彈性力學(xué)100題

1、一、單項(xiàng)選擇題1.彈性力學(xué)建立的基本方程多是偏微分方程，還必須結(jié)合（ C ）求解這些微分方程，以求得具體問(wèn)題的應(yīng)力、應(yīng)變、位移。A相容方程 B近似方法 C邊界條件 D附加假定2.根據(jù)圣維南原理，作用在物體一小部分邊界上的力系可以用（ B ）的力系代替，則僅在近處應(yīng)力分布有改變，而在遠(yuǎn)處所受的影響可以不計(jì)。A幾何上等效 B靜力上等效 C平衡 D任意3.彈性力學(xué)平面問(wèn)題的求解中，平面應(yīng)力問(wèn)題與平面應(yīng)變問(wèn)題的三類基本方程不完全相同，其比較關(guān)系為（ B ）。 A平衡方程、幾何方程、物理方程完全相同 B平衡方程、幾何方程相同，物理方程不同 C平衡方程、物理方程相同，幾何方程不同 D平衡方程相同，物理方程

2、、幾何方程不同4.不計(jì)體力，在極坐標(biāo)中按應(yīng)力求解平面問(wèn)題時(shí)，應(yīng)力函數(shù)必須滿足（ A ）區(qū)域內(nèi)的相容方程；邊界上的應(yīng)力邊界條件；滿足變分方程；如果為多連體，考慮多連體中的位移單值條件。A. B. C. D. 5.如下圖1所示三角形薄板，按三結(jié)點(diǎn)三角形單元?jiǎng)澐趾?，?duì)于與局部編碼ijm對(duì)應(yīng)的整體編碼，以下敘述正確的是（ D ）。 I單元的整體編碼為162 II單元的整體編碼為426 II單元的整體編碼為246 III單元的整體編碼為243 IV單元的整體編碼為564 圖1 A. B. C. D. 6.平面應(yīng)變問(wèn)題的微元體處于（ C ）A.單向應(yīng)力狀態(tài) B.雙向應(yīng)力狀態(tài) C.三向應(yīng)力狀態(tài)，且是一主應(yīng)力

3、 D.純剪切應(yīng)力狀態(tài)7.圓弧曲梁純彎時(shí)，（ C ）A.應(yīng)力分量和位移分量都是軸對(duì)稱的 B.應(yīng)力分量和位移分量都不是軸對(duì)稱的C.應(yīng)力分量是軸對(duì)稱的，位移分量不是軸對(duì)稱的D.位移分量是軸對(duì)稱的，應(yīng)力分量不是軸對(duì)稱的8.下左圖2中所示密度為的矩形截面柱，應(yīng)力分量為：對(duì)圖（a）和圖(b)兩種情況由邊界條件確定的常數(shù)A及B的關(guān)系是（ C ） A.A相同，B也相同 B.A不相同，B也不相同 C.A相同，B不相同 D.A不相同，B相同 圖 2 圖 39、上右圖3示單元體剪應(yīng)變應(yīng)該表示為（ B ）10、設(shè)有平面應(yīng)力狀態(tài)，其中，均為常數(shù)，為容重。該應(yīng)力狀態(tài)滿足平衡微分方程，其體力是（ D ）A. B. C. D

4、.11、函數(shù)如作為應(yīng)力函數(shù)，各系數(shù)之間的關(guān)系是（ B ） A.各系數(shù)可取任意值 B. C. D.12、對(duì)于承受均布荷載的簡(jiǎn)支梁來(lái)說(shuō)，彈性力學(xué)解答與材料力學(xué)解答的關(guān)系是（ C ） A.的表達(dá)式相同 B.的表達(dá)式相同 C.的表達(dá)式相同 D.都滿足平截面假定13、圖4所示開孔薄板的厚度為t，寬度為h，孔的半徑為r，則b點(diǎn)的（ D ） A.q B.qh/(h-2r) C.2q D.3q 圖 414. 所謂“完全彈性體”是指（ A ）。 A. 應(yīng)力應(yīng)變成線性關(guān)系，符合胡克定律； B. 材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系與加載時(shí)間歷史無(wú)關(guān)； C. 本構(gòu)關(guān)系為非線性彈性關(guān)系； D. 卸載后，彈性變形可恢復(fù)。15、對(duì)于常體力

5、平面問(wèn)題，要使函數(shù)作為應(yīng)力函數(shù)，則滿足的關(guān)系是（ A ）A. B. C. D.16、應(yīng)力、面力、體力的量綱分別是（ C ）A.B.C.D.17、彈性力學(xué)的基本假定有哪些（ D ） 連續(xù)性 完全彈性 各向同性 均勻性A. B. C. D. 18、已知一平面應(yīng)變問(wèn)題內(nèi)某一點(diǎn)的正應(yīng)力分量為：，則為多少（ B ）A 15MPa B 18MPa C 20MPa D 22Mpa19、無(wú)體力情況下平面問(wèn)題的應(yīng)力分量如下，試判斷以下兩組應(yīng)力分量可在彈性體中存在的是（ A ）（1） （2）其中，A，B，C，D，E，F(xiàn)為常數(shù)A.（1） B. (2) C.(1)、（2） D.都不可能存在20、設(shè)有周邊為任意形狀的薄

6、板，其表面自由并與坐標(biāo)面平行。若已知各點(diǎn)的位移分量為則板內(nèi)的應(yīng)力分量為（ C ）A. B. C. D. 二、填空題1. 最小勢(shì)能原理等價(jià)于彈性力學(xué)基本方程中： 平衡微分方程 ， 應(yīng)力邊界條件 。2一組可能的應(yīng)力分量應(yīng)滿足： 平衡微分方程 ，相容方程（變形協(xié)調(diào)條件） 。3等截面直桿扭轉(zhuǎn)問(wèn)題中， 的物理意義是 桿端截面上剪應(yīng)力對(duì)轉(zhuǎn)軸的矩等于桿截面內(nèi)的扭矩M 。4. 平面問(wèn)題的應(yīng)力函數(shù)解法中，Airy應(yīng)力函數(shù)在邊界上值的物理意義為 邊界上某一點(diǎn)（基準(zhǔn)點(diǎn)）到任一點(diǎn)外力的矩 。5 彈性力學(xué)平衡微分方程、幾何方程的張量表示為： 6. 物體的均勻性假定，是指物體內(nèi) 各點(diǎn)的彈性常數(shù) 相同。7. 某彈性體應(yīng)力分

7、量為：（不計(jì)體力），系數(shù)為8. 彈性力學(xué)分析結(jié)果表明，材料力學(xué)中的平截面假定，對(duì)純彎曲梁來(lái)說(shuō)是 正確的 。9. 圓環(huán)僅受均布外壓力作用時(shí)，環(huán)向最大壓應(yīng)力出現(xiàn)在 內(nèi)周邊處 。10.已知一平面應(yīng)變問(wèn)題內(nèi)某一點(diǎn)的正應(yīng)力分量為：, ，則 18MPa 。11.將平面應(yīng)力問(wèn)題下的物理方程中的分別換成和就可得到平面應(yīng)變問(wèn) 題下相應(yīng)的物理方程。12.位移表達(dá)式中的常數(shù)I,K,H 不影響 I,K 表示物體的剛體平移；H 表示物體的 剛體轉(zhuǎn)動(dòng) ；它們由物體的 位移約束條件 13. 彈性力學(xué)：研究彈性體由于受外力作用或溫度改變等原因而發(fā)生的應(yīng)力，應(yīng)變，位移。14. 邊界條件表示在邊界上 位移 與 約束 ，或 應(yīng)力

8、與 面力 之間的關(guān) 系式，它可以分為 位移 邊界條件、 應(yīng)力 邊界條件和 混合 邊界條件。15. 體力是作用于物體體積內(nèi)的力，以單位體積力來(lái)度量，體力分量的量綱為 L-2MT-2 ；面力是作用于物體表面上力，以單位表面面積上的力度量，面力的量綱為 L-1MT-2 ；體力和面力符號(hào)的規(guī)定為以 沿坐標(biāo)軸正向 為正，屬 外 力；應(yīng)力是作用于截面單位面積的力，屬 內(nèi) 力，應(yīng)力的量綱為 L-1MT-2 ，應(yīng)力符號(hào)的規(guī)定為： 正面正向、負(fù)面負(fù)向?yàn)檎?，反之為?fù) 。 16.小孔口應(yīng)力集中現(xiàn)象中有兩個(gè)特點(diǎn)：一是 孔附近的應(yīng)力高度集中 ，即孔附 近的應(yīng)力遠(yuǎn)大于遠(yuǎn)處的應(yīng)力，或遠(yuǎn)大于無(wú)孔時(shí)的應(yīng)力。二是 應(yīng)力集中的局部

9、性 ， 由于孔口存在而引起的應(yīng)力擾動(dòng)范圍主要集中在距孔邊1.5倍孔口尺寸的范圍內(nèi)。17.彈性力學(xué)中，正面是指 外法向方向沿坐標(biāo)軸正向 的面，負(fù)面是指 外法向方向沿坐標(biāo)軸負(fù)向 的面 。18.利用有限單元法求解彈性力學(xué)問(wèn)題時(shí)，簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)包含 結(jié)構(gòu)離散化 、 單元分析 、 整體分析 三個(gè)主要步驟。20.彈性力學(xué)的基本假定為連續(xù)性、完全彈性、均勻性、各向同性。21.平面問(wèn)題分為平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題。22.已知一點(diǎn)處的應(yīng)力分量MPa，MPa， MPa，則主應(yīng)力150MPa，0MPa，。23.在彈性力學(xué)里分析問(wèn)題，要考慮靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三方面條件，分別建立方程。 24.按應(yīng)力求解平面問(wèn)題時(shí)常采用

10、逆解法和半逆解法。25.每個(gè)單元的位移一般總是包含著兩部分：一部分是由本單元的形變引起的另一部分是 由其他單元發(fā)生了形變而連帶引起的。26.為了提高有限單元法分析的精度，一般可以采用兩種方法：一是將單元的尺寸減小 以便較好地反映位移和應(yīng)力變化情況；二是采用包含更高次項(xiàng)的位移模式，使位移 應(yīng)力的精度提高。27.軸對(duì)稱的位移對(duì)應(yīng)的幾何形狀和受力 一定是軸對(duì)稱的。28.一般說(shuō)來(lái)，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化后的平面問(wèn)題的基本方程有8個(gè)，但其不為零的應(yīng)力、應(yīng)變和位移分量有9個(gè)。29.在通過(guò)同一點(diǎn)的所有微分面中，最大正應(yīng)力所在的平面一定是 主平面 。 30.假如彈性體受已知體力作用，在物體的表面處，或者面力已知，或者位移已

11、知，或者一部分上面力已知而另一部分上位移已知，則彈性體在平衡時(shí)，體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力分量與應(yīng)變分量是唯一的，對(duì)后兩種情況，位移分量也是唯一的。 三、判斷題1.對(duì)下圖所示偏心受拉薄板來(lái)說(shuō)，彈性力學(xué)和材料力學(xué)得到的應(yīng)力解答是相同的。（ ）2.在軸對(duì)稱問(wèn)題中，應(yīng)力分量和位移分量一般都與極角無(wú)關(guān)。（ × ） 改：在軸對(duì)稱問(wèn)題中，應(yīng)力與無(wú)關(guān)。但一般情況下，位移分量與有關(guān)。3.孔邊應(yīng)力集中是由于受力面減小了一些，而應(yīng)力有所增大。（ × ） 改：孔邊應(yīng)力集中是由于孔附近的應(yīng)力狀態(tài)和位移狀態(tài)完全改觀所引起的。4. 位移軸對(duì)稱時(shí)，其對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量一定也是軸對(duì)稱的；反之，應(yīng)力軸對(duì)稱時(shí)，其對(duì)應(yīng)的位 移

12、分量一定也是軸對(duì)稱的。（ ）5. 滿足平衡微分方程又滿足應(yīng)力邊界條件的一組應(yīng)力分量必為正確解（設(shè)該問(wèn)題的邊界條件 全部為應(yīng)力邊界條件）。( × )6.在x 為常數(shù)的直線上，若u=0，則沿該線必有ex0。( × )7.平衡微分方程、應(yīng)力邊界條件、幾何方程和應(yīng)變協(xié)調(diào)方程既適用于各向同性體， 又適用 于各向異性體。( )8.兩個(gè)不同彈性常數(shù)的均勻各向同性球體在力的作用下相互接觸，其接觸面為橢圓形。()9.各向同性彈性體有 3 個(gè)獨(dú)立的彈性常數(shù)，它們是 E（彈性模量），（泊松比），)（剪切彈 性模量）。( × )10.連續(xù)性假定是指整個(gè)物體的體積都被組成這個(gè)物體的介質(zhì)所填

13、滿，不留下任何空隙。（）11.連續(xù)性假定是指整個(gè)物體是由同一材料組成的。（×）12.如果某一問(wèn)題中，只存在平面應(yīng)力分量，且它們不沿z 方向變化，僅為x，y的函數(shù)，此問(wèn)題是平面應(yīng)力問(wèn)題。（）13. 如果某一問(wèn)題中，只存在平面應(yīng)變分量，且它們不沿z 方向變化，僅為x，y的函數(shù)，此問(wèn)題是平面應(yīng)變問(wèn)題。（）14.表示應(yīng)力分量與面力分量之間關(guān)系的方程為平衡微分方程。（×）15.表示位移分量與應(yīng)力分量之間關(guān)系的方程為物理方程。（×）16.當(dāng)物體的形變分量完全確定時(shí)，位移分量卻不能完全確定。（）17.當(dāng)物體的位移分量完全確定時(shí)，形變分量即完全確定。（）18.在求解彈性力學(xué)問(wèn)題時(shí)

14、，要謹(jǐn)慎選擇逆解法和半逆解法，因?yàn)榻獾姆绞讲煌獾慕Y(jié)果 會(huì)有所差別。 （×）19.應(yīng)變協(xié)調(diào)方程的幾何意義是：物體在變形前是連續(xù)的，變形后也是連續(xù)的。 （）20.平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題的應(yīng)變協(xié)調(diào)方程相同，但應(yīng)力協(xié)調(diào)方程不同。 （）21.對(duì)于兩種介質(zhì)組成的彈性體，連續(xù)性假定不能滿足。 (×)22.位移變分方程等價(jià)于以位移表示的平衡微分方程及以位移表示的靜力邊界條件。（）23.求解位移變分方程時(shí)所設(shè)的位移分量不必事先滿足位移邊界條件，只要滿足靜力邊界條 件即可。 （×）四、簡(jiǎn)答題1.材料各向同性的含義是什么？“各向同性”在彈性力學(xué)物理方程中的表現(xiàn)是什么？ 答：材料

15、的各向同性假定物體的物理性質(zhì)在各個(gè)方向上均相同。因此，物體的彈性常數(shù)不隨方向而變化。在彈性力學(xué)物理方程中，由于材料的各向同性，三個(gè)彈性常數(shù)，包括彈性模量E，切變模量G和泊松系數(shù)（泊松比）都不隨方向而改變（在各個(gè)方向上相同）。2.試述彈性力學(xué)研究方法的特點(diǎn)，并比較材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)與彈性力學(xué)在研究?jī)?nèi)容、方法等方面的異同。 答：彈力研究方法：在區(qū)域V內(nèi)嚴(yán)格考慮靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三方面條件，建立平衡微分方程、幾何方程和物理方程；在邊界s上考慮受力或約束條件，并在邊界條件下求解上述方程，得出較精確的解答。 在研究?jī)?nèi)容方面：材料力學(xué)研究桿件（如梁、柱和軸）的拉壓、彎曲、剪切、扭轉(zhuǎn)和組合變形等問(wèn)題；結(jié)

16、構(gòu)力學(xué)在材料力學(xué)基礎(chǔ)上研究桿系結(jié)構(gòu)（如 桁架、剛架等）；彈性力學(xué)研究各種形狀的彈性體，如桿件、平面體、空間體、板殼、薄壁結(jié)構(gòu)等問(wèn)題。 在研究方法方面：理力考慮整體的平衡（只決定整體的V運(yùn)動(dòng)狀態(tài)）；材力考慮有限體V的平衡，結(jié)果是近似的；彈力考慮微分體dV 的平，結(jié)果比較精確。3.常體力情況下，用應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程形式為，請(qǐng)問(wèn)：相容方程的作用是什么？?jī)煞N解法中，哪一種解法不需要將相容方程作為基本方程？為什么？ 答：（1）連續(xù)體的形變分量（和應(yīng)力分量）不是相互獨(dú)立的，它們之間必須滿足相容方程，才能保證對(duì)應(yīng)的位移分量存在，相容方程也因此成為判斷彈性力學(xué)問(wèn)題解答正確與否的依據(jù)之一。 （2）對(duì)于按位移

17、求解（位移法）和按應(yīng)力求解（應(yīng)力法）兩種方法，對(duì)彈性力學(xué)問(wèn)題進(jìn)行求解時(shí)位移法求解不需要將相容方程作為基本方程。 （3）（定義）按位移求解（位移法）是以位移分量為基本未知函數(shù)，從方程和邊界條件中消去應(yīng)力分量和形變分量，導(dǎo)出只含位移分量的方程和相應(yīng)的邊界條件，并由此解出應(yīng)變分量，進(jìn)而再求出形變分量和應(yīng)力分量。4試簡(jiǎn)述力學(xué)中的圣維南原理，并說(shuō)明它在彈性力學(xué)分析中的作用。 答：圣維南原理：如果物體的一小部分邊界上的面力變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢與主矩相同），則近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變，但遠(yuǎn)處的應(yīng)力所受影響可以忽略不計(jì)。 作用：（1）將次要邊界上復(fù)雜的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力

18、代替。 （2）將次要的位移邊界條件轉(zhuǎn)化為應(yīng)力邊界條件處理。 5.簡(jiǎn)述按應(yīng)力求解平面問(wèn)題時(shí)的逆解法。 答：所謂逆解法，就是先設(shè)定各種形式的、滿足相容方程的應(yīng)力函數(shù)；并由應(yīng)力分量與應(yīng)力函數(shù)之間的關(guān)系求得應(yīng)力分量；然后再根據(jù)應(yīng)力邊界條件和彈性體的邊界形狀，看這些應(yīng)力分量對(duì)應(yīng)于邊界上什么樣的面力，從而可以得知所選取的應(yīng)力函數(shù)可以解決的問(wèn)題。6.簡(jiǎn)述彈性力學(xué)的研究方法。答：在彈性體區(qū)域內(nèi)部，考慮靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三方面條件，分別建立三套方程。即根據(jù)微分體的平衡條件，建立平衡微分方程；根據(jù)微分線段上形變與位移之間的幾何關(guān)系，建立幾何方程；根據(jù)應(yīng)力與形變之間的物理關(guān)系，建立物理方程。此外，在彈性體的邊界

19、上還要建立邊界條件。在給定面力的邊界上，根據(jù)邊界上微分體的平衡條件，建立應(yīng)力邊界條件；在給定約束的邊界上，根據(jù)邊界上的約束條件建立位移邊界條件。求解彈性力學(xué)問(wèn)題，即在邊界條件下根據(jù)平衡微分方程、幾何方程、物理方程求解應(yīng)力分量、形變分量和位移分量。7. 彈性力學(xué)平面問(wèn)題包括哪兩類問(wèn)題？分別對(duì)應(yīng)哪類彈性體？?jī)深惼矫鎲?wèn)題各有哪些特征？答：彈性力學(xué)平面問(wèn)題包括平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題兩類，兩類問(wèn)題分別對(duì)應(yīng)的彈性體和特征分別為：平面應(yīng)力問(wèn)題：所對(duì)應(yīng)的彈性體主要為等厚薄板，其特征是：面力、體力的作用面平行于xy平面，外力沿板厚均勻分布，只有平面應(yīng)力分量,存在，且僅為x,y的函數(shù)。平面應(yīng)變問(wèn)題：所對(duì)應(yīng)的彈

20、性體主要為長(zhǎng)截面柱體，其特征為：面力、體力的作用面平行于xy平面，外力沿z軸無(wú)變化，只有平面應(yīng)變分量,存在，且僅為x,y的函數(shù)。8.試簡(jiǎn)述拉甫（Love）位移函數(shù)法、伽遼金（Galerkin）位移函數(shù)法求解空間彈性力學(xué)問(wèn)題的基本思想，并指出各自的適用性 .Love、Galerkin位移函數(shù)法求解空間彈性力學(xué)問(wèn)題的基本思想： （1）變求多個(gè)位移函數(shù)或?yàn)榍笠恍┨厥夂瘮?shù)，如調(diào)和函數(shù)、重調(diào)和函數(shù)。 （2）變求多個(gè)函數(shù)為求單個(gè)函數(shù)（特殊函數(shù)）。 適用性： Love位移函數(shù)法適用于求解軸對(duì)稱的空間問(wèn)題； Galerkin位移函數(shù)法適用于求解非軸對(duì)稱的空間問(wèn)題。 9.位移法求解的條件是什么？怎樣判斷一組位移

21、分量是否為某一問(wèn)題的真實(shí)位移？ 答：按位移法求解時(shí)，u，v必須滿足求解域內(nèi)的平衡微分方程，位移邊界條件和應(yīng)力邊界條件。平衡微分方程、位移邊界條件和（用位移表示的）應(yīng)力邊界條件既是求解的條件，也是校核u，v是否正確的條件。10.簡(jiǎn)述平面應(yīng)力問(wèn)題與平面應(yīng)變問(wèn)題的區(qū)別。答：平面應(yīng)力問(wèn)題是指很薄的等厚度薄板，只在板邊上受有平行于板面并且不沿厚度變化的面力，同時(shí)，體力也平行于板面并且不沿厚度變化。對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量只有，。而平面應(yīng)變問(wèn)題是指很長(zhǎng)的柱形體，在柱面上受有平行于橫截面并且不沿長(zhǎng)度變化的面力，同時(shí)體力也平行于橫截面并且不沿長(zhǎng)度變化，對(duì)應(yīng)的位移分量只有u和v.1、如圖所示，考慮上端固定，下端自由的一維

22、桿件，只受重力作用，（為桿件密度，為重力加速度），并設(shè)泊松比。試用位移法求解桿件豎向位移及應(yīng)力。(提示：平面問(wèn)題的平衡微分方程：，；用位移分量表示的應(yīng)力分量表達(dá)式：，。)解：據(jù)題意，設(shè)位移，按位移進(jìn)行求解。將用位移分量表示的應(yīng)力分量代入平面問(wèn)題的平衡微分方程，得到按位移求解平面應(yīng)力問(wèn)題的基本微分方程如下 將相關(guān)量代入式、，可見式自然滿足，而式成為可由此解出 本題中，上下邊的邊界條件分別為位移邊界條件和應(yīng)力邊界條件，即， 將代入，可得，進(jìn)而可求得，2、已知受力物體內(nèi)某一點(diǎn)的應(yīng)力分量為：， ，。試求經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的平面上的正應(yīng)力。解：由題意可知平面，其法線方向單位矢量的方向余弦為， 所以，該平面上的正應(yīng)

23、力為3、圖示矩形彈性薄板，沿對(duì)角線方向作用一對(duì)拉力，板的幾何尺寸如圖，材料的彈性模量、泊松比已知。試求薄板面積的改變量，并判斷是否與薄板的形狀有關(guān)。解：設(shè)當(dāng)各邊界受均布?jí)毫r(shí)，兩力作用點(diǎn)的相對(duì)位移為。由得設(shè)板在力作用下的面積改變?yōu)?，由功的互等定理有將代入得顯然，與板的形狀無(wú)關(guān)。4、圖示半無(wú)限平面體在邊界上受有兩等值反向，間距為的集中力作用，單位寬度上集中力的值為，設(shè)間距很小。試求其應(yīng)力分量。（提示：取應(yīng)力函數(shù)為 。）解：由于很小，所以，可近似視為半平面體邊界受一集中力偶M的情形。將應(yīng)力函數(shù)代入，可求得應(yīng)力分量：邊界條件：（1），；，代入應(yīng)力分量式，有 （2）取一半徑為的半圓為脫離體，邊界上受有

24、，和由該脫離體的平衡，得將代入并積分，有解得 聯(lián)立式、求得：，代入應(yīng)力分量式，得，5、如圖所示，一端固定，另一端彈性支承的梁，其跨度為，抗彎剛度為常數(shù)，梁端支承彈簧的剛度系數(shù)為，梁受有均勻分布載荷作用。試構(gòu)造多項(xiàng)式形式的梁撓度試函數(shù)，并用最小勢(shì)能原理或Ritz法求其撓度近似解（取1項(xiàng)待定系數(shù)）。解：梁撓度試函數(shù)可取為此時(shí)有即滿足梁的端部邊界條件。梁的總勢(shì)能為?。?，有，代入總勢(shì)能計(jì)算式，有由，有代入梁的撓度試函數(shù)表達(dá)式，得一次近似解為6、試寫出無(wú)體力情況下平面問(wèn)題的應(yīng)力分量存在的必要條件，并考慮下列平面問(wèn)題的應(yīng)力分量是否可能在彈性體中存在。（1），；（2），；其中，A，B，C，D，E，F(xiàn)為常數(shù)。

25、解：應(yīng)力分量存在的必要條件是必須滿足下列條件：（1）在區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程；（2）在區(qū)域內(nèi)的相容方程；（3）在邊界上的應(yīng)力邊界條件；（4）對(duì)于多連體的位移單值條件。（1）此組應(yīng)力分量滿足相容方程。為了滿足平衡微分方程，必須A=-F，D=-E。此外還應(yīng)滿足應(yīng)力邊界條件。（2）為了滿足相容方程，其系數(shù)必須滿足A+B=0；為了滿足平衡微分方程，其系數(shù)必須滿足A=B=-C/2。上兩式是矛盾的，因此，此組應(yīng)力分量不可能存在。7、已知應(yīng)力分量，體力不計(jì)，Q為常數(shù)。試?yán)闷胶馕⒎址匠糖笙禂?shù)C1，C2，C3。解：將所給應(yīng)力分量代入平衡微分方程得即由x，y的任意性，得由此解得，8、已知應(yīng)力分量，判斷該應(yīng)力分量是

26、否滿足平衡微分方程和相容方程。解：將已知應(yīng)力分量，代入平衡微分方程可知，已知應(yīng)力分量，一般不滿足平衡微分方程，只有體力忽略不計(jì)時(shí)才滿足。按應(yīng)力求解平面應(yīng)力問(wèn)題的相容方程：將已知應(yīng)力分量，代入上式，可知滿足相容方程。按應(yīng)力求解平面應(yīng)變問(wèn)題的相容方程：將已知應(yīng)力分量，代入上式，可知滿足相容方程。9、試寫出平面問(wèn)題的應(yīng)變分量存在的必要條件，并考慮下列平面問(wèn)題的應(yīng)變分量是否可能存在。（1），；（2），；（3），；其中，A，B，C，D為常數(shù)。解：應(yīng)變分量存在的必要條件是滿足形變協(xié)調(diào)條件，即將以上應(yīng)變分量代入上面的形變協(xié)調(diào)方程，可知：（1）相容。（2）；這組應(yīng)力分量若存在，則須滿足：B=0，2A=C。（3

27、）0=C；這組應(yīng)力分量若存在，則須滿足：C=0，則，。10、證明應(yīng)力函數(shù)能滿足相容方程，并考察在如圖所示的矩形板和坐標(biāo)系中能解決什么問(wèn)題（體力不計(jì)，）。l/2l/2h/2h/2yxO 解：將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程可知，所給應(yīng)力函數(shù)能滿足相容方程。由于不計(jì)體力，對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量為，對(duì)于圖示的矩形板和坐標(biāo)系，當(dāng)板內(nèi)發(fā)生上述應(yīng)力時(shí)，根據(jù)邊界條件，上下左右四個(gè)邊上的面力分別為：上邊，；下邊，；左邊，；右邊，?？梢?，上下兩邊沒(méi)有面力，而左右兩邊分別受有向左和向右的均布面力2b。因此，應(yīng)力函數(shù)能解決矩形板在x方向受均布拉力（b>0）和均布?jí)毫Γ╞<0）的問(wèn)題11、在物體內(nèi)的任一點(diǎn)取一六面體，、方向

28、的尺寸分別為、。試依據(jù)下圖證明： 。證明：化簡(jiǎn)并整理上式，得：。12、試列出下圖問(wèn)題的邊界條件。在其端部邊界上，應(yīng)用圣維南原理列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件。參考答案：在主要邊界上，應(yīng)精確滿足下列邊界條件：，。在次要邊界上應(yīng)用圣維南原理列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件， ， 在次要邊界列出位移邊界條件， ， 。也可應(yīng)用圣維南原理列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件， ， 13、已知如圖所示的墻，高度為，寬度為，在兩側(cè)面上受到均布剪力作用，不計(jì)體力，試用應(yīng)力函數(shù)求解應(yīng)力分量。參考答案：（1）將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程，其中， ， 滿足相容方程。（2）應(yīng)力分量表達(dá)式為，（3）考查邊界條件在主要邊界上，應(yīng)精確滿足下列邊界條

29、件：，在次要邊界上，能滿足，但的條件不能精確滿足，應(yīng)用圣維南原理列出積分的應(yīng)力邊界條件代替將應(yīng)力分量代入邊界條件，得，應(yīng)力分量，14、已知薄板有下列形變關(guān)系：，式中，皆為常數(shù)，試檢查在形變過(guò)程中是否符合連續(xù)條件，若滿足并列出應(yīng)力分量表達(dá)式。解：（1）相容條件：將形變分量代入形變協(xié)調(diào)方程（相容方程），其中，。所以滿足相容方程，符合連續(xù)性條件。（2）在平面應(yīng)力問(wèn)題中，用形變分量表示的應(yīng)力分量為，。（3）平衡微分方程其中， ，。若滿足平衡微分方程，必須有15、一點(diǎn)應(yīng)力張量為,已知在經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的某一平面上應(yīng)力矢量為零，求及該平面的單位法向矢量。解：一點(diǎn)的應(yīng)力張量與該點(diǎn)的任意斜面上各應(yīng)力分量的關(guān)系為：及故

30、有：解得：由此得：16、圖中楔形體兩側(cè)受均布水平壓力q作用，求其應(yīng)力分量（體力為零）。提示：設(shè)應(yīng)力函數(shù)為：。 解：極坐標(biāo)下的應(yīng)力分量為：應(yīng)力邊界條件為：將應(yīng)力分量代入邊界條件，可解得：所以應(yīng)力分量解答為：17、如圖所示的懸臂梁結(jié)構(gòu)，在自由端作用集中力P，不計(jì)體力，彈性模量為E，泊松比為，應(yīng)力函數(shù)可取，試求應(yīng)力分量。解：由題可知，體力X=0，Y=0，且為彈性力學(xué)平面應(yīng)力問(wèn)題。本題所設(shè)應(yīng)力函數(shù)滿足雙調(diào)和方程： (a)應(yīng)力分量為： (b)用應(yīng)力邊界條件求待定常數(shù)A、B、C、D應(yīng)力邊界條件，在上、下表面處，必須精確滿足： (c)則有： (d)X=0的左邊界為次要邊界，利用圣維南原理則有：X方向力的等效

31、：對(duì)0點(diǎn)的力矩等效：Y方向力的等效：將式(b)代入上式得： (e)聯(lián)立式(d)和式(e)，解得：應(yīng)力分量為：18、 如圖所示的半無(wú)限平面，證明應(yīng)力為本問(wèn)題的解答。證明： a.滿足相容方程代入得：滿足。b.滿足平衡方程將應(yīng)力代入平衡方程得：滿足。c.滿足邊界條件將應(yīng)力代入得：滿足。故其為本問(wèn)題解答。19、圖所示懸臂梁，截面抗彎剛度EI，梁長(zhǎng)L，豎向彈簧剛度k，懸臂端受集中荷載F作用。試用瑞雷李茲法求解懸臂端撓度和固定端彎矩。提示：梁的撓度函數(shù)可選為：。解：總勢(shì)能為：對(duì)總勢(shì)能求駐值得：回代并令即得懸臂梁撓度函數(shù)令，則有懸臂端撓度為：梁彎矩為：令，則有固定端彎矩為： 20、如圖所示，懸臂梁上部受線性

32、分布荷載，梁的厚度為1。利用材料力學(xué)知識(shí)寫出，表達(dá)式；利用平面問(wèn)題的平衡微分方程導(dǎo)出，表達(dá)式。解答：橫截面彎矩：，橫截面正應(yīng)力代入平衡微分方程的第一式得： ， ，那么 將代入平衡方程的第二式得： ， ， 那么21、單位厚度的楔形體，材料比重為，楔形體左側(cè)作用比重為的液體，如圖所示。試寫出楔形體的邊界條件。 參考答案：左側(cè)面：右側(cè)面，22、如圖所示的矩形截面的長(zhǎng)堅(jiān)柱，密度為，在一邊側(cè)面上受均布剪力，試求應(yīng)力分量。Oxybqrg 解：根據(jù)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)和受力情況，可以假定縱向纖維互不擠壓，即設(shè)。由此可知 將上式對(duì)y積分兩次，可得如下應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式 將上式代入應(yīng)力函數(shù)所應(yīng)滿足的相容方程則可得這是y的線性

33、方程，但相容方程要求它有無(wú)數(shù)多的解（全柱內(nèi)的y值都應(yīng)該滿足它），可見它的系數(shù)和自由項(xiàng)都應(yīng)該等于零，即， 這兩個(gè)方程要求， 代入應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式，并略去對(duì)應(yīng)力分量無(wú)影響的一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)后，便得對(duì)應(yīng)應(yīng)力分量為 以上常數(shù)可以根據(jù)邊界條件確定。左邊，沿y方向無(wú)面力，所以有右邊，沿y方向的面力為q，所以有上邊，沒(méi)有水平面力，這就要求在這部分邊界上合成的主矢量和主矩均為零，即將的表達(dá)式代入，并考慮到C=0，則有而自然滿足。又由于在這部分邊界上沒(méi)有垂直面力，這就要求在這部分邊界上合成的主矢量和主矩均為零，即， 將的表達(dá)式代入，則有由此可得，應(yīng)力分量為, , 雖然上述結(jié)果并不嚴(yán)格滿足上端面處（y=0）的邊界條件，但按照圣維南原理，在稍遠(yuǎn)離y=0處這一結(jié)果應(yīng)是適用的。23、證明：如果體力分量雖然不是常量，但卻是有勢(shì)的力，即體力分量可以表示為，其中V是勢(shì)函數(shù)，則應(yīng)力分量亦可用應(yīng)力函數(shù)表示為，試導(dǎo)出相應(yīng)的相容方程。證明：在體力為有勢(shì)力的情況下，按應(yīng)力求解應(yīng)力邊界問(wèn)題時(shí)，應(yīng)力分量，應(yīng)當(dāng)滿足平衡微分方程還應(yīng)滿足相容方程（對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題）（對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題）并在邊界上滿足應(yīng)力邊界條件。對(duì)于多連體，有時(shí)還必須考慮位移單值條件。首先考察平衡微分方程。將其改寫為這是一個(gè)齊次微分方程組。為了求得通解，將其中第一個(gè)方程改寫為根據(jù)微分方程理論，一定存在某一函數(shù)A（x，y），使得，同樣，將