高等教育最新課件

1、高等教育PPT課件 (2)1第四節(jié)第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性 與曲線的凹凸性與曲線的凹凸性一、單調(diào)性的判別法一、單調(diào)性的判別法二、單調(diào)區(qū)間求法二、單調(diào)區(qū)間求法三、曲線凹凸的定義三、曲線凹凸的定義四、曲線凹凸的判定四、曲線凹凸的判定五、曲線的拐點(diǎn)及其求法五、曲線的拐點(diǎn)及其求法六、凹凸性小結(jié)六、凹凸性小結(jié)高等教育PPT課件 (2)2一、單調(diào)性的判別法一、單調(diào)性的判別法xyo)(xfy xyo)(xfy abAB)(xf )(xf 定理定理1.),(,)(內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)，在，在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)babaCxfy abBA上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；在在，則，則內(nèi)內(nèi)若在若在）（,)(0)(),(1baxfx

2、fba .,)(0)(),()2(上上單單調(diào)調(diào)減減少少在在，則則內(nèi)內(nèi)若若在在baxfxfba 0 0 高等教育PPT課件 (2)3證證（1）,21baxx ,21xx 且且應(yīng)用拉氏定理應(yīng)用拉氏定理, ,得得)()()()(211212xxxxfxfxf , 012 xx, 0)(),( xfba內(nèi)，內(nèi)，若在若在, 0)( f則則).()(12xfxf .,)(上單調(diào)增加上單調(diào)增加在在baxfy (2)同理可證。同理可證。高等教育PPT課件 (2)4例題部分例題部分 單調(diào)性應(yīng)用單調(diào)性應(yīng)用 注注 定理中區(qū)間換成其它有限或無(wú)限區(qū)間，結(jié)論仍成立定理中區(qū)間換成其它有限或無(wú)限區(qū)間，結(jié)論仍成立. .應(yīng)用應(yīng)用

3、1判斷函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間判斷函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 課本課本例例1 判定函數(shù)判定函數(shù) y = = x sinx 在在 0 , 2 上的單調(diào)性上的單調(diào)性. . 解解 因?yàn)橐驗(yàn)?在在( (0 , 2 ) )內(nèi)內(nèi). .xycos1 0 故由定理故由定理1立得立得函數(shù)函數(shù) y = = x sinx 在在 0 , 2 上的單調(diào)增加上的單調(diào)增加. .高等教育PPT課件 (2)5 課本課本例例2 解解 .1e的的單單調(diào)調(diào)性性討討論論函函數(shù)數(shù) xyx. 1 xye,)0 ,(內(nèi)內(nèi)在在 , 0 y上單調(diào)減少；上單調(diào)減少；，函數(shù)在函數(shù)在 0( ,), 0(內(nèi)內(nèi)在在, 0 y . )0, 上上單

4、單調(diào)調(diào)增增加加函函數(shù)數(shù)在在 注意注意 函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)區(qū)間上區(qū)間上的性質(zhì)，要用導(dǎo)數(shù)在的性質(zhì)，要用導(dǎo)數(shù)在這一這一區(qū)間上區(qū)間上的的符號(hào)符號(hào)來(lái)判定，而不能用來(lái)判定，而不能用一點(diǎn)一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)符號(hào)處的導(dǎo)數(shù)符號(hào)來(lái)判別一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性來(lái)判別一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性).,(: D又又. 0 , 01e xyx得得令令高等教育PPT課件 (2)6yxo說(shuō)明說(shuō)明 1. .單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)分界點(diǎn)除除駐點(diǎn)駐點(diǎn)外外,也可是也可是導(dǎo)數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)的點(diǎn). 例如例如課本課本例例3),(,32 xxy,323xy 0 xy32xy 2. .如果函數(shù)在某如果函數(shù)在某駐點(diǎn)駐點(diǎn)兩邊導(dǎo)數(shù)兩邊導(dǎo)數(shù)同號(hào)同

5、號(hào), 則則不改變不改變函數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性單調(diào)性 .例如例如課本課本例例5 ),(,3xxy00 xyyox3xy 3. .熟記熟記單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間的可能可能分界點(diǎn)分界點(diǎn)(1) 駐點(diǎn)駐點(diǎn); ;(2)不可導(dǎo)點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)x = 0不可導(dǎo)點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)230yx 高等教育PPT課件 (2)7二、單調(diào)區(qū)間求法二、單調(diào)區(qū)間求法 方法方法 .,)()(0)(數(shù)數(shù)的的符符號(hào)號(hào)然然后后判判斷斷區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)導(dǎo)導(dǎo)的的定定義義區(qū)區(qū)間間來(lái)來(lái)劃劃分分函函數(shù)數(shù)不不存存在在的的點(diǎn)點(diǎn)的的根根及及用用方方程程xfxfxf 小結(jié)小結(jié)：?jiǎn)握{(diào)區(qū)間的求法步驟：?jiǎn)握{(diào)區(qū)間的求法步驟求定義域求定義域)( xfD ，求駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)求駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)

6、( (可能的分界點(diǎn)可能的分界點(diǎn)) )確定單調(diào)區(qū)間確定單調(diào)區(qū)間列表考察列表考察 f ( (x) )在各個(gè)區(qū)間內(nèi)的符號(hào)在各個(gè)區(qū)間內(nèi)的符號(hào)高等教育PPT課件 (2)8 ).,(:可可導(dǎo)導(dǎo) D 課本課本例例4 確定函數(shù)確定函數(shù)31292)(23 xxxxf的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間.解解12186)(2xxxf)2)(1(6xx令令,0)( xf得得2, 1xxx)(xf )(xf) 1,(2001)2,1 (),2(21故故)(xf的的單調(diào)增單調(diào)增區(qū)間為區(qū)間為, 1,( ;,2 )(xf的的單調(diào)減單調(diào)減區(qū)間為區(qū)間為. 2,112xoy12高等教育PPT課件 (2)9判斷函數(shù)的單調(diào)性或求單調(diào)區(qū)間的判斷函數(shù)的

7、單調(diào)性或求單調(diào)區(qū)間的練習(xí)題練習(xí)題習(xí)題習(xí)題 3-4 P151 1、2、3(1)(2)(3)(5)(7)判斷函數(shù)的單調(diào)性或求單調(diào)區(qū)間的判斷函數(shù)的單調(diào)性或求單調(diào)區(qū)間的作業(yè)題作業(yè)題習(xí)題習(xí)題 3-4 P151 1、3(1)(3)(5)高等教育PPT課件 (2)10 課本課本例例6 證明當(dāng)證明當(dāng)x 1時(shí)時(shí), ,.132xx 證證),3(2)(1xxxf 令令上上連連續(xù)續(xù)，且且在在則則), 1)( xf211)(xxxf xxxx22 xxxxx2)1( 0)1(2 xxx上單調(diào)增加，上單調(diào)增加，在在故故), 1)(xf)1()(1fxfx 時(shí)時(shí)，從從而而當(dāng)當(dāng)0 , 0)3(21 xx故故.132 xx 即

8、即應(yīng)用應(yīng)用2利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式)0( x高等教育PPT課件 (2)11利用單調(diào)性證明不等式的利用單調(diào)性證明不等式的練習(xí)題練習(xí)題習(xí)題習(xí)題 3-4 P151 4 (1)、(2)、(5)利用單調(diào)性證明不等式的利用單調(diào)性證明不等式的作業(yè)題作業(yè)題習(xí)題習(xí)題 3-4 P151 4 (1)高等教育PPT課件 (2)12三、曲線凹凸的定義三、曲線凹凸的定義 問(wèn)題問(wèn)題 單調(diào)性不能反映曲線的單調(diào)性不能反映曲線的彎曲彎曲方方 向；如何研究曲線的向；如何研究曲線的彎曲彎曲方向方向? ?xyoxyo1x2x)(xfy 圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的上方于所張弦的上方xyo)(

9、xfy 1x2x圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的下方于所張弦的下方ABC221xx 221xx 高等教育PPT課件 (2)13定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間 I 上連續(xù)上連續(xù) ,21Ixx (1) 若恒有若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf 則稱(chēng)則稱(chēng)的的)(xf圖形是圖形是凹凹的的;(2) 若恒有若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf 則稱(chēng)則稱(chēng)的的)(xf圖形是圖形是凸凸的的 .xyo1x2x)(xfy xyo)(xfy 1x2x221xx 221xx 高等教育PPT課件 (2)14四、曲線凹凸與拐點(diǎn)的判定四、曲線凹凸與拐點(diǎn)的判定xyo)(xfy xyo

10、)(xfy abAB遞增遞增)(xf abBA0)( xf遞減遞減)(xf 0)( xf【觀察】【觀察】高等教育PPT課件 (2)15 定理定理2 (凹凸判定法凹凸判定法)(xf(1) 在在 I 內(nèi)內(nèi),0)( xf則則 在在 I 內(nèi)圖形是內(nèi)圖形是凹凹的的 ;)(xf(2) 在在 I 內(nèi)內(nèi),0)( xf則則 在在 I 內(nèi)圖形是內(nèi)圖形是凸凸的的 .)(xf設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)在區(qū)間在區(qū)間I 上二階可導(dǎo)上二階可導(dǎo) 注注 定理中區(qū)間定理中區(qū)間I 可以可以為為閉區(qū)間閉區(qū)間也可為也可為非閉區(qū)間非閉區(qū)間. .該定理的記憶方法該定理的記憶方法快樂(lè)是快樂(lè)是“ “ + ”+ ”，悲傷是，悲傷是“ “ - ”- ” 高等教

11、育PPT課件 (2)16 課本課本例例8 .3的的凹凹凸凸性性判判斷斷曲曲線線xy 解解 ,32xy ,6xy 時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x, 0 y為為凸凸的的；在在曲曲線線0 ,( 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x, 0 y為為凹凹的的；在在曲曲線線), 0 .)0 , 0(點(diǎn)點(diǎn)是曲線由凸變凹的分界是曲線由凸變凹的分界點(diǎn)點(diǎn) 注意到注意到 這樣的點(diǎn)稱(chēng)為曲線的這樣的點(diǎn)稱(chēng)為曲線的拐點(diǎn)拐點(diǎn)，定義定義連續(xù)連續(xù)曲線上曲線上凹凸凹凸的的分界點(diǎn)分界點(diǎn) (x0 ，f (x0) 稱(chēng)為稱(chēng)為拐點(diǎn)拐點(diǎn).內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)高等教育PPT課件 (2)17五、曲線的拐點(diǎn)及其求法五、曲線的拐點(diǎn)及其求法 , 000 )( )(,()( 號(hào)號(hào)的左右鄰近變的左右鄰

12、近變?cè)邳c(diǎn)在點(diǎn)必有其二階導(dǎo)數(shù)必有其二階導(dǎo)數(shù)左右臨近凹凸性變化，左右臨近凹凸性變化，在點(diǎn)在點(diǎn)連續(xù)曲線連續(xù)曲線xxfxfxxf 1. .可能可能( (可疑可疑) )拐點(diǎn)的求法拐點(diǎn)的求法 分析分析 (1) . ) )(,( 00就是曲線的一個(gè)拐點(diǎn)就是曲線的一個(gè)拐點(diǎn)則點(diǎn)則點(diǎn)xfx所以要尋求拐點(diǎn)所以要尋求拐點(diǎn), ,只要找出使只要找出使f (x)正負(fù)正負(fù)號(hào)發(fā)生變化的分界號(hào)發(fā)生變化的分界點(diǎn)即可點(diǎn)即可. .如果如果f (x)連續(xù)連續(xù), ,則則f (x)的的值在值在由負(fù)變正由負(fù)變正或或由正變由正變負(fù)負(fù)的過(guò)程中的過(guò)程中, ,必在必在分界點(diǎn)分界點(diǎn)處的值為零處的值為零. .即即0)(0 xf(2) 此外此外, f (x

13、)不存在的點(diǎn)也不存在的點(diǎn)也可能可能是拐點(diǎn)（如下圖）是拐點(diǎn)（如下圖）xyo可能可能的拐點(diǎn)的拐點(diǎn))(,( 0)( 00 xfxxf點(diǎn)點(diǎn)使使 )(,( )(00 xfxxf點(diǎn)點(diǎn)不不存存在在的的 總結(jié)總結(jié)高等教育PPT課件 (2)182. 判定拐點(diǎn)的步驟判定拐點(diǎn)的步驟由此可得求由此可得求拐點(diǎn)的拐點(diǎn)的步驟步驟如下如下:；求求)( , )1(xfD 不不存存在在的的點(diǎn)點(diǎn)；的的根根和和使使）求求（)( 0)(2xfxf 若在其兩側(cè)若在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)變號(hào)二階導(dǎo)數(shù)變號(hào), 則點(diǎn)則點(diǎn)(x0 , f (x0)是是拐點(diǎn)；拐點(diǎn)； : )(, )2(300附附近近的的符符號(hào)號(hào)左左右右兩兩側(cè)側(cè)在在點(diǎn)點(diǎn)考考查查中中求求出出的的

14、根根或或點(diǎn)點(diǎn)）對(duì)對(duì)（xxfx 若在其兩側(cè)若在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號(hào)二階導(dǎo)數(shù)不變號(hào), 則點(diǎn)則點(diǎn)(x0 , f (x0)不是不是拐點(diǎn)；拐點(diǎn)； 可能可能的拐點(diǎn)的拐點(diǎn)高等教育PPT課件 (2)19課本課本例例11判斷曲線判斷曲線4xy 的凹凸性及其拐點(diǎn)的凹凸性及其拐點(diǎn).解解,43xy 212xy 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x;0 y,0時(shí)時(shí) x, 0 y故曲線故曲線4xy 在在),( 上是凹的上是凹的.xyo0 0 x.)0 , 0(不是拐點(diǎn)不是拐點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)結(jié)論結(jié)論由由 例例8和例和例11可知可知 ：二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)：二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)可能是可能是拐點(diǎn)拐點(diǎn) , 也也可能不是可能不是拐點(diǎn)。拐點(diǎn)。高等教育PPT課件 (2)

15、20課本課本例例12 求曲線求曲線3xy 的拐點(diǎn)的拐點(diǎn). 解解,3231 xy3592 xyxy y0)0,(),0( 不存在不存在0 因此點(diǎn)因此點(diǎn) ( 0 , 0 ) 為曲線為曲線3xy 的拐點(diǎn)的拐點(diǎn) .oxy凹凹凸凸結(jié)論結(jié)論2)此例說(shuō)明了此例說(shuō)明了 不存在不存在的點(diǎn)的點(diǎn) 也也可能可能 是是曲線的曲線的拐點(diǎn)拐點(diǎn). .)(0 xf )(,(00 xfx高等教育PPT課件 (2)21xxy24362 )(3632 xx 課本課本例例10 求曲線求曲線14334 xxy的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).解解1) 求求y ,121223xxy 2) 求可能的拐點(diǎn)坐標(biāo)求可能的拐點(diǎn)坐標(biāo)令令0 y得得,0

16、3221 xx對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)3) 列表判別列表判別271121,1 yy)0,(),0(32),(32 y xy032 0012711 故該曲線在故該曲線在0,(),32 及及上是凹的上是凹的,是凸的是凸的 , 點(diǎn)點(diǎn) ( 0 , 1 ) 及及),(271132均為拐點(diǎn)均為拐點(diǎn).上上在在,03232) 1 , 0(),(271132高等教育PPT課件 (2)22函數(shù)的凹凸性拐點(diǎn)函數(shù)的凹凸性拐點(diǎn)練習(xí)題練習(xí)題習(xí)題習(xí)題 3-4 P151 8(1)(4) 、11、12、13函數(shù)的凹凸性拐點(diǎn)函數(shù)的凹凸性拐點(diǎn)作業(yè)題作業(yè)題習(xí)題習(xí)題 3-4 P151 8(1) (2) 、11、12高等教育PPT課件 (2)23六、曲線的凹凸性