2022年初一數(shù)學(xué)一題多解2

1、例題一、 如圖 1，已知 ab/cd，試找出b、bed和d的關(guān)系并證明。我們找出他們的關(guān)系是：dbbed。證明如下：方法一：如圖 2， 過(guò)點(diǎn) e作 ef/ab 。 因?yàn)閑fab /， 所以bbef； 因?yàn)閏dab/，efab/，所以cdef /，所以dfed，所以dbfedbefbed。方法二：如圖3，過(guò)點(diǎn) e作 ef/ab 。因?yàn)閑fab /， 所以180bbef， 即bb ef180； 因?yàn)閏dab/，efab/，所以cdef /，所以180dfed，即dfed180；因?yàn)?60fedbedbef，所以)180180(360)(360dbfedbefbeddb。方 法 三 ： 如 圖4，

2、連 接bd。 因 為cdab/， 所 以1 8 0bdcabd， 即)(180edbebdedcabe；在bed中，)(180edbebdbed，所以edcabebed。方法四：如圖5，過(guò)點(diǎn)e做abfg，垂足為點(diǎn)f，交 cd于點(diǎn) g。因?yàn)閏dab/，所以90180efbegd；在直角 egd中，dged90，在直角 efb精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁(yè)，共 7 頁(yè) - - - - - - - - -中，bfeb90，所以)9090(180)(180bdfebgedbeddb。方法五：如圖6，延長(zhǎng) be交 cd于點(diǎn) f。因?yàn)閏d

3、ab /，所以befd；在 efd中，feddefd180，又因?yàn)閒edbed180，所以dbde f db e d。例題二、 證明：如果一個(gè)三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形已知：如圖1，在 abc中， ad=bd=cd求證： abc是直角三角形證法 1如圖 1，利用兩銳角互余ad=cd ，cd=bd ， 1=a， 2=b。在 abc中， a+b+acb=180 ， a+b+ 1+2=180，2（ a+b）=180， a+b=90， acb=90 ， abc是直角三角形。證法 2如圖 2，利用等腰三角形的三線合一延長(zhǎng) ac到 e使 ce=ac ，連接 be ad=b

4、d ，cd是 abe的中位線be21cd。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁(yè)，共 7 頁(yè) - - - - - - - - -ab21cd，ab=be bc ac ， abc是直角三角形證法 3如圖 3，利用此三角形與某個(gè)直角三角形相似（或全等）過(guò)點(diǎn) d作 debc交 bc于點(diǎn) ecd=bd ，bc21be，21abbdbcbe， b是公共角， bde bac 。 acb= deb=90 ， abc是直角三角形。證法 4如圖 4，利用如果一條直線垂直于兩平行線中的一條，則也垂直于另一條取 bc中點(diǎn) e，連接 dead=bd ， de

5、是 abc的中位線de ac cd=bd ，ce=be ，de bc ac bc ， abc是直角三角形證法 5如圖 5，構(gòu)造四邊形，并證其為矩形延長(zhǎng) cd到 e使 de=cd ，連接 ae 、be ad=bd=cd精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁(yè)，共 7 頁(yè) - - - - - - - - -ad=bd=cd=de,且 ab=ce 四邊形 abcd 是矩形 acb=90 ， abc是直角三角形證法 6如圖 6，利用勾股定理的逆定理設(shè) ac=b ，bc=a ，ab=c，取 bc中點(diǎn) e，連接 de de是 abc的中位線b21a

6、c21de。cd=bd ， de bc 。在 rtdeb中，222bdbede，222c21a21b21。222cba， abc是直角三角形。證法 7如圖 7，利用兩直線平行，再證同旁內(nèi)角相等。延長(zhǎng) cd到 e使 de=cd ，連接 be 。ad=bd ， 1=2， adc bde （sas ）， acd= e，ac=be ，ac be ， acb+ ebc=180 。又 ad=cd ， ab=ce 。bc是公共邊， acb ebc （sss ）。 acb= ebc 。 acb=90 ， abc是直角三角形。證法 8如圖 8，利用直徑所對(duì)的圓周角是直角。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - -

7、- - - - - - - - - - - - 第 4 頁(yè)，共 7 頁(yè) - - - - - - - - -以 d為圓心， da長(zhǎng)為半徑作圓。ad=bd=cd，點(diǎn) c、b在圓上， ab是直徑。 acb=90 。 abc是直角三角形。例題三、 某人買 13 個(gè)雞蛋、 5 個(gè)鴨蛋、 9 個(gè)鵪鶉蛋， 共用去 9.25 元，如果買 2 個(gè)雞蛋、4 個(gè)鴨蛋、 3 個(gè)鵪鶉蛋，則共用去3.20 元，試問(wèn)只買雞蛋、鴨蛋、鵪鶉蛋各1 個(gè)，共需多少錢？這類題目的特點(diǎn)是所能列出的方程的個(gè)數(shù)少于未知數(shù)的個(gè)數(shù)，看似不可解， 但由于所求的并不是每一個(gè)未知數(shù)的值，而是一個(gè)代數(shù)式的值。所以可解。 這類題對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是有一些難度的

8、，但如果掌握了以下方法，既可以化繁為簡(jiǎn)，又可以收到一題多解，提高學(xué)生能力的效果。下面讓我們先來(lái)列出方程。設(shè)雞蛋、鴨蛋、鵪鶉蛋的單價(jià)分別為x、y、z 元，則根據(jù)題意，可得方程20.334225. 99513zyxzyx，求zyx的值。解法一：變?cè)ǎ喊?z 看成常數(shù)，解關(guān)于x、y 的方程，可得20101121zyzx然后代入所求式zyx中，得：05.120101121zzzzyx答：只買雞蛋、鴨蛋、鵪鶉蛋各1 個(gè)，共需1.05 元。解法二：直接構(gòu)造法：因?yàn)轭}目中要求zyx的值，所以將原方程互助組變形直接構(gòu)造出zyx。20. 32)(425.948)( 520.334225. 99513zxzyx

9、zxzyxzyxzyx4+得05.22)(21zyx05.1zyx精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁(yè)，共 7 頁(yè) - - - - - - - - -答：略解法三：間接構(gòu)造法：將原方程組中的兩邊同乘以常數(shù)a，的兩邊同乘以常數(shù)b，得bbzbybxaazayax20.334225. 99513+得bazbaybaxba20.325.9)39()45()213(我們想要求的代數(shù)式是x+y+z，令bababa3945213可得 a=1，b=4，代入上式得 21x+21y+21z=9.25+12.80=22.05 x+y+z=1.05 例題四

10、、三角形一題多解如圖：已知 ab=ac ，e是 ac延長(zhǎng)線上一點(diǎn)， 且有 bf=ce ，連接 fe交 bc于 d。求證： fd=de 。證法一證明：過(guò)e點(diǎn)作 em ab交 dc延長(zhǎng)線于m點(diǎn)，則 m= b，又因?yàn)?acb=b acb= ecm= m ，所以 ce=em ，又 ec=bf 從而 em=bf ， bfd= dem 則 dbf dme ，故 fd=de ；證法二證明：過(guò)e點(diǎn)作 em ab交 dc延長(zhǎng)線于m點(diǎn)，則 m= b，又因?yàn)?acb= b acb= ecm= m ，所以 ce=em ，又 ec=bf 從而 em=bf ，bfd= dem 則 dbf dme ，故 fd=de ；證法

11、二證明：過(guò)f點(diǎn)作 fm ae ，交 bd于點(diǎn) m ，則 1=2 = b 所以 bf=fm ，又4= 3 5=e 所以 dmf dce ，故 fd=de 。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁(yè)，共 7 頁(yè) - - - - - - - - -例題五、平行四邊形一題多解如圖 4，平行四邊形 abcd中 ad=2ab,e 、f在直線 ab上，且ae=bf=ab, 求證： dfce. 證法一、易知 adf 、bce為等腰三角形，故1=f, 2=e,又 cd ab,故 3=f, 4=e,從而 1=3， 2= 4，而1+2+3+4=1800，故

12、3+4=900，表明 cod=900，所以 dfce。證法二、如圖5，連接 mn ，則 cd=bf, 且 cd bf ，故 bfcd為平行四邊形，則cn=bn=ab, 同理 ,dm=ma=ab, 故 cn=dm 且 cn dm ，得平行四邊形 cdmn ，易見(jiàn) cd=dm，故 cdmn 也是菱形， 根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直，結(jié)論成立。證法三、如圖6，連接 bm 、an, 可證 afn中， bn=bf=ba, 則afn為直角三角形，即df an,利用中位線定理可知an ce，故 dfce 。證法四、如圖7，作 dg ce交 ae延長(zhǎng)線于g，則 eg=cd=ab=ae, 故ad=ag=af, 從而 dfdg,而 dgce, 故 df ce 例題六、 如圖所示，一個(gè)長(zhǎng)為a，寬為 b 的矩形，兩個(gè)陰影都是長(zhǎng)為c 的矩形與平行四邊