傅里葉級數(shù)新

1、傅里葉級數(shù) 除了冪級數(shù), 還有一種常用的函數(shù)項級數(shù)是三角級數(shù) (1)其中 都是常數(shù), 稱為上述三角級數(shù)的系數(shù). 三角級數(shù)(1)的部分和稱為n階三角多項式. 顯然, 三角級數(shù)(1)的和函數(shù)s(x)存在時, 是一個周期為2的函數(shù)., )sincos(10nnnnxbnxaa,;,21210bbaaa, )sincos()(10nkkknkxbkxaaxs 與冪級數(shù)不同的是, s(x)不但不是無窮次可微的, 甚至是不連續(xù)的, 這非但不是缺點, 反而正是它的優(yōu)點. 這使我們可以指望將較差的函數(shù)展開成形如(1)的三角級數(shù). 設(shè)f(x)是周期為2的函數(shù). 本章主要研究下面兩個問題: (i) f(x)滿足什

2、么樣的條件, 可以將它展開成三角級數(shù)? (ii) 當(dāng)f(x)可以展成三角級數(shù)時, 各個系數(shù)怎么確定? 三角級數(shù)(1)中出現(xiàn)的函數(shù)列 (2)稱為三角函數(shù)系. 定義1 設(shè)f(x)和g(x)是a, b上的兩個可積函數(shù), 若 則稱函數(shù)f(x)與g(x)在a, b上正交. 若函數(shù)系fn(x)中的任何兩個函數(shù)都正交, 則稱該函數(shù)系為正交函數(shù)系.,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxxbadxxgxf, 0)()( 定理1 三角函數(shù)系是-, 上的一個正交函數(shù)系, 即 可以證明, 三角函數(shù)系在0, 2以及任何長為2的區(qū)間a, a+2上都是正交函數(shù)系., 2 , 1, 0sin

3、, 0cosnnxdxnxdx, 0coscosnmnxdxmx, 0sincosnmnxdxmx., 0sinsinnmnxdxmx 設(shè)f(x)是以2為周期的函數(shù), 并假定f(x)在區(qū)間-, 可以展開成一致收斂的三角級數(shù) (3)將(3)式在-, 上積分, 得到, )sincos(2)(10nnnnxbnxaaxf.)(10dxxfa將(3)式兩邊同乘 , 這樣得到的級數(shù)在-, 一致收斂到 , 然后在-, 逐項積分并利用三角函數(shù)系的正交性, 得到類似地可得., 2 , 1,sin)(1mmxdxxfbm., 2 , 1,cos)(1mdxmxxfammxcosmxxfcos)( 為了讓所有 與

4、 都可定義, 則 必須在-, 可積; 倘若 在-, 有瑕點, 則 必須絕對收斂. 我們把滿足以上條件的 稱為在-, 絕對可積. mamb)(xf)(xfdxxf)()(xf 定義2 設(shè)f(x)以2為周期, 在-, 絕對可積, 則由公式?jīng)Q定的 稱為f(x)的傅里葉系數(shù), 由這些 決定的三角級數(shù)稱為f(x)的傅里葉級數(shù), 記為 , 2 , 1,sin)(1, 2 , 1 , 0,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann,nnbannba , )sincos(210nnnnxbnxaa. )sincos(2)(10nnnnxbnxaaxfremark 并不意味著后者成立包含兩重意思: 右邊的

5、級數(shù)收斂且收斂于f(x).前者僅表示f(x)的傅里葉級數(shù)為右邊級數(shù), 而右邊級數(shù)甚至可能不收斂.10)sincos(2)(nnnnxbnxaaxf. )sincos(2)(10nnnnxbnxaaxf 例1 求f(x)=sgn(cos x)的傅里葉級數(shù). 解: 顯然, f(x)是以2為周期的周期函數(shù).又f(x)為偶函數(shù), 從而bn=0. 00)sgn(cos2)sgn(cos1dxxdxxa220)sgn(cos)sgn(cos2dxxdxx, 0) 1(2220dxdx220coscos2nxdxnxdx2sin42sin12sin12nnnnnn), 2 , 1 , 0(12,) 12(4

6、) 1(,2, 0kknkknk故0cos)sgn(cos2cos)sgn(cos1nxdxxnxdxxan0.12) 12cos() 1(4)(kkkxkxf 例2 設(shè)f(x)以2為周期, 求f(x)的傅里葉級數(shù). 解: ),20(2)(xxxf20200, 021)(1)(1dxxdxxfdxxfa20cos)(1cos)(1nxdxxfnxdxxfan2020,0cos21cos21nxdxxnxdxx20sin)(1sin)(1nxdxxfnxdxxfbn.1sin21sin212020nnxdxxnxdxx傅里葉級數(shù)的收斂性 定義1 若函數(shù) f(x)在區(qū)間a, b上除有限個第一類間斷

7、點外皆連續(xù), 則稱f(x)在a, b上逐段連續(xù). 若f(x)及其導(dǎo)數(shù) 都在a, b上逐段連續(xù), 則稱f(x)在a, b上逐段光滑.)(xf 根據(jù)上述定義, 若f(x)在a, b逐段光滑, 則有如下重要性質(zhì): (i) f(x)在a, b可積; (ii) 在a, b上每一點x都存在 且有 )0( xf),0()0()(lim0 xfxxfxxfx ).0()0()(lim0 xfxxfxxfx 收斂定理 定理1 若f(x)以2為周期, 且在-, 逐段光滑, 則在每一點 f(x)的傅里葉級數(shù)收斂于 f(x)在點 x的左、右極限的算術(shù)平均值, 即 推論 若f(x)以2為周期的連續(xù)函數(shù), 且在-, 逐段

8、光滑, 則f(x)的傅里葉級數(shù)在 收斂于 f(x). ,x10).sincos(22)0()0(nnnnxbnxaaxfxf),(remark已知f(x)在-, 逐段光滑, 若f(x)在x=-間斷, 根據(jù)收斂定理, f(x)的傅里葉級數(shù)在-收斂到注意到f(x)以2為周期, 因此故f(x)的傅里葉級數(shù)在 應(yīng)收斂到,2)0()0(ff).0()(lim)(lim)0(00fxfxffxx.2)0()0(ff由f(x)的周期性知, f(x)的傅里葉級數(shù)在也應(yīng)收斂到同一數(shù)在具體討論函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式時, 常只給出函數(shù)f(x)在(-, (或-, )上的解析表達式, 但應(yīng)理解為它是定義在整個數(shù)軸上以2

9、為周期的函數(shù). 即在(-, 以外的部分按函數(shù)在(-, 上的對應(yīng)關(guān)系作周期延拓.2)0()0(fff(x)是以2為周期的函數(shù), 所以傅里系數(shù)公式中的積分區(qū)間-, 可以改為長度為2的任何區(qū)間, 而不影響 的值:其中c為任何常數(shù).nnba , 2 , 1,sin)(1,2 , 1 , 0,cos)(122nnxdxxfbnnxdxxfaccnccn 例3 將函數(shù)展成傅里葉級數(shù). 解: 顯然f(x)是逐段光滑的.當(dāng) 時, 0, 0,0,)(xxxxf.21)(100 xdxdxxfa).1(cos1cos1cos)(120nnnxdxxnxdxxfan1n所以在(-, )上在 上式右端收斂于.) 1(

10、sin1sin)(110nnxdxxnxdxxfbnn112sin) 1(cos) 1) 1(14)(nnnnxnnxnxfxxx2sin21sincos24.4sin413sin313cos92xxx,x.2202)0()0(ff 例4 設(shè)求f(x)的傅里葉級數(shù)展開式. 解: 當(dāng) 時,0, 1, 0, 0)(xxxf. 11)(100dxdxxfa, 0cos1cos)(10nxdxnxdxxfan0sin1sin)(1nxdxnxdxxfbn.) 1(1 1nn1n所以當(dāng) 時, 當(dāng) 時, 上式右端傅里葉級數(shù)收斂于當(dāng) 時, 上式右端傅里葉級數(shù)收斂于|0 x.) 12sin(121221)(0

11、kxkkxf0 x.212012)00()00(ff.212102)0()0(ffx 例5 將函數(shù)展成傅里葉級數(shù). 解: 2 , 0(,)(2xxxf.38)(12200dxxfa.4cos)(1220nnxdxxfan.4sin)(120nnxdxxfbn收斂定理的證明 兩個引理. 引理1 若f(x)是以2為周期的函數(shù), 且在-, 上可積, 則它的傅里葉級數(shù)的部分和 可寫成)(xsn.2sin2)21sin()(1)(dtttntxfxsn當(dāng) 時, 被積函數(shù)中的不定式由極限來定義. 推論 0t212sin2)21sin(lim0nttnt. 12sin2)21sin(1dtttn 引理2 (

12、黎曼引理)若g(x)在a, b可積, 則. 0cos)(lim, 0sin)(limbapbappxdxxgpxdxxg 證明: 首先, 對任意的 有給a, b以分法記 為g(x)在 的下確界, 這時,.2coscossinpppppxdx,10bxxxankm,1kkxxbankxxkkpxdxxgpxdxxg11sin)(sin)(nknkxxkxxkkkkkpxdxmpxdxmxg1111sinsin)(因此其中 為 g(x)在 的振幅, 由g(x)在a, b可積知, 可選定分法, 使nknkkxxkbapmdxmxgpxdxxgkk112|)(|sin)(1, |211nknkkkkm

13、px k,1kkxx.1kkkxxx ,0.21nkkkx 取定分法后, 就是固定的了, 因此只要就有這就證明了引理2的第一個極限. 引理2的第二個極限類似可證.nkkm1|, |41nkkmp.sin)(bapxdxxg 收斂定理的證明: 只需證明在每一點 處下述極限成立. 即,02)0()0()(limxfxfxsnn.02)0()0(2sin2)21sin()(1limxfxfdtttntxfnx,或證明同時有與我們僅證上面第一個極限, 第二個極限類似可證. 先用引理1的推論將 表示為02)0(2sin2)21sin()(1lim0 xfdtttntxfn.02)0(2sin2)21si

14、n()(1lim0 xfdtttntxfn2)0(xf于是, 第一個極限改寫為令,2sin2)21sin()0(12)0(0dtttnxfxf.02sin2)21sin()0()(1lim0dtttnxftxfn, 0(,2sin2)0()()(ttxftxftg則再令 則 在 右連續(xù). 于是, 在0, 至多有有限個第一類間斷點, 因此 在0, 上可積. 根據(jù)黎曼引理,2sin2)0()(lim)(lim00txftxftgtt),0(2sin2)0()(lim0 xftttxftxft),0()0(xfg)(xg0t)(xg)(xg這就證明了第一個極限成立. 用同樣方法可證第二個極限也成立.

15、 收斂定理得證.dtttnxftxfn02sin2)21sin()0()(1lim.0)21sin()(1lim0tdtntgn傅里葉級數(shù)的逐項積分 定理2 設(shè)f(x)以2為周期, 在-,內(nèi)除有限個第一類間斷點外是連續(xù)的, 且則 有或remark:, )sincos(2)(10nnnnxbnxaaxf,)sincos(2)(1000nxnnxdtntbntaxadttf),(x.cossin2)(1100nnnnnxnnxbnxanbxadttf 證明: 首先, f(x)在-,可積, 因而函數(shù)在-,連續(xù). 而且, f(x)也是以2為周期的周期函數(shù). 事實上, xdtatfxf002)()(20

16、02)()2(xdtatfxf0200)(2)(adttfdtaxfxxxxxfdtatf00).(2)(下證f(x)在-,是逐段光滑的. 不妨設(shè) f(x)在-,只有一個第一類間斷點x0, 則f(x)在-,除x0以外每一點都有連續(xù)的導(dǎo)數(shù), 而在x0點, 由積分中值定理知,即f(x)在x0存在右導(dǎo)數(shù) dtatfxxxfxxfxxxxx 002)(1lim)()(lim00000,2)0(2)(lim00000axfaxxfx .2)0()0(000axfxf同理可證, f(x)在x0存在左導(dǎo)數(shù) 根據(jù)收斂定理知, f(x)可以展開成傅里葉級數(shù)其中.2)0()0(000axfxf, )sincos(

17、2)(10nnnnxbnxaaxf,)(10dxxfa1,cos)(1nnxdxxfan,sin2)(1)(sin0nbnxdxaxfnxfnnxn于是1,sin)(1nnxdxxfbn,cos2)(1)(cos0nanxdxaxfnxfnnxn,cossin22)()(1000nnnxnnxbnxaaxadttfxf令x=0, 得因此有證畢. 例6 由例2知應(yīng)用逐項積分定理, 有,210nnnba.cossin2)(1100nnnnnxnnxbnxanbxadttf),20(sin21xnnxxn其中于是, 得令x=, 有,20 ,cos1412122xnnxxxn.641221122021

18、2dxxxnn.20 ,412cos62122xxxnnxn.12) 1(2121nnn任意區(qū)間上的傅里葉級數(shù) 設(shè)f(x)是以2l為周期的函數(shù), 通過變換可將f(x)變成以2為周期的函數(shù) 若f(x)在-l, l可積, 則(t)在-, 也可積. 這時函數(shù)(t)的傅里葉級數(shù)為其中tlx).()(tlft, )sincos(2)(10nnnntbntaat., 2 , 1,sin)(1,2 , 1 , 0,cos)(1nntdttbnntdttann將反變換 代回, 便得其中這就是周期為2l的函數(shù)f(x)的傅里葉級數(shù).xlt, )sincos(2)(10nnnxlnbxlnaaxf., 2 , 1,

19、sin)(1,2 , 1 , 0,cos)(1ndxlnxflbnxdxlnxflallnlln 若一個函數(shù)定義在更一般的區(qū)間a, b上, 如何考慮它的傅里葉級數(shù)展開? 不妨設(shè)f(x)定義在0, l上, 因為如果 f(x)定義在a, b上, 考慮(t)=f(a+t), 則便定義在0, l上, 其中l(wèi)=b-a. 這時, 我們考慮用兩種延拓方法: 偶延拓和奇延拓, 先將 f(x)延拓到-l, l上, 然后再將 f(x)以2l為周期延拓到整個數(shù)軸上. 先介紹偶延拓. 設(shè) f(x)定義在0, l上, 令則f(x)是定義在-l, l的偶函數(shù), 然后根據(jù)便可將f(x)延拓到整個數(shù)軸, 此時f(x)是以2l為周期的函數(shù). 若 f(x)在0, l連續(xù), 則f(x)在整個數(shù)軸上都是連續(xù)的., 0),(,0),()(xlxflxxfxf, 2, 1),()2(kxfklxf 由于f(x)是偶函數(shù), 其傅里葉級數(shù)只有余弦項其中,cos2)(10nnxlnaaxfllnxdxlnxflacos)(1., 2 , 1 , 0,cos)(20nxdxlnxfll若f(x)在0, l逐段光滑, 則f(x)在-l, l也逐段光滑. 于是有把它限制回0, l, 便得.0 ,cos22)0()0(