談一元二次方程求解方法

1、談一元二次方程求解方法一元二次方程的求解和應(yīng)用是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，方程 思想也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種重要思想.一元二次方程的解法 以一元一次方程為基礎(chǔ)，解一元二次方程的基本思想就是降 次，把二次變?yōu)閮蓚€(gè)一元一次方程再求解.一元二次方程的 一般形式為ax2 + bx + c = 0,特點(diǎn)是只含有一個(gè)未知數(shù)， 未知數(shù)的最高次數(shù)是2,且是整式方程，如果不是整式方程, 需要先把它整理成整式方程再進(jìn)行判斷.一元二次方程的 基本解法有四種：1.直接開平方法；2.配方法；3.公式 法；4.因式分解法.下面我們將舉例分析這四種方法的運(yùn) 用.例1用直接開方法解下面的一元二次方程.(1) (3x +1)2 = 9；

2、(2) (3x - 2) 2 = (x + 4) 2.分析直接開平方法就是用直接開平方求解一元二次方 程的方法.用直接開平方法解形如(x - m) 2二n (n 2 0) 的方程，就可以把方程變?yōu)閤-m二土通過觀察可以發(fā) 現(xiàn)(1)、(2)兩個(gè)小題可以用直接開方法來求解.第(3) 題方程左邊是個(gè)完全平方的展開式，可以把左邊變?yōu)槠椒降?形式再使用直接開方法.第(4)小題的方程左邊是平方差 的展開式，可以把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊再求解.解(1) (3x + 1) 2 二 9直接兩邊開方，得：3x + 1 = ±3.(注意，不能漏了 -3).由 3x + 1 二 3 得 xl 二，由 3x +

3、1 二3 得 x2 二，原方程的解為：xl = , x2 = 一(2) (3x - 2) 2 = (x + 4) 23x - 2 = x + 4 或 3x 2 二一 (x + 4) 由 3x - 2 = x + 4 得 xl = 3,由 3x - 2 = - (x + 4)得 x2 = -,原方程的解為：xl二3，x2二-說明用直接開方法解一元二次方程，一般不用把方程 轉(zhuǎn)化為一般形式，再兩邊同時(shí)開方的時(shí)候應(yīng)注意方程只需在 一邊取正負(fù)號(hào)，還應(yīng)注意不要丟解.例2用配方法解下列一元二次方程.(1) 2x2 4x 2 二 0； (2) 3x2 4x 2 二 0.分析用配方法解方程ax2 + bx +

4、c二0 (a h 0),應(yīng) 先將二次項(xiàng)系數(shù)化為1,常數(shù)a移到方程右邊，再將方程左 邊配成完全平方的形式.第(1)題可變?yōu)閤2 - 2x = 1,然 后在方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，第(2) 題在配方時(shí)應(yīng)特別注意在方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)的 一半的平方.配方之后，就可以按照直接開方法來解方程了.解(1) 2x2 4x 2 二 0.二次項(xiàng)系數(shù)化為1,移常數(shù)項(xiàng)，得：x2 - 2x二1.配方，得：x2 2x + 12 = 1 + 12,即（x - 1） 2 = 2.說明在使用配方時(shí)應(yīng)按下面的步驟進(jìn)行：先把二次項(xiàng) 系數(shù)化為1,并把常數(shù)項(xiàng)移到一邊；再在方程兩邊同時(shí)加上 一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.

5、最后變?yōu)橐贿吺峭耆椒降男问?就可以用直接開方法進(jìn)行解題.例3用公式法解3x2 + 4二7x.分析用公式法就是指利用求根公式x = ,使用時(shí)應(yīng) 先把一元二次方程化成一般形式，確定a, b, c的值，然后 代入到公式中進(jìn)行計(jì)算.或者也可以先計(jì)算b2 - 4ac的值, 當(dāng)b2 - 4ac$ 0時(shí)，把各項(xiàng)系數(shù)a, b, c的值代入求根公 式即可得到方程的根.先判斷解的情況之后，如果0,代入求根公式：x = , xl = , x2 = 1.說明公式法是解一元二次方程的通用的方法，如果對(duì) 其他方法不熟悉的情況下，都可以使用公式法來解一元二次 方程，因此，這個(gè)公式一定要熟記.用公式法一定要先把方 程轉(zhuǎn)化為

6、一般形式，明確公式中字母在題中所表示的量，再 代入公式進(jìn)行計(jì)算.注意最后的根如果有根號(hào)要化成最簡(jiǎn) 形式.例4用分解因式法解6x2 + x - 15 = 0.分析分解因式法就是把方程的一邊變?yōu)橐蚴较喑说男?式，另外一邊的值為0,解題的方法就是讓兩個(gè)一次因式分 別等于零，得到兩個(gè)一元一次方程，解這兩個(gè)一元一次方程 所得到的根，就是原方程的兩個(gè)根.第(1)題已經(jīng)是一般 式，可直接對(duì)左邊分解因式；第(2)題要先整理成一般形 式再進(jìn)行分解因式.解左邊分解成兩個(gè)因式的積得：(2x- 3) (3x + 5)= 0.二 2x - 3 = 0, 3x + 5 = 0,二 xl = , x2 = -說明在使用分解因式法時(shí)，方程的一邊一定要化為0, 這樣才能把方程拆為兩個(gè)一元一次方程達(dá)到降次的目的.從上述例題來看，解一元二次方程的基本思路是用各種 方法把二次降為一次，向一元一次方程轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化的方法主 要為直接開方法，配方后再直接開方，因式分解并使另一邊 的值為