2020高考不等式知識(shí)點(diǎn)基礎(chǔ)與提高(含答案)

1、2020高考不等式知識(shí)點(diǎn)基礎(chǔ)與提高（含答案）不等式知識(shí)體系中的核心問題主要有以下幾個(gè)方面：（i）解不等式問題解一般不等式：一元二次，分?jǐn)?shù)，高次和絕對(duì)值不等式，利用函數(shù)思想解含參數(shù)不等式的解法。（2）線性規(guī)劃問題（3）不等式的性質(zhì)和不等式的證明問題：不等式的性質(zhì)是解不等式和不等式證明的基礎(chǔ)工具，希望同學(xué)們能夠熟練掌握。不等式的證明問題中，歸納出幾點(diǎn)：一元含參不等式，一般來講，求導(dǎo)是一種基礎(chǔ)方法，基本可以解決很多題目。這類題目 一般與函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)的知識(shí)相關(guān)，利用函數(shù)，導(dǎo)數(shù)相關(guān)知識(shí)證明不等式數(shù)列不等式的證明。 比如說一元不等式的恒成立問題，可以將不等式轉(zhuǎn)換成某一個(gè)區(qū)間上函數(shù)的最值問題來求 解，就可以

2、運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求出最值。多元不等式的求解和證明中，往往需要使用均值不等式和柯西不等式。與數(shù)列有關(guān)的不等式，一般難度較高，出現(xiàn)在高考試卷的最后幾道大題中，并且分幾個(gè)小問，在解題中I .注意利用題中所給結(jié)論，很多情況下，第二問需要用到第一問給的結(jié)論，第三問需 要前兩問的結(jié)論。II .熟練掌握數(shù)列求和的方法III .注意積累放縮技巧，在求和之類的問題不能直接求得的時(shí)候，需要估計(jì)。其中常用的幾種方法，包括裂項(xiàng)求和，無窮縮比數(shù)列的求和等?；A(chǔ)篇（10 北京 1）集合 P x Z0 x 3, M x Rx2 9 ,則 P MA. 1,2B. 0,1,2C. x0 x 3 D. x

3、0 x 3考點(diǎn)：不等式的求解和集合運(yùn)算解析：集合P容易求得，P=1,2,3,本題關(guān)鍵在于求集合 M,根據(jù)不等式的運(yùn)算法則，M=-3,3, P M 0,1,2 。這種題目簡(jiǎn)單但考的很基礎(chǔ)，一般在選擇題的前幾道題目中出現(xiàn)。答案：B（10安徽2）若集合A xlog 1 x ,則3叫=22A.C.,02B. 一2、.2D. 一2考點(diǎn)：集合運(yùn)算對(duì)數(shù)函數(shù)和不等式的運(yùn)算 規(guī)律方法：利用函數(shù)性質(zhì)解析：對(duì)于函數(shù)，首先考慮定義域，則x>0；該題目中的對(duì)數(shù)函數(shù)為遞減，所以x 絲,2最后&rA=,0 旦,本題注重基礎(chǔ)，而且綜合眾多考點(diǎn)，是一道好題。2O答案：A注意：在涉及到函數(shù)問題時(shí)，首先考慮定義域（1

4、0全國I 13）不等式 hx 1 x 1的解集是考點(diǎn)：不等式的解法規(guī)律方法：轉(zhuǎn)化與化歸-2,22x1x1解析：原不等式等價(jià)于2x1x，解得0WxW 2.本小題主要考查根式不等式x 1 0的解法，利用平方去掉根號(hào)是解根式不等式的基本思路，也讓轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想體現(xiàn)得淋漓盡致.答案：x0 x 226(10全國II5）不等式x-x6 > 0的解集為x 1A. xx 2,或 x 3B. xx 2,或 1 x 3D. x 2 x 1,或 1 x 3C. x 2 x 1,或 x3考點(diǎn)：分式不等式與高次不等式的解法 規(guī)律方法：數(shù)軸穿根法解高次不等式26解析：題目中可以將等效 -一x6 x 1是先進(jìn)行

5、因式分解，而后不等式左右兩邊同乘以（X 1 ）2的正數(shù)，其中X 1 .用數(shù)軸穿根法解得-2<x< 1或x> 3,本試題主要考察分式不等式與高次不等式的解法答案：C擴(kuò)展：本題若為一道計(jì)算題，則需要用分類討論的方法，即分別討論x<-2 , -2<xVl, lVx<3和x>3的情況，最后解出不等式。（10課標(biāo)8）設(shè)偶函數(shù)f x滿足f x x3 8x 0 ,則xf x 2 0A.xx 減 x 4B.xx0或 x 4C.xx0或 x 6D.xx 2或x 2考點(diǎn)：利用函數(shù)性質(zhì)解不等式的方法規(guī)律方法：利用函數(shù)性質(zhì)解不等式偶函數(shù)解析：當(dāng)x 0時(shí)，由f x x3 8 0

6、得x 2又f x為偶函數(shù)， fx 0時(shí)x 2或x 2f x 20 x 2 2或x 22,即 x 4或 x 0,選 B另法：（特征分析法）偶函數(shù)f x的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，函數(shù)y f x 2的圖形必關(guān)于直線x 2對(duì)稱，由此可知不等式 f x 2 0的解集應(yīng)該關(guān)于2對(duì)稱。答案：B注意：近幾年來函數(shù)與不等式結(jié)合的考查是近年來高考中不等式的特點(diǎn)，所以同學(xué)們 復(fù)習(xí)的時(shí)候要適當(dāng)?shù)募訌?qiáng)這一塊的訓(xùn)練。（10全國卷II 3）若變量x , y滿足約束條件A. 1B. 2考點(diǎn)：簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題. 規(guī)律方法：線性規(guī)劃解析：可行域是由A 1, 1 , Bx 1,y x, 則z 2x y的最大值為3x 2y 5C. 3D

7、. 41,4, C 1,1構(gòu)成的三角形，將z = 2 x + y化成y=2x + z, z即直線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)， 可知目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn) C時(shí)最大，最大值為3。 答案：C注意：線性規(guī)劃問題是近年來高考的熱點(diǎn)，一般以選擇題和填空題為主，以基礎(chǔ)題和中檔題居多，同學(xué)們?cè)趶?fù)習(xí)的過程中注重概念和基礎(chǔ)，熟練掌握?qǐng)D解法，要做到數(shù)圖結(jié)合。x y 11 0（10北京7）設(shè)不等式組 3x y 3 0表示的平面區(qū)域?yàn)?D,若指數(shù)函數(shù)y ax的圖5x 3y 9 0象上存在區(qū)域 D上的點(diǎn)，則a的取值范圍是A. 1,3B. 2,3C. 1,2D. 3,考點(diǎn)：線性規(guī)劃、指數(shù)函數(shù)規(guī)律方法：劃歸解析：這是一道略微靈活的線性規(guī)劃問

8、題，作出區(qū)域xD的圖象，聯(lián)系指數(shù)函數(shù) y a的圖象，能夠看出，當(dāng)圖象經(jīng)過區(qū)域的邊界點(diǎn) 于1,圖象必然經(jīng)過區(qū)域內(nèi)的點(diǎn).答案：A（2, 9）時(shí)，a可以取到最大值 3,而顯然只要a大提高篇（10福建8）設(shè)不等式組 x 2y 30所表示的平面區(qū)域是1 ,平面區(qū)域是 2與1關(guān)于直線3x 4y 9 0對(duì)稱，對(duì)于1中的任意一點(diǎn) A與2中的任意一點(diǎn) B, AB的最小值等于（）A,”5考點(diǎn)：線性規(guī)劃、解析幾何B. 4C. 12D. 25規(guī)律方法：線性規(guī)劃點(diǎn)到直線距離公式解析：由題意知，所求的 AB的最小值，即為區(qū)域1中的點(diǎn)到直線3x 4y 9 0的距離的最小值的兩倍，畫出已知不等式表示的平面區(qū)域，如圖所示,x-

9、2y+3-0%-4廠9二。可看出點(diǎn)（1, 1）到直線3x 4y 9 0的距離最小，故 AB的最小值為3 14 195答案：B(10重慶7)已知x>0, y>0, x+2y+2xy=8,則x+2y的最小值是A. 3B. 4考點(diǎn)：均值不等式規(guī)律方法：轉(zhuǎn)化與化歸變量代換解析：x 2y 8 x 2y 8C.D.1122x 2y ,整理得22x 2y 4 x 2y32 0即 x 2y 4 x 2y 80 ,又 x 2y 0 ,x 2y 4 ,本題難度較高，需要定的放縮技巧。另一種方法：令z x 2y ,代入原關(guān)系式消去y,得 z + x(zx) = 8,整理得2 一 2 一一一 一x 8 x

10、 2x 1 2x 2 9z x 1x 12 2 x 1 92 4x 11 x 1這種方法的核心思想在于將x+2y的最值問題構(gòu)建成一個(gè)函數(shù)，并通過均值不等式來求9解該函數(shù)的最值，發(fā)現(xiàn)x 1 二一時(shí)成立，即x=2時(shí)取最小值。在使用均值不等式的時(shí)候， x 1若取等式時(shí)，要注意正，定，等的三個(gè)要求。答案：B2x y 2 013.設(shè)x, y滿足約束條件 8x y 4 0 ,若目標(biāo)函數(shù)z abx y a 0,b 0的x 0, y 0最大值為8,則a b的最小值為 .考點(diǎn)：線性規(guī)劃均值不等式規(guī)律方法：線性規(guī)劃問題均值不等式_一_1一解析：不等式表示的區(qū)域是一個(gè)四邊形，4個(gè)頂點(diǎn)是0,0 , 0,2 , -,0

11、 , 1,4 ,易2見目標(biāo)函數(shù)在1,4取最大值8,這時(shí)x=1,y=4,所以8 ab 4 ab 4,所以a b 2ab 4,在a b 2是等號(hào)成立.答案：4（10陜西14）鐵礦石A和B的含鐵率a,冶煉每萬噸鐵礦石的的 CO2排放量b及每萬噸 鐵礦石的價(jià)格c如下表：aB（萬噸）C（白力兀）A50%13B70%0. 56某冶煉廠至少要生產(chǎn)1.9（萬噸）鐵，若要求CO2的排放量不超過2（萬噸）則購買鐵礦石的最少費(fèi)用為15（萬元）考點(diǎn)：線性規(guī)劃規(guī)律方法：線性規(guī)劃問題解析：設(shè)購買鐵礦石A和B各x, y萬噸,則購買鐵礦石的費(fèi)用 z 3x 6yx, y滿足約束條件0.5x 0,7 y 1,9x 0.5y 2x

12、 , y 0表示平面區(qū)域如圖所示則當(dāng)直線z 3x 6y過點(diǎn)B（1, 2）時(shí),購買鐵礦石的最少費(fèi)用 z= 15答案：15（10全國I 20）已知函數(shù)f xx 1 ln x x 1.2（1）右*£* x ax 1,求a的取值范圍；（n）證明：x 1 f x 0 .考點(diǎn)：函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式證明等知識(shí)，通過運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決函數(shù)、不等式問題，考 查了考生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力以及計(jì)算能力規(guī)律方法：函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.解析：,_、 x 11（1 ） f' x ln x 1 In x -,xxxf' x xln x 1題設(shè)xf' xx2 ax 1,f(x

13、)的定義域?yàn)閤>0,兩邊同除以x,化簡(jiǎn)為ln x x a ,這時(shí)依然難求，我們進(jìn)行參變分離，等效為 lnx x a.1 ,令 g x ln x x ,則 g' x - 1 x當(dāng)0 x 1, g' x 0；當(dāng)x 1時(shí)，g' x 0, x 1是gx的最大值點(diǎn),綜上，a的取值范圍是1,(n)法一：解析：設(shè) x x 1 f x一.1c 一x 2xln x x 2 ,' 10x2ln x1)，人，一4一八，人M ， r 、1不好討論從而考慮分類討論，原不等式即證 x0 x 1時(shí),x-1<0,若題目成立，則f(x)x 1時(shí)x 1 0,若題目成立,f(x)00.所

14、以我們直接去討論f(x)的單調(diào)性x 1xln x 1ln x 1 xxxln x 1 ； ' x ln x 1.解方程2x 0得x ,從而可知x的單調(diào)e11性.x在0,-上單倜遞減，在 一, ee上單調(diào)遞增.從而可知，當(dāng)x= 1時(shí) x取得最 e10 .所以f(x)在(0, +8)單增.并且f(1) = 0.所以有小值1 0 e從而知 x0 x 1時(shí) f x 0x 1時(shí) f x 0法二：由（I ）知，g x g 11 即 ln x x 1 0.當(dāng) 0 x 1 時(shí)，f x x 1 ln x x 1 x ln x ln x x 10；當(dāng)x 1時(shí)，f x ln x xln x x 1In xI

15、n xIn xln1 x所以x總結(jié)：因?yàn)槭且辉坏仁剑圆捎梅椒ㄒ坏那髮?dǎo)這種最基本方法來確定函數(shù)的單調(diào)性， 但是在題目中函數(shù)求導(dǎo)過于復(fù)雜，所以我們進(jìn)行分類討論， 簡(jiǎn)化了求導(dǎo)運(yùn)算。方法二直接用了第一小問的結(jié)論，計(jì)算更簡(jiǎn)單，同學(xué)們?cè)谧鲱}的過程中要注意這種方法。(10全國卷II18)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn(I )求 limnan(n)證明:ai2a222an°n-23 n考點(diǎn)：本試題主要考查數(shù)列基本公式ans1 nsnsn 1的運(yùn)用，數(shù)列極限和數(shù)列不22n2 4n 3n 1limn(II)當(dāng) n=1 時(shí),12S1n> 1_ 22k2 4k ak23k 13k1a112a2222

16、 3n 1所以1213n3n3n曳12a2223n等式的證明，考查考生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力 規(guī)律方法：簡(jiǎn)單的數(shù)列不等式證明a(10湖北b21)已知函數(shù)f(x) = ax+°+c(a>0)的圖象在點(diǎn)(1, f( 1)處的切線萬程為 yx=x- 1 .(I )用a表示出b, c;斛析：(I) lim lim n Sn n(n)若f(x)>lnx在1, 十 8)上恒成立，求a的取值范圍;(出)證明：1+1+1+ I>ln(n+1) +n(n> 1).23 n2 n 1考點(diǎn)：考察函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式的證明等基礎(chǔ)知識(shí)。規(guī)律方法：綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理論證的能力和分

17、類討論的思想.解析：(I ) f' xf 1f' 1a 11 2aa 1(n)由(i)知，f x ax 1 2a xa 1 ,令 g x f x In x ax 1 2a lnx, x 1,x0，g' xa 11 ax2 x a 1a2 -2xx xg(x)若在1點(diǎn)附近單減，則原不等式不成立為判斷g(x)的單調(diào)性，我們?cè)诓莞寮埳辖獠坏仁絞' x >0由a>0,我們可知g' x 01,、1 a1 a一時(shí)，g' x >0的解集為 xx 1或x .從而在 1,上2aag' x < 0即 g(x)在 1,1-a a上單調(diào)遞

18、減，此時(shí)原不等式不成立.1 a11 a當(dāng)1 ，即a 一時(shí)g'x>0在1,十巧恒成立，也就是 g(x)在1, 上單a2a調(diào)遞增，從而對(duì)任意 xC (1, +8)有g(shù)(x)>g(1) = 0,即原不等式恒成立. 我們可以分類討論：當(dāng)0 a 1,心 12 a4.1a右1 x ,則g' x 0 , g x是減函數(shù)，所以g x g 10af x In x ,故f x In x在1,上恒不成立.11 a(ii) a 時(shí)，12 a若 f x In x ,故當(dāng) x 1 時(shí)，f x In x一 .一 ，一一 1綜上所述，所求a的取值范圍為 - 2,（出）解法一：分析：2 3 n 12

19、3這里注忌：In n 1 ln , ,In In -1 2 n 12n 1In k 11那么In與一的關(guān)系便是本題的突破口 k kIn這時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)我們好像找到了2aIn 乂與工和的關(guān)系但是二者前有系數(shù)，怎 k k k 11么辦呢？如果讓兩個(gè)系數(shù)相等就好了 .兩個(gè)系數(shù)何時(shí)相等呢？令a = （a 1）求得a -.2那么，我們由上面的式子就可以得到k 11 11In k 2 kk 1 .，,一 1 1我們對(duì)這個(gè)式子左右兩端求和，左側(cè)正好有In n 1 ,右側(cè)又有2 3這時(shí)，我們就離要證的不等式不遠(yuǎn)了.，一 1由（n）知：當(dāng)a 時(shí)，有f x In x x 1 .2人1士,11令 a,有 fxx22x

20、In x x 1,11當(dāng) x1 時(shí)，一xIn x .2x1 k J 上2 k k 1即 In k 1.111.In k 一 一 , k 1,2,3, n2 k k 1將上述n個(gè)不等式依次相加得1 12 3.1ln n 1一2»-111n整理得1 In k 21-In n 1 一23n2 n 1解法二：用數(shù)學(xué)歸納法證明分析：利用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，注意格式.關(guān)鍵問題是怎樣用 n=k時(shí)的歸納假設(shè)推出n= k+1時(shí)的結(jié)論.證等式時(shí)往往很簡(jiǎn)單，但對(duì)于不等式，我們就需要去嘗試，去計(jì)算注意逆推的方法.如本題中，利用歸納假設(shè)，我們很容易將要證的不等式左邊化為k 1In k 2 即可.將其2 k 2k 2k 2ln k 1.那么我們只需證明ln k 12 k 12 k 1變形，可得ln也就是ln« - .這時(shí)，我們就可以考慮用上一問所得的結(jié)論證明這k 22 k 1 k 2一不等式. 1 ,(1)當(dāng)n 1時(shí)，左邊 1 ,右邊ln 2 1,不等式成立41ln k 1 k 11(2)假設(shè)n k時(shí)，不等式成立，就是1 1 12 3In k 1In k 11