高等傳熱學(xué)作業(yè)

1、第一章1-4、試寫出各向異性介質(zhì)在球坐標(biāo)系中的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱方程，已知坐標(biāo)為導(dǎo)熱系數(shù)主軸。解：球坐標(biāo)微元控制體如圖所示：熱流密度矢量和傅里葉定律通用表達(dá)式為： （1-1） 根據(jù)能量守恒： （1-2）導(dǎo)熱速率可根據(jù)傅里葉定律計(jì)算： （1-3）將上述式子代入（1-4-3）可得到對于各向異性材料，化簡整理后可得到： （1-6）第二章2-3、一長方柱體的上下表面(x=0，x=)的溫度分別保持為和，兩側(cè)面()向溫度為的周圍介質(zhì)散熱，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為。試用分離變量法求解長方柱體中的穩(wěn)態(tài)溫度場。解：根據(jù)題意畫出示意圖：（1） 設(shè)，根據(jù)題意寫出下列方程組 （2-1）解上述方程可以把分解成兩部分和兩部分分別求解，然后

2、運(yùn)用疊加原理得出最終溫度場，一下為分解的和兩部分： （2） 首先求解溫度場用分離變量法假設(shè)所求的溫度分布可以表示成一個x的函數(shù)和一個y的函數(shù)的乘積，即 （2-2）將上式代入的導(dǎo)熱微分方程中，得到，即，上式等號左邊是x的函數(shù)，右邊是y的函數(shù)，只有他們都等于一個常數(shù)時才可能成立，記這個常數(shù)為。由此得到一個待定常數(shù)的兩個常微分方程 （2-3）解得 （2-4） （2-5）把邊界條件代入（2-3-4）得到A=0，所以有 （2-6）把邊界條件代入（2-3-5）得到D=0，所以有 （2-7）把邊界條件聯(lián)立（2-3-7）得到 （2-8）設(shè)，則有，這個方程有無窮多個解，即常數(shù)有無窮多個值，即，所以對應(yīng)無窮多個，

3、即，所以有 （2-9）聯(lián)立（2-3-6）可得 （2-10）把邊界條件代入上式可得 （2-11）解得 （2-12）其中 （2-13）（3） 求解溫度場與解一樣用分離變量法，假設(shè)所求溫度分布可以表示成一個x的函數(shù)和一個y的函數(shù)的乘積 （2-14）將該式子代入的導(dǎo)熱微分方程中得到，即，由此可得到兩個常微分方程 （2-15） （2-16）解式（2-3-15）時根據(jù)x的邊界條件可以把解的形式寫為 （2-17）把邊界條件代入上式，得到A=0，所以有 （2-18）其中 （2-19）把邊界條件代入上式可得 （2-20） （2-21） （2-22）（4） 最終求得穩(wěn)態(tài)溫度場 2-5、地?zé)釗Q熱器是管中流動的流體與

4、周圍土地之間的換熱，可應(yīng)用于熱能的儲存、地源熱泵等工程實(shí)際。一種布置方式是把管子埋設(shè)在垂直于地面的鉆孔中。由于管子的長度遠(yuǎn)大于鉆孔的直徑，可把管子的散熱簡化為一個有限長度的線熱源。當(dāng)運(yùn)行的時間足夠長以后，系統(tǒng)可以達(dá)到基本穩(wěn)定的狀態(tài)。設(shè)土地是均勻的半無限大介質(zhì)，線熱源單位長度的發(fā)熱量為ql，地表面的溫度均勻，維持為t0。使用虛擬熱源法求解土地中的穩(wěn)態(tài)溫度場。解：根據(jù)題意畫出示意圖如下： 設(shè)有限長熱源長度為H，單位長度熱源發(fā)熱量為，電源強(qiáng)度為，設(shè)地面溫度維持恒定溫度。（1） 求解點(diǎn)熱源dz0產(chǎn)生的溫度場有限長線熱源在某點(diǎn)產(chǎn)生的溫度可以看做是許多點(diǎn)源在該點(diǎn)產(chǎn)生的溫度場的疊加，因此我們先來看下無限大介

5、質(zhì)中點(diǎn)源產(chǎn)生的溫度場，這是一個球坐標(biāo)系中的無內(nèi)熱源的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題，其導(dǎo)熱微分方程為： （3-1） 解微分方程可得 （3-2）把邊界條件代入上式得到，所以有 （3-3）在球坐標(biāo)系點(diǎn)熱源單位時間內(nèi)的發(fā)熱量等于它在任意球面上產(chǎn)生的熱流量Q，即 （3-4）所以得到由此可得到球坐標(biāo)系中點(diǎn)熱源產(chǎn)生的溫度場為 （3-5）（2） 分別求出兩個線熱源產(chǎn)生的溫度場線熱源產(chǎn)生的溫度場可以看作是點(diǎn)熱源產(chǎn)生的溫度場的疊加，因此有地下有限長線熱源產(chǎn)生的溫度場 （3-6）對稱的虛擬熱源產(chǎn)生的溫度場為 （3-7）（3） 虛擬熱源法求解的地?zé)釗Q熱器產(chǎn)生的溫度場 （3-8） 第三章3-1、用熱電偶測量呈簡諧波周期變化的氣流溫度，

6、熱電偶的感溫節(jié)點(diǎn)可看作直徑為1mm的圓球，其材料的密度為8900kg/m3，比熱容為390J/(KgK)，測溫記錄最高和最低溫度分別為130和124，周期為20s。若已知?dú)饬髋c熱電偶間的對流換熱的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為20W/(m2K)，試確定氣流的真實(shí)溫度變化范圍。解：氣流溫度按簡諧波變化時，熱電偶的溫度響應(yīng)為 （4-1）式中按題目要求，根據(jù)題目提供的熱電偶測量的最高溫度、最低溫度，求出熱電偶測量的溫度變化的振幅如下式 （4-2）把的數(shù)據(jù)代入上式中得到氣流溫度變化的振幅，所以真實(shí)氣體溫度變化的最大值、最小值為 （4-3） （4-4）3-6、已知初始溫度均勻的無限大介質(zhì)中由連續(xù)恒定發(fā)熱的線熱源所引起的

7、溫度場由式子確定。若線熱源的加熱不是連續(xù)的而是間歇的，即從的時刻起，線熱源進(jìn)行周期性的間歇加熱，周期為T，其中加熱的時段為T1，其余的T-T1時間不加熱。試?yán)镁€性疊加原理確定介質(zhì)中的溫度響應(yīng)。解：無限大介質(zhì)連續(xù)恒定發(fā)熱的線熱源引起的溫度場： （5-1）其中：對于隨時間變化的熱流可以用一系列連續(xù)的矩形脈沖熱流來近似如圖所示：由疊加原理得到時刻的溫度變化為： （5-2）對于間歇性的脈沖，令為運(yùn)行份額，如果在整個運(yùn)行期間的平均熱負(fù)荷為，則脈沖加熱的強(qiáng)度為，具體見下圖：由疊加原理得到： （5-3）即溫度響應(yīng)為 （5-4）第四章4-1、處在x>0的半無限大空間內(nèi)的一固體，初始溫度為溶解溫度tm。

8、當(dāng)時間時，在x=0的邊界上受到一個恒定的熱流q0的作用。使用積分近似解得方法確定固液界面位置隨時間變化的關(guān)系式。溫度分布按二次多項(xiàng)式近似。解：設(shè)過余溫度，邊界條件為 （6-1） （6-2）熱平衡方程為 （6-3）其中L是潛熱，用二次多項(xiàng)式近似固相區(qū)中的溫度分布，設(shè) （6-4）由邊界條件（6-1）可知，則 （6-5）由邊界條件（6-2）變形，代入（6-3）式可得 （6-6）將（6-4）代入上式得到 （6-7）聯(lián)立（6-5）和（6-7）兩個式子，可解得 （6-8）將（6-4）代入（6-3）得到 （6-9）其中，所以有，代入A的值即得 （6-10）變形可得到 （6-11）積分可得到 （6-12）化簡

9、整理可得界面隨時間的變化方程為 （6-13）第六章6-4、常物性流體在兩無限大平板之間作穩(wěn)態(tài)層流運(yùn)動，下板靜止不動，上板在外力作用下以恒定速度U運(yùn)動，試推導(dǎo)連續(xù)性方程和動量方程。解：按照題意可以寫出 （7-1）故連續(xù)性方程為 （7-2）可以簡化為 （7-3）因流體是常物性，不可壓縮，NS方程為X方向上： （7-4）簡化為 （7-5）Y方向上： （7-6）可簡化為 （7-7）第七章7-3、試證明：當(dāng)時流體外掠平板層流動邊界層換熱的局部努塞爾數(shù)為 證明：適用于外掠平板的層流邊界層的能量方程為 （8-1）常壁溫的邊界條件為 （8-2） （8-3）引入一量綱溫度 ，則上述能量方程變?yōu)?（8-4）引入相

10、似變量 ，得到 （8-5） （8-6） （8-7）將上面的三個式子代入（8-4）可得到 （8-8）當(dāng)時，速度邊界層厚度遠(yuǎn)小于溫度邊界層厚度，可近似認(rèn)為溫度邊界層內(nèi)速度為主流速度，即，由此可得 （8-9）求解得到 則 （8-10）第八章8-2、常物性不可壓縮流體在兩平行平板之間作層流流動，下板靜止，上板以勻速U運(yùn)動，板間距為2b，證明充分發(fā)展流動的速度分布為 解：二維流體質(zhì)量、動量方程為 （9-1） （9-2） （9-3）在充分發(fā)展區(qū)，截面上只有沿流動方向上的速度u在斷面上變化，法向速度v可以忽略不計(jì)，因此可由（9-1）得到 （9-4）將（9-4）式代入（9-3）得到，表明壓力P只是流動方向x的

11、函數(shù)，即流道斷面上壓力是均勻一致的進(jìn)一步由（9-2）可得 （9-5）相應(yīng)的邊界條件為 （9-6） （9-7）對（9-5）積分可得到 （9-8） （9-9）代入邊界條件得到，因此有 （9-10）第九章9-3、流體流過平壁作湍流邊界層流動，試比較粘性底層、過渡區(qū)和湍流核心區(qū)的大小。解：流體流過平壁作湍流邊界層流動時，一般將邊界層分為3個區(qū)域： 粘性底層： 緩沖層： 湍流核心： 其中因此可以得出，湍流核心區(qū)最大，緩沖層其次，粘性底層最小。粘性底層是靠近壁面處極薄的一層，速度耗損大。過渡區(qū)處于粘性底層與湍流核心區(qū)之間，范圍很小。第十章10-3、一塊平板，高0.5m，寬0.5m，壁溫保持在30，豎直放入

12、120的油池中，求冷卻熱流。解：物性取膜溫 （11-1）查油的物性表得到： 瑞利數(shù)為 （11-2）平均努塞爾數(shù)為 (11-3)因此 (11-4)得到 (11-5)第十一章11-3、有一漫輻射表面，單色吸收比如下圖所示。在太空中，正面受到太陽輻射，輻射力為1394w/，背面絕熱。試求表面的平衡溫度。解：假定太陽輻射相當(dāng)于5800K的黑體輻射全波長半球向吸收率為 （12-1）利用，得到 （12-2）由 得到，因此 （12-3）由于漫射性質(zhì)，因此可得到 （12-4）假定最終平板的溫度在600K以下，得到 （12-5）平板背面絕熱，由平板能量平衡方程得到 （12-6）代入數(shù)據(jù)后解得 （12-7）第十二章13-3、兩無限大平行平板，表面1溫度為1500K，單色發(fā)射率在波段為0.4，在波段為0.9，其他波段為0。表面2溫度為1000K，單色發(fā)射率在波段為0.7，其他波段為0.3。試求輻射換熱。解：由題可得表面1的發(fā)射率為 （13-1）其中，同理求得表面2的發(fā)射率為 （13-2）其中，由玻爾茲曼定律可求得同溫下黑體的總輻射量為 （13-3） （13-4）因?yàn)楸砻?