模糊集與模糊系統(tǒng)

1、模糊集與模糊系統(tǒng)Yuehui ChenComputational Intelligence Lab«School of Information Science and EngineeringJinan University, Jinan 250022, P.R.ChinaEmail: aHttpWdiab.ujrCWdli模糊理論(1J)3S集合與特征函數(shù)#1、論域處理某一問題時對有關議題的限制范圍稱為該問題 的論域#、集合在論域中，具有某種屬性的事物的全體稱為集合。3、特征函數(shù)設A是論域U上的一個集合，對任何ueU,令1當UWA Ca(u)= /1 0 當

2、 u A則稱Ca(u)為集合A的特征函數(shù)。顯然有：A= u | CA(u>1i隸屬度特征函數(shù)Ca(u)在u=Uo處的值CA(U0)稱為u°對A 的隸屬度。例1、設有論域:U=X2,3,4,5, A= 1,3,5 b 求其 特征函數(shù)。，解；特征函數(shù)如下：1當 T35Ca(uA f0)當42,4二、模糊集與隸屬函數(shù)1、隸屬函數(shù)設U是論域，Ua是將任何UWU映射為0, 1上某個 值的函數(shù)，即；咲 UT0. 11uPa（u）則稱Pa為定義在U上的一個隸屬函數(shù)2模糊集設A= MA(u)|ueU則稱A為論域U上的一個模糊集。3、隸屬度Pa (u)稱為u對模糊集A的隸屬度。例2、設有論域:U

3、H 1爲3怎5 h用模糊集表示出模 糊概念“大數(shù)初.解：設A表示“大數(shù)”的模糊集，皿為其隸屬函數(shù)。 則有；A= 0, 0.1 0 5, 0,8.1其中：皿=0, Ma(2)=0.1K ma(3)=0,5. |Ja(4)=0& Pa(5R例3、設有論域：U叫編山劉水秦聲確定一個模糊集A»以表示他們分別對 隸屬程度解：假設他們的平均成績分別為：98分，72分, 分，設映射為平均成績除以100。則有隸屬度：皿（纟高山）=0.98,皿（劉水）=0-72,山（秦聲"86模糊集A= 0.98, 0.72, 0.86 三、模糊集表示法扎德表示法1設論域U是離散的且為有限集: u=

4、 u十 u劃unl模糊集為:A=Pa（uJ，Pa（U2）' 則可將A表示為；A=|Ja(u J/ W*Pa(u$ u2+ +|JA(un)/ un或A珂 Pa(W” U" Ua(U/ U護一» MA(Un)/ Un 或A= n Pa(U)/ Uj或 si=lA戶 Pa(u”u19MA(Uj)/ Uj表示Uj對模糊集A的隸屬度。當某個隸屬度為 0時引以略去不寫©如；A=1 / 比+0.7/ u24- 0/ U3+O u4B=1/ w+07/ ua+0.5/ u4它們是相同的模糊集。、扎德表示法2設論域U是連續(xù)的，則其模糊集可用實函數(shù)表示。設有人的年齡論域UH

5、OJOO),求其 年輕初這兩個模糊概念的隸屬函數(shù)°00<u<50P年老(u) =(1+(5/(u-50)2)150<u<100解；(110<u<25(1+(u-25)/5)2)'125<u<100#A心）模糊集運算U上所有模糊集的全體記為6(U),即:6(UH A I ma： U0> 11>包含運算設A,BwO(U),若對任意ueU,都有:Mb(u)<|ja(u)則稱A包含B»記為：B A#、并、交、補運算設A,Be6(U),分別稱AUB, ACIB為A與B的并集、 交集,稱A為A的補亀。它們的隸屬函

6、數(shù)分別為：Maub（u）= max ®A（u），Mb（U> ueUMAnB（u>min Pa（u）,Ub（u）uUM a（uRa（u）、設UHA=0.3/ w+0.8/ u2+0.6/ uB=0.6/ 比+0.4/ u2+0.7/ uAOB. A U B 及 AAAB =(0.30.6) / u1+(0.80.4)/ u2+(0.60.7) / u3=0.3 /11+0.4 / u2+0.6 / u3AUB =(0.30.6) / u1+(0.80.4) / u2+(0.60.7) / u.=0.6 / 比+0.8 / u2+0.7 / u3A三仆0.3) / u1+(1

7、>0.8) /u2+(10.6) /u3f =0.7 / 比+0.2 / u2+0.4 / u3模糊理論(2)一、模糊集的入水平戳集1、入水平截集設Ae6(u Ae0,1,;且 y | ueU,血(哄入則稱A入為A的一個入水平截集，入稱為閾值或置信水 平。352入水平截集性質(1) 設A,BCO(U則有；(A U B)a= A入 U Ba(ACIB尸AfB入若入常A2e0 1,且入產入2,貝U3、核、支集設Ae6(U),且1Ker A- u | usll, pA(u)=1Supp A= u | yell, |jA(u)>0則稱Ker A為模糊集A的核,Supp A為模糊集A的支集。

8、4、正規(guī)模糊集若KerA去，則稱A為正規(guī)模糊集。例1、設有模糊集：A=0.3/u 1 +0.7/u 2+1 /u3+0.6/u4+0 屯且入分別為仏06 0.5 S3,分別求其相應的入水平截 集、核及支集9解：(1) 入水平截集A= U3Ao.6= U2，U3,U4 A().5= U2)U3)U4>U5A03=ut)u2)u3Ju4)u5(2) 核、支集KerA= u3SuppA= u1,u2,u3)u4,u535二、模糊度1模糊度定義設AeO(U), d是定義在O(U)上的一個實函數(shù),如果 它滿足如卞條件：(1) 對任意Ae6(U),有d(A)eO,1l(2) 當且僅當A是一個普通集合

9、時，d(A)=O；若A的隸屬函數(shù)皿山廬0.5,貝iJd(A)=1537(3) 若A5Bg6(U且對任意uwU,滿足ub(u)<|ja(u)<0.5或Ub(哄Ua(U)R5則有 d(B)Wd(A(4) 對任意Ae5(U)>有d(A>d( A)則稱d為定義在0(3)上的一個模糊度，d(A)稱為A的 糊度。2、模糊度計算公式(1)海明(harming)模糊度2 nd =二-工 |iia(ul)-Wa0 5(Ui) Ii二 1'號丁、【I疋吃瑕u T丿J系口 r廠姒1 Pa (uQO.5Ma o.5(u Afj<0 Pa (U)VO539(2)歐幾里德(Eucli

10、d)模糊度d(A2 /n府J評叱叫a I(3) 明可夫斯基(Minkowski)模糊度d (A)二X/n2n|嘰)-后)11=1例2、設IH叫心山申A= 0.8/u1+0.9/u2+0.1/u3+0.6/u4求A的模糊度解；(11)海明模糊度d(A)v2/4(| 0.& 1|+|0.9-1|+ |0,1-0|+|0.6-1|) =(0.2+0%1+0.1+0.,4)/2 =0.4#(2)歐幾里德(Euclid)模糊度=0.47(0. 8-l)2 + (0. 9-1)三、模糊關系1、模糊數(shù)如果實數(shù)域上的模糊集A的隸屬函數(shù)Pa (u)在R上連續(xù)，且具有如下性質:(1) A是凸模糊集,，即對

11、任意AeO, 1, A的入水平 截集A入是閉區(qū)間；(2) A是正規(guī)模糊集，即存在uwFU使Ma (u)=j則稱A為一個模糊數(shù)。i452笛卡爾乘積與關系設U與V是兩個集合，則稱UXV= (u,v)| ueu, veV為U與V的笛卡爾乘積。若RUXV,則稱R為從U到V的一個關系。例3、設IH紅桃，方塊黑桃梅花口口VH A» 仏岔 3» 4, 5, 67, 8» 9» 10» Js Q, K求uxv 解：uxv=（紅桃Ab （紅 桃，2） »> （梅花，K）#3、模糊關系設Uj是(A12_n)論域R是 XUgXXU. 上的一個模糊子集

12、，則稱R為U.XU2X.XU,上的 個n元模糊關系記為：Rw f mr(uv u2)j un)/(u1p 屯,ujUt汝U2汝XUnMR(U15 U2, Uj是模糊關系R的隸屬函數(shù)例4、設有一組學生U:U=張三李四王五他們對球類運動V:Vm（籃球排球足球乒乓球有不同的愛好，其愛好程度可以用下面的模糊關系來 表示：140.400.80.1 0.2514、模糊關系的合成設Ri與R2分別是U x V及V x W上的兩個模糊關系,則Ri與R?的合成是指從11到/7的一個模糊關系,記其隸屬函數(shù)為Pri r2(u，wA MR1 M Mr2 (v,w) VA53例5、設有如下兩個模糊關系

13、:R1 =R2=求 RfR2解:/ 0.40.5R|'R2 | 0.40.6l 0.30.55253模糊系統(tǒng)nu模糊系統(tǒng)TS Fuzzy rule base:if xx is £ andx2 is Bx then yx - p + pxx + px2X if XisA】 and x2 is B2then y2 =p) + pxx +px2if XisA2 and x2 is Bxthen y3 -p； + pxx +x2if XisA2 and x2 isthen yA-p + p：兀+

14、卩工5353The output of the fuzzysystem:53在線性的情況下，規(guī)則可以寫成:5353Ri： If 乂Xr， Theny = pj + pxr +pLkxki 這是Takagi一Sugeno階模型。要辨識的內容有:1 ）前件變量"的數(shù)目，決定系統(tǒng)的階次，屬于結構辨識2）隸屬函數(shù)勾一前件參數(shù)3）后件參數(shù) p在前件中，如果坷等于無的整個論域，（即A ）,此項可 略去，S無限定，成為無條件。譬如：If X、為 small, x2 big, T hen y =+ x2 + 2x3式中兀3即為無條件滿足。在前提中兀3可不必列出。53在輸入空間已劃分的情況下，的空間下

15、，給出規(guī)則的集合。舉例：用3條規(guī)則逼近原函數(shù)（如 右圖）。輸入-輸出對的數(shù)據(jù) 已知，這里假定只有1個輸 入變量，它被劃分為3個模糊 集合，即大、中、小?？擅?述的規(guī)則如下：aY(R1aXy = 0.2x + 94 4.57.08.510R1If x是R2If X是R3If X是07bi410rx. smallThenTheny = 0.6x + 0.2Then y = 1.2x - 355478.5與傳統(tǒng)的辨識方法帝比，模糊辨識的特點在于1) 可以用較少的規(guī)則來逼近函數(shù);12) 可以用語言變量來表達。模糊 辨識的一種 方法及步驟 針對TakagiSugeno ( TS )模型，辨識步驟:(1)選擇前件變量前件參數(shù)辨識(3)后件參數(shù)辨識搜索法非線性規(guī)劃后件參數(shù)的辨識算法的框架最小二乘法56Aggregated architectureTasks:分層模糊系統(tǒng)Incremental or cascade architecture(1) Determination of the hierarchical structure(2) Determination of the type of submodel