amie米散射理論基礎

1、米散射（ Mie scattering）; 又稱 “粗粒散射 ”。粒子尺度接近或大于入射光波長的粒子散射現(xiàn)象。德國物理學家米 (Gustav Mie,18681957)指出 , 其散射光強在各方向是不對稱的 , 順入射方向上的前向散射最強。 粒子愈大 , 前向散射愈強。米散射當球形粒子的尺度與波長可比擬時，必須考慮散射粒子體內電荷的三維分布。此散射情況下， 散射粒子應考慮為由許多聚集在一起的復雜分子構成， 它們在入射電磁場的作用下 , 形成振蕩的多極子 , 多極子輻射的電磁波相疊加， 就構成散射波。又因為粒子尺度可與波長相比擬， 所以入射波的相位在粒子上是不均勻的，造成了各子波在空間和時間上的

2、相位差。 在子波組合產(chǎn)生散射波的地方， 將出現(xiàn)相位差造成的干涉。 這些干涉取決于入射光的波長、 粒子的大小、 折射率及散射角。當粒子增大時，造成散射強度變化的干涉也增大。因此，散射光強與這些參數(shù)的關系 , 不象瑞利散射那樣簡單 , 而用復雜的級數(shù)表達， 該級數(shù)的收斂相當緩慢。這個關系首先由德國科學家 G.米得出，故稱這類散射為米散射。它具有如下特點： 散射強度比瑞利散射大得多， 散射強度隨波長的變化不如瑞利散射那樣劇烈。隨著尺度參數(shù)增大， 散射的總能量很快增加， 并最后以振動的形式趨于一定值。散射光強隨角度變化出現(xiàn)許多極大值和極小值， 當尺度參數(shù)增大時，極值的個數(shù)也增加。 當尺度參數(shù)增大時，

3、前向散射與后向散射之比增大， 使粒子前半球散射增大 。當尺度參數(shù)很小時， 米散射結果可以簡化為瑞利散射； 當尺度參數(shù)很大時， 它的結果又與幾何光學結果一致； 而在尺度參數(shù)比較適中的范圍內，只有用米散射才能得到唯一正確的結果。 所以米散射計算模式能廣泛地描述任何尺度參數(shù)均勻球狀粒子的散射特點。19 世紀末，英國科學家瑞利首先解釋了天空的藍色：在清潔大氣中，起主要散射作用的是大氣氣體分子的密度漲落。 分子散射的光強度和入射波長四次方成反比，因此在發(fā)生大氣分子散射的日光中，紫、藍和青色彩光比綠、黃、橙和紅色彩光為強，最后綜合效果使天穹呈現(xiàn)藍色。從而建立了瑞利散射理論。20 世紀初，德國科學家米從電磁

4、理論出發(fā)，又稱粗進一步解決了均勻球形粒子的散射問題， 建立了米散射理論， 粒散射理論。 質點半徑與波長接近時的散射，特點：粗粒散射與波長無關， 對各波長的散射能力相同， 大氣較混濁時，大氣中懸浮較多的的塵粒與水滴時，天空呈灰白色。米散射理論是由麥克斯韋方程組推導出來的均質球形粒子在電磁場中對平面波散射的精確解。一般把粒子直徑與入射光波長相當?shù)奈⒘Ｗ铀斐傻纳⑸浞Q為米散射。米散射適合于任何粒子尺度 , 只是當粒子直徑相對于波長而言很小時利用瑞利散射、很大時利用夫瑯和費衍射理論就可以很方便的近似解決問題。 米散射理論最早是由 G1 Mie 在研究膠體金屬粒子的散射時建立的。1908 年 , 米氏通

5、過電磁波的麥克斯韋方程 , 解出了一個關于光散射的嚴格解 , 得出了任意直徑、任意成分的均勻粒子的散射規(guī)律 , 這就是著名的米氏理論 4 -6 。根據(jù)米散射理論 , 當入射光強為 I0 , 粒子周圍介質中波長為的自然光平行入射到直徑為 D 的各向同性真球形粒子上時 , 在散射角為 , 距離粒子 r 處的散射光和散射系數(shù)分別為 :從上式中可以看到 , 因為是各向同性的粒子 , 散射光強的分布和角無關。同時 , 上式中 :i1 、 i2 為散射光的強度函數(shù) ; s1 、 s2 稱為散射光的振幅函數(shù) ; a 為粒子的尺寸參數(shù) ( a = D/ ) ; m = m1 +im2 為粒子相對周圍介質的折射

6、率 , 當虛部不為零時 , 表示粒子有吸收。對于散射光的振幅函數(shù) , 有:式中 an 、bn 為米散射系數(shù) , 其表達式為 :其中 :是半奇階的第一類貝塞爾函數(shù);是第二類漢克爾函數(shù) ;Pn (cos )是第一類勒讓德函數(shù) ; P(1)n (cos ) 是第一類締合勒讓德函數(shù)。M ie散射理論M ie散射理論是麥克斯韋方程對處在均勻介質中的均勻顆粒在平面單色波照射下的 嚴格數(shù)學解。由 M ie散射知道 ,距離散射體 r 處p點的散射光強為式中 :為光波波長 ; I 0為入射光強 ; I sca為散射光強 ;為散射角 ;為偏振光的偏振角。式中 : S1() 和 S2 ( ) 是振幅函數(shù) ; an和

7、 bn 是與貝塞爾函數(shù)和漢克爾函數(shù)有關的函數(shù) ;n 和 n 是連帶勒讓得函數(shù)的函數(shù) , 僅與散射角有關。其中式中 :n ( ) 和 n ( ) 分別是貝塞爾函數(shù)和第一類漢克爾函數(shù) ;n ( )和 n ( ) 是n ( ) 和 n ( ) 的導數(shù) ;為無因次直徑 ,D,D為顆粒的實際直徑 ; 是入射光的波長 ; m 是散射顆粒相對于周圍介質的折射率 , 它是一個復數(shù) , 虛部是顆粒對光的吸收的量化。 由以上公式可見 ,M ie 散射計算的關鍵是振幅函數(shù) S1( ) 和 S2 ( ) , 它們是一個無窮求和的過程 , 理論上無法計算。求解振幅函數(shù)的關鍵是計算 an和 bn , 所以 M ie 散射

8、的計算難點是求解 an 和bn。M ie散射理論的數(shù)值計算通過以上分析可知 , M ie散射計算的核心是求解 an 和bn ,我們編制程序也是圍繞它進行編寫。在an 和bn 的表達式中n ( ) , n ( ) , n ( ) 和n ()滿足下列遞推關系 :這些函數(shù)的初始值為 ;與散射角有關的n ( ) 和 n ( ) 滿足下列遞推公式 :有了這些遞推公式可以很方便地通過計算機程序求解。但是對于n 的大小 ,因為計算機不可能計算無窮個數(shù)據(jù),所以 n 在計算之前就要被確定。散射理論基礎與 Matlab 實現(xiàn)若散射體為均勻球體 , 如圖 1 所示 , 照射光為線偏振平面波 , 振幅為 E , 光強

9、 I0 , 沿z 軸傳播 , 其電場矢量沿 x 軸振動。散射體位于坐標原點 O , P 為觀測點。散射光方向 ( OP 方向 ) 與照射光方向 ( z 軸) 所組成的平面稱為散射面 , 照射光方向至散射光方向之間的夾角稱為散射角 , 而x 軸至 OP在 xy 平面上投影線( OP) 之間的夾角稱為極化角。觀測點與散射體相距r 。根據(jù)經(jīng)典的 Mie 散射理論 , 散射粒子的尺度參數(shù)為= 2 a/ , 其中 a 為球形粒子的半徑 , 散射粒子相對周圍介質的折射率為m = m1 +i *m2 。則散射光垂直于散射面和平行于散射面的兩個分量的振幅函數(shù)為:以上式中：J n+1/ 2 ( z )和Y n+

10、1/ 2 ( z )分別為半整數(shù)階的第一類, 第二類貝塞爾函數(shù)。P(1) n (cos ) 為一階 n 次第一類締合勒讓德函數(shù); Pn (cos ) 為第一類勒讓德函數(shù)。在數(shù)值模擬過程中選取初始下:微粒子對光的散射和吸收是電磁波與微粒子相互作用的重要特征 , 而微粒對電磁輻射的吸收與散射與粒子的線度有密切關系 , 對于不同線度的粒子必須應用不同的散射理論。 Mie 散射理論主要用于從亞微米至微米的尺寸段 ; 在微米以下至納米的光散射則近似為形式更明晰簡單的瑞利散射定律 , 散射光強烈依賴于光波長 ( I - 4 ) ; 而對大于微米至毫米的大粒子則近似為意義明確的夫朗和費衍射規(guī)律了。Mie散射

11、理論給出了球型粒子在遠場條件下的散射場振幅an 、bn 以及粒子內部電磁場振幅 cn 、 dn 的計算表達式 , 通常稱為 Mie 散射系數(shù)式中 m 表示微粒子外部介質的相對折射率 ,x =a ,a 為球的半徑 , = 2/ 稱為波數(shù) , 為相對磁導率 , 即球的磁導率與介質磁導率的比值 ,j n(x) 和h(1) n (x) 分別為第一類虛宗量球 Bessel 函數(shù)和 Hankell 函數(shù)。散射系數(shù) , 消光系數(shù)及偏振狀態(tài)下散射相位函數(shù)：散射截面 sca( 散射率 Qsca ) 、吸收截面 abs ( 吸收率 Qabs) 、消光截面 ext ( 消光率 Qext ) 、后向散射截面 b (

12、后向散射率 Qb) 以及輻射壓力 pr ( 輻射壓力效率 Qpr ) 。其表達式如下 :其中 i為sca 、abs、ext、pr 分別表示散射、吸收、消光、輻射壓力。按照能量守恒定律有:Qpr （輻射壓力效率的計算公式）:Qb（后向散射系數(shù)）：這些都是無窮級數(shù)求和 , 在實際計算過程中必須取有限項,Bohren和Huffman 給出了級數(shù)項最大值取舍的標準:對于單位振幅入射波經(jīng)微粒散射后 , 其散射場振幅的大小與散射角有關 , 在球坐標系下 , 遠場散射振幅的大小為 :其中 S1 和S2 為散射輻射電場在垂直及平行于散射面的兩個偏振分量。微球內部場振幅計算公式顆粒內部電場強度為 :其中 M和

13、N 為矢量波球諧函數(shù) , 在球坐標系中定義如下:吸收截面 Qabs具有損耗介質顆粒的吸收截面為：其中是粒子相對介電常數(shù)的虛部, 經(jīng)整理可得 :式中 mn 、nn 為:實際上由 Mie 散射理論可知 , 上式中的積分項為電場強度的平方對角度、全空間積分的平均值 , 即 :于是吸收效率為 :式中 x= rk = z/ m。當 x n 1時即瑞利散射情況 , 顆粒的內部平均場強為常數(shù),其值為 :Improved Mie scattering algorithmsMie 計算存在的問題就是如何最有效地構造 Mie計算，同時保證準確性和避免數(shù)值的不穩(wěn)定性和病態(tài)。 Mie計算以耗時著稱， 首先無窮項級數(shù)

14、N的求和，例如：100 m 的水滴在 m 的可見光散射情況下，大約需 1260項求和。其次，典型的計算都希望能對一系列半徑（如對尺寸分布求積分）、一系列波長（如對太陽光譜求積分）及一系列折射率求和（如通過散射參量反推折射率）。當折射率虛部mIm 很大時，用向后循環(huán)法求An很不穩(wěn)定。而向前遞推總是穩(wěn)定的（但向后遞推安全時，總是優(yōu)先選擇，因為其計算速度很快）。得出允許向后遞推的經(jīng)驗標準：用正確的向前地推與相對應的向后地推做比較，當發(fā)現(xiàn)對和 g的相對誤差超過 10-6時，認為計算失敗。對于一對確定的(x,m Re) ，我們采用向后遞推尋找第一個循環(huán)失敗的研究表明：對于確定的，的值隨著 x的增加很快趨

15、向于一個確定值。對如果在任意角度下 S1、 S2 的實部和虛部的相對誤差超過10 5 時，認為對 S1 和S2 的向后遞推失敗。（而此時， Qsca Qext 并不受影響，因為當 S1， S2 的相對誤差達到 10 5 時， Qsca Qext 的相對誤差總維持在 10 10 以下。）對 S1和 S2對散射強度和偏正度連分式算法總結：Mie 散射計算的核心是計算 an 和bn其中 ( ) =J ( ) ,( ) =J ( ) + i Y( ) , J 和Y分別是第一和二類貝塞耳函數(shù) , 稱為當量直徑 , = 2 r/ , r是球形顆粒的真實半徑 , 是入射光的波長 , m 為折射率式中 為函數(shù)

16、任一自變量。貝塞耳函數(shù)遞推關系式：Mie 散射計算中 J n 、Yn 、Dn 的計算是關鍵和難點 。對于 Dn , 我們采用的是 Lentz的連分式的算法 :Lentz證明有如下關系 :其中，。我們注意到當時，。所以可以利用上式累積相乘直到滿足精度要求。( 可根據(jù)精度要求例如 10-7 來確定所要達到的 k值)對于 J 、Y的生成本文也采用連分式的算法。具體方案如下:令 C=J ( ) / J ( ) , 根據(jù)貝塞耳差積公式：由以上二式整理得：上式中 Cn 的計算是采用類似于 Dn 的連分式的形式 , 計算中可調用同一函數(shù)計算。若已知初值：這樣就可計算出各級 J n和Yn 。William關于

17、連分式的文章：其中以為基礎，采用貝塞爾函數(shù)比值的連分式表示法：用此法可產(chǎn)生所有的，盡管耗時，但能減少存儲需求。同時可通過計算高階值，使用下面的遞推公式，從后往前算出其他值。，利不像一般的函數(shù)， 貝塞爾函數(shù)的比值一旦超過可控制的邊界，就不再增長， 初始的高階 值決定了所有低階值的準確性，因此，采用新方法計算準確的初始比值是必要的。處于分母位置的 +號表示分母上加上一個特殊的連分式。類似于上式中的表示形式。定義一種新的符號：Lentz 給出了 n階部分收斂值為：例如：實變量，虛數(shù)計算過程：米散射學習目前所遇到的困難： 到底怎樣的計算結果才算正確， 如何能找到一個米散射計算結果準確又有效的數(shù)據(jù)庫，來

18、驗證自己算法及程序的正確性。倒退式算法的總結：Dn 的計算采用 Dave 的倒推式 :由于 Dn 函數(shù)有很強的收斂性 , 對于 Dn 的倒推計算的初值的選取有很強的隨意性。因為當 n時 Dn ( m) 0 , 所以可以取 0 作為初值。倒推起點選取大一些 , 可以保證 Dn 函數(shù)的收斂完全 , 但是同時卻增加了計算時間。所以必須選取一個最佳的選擇標準。通過試算 , 作者認為最佳的上限為這里 m1 是復折射率的實部 .同樣 , 對于貝塞耳函數(shù) J n的計算也可以用倒推的方法計算產(chǎn)生:上式是一個普通的 J n 的遞推式 , 知道了 J n 和J n - 1 ,可以順利地計算出所有的 J n 序列值。為了避免計算 J n的繁瑣而又能發(fā)揮遞推式的快速的優(yōu)點, 采用下面的辦法 : 假設 N 時 , 取某一個遞