上， 得到先對 x（或 y）的積分。 2若平行于坐標軸的直線與 s 的交點多于兩個，則可 把分 成幾塊處理

4、。 3計算三重積分也可化為先計算一個二重積分，再計算 一個定積分（先二后一法先二后一法） 。 設空間閉區(qū)域11 ),(),(),(czczdyxzyx， xyz1c2czdoz（先二后一法先二后一法) （切片法）（切片法）其中)(zd是用平面 z=z 截閉區(qū)域 所得的平面閉區(qū)域，則有 1c .),(),()(21zdccdxdyzyxfdzdvzyxf xyd：122yx。111112222),(xxyxdzzyxfdydxi， 解：先對積分 zxyzo111z22yxz例 1把三重積分dxdydzzyxfi),(化為各種次序的三次積分，其中是由平面1z及錐面222yxz所圍成的立體。xyo1

5、121 xy21 xyxyd， 221( , , )xyxydidxdyf x y z dz由22yxz解得22yzx， 先對積分 x yzd：10 z，zyz。2222( , , )yzzyzydidydzf x y z dx， yzo1z22yxzxyzo1zyzyyzd 102222),(zzxzxzdyzyxfdxdzi，由22yxz解得22xzy， 先對積分 y xzd：10z，zxz。2222( , , )xzzxzxdidxdzf x y z dyxyzo1z22yxzxzo1zx zxxzd解：在xoy面上的投影區(qū)域為 xyd：.210 , 10 xyx 例 2計算三重積分xd

6、xdydz，其中為三個坐標 平面及平面12zyx所圍成的閉區(qū)域。 yxxxdzdydxxdxdydz21211000481)2(41)21 (103221100dxxxxdyyxxdxx。xyzo1211例 3計算三重積分dxdydzz2，其中是由橢球面1222222czbyax所圍成的空間閉區(qū)域。xyzozd分析分析：被積函數(shù)中缺變量yx 和，用平行于xoy平面 去截，其截面是橢圓。故用“先二后一法” 。解： ,1),(222222czcczbyaxzyx，,)(22zdccdxdydzzdxdydzz其中 d(z)為平面上的zz橢圓盤：2222221czbyax， )1 (11222222

7、)(czabczbczadxdyzd故32222154)1 (abcdzczzabdxdydzzcc。 三、利用對稱性簡化三重積分的計算三、利用對稱性簡化三重積分的計算 1 1設上連續(xù)在有界閉區(qū)域),(zyxf。若面關于yoz ),(面或面或xozxoy對稱，被積函數(shù)),(zyxf關于變量 x（或 z，或 y）是奇函數(shù)，則0 ),(dxdydzzyxf； 若),(zyxf關于變量 x（或 z，或 y）是偶函數(shù)，則 三重積分等于其一半對稱區(qū)域上重積分的兩倍。 2 2若將 x 換為 y，y 換為 z，z 換為 x，積分區(qū)域不變， 則將被積函數(shù)中的變量作同樣變換后所獲得的積分 的值，與原積分的值相同

8、。 (輪換對稱性輪換對稱性).1),(,ddd1)1ln(222222222 zyxzyxzyxzyxzyxz其中其中計算計算. 0ddd1)1ln(222222 zyxzyxzyxz,平面對稱平面對稱積分區(qū)域關于積分區(qū)域關于 xoy.的奇函數(shù)的奇函數(shù)被積函數(shù)是關于被積函數(shù)是關于z例例4 4解解例 5計算dxdydzzxi)( 22，1222zyx為。 解：dxdydzzdxdydzxi22 ， 由輪換對稱性知： dxdydzzdxdydzydxdydzx222 ， )(112222 zddxdydzzdxdydzzi.158)(4)1 (210421122dzzzdzzz（1）變換 t：wv

9、uzzwvuyywvuxx,， 一對一的變?yōu)榘褏^(qū)域； 9 93 32 2三重積分的一般換元法則三重積分的一般換元法則（2）上面變換中的函數(shù)在區(qū)域具有連續(xù)偏導數(shù)； 定理：設則dxdydzzyxf),(, , , ( , ,)fx u v wy u v wz u v wj dudvdw9 93 32 2 柱面坐標系下三重積分的計算柱面坐標系下三重積分的計算 設),(zyxm為空間內(nèi)一點，并設面在點 xoym上的 投影p的極坐標為 ,，則稱三元有序數(shù)組) , ,(z 是點 m 的柱面坐標，其中z , ,的取值范圍規(guī)定為： 0，20，z。 xyzo),(zyxm),( p顯然： sincoszzyx。

10、 三組坐標面分別為： 常數(shù)，即以 z 軸為軸的圓柱面； 常數(shù)，即過 z 軸的半平面； 常數(shù)z，即與xoy面平行的平面。 1000cossin0sincos),(),(zzyxj， dzddzfdxdydzzyxf) ,sin,cos(),(。xyzo),(zyxm),( p例 6計算dvzyx)(，其中是 由224yxz 與zyx322所圍成的區(qū)域。 解：兩曲面的交線為 3z42222yxyxz 1322zyx， 224yxzzxyozyx322133在xoy平面上的投影區(qū)域為3,(22yxyxdxy， 在柱面坐標下43 , 30 ,20),(22zz. 積分區(qū)域關于xoz平面、yoz平面對稱

11、，而被 積函數(shù)yx, 分別關于, x變量變量為 y奇函數(shù)， 0ydvxdv。 zdvydvxdvdvzyx )(.413 22433020zdzddzdv在xoy平面上的投影區(qū)域為 16),(22yxyxdxy， 例 7一形體0 , 4 zzy是由平面和圓柱面 1622yx所圍成，已知其上任一點的密度與該點到軸的距離 z成正比，求其 m質(zhì)量。解：密度函數(shù))0(),(22kyxkzyx，則 dxdydzyxkm22 。 xyzo1622yx4zy44dxdydzyxkm22 sin404020dzddk403220)sin4(ddk.3512)sin643256(20kdk 在柱面坐標下 sin

12、40 , 40 ,20),(zz， 設空間一點m的直角坐標為),(zyx，從點 m 向 xoy平面引垂線，垂足為 p，令rom ，設om 與軸 z正向的 夾角為， op與軸 x正向的 夾角為， 則稱三元有序數(shù)組) , ,(r 是點 m 的球面坐標，其中 的取值范圍規(guī)定為 , ,r： r0，0，20。 9 93 33 3 球面坐標系下三重積分的計算球面坐標系下三重積分的計算),(rmzxyoryxzp cos sinsinsin cossincosrzropyropxsin0sincoscossinsincossinsinsinsincoscoscossin),(),(2rrrrrrrzyxj

13、三組坐標面分別為： 常數(shù)r，即以原點為心的球面； 常數(shù)，即以原點為頂點，軸 z為軸的圓錐面； 常數(shù)，即過軸 z的半平面。 dxdydzzyxf),( ddrdrrrrfsin)cos,sinsin,cossin(2例 8計算三重積分dxdydzzyx)( 222，是其中 由圓錐面222zyx與上半球面222yxrz所圍 成的區(qū)域。 解：在球面坐標系下，圓錐面222zyx化為4，上半球面rryxrz 222化為， ,0 ,40 ,20),(rrrdxdydzzyx)(222404200sinrdrrdd4002220sinrdrrrdd.5225)221 (255rr222yxrzzxyo222yxz解：在球面坐標系下，曲面22yxz化為4，例 9計算三重積分dxdydzzyx2221，其中是 由曲面22yxz與1z所圍成的閉區(qū)域。 平面1z化為cos1r， cos10 ,40 ,20 ),(rr。xyzo1z22yxz4cos122022200sin11drrrdddx