利用空間向量知識求空間中的二面角

1、第七章空間中的向量方法第七章空間中的向量方法第七講第七講立體幾何中的向量方法立體幾何中的向量方法第第3課時利用向量知識求空間二面角課時利用向量知識求空間二面角第八章第八章第七章第七章 空間中的向量方法空間中的向量方法掌握利用向量方法解決面面的夾角的求法重點：二面角與向量夾角的關(guān)系難點：如何用直線的方向向量和平面的法向量來表達線面角和二面角第七章第七章 空間中的向量方法空間中的向量方法溫故知新1回顧復(fù)習(xí)二面角及其平面角的定義，求法思維導(dǎo)航2怎樣用空間向量來求二面角的大小？知識點：二面角第七章第七章 空間中的向量方法空間中的向量方法3用向量方法求二面角平面與相交于直線l，平面的法向量為n1，平面的

2、法向量為n2，則二面角l為或設(shè)二面角大小為，則|cos|_|cos|n1n2|n1|n2|第七章第七章 空間中的向量方法空間中的向量方法利用向量法求二面角的兩種方法利用向量法求二面角的兩種方法(1)(1)若若AB,CDAB,CD分別是兩個平面分別是兩個平面,內(nèi)與棱內(nèi)與棱l垂直的異面直線垂直的異面直線, ,則兩個平面的夾角的大小就是向量則兩個平面的夾角的大小就是向量 與與 的夾角的夾角, ,如圖如圖. . (2)(2)設(shè)設(shè)n1 1, ,n2 2分別是平面分別是平面,的法向量的法向量, ,則向量則向量n1 1與與n2 2的夾角的夾角( (或其補角或其補角) )就是兩個平面夾角的大小就是兩個平面夾角

3、的大小, ,如圖如圖AB CD 第七章第七章 空間中的向量方法空間中的向量方法例題講解：正方體例題講解：正方體ABEF-DCEFABEF-DCEF中中, M,N, M,N分別為分別為AC,BFAC,BF的中點的中點( (如圖如圖), ),求平面求平面MNAMNA與平面與平面MNBMNB所成角所成角的余弦值的余弦值. .第七章第七章 空間中的向量方法空間中的向量方法【解析解析】方法一：設(shè)正方體棱長為方法一：設(shè)正方體棱長為1.1.以以B B為坐標(biāo)原點，為坐標(biāo)原點，BABA，BEBE，BCBC所在直線分別為所在直線分別為x x軸，軸，y y軸，軸，z z軸建立空軸建立空間直角坐標(biāo)系間直角坐標(biāo)系B-x

4、yzB-xyz，則，則A(1A(1，0 0，0)0)，B(0B(0，0 0，0)0)取取MNMN的中點的中點G G，連接，連接BGBG，AGAG，則，則因為因為AMNAMN，BMNBMN為等腰三角形，為等腰三角形，所以所以AGMNAGMN，BGMN.BGMN.所以所以AGBAGB為為二面角的平面角或其補角二面角的平面角或其補角因為因為所以所以1 1 1G()2 4 4， 111GA ()244， ，111GB ()244 ， ，1GA GB18cosGA GB.333GA GB88 ， 第七章第七章 空間中的向量方法空間中的向量方法 故所求兩平面所成角的余弦值為故所求兩平面所成角的余弦值為1.

5、3方法二：設(shè)平面方法二：設(shè)平面AMNAMN的法向量的法向量n1 1(x(x，y y，z)z)111 1AM (0) AN (0)222 2 ， ， ， ，11AM0AN0 ，nn11xz02211xy0.22，令令x x1 1，解得，解得y y1 1，z z1 1，所以所以n1 1(1(1，1 1，1)1)同理可求得平面同理可求得平面BMNBMN的一個法向量的一個法向量n2 2( (1 1，1 1，1 1) )所以所以 coscosn1 1，n2 2= =121211.333n nn n故所求兩平面所成角的余弦值為故所求兩平面所成角的余弦值為1.3第七章第七章 空間中的向量方法空間中的向量方法

6、練習(xí)：如圖所示，四棱錐練習(xí)：如圖所示，四棱錐P-ABCDP-ABCD中，底面中，底面ABCDABCD為為正方形，正方形，PDPD平面平面ABCDABCD，PDPDABAB2 2，E E，F(xiàn) F，G G分分別為別為PCPC，PDPD，BCBC的中點的中點(1)(1)求證：求證：PAEF.PAEF.(2)(2)求二面角求二面角D-FG-ED-FG-E的余弦值的余弦值第七章第七章 空間中的向量方法空間中的向量方法【解析解析】以以D D為坐標(biāo)原點為坐標(biāo)原點, ,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz,D(0,0,0),A(0,2,0),C(-2,0,0),P(0,0,2),

7、E(-1,0,1), D-xyz,D(0,0,0),A(0,2,0),C(-2,0,0),P(0,0,2),E(-1,0,1), F(0,0,1),G(-2,1,0).F(0,0,1),G(-2,1,0).(1)(1)證明：由于證明：由于(0(0，2 2，2)2)，(1(1，0 0，0)0)，則則 1 10 00 02 2( (2)2)0 00 0，所以所以PAEF.PAEF.PA EFPA EF 第七章第七章 空間中的向量方法空間中的向量方法(2)(2)易知易知 (0(0，0 0，1)1)， (1(1，0 0，0)0)， ( (2 2，1 1，1)1)，設(shè)平面設(shè)平面DFGDFG的法向量的法向

8、量m(x(x1 1，y y1 1，z z1 1) )，則則 解得解得令令x x1 11 1，得，得m(1(1，2 2，0)0)是平面是平面DFGDFG的一個法向的一個法向量量DF EFFG DF0FG0 ，mm1111z02xyz0.，第七章第七章 空間中的向量方法空間中的向量方法設(shè)平面設(shè)平面EFGEFG的法向量的法向量n(x(x2 2，y y2 2，z z2 2) )，同理可得同理可得n(0(0，1 1，1)1)是平面是平面EFGEFG的一個法向量的一個法向量因為因為coscosm，n設(shè)二面角設(shè)二面角D-FG-ED-FG-E的平面角為的平面角為，由圖可知，由圖可知m，n，所以所以cos cos 所以二面角所以二面角D-FG-ED-FG-E的余弦值為的余弦值為 . .2210| |55210，m nmn105，105，第七章第七章 空間中的向量方法空間中的向量方法課后訓(xùn)練：課后訓(xùn)練：(1)在一個二面角的兩個面內(nèi)都和二面角的棱垂直的兩個向在一個二面角的兩個面內(nèi)都和二面角的棱垂直的兩個向量分別為量分別為 (0,-1,3), (2,2,4), 則這個二面角的余弦值為則這個二面角的余弦值為()(2)PA平面平面ABC，ACBC，PAAC1，BC 求二面角求二面角A-PB-C的余弦值的余弦值151515A. B C. D663以上都不對2.第七章第七章