2020與名師對話直線、平面平行的判定及性質(zhì)

1、第四節(jié)直線、平面平行的判定及性質(zhì)高考概覽： 1.以立體幾何的有關(guān)定義、公理和定理為出發(fā)點，認識和理解空間中線面平行、 面面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定定理， 并能夠證明相關(guān)性質(zhì)定理； 2.能運用線面平行、面面平行的判定及性質(zhì)定理證明一些空間圖形的平行關(guān)系的簡單命題 知識梳理 1直線與平面平行12平面與平面平行2辨識巧記 兩個技巧利用直線與平面平行的判定定理判定線面平行，即找平面內(nèi)的直線與已知直線平行一般有兩種方法：(1)中心投影法即找到中心投影點向平面內(nèi)作投影(2)平行投影法3找到兩條平行光線AC，BD，找到 AB 在平面 內(nèi)的投影為 CD. 雙基自測 1判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“&

2、#215;”)(1)若一條直線和平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行 ()(2)若直線 a平面 ，P，則過點 P 且平行于直線 a 的直線有無數(shù)條 ()(3)如果一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行 ()(4)如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內(nèi)的兩條直線平行或異面 () 答案 (1)×(2)×(3)×(4)2若直線 m? 平面 ，則條件甲：“直線l”是條件乙：“ lm”的 ()A 充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件 解析 若 l，則 l m 或 l 與 m 異面；若 lm，則 l 或 l? ，故“

3、直線 l”是“l(fā)m”的既不充分也不必要條件故選 D.答案D3若 P 為異面直線 a，b 外一點，則過 P 且與 a，b 均平行的平面()A 不存在B零個或一個4C可以有兩個D有無數(shù)多個 解析 若 P 點與直線 a(或 b)確定的平面與直線b(或 a)平行，則符合條件的平面不存在；否則，符合條件的平面有一個故選B.答案B4(必修 2P61A 組 T1(1) 改編 )下列命題中正確的是 ()A 若 a，b 是兩條直線，且ab，那么 a 平行于經(jīng)過 b 的任何平面B若直線 a 和平面 滿足 a ，那么 a 與 內(nèi)的任何直線平行C平行于同一條直線的兩個平面平行D若直線 a，b 和平面 滿足 ab，a

4、，b?，則 b 解析 對于選項 A ，a 可以在平面內(nèi)， 故 A 錯誤；對于選項 B， a 與 內(nèi)的直線平行或異面，故 B 錯誤；對于選項 C，兩平面也可以相交，故 C 錯誤，對于選項 D，ab，a，b? ，則 b，正確，故選 D.答案D5(必修 2P56 練習(xí) T2)在正方體 ABCDA1B1C1D1 中，點 E 是 DD1 的中點，則 BD1 與平面 ACE 的位置關(guān)系為 _ 解析 連接 BD 交 AC 于 O，連接 EO，則 O 為 BD 中點因為 E 為 DD1 中點，所以 OEBD1.又因為 BD1?平面 ACE，OE? 平面 ACE，所以 BD1平面ACE.5答案 平行考點一平行關(guān)

5、系的判斷【例 1】(1)(2019 重·慶六校聯(lián)考 )設(shè) a，b 是兩條不同的直線， ，是兩個不同的平面，則的一個充分條件是 ()A 存在一條直線a，a，aB存在一條直線a，a? ，a C存在兩條平行直線a，b，a? ，b? ，a，bD存在兩條異面直線a，b，a? ，b? ，a，b(2)設(shè) m，n 表示不同直線， ，表示不同平面，則下列結(jié)論中正確的是()A 若 m，mn，則 nB若 m? ，n? ，m，n，則 C若 ，m，mn，則 nD若 ， m，nm，n?，則 n 解析 (1)對于選項 A，若存在一條直線 a，a， a，則 或 與 相交，若 ，則存在一條直線 a，使得 a，a，所以

6、選項 A 的內(nèi)容是 的一個必要條件；同理，選項 B，C 的內(nèi)容也是 的一個必要條件而不是充分條件； 對于選項 D，可以通過平移把兩條異面直線平移到一個平面中，成為相交直線，則有 ，所以選項6D 的內(nèi)容是 的一個充分條件故選D.(2)A 錯誤， n 有可能在平面 內(nèi)；B 錯誤，平面 有可能與平面相交；C 錯誤，n 也有可能在平面 內(nèi)；D 正確，易知 m或 m? ，若 m? ，又 nm，n?，n，若 m，過 m 作平面 交平面 于直線 l ，則 ml，又 nm，nl，又 n?，l? ，n.故選 D. 答案 (1)D (2)D平行關(guān)系判斷問題的3 個注意點(1)判定定理與性質(zhì)定理中易忽視的條件，如線

7、面平行的判定定理中線在面外的條件易忽視(2)結(jié)合題意構(gòu)造或繪制圖形，結(jié)合圖形作出判斷(3)舉反例否定結(jié)論或用反證法推斷命題是否正確對點訓(xùn)練 1設(shè) ，是兩個不同的平面， m 是直線且 m? .“m”是“ ”的 ()A 充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件 解析 若 m? 且 m，則平面 與平面 不一定平行，有可能相交；而 m? 且 一定可以推出 m，所以 “m”是“ ”的必要而不充分條件故選B.答案B72設(shè)互不相同的直線 l，m，n 和平面 ，給出下列三個命題：若 l 與 m 為異面直線， l? ，m? ，則 ；若 ，l? ，m? ，則 lm；若 l ，m，n，l，則

8、m n.其中真命題的個數(shù)為 _ 解析 中 與 可能相交，故錯；中l(wèi) 與 m 可能異面，故錯；由線面平行的性質(zhì)定理可知，lm，ln，所以 mn，故正確答案1考點二直線與平面平行的判定和性質(zhì)1【例 2】 如圖，四棱錐 PABCD 中，ADBC，ABBC2AD，E，F(xiàn)，H 分別為線段 AD，PC，CD 的中點， AC 與 BE 交于 O 點， G 是線段 OF 上一點(1)求證： AP平面 BEF；(2)求證： GH平面 PAD.證明四邊形 ABCEO、F分別為 思路引導(dǎo) (1) FOPA為平行四邊形AC、PC中點 結(jié)論8FHPD FH面PAD(2) 由已知 OHAD OH面PAD面PAD面OHF

9、GH面PAD 證明 (1)連接 EC，1ADBC，BC2AD，BC 綊 AE，四邊形 ABCE 是平行四邊形，O 為 AC 的中點又F 是 PC 的中點，F(xiàn)OAP，F(xiàn)O? 平面 BEF，AP?平面 BEF，AP平面BEF.(2)連接 FH，OH，F(xiàn)，H 分別是 PC，CD 的中點，F(xiàn)HPD，F(xiàn)H?平面 PAD，PD? 平面 PAD，F(xiàn)H平面PAD.又O 是 BE 的中點， H 是 CD 的中點，OHAD，OH?平面 PAD，AD? 平面 PAD，OH平面PAD.又 FHOHH，9平面OHF平面PAD.又GH? 平面 OHF，GH平面PAD.證明線面平行的3 種方法(1)線面平行的定義：一般用反

10、證法(2)線面平行的判定定理： 關(guān)鍵是在平面內(nèi)找 (或作 )一條直線與已知直線平行，證明時注意用符號語言敘述證明過程(3)面面平行的性質(zhì)定理：兩平面平行時，其中一個平面內(nèi)的任何直線都平行于另一個平面對點訓(xùn)練 如圖，三棱柱 ABCA1B1C1，底面為正三角形，側(cè)棱 A1A底面ABC，點 E、F 分別是棱 CC1、BB1 上的點，點 M 是線段 AC 上的動點， EC2FB.10圖 1當點 M 在何位置時， BM平面AEF? 解 解法一：如圖 1，取 AE 的中點 O，連接 OF，過點 O 作 OMAC 于點 M.側(cè)棱A1A底面ABC，側(cè)面A1ACC1底面ABC，OM 底面ABC.1又EC2FB，

11、OM FB 綊2EC，四邊形 OMBF 為矩形，BMOF，又OF? 平面 AEF，BM?平面 AEF.故 BM平面AEF，此時點 M 為 AC 的中點圖 2解法二：如圖 2，取 EC 的中點 P，AC 的中點 Q，連接 PQ、PB、11BQ， PQAE.EC2FB， PE 綊 BF，PBEF，又 PQ?平面 AEF，AE? 平面 AEF，PB?平面 AEF，EF? 平面 AEF. PQ平面 AEF，PB平面 AEF.又 PQPBP，平面 PBQ平面 AEF，又 BQ? 平面 PQB， BQ平面 AEF.故點 Q 即為所求的點 M，此時點 M 為 AC 的中點考點三平面與平面平行的判定和性質(zhì)【例

12、 3】如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1 中，E，F(xiàn)，G，H 分別是 AB，AC，A1B1，A1C1 的中點，求證：(1)B，C，H，G 四點共面；(2)平面 EFA1平面 BCHG.由G、H分別是 思 路 引 導(dǎo) (1) GHB1C1 GHBCA1B1，A1C1的中點 得結(jié)論12EFBC EF面BCHG面EFA1(2)A1EBG A1E面BCHG面BCHG 證明 (1)G，H 分別是 A1B1，A1C1 的中點，GH 是A1B1C1 的中位線，GHB1C1.又B1C1BC，GHBC，B，C，H， G 四點共面(2)E，F(xiàn) 分別是 AB，AC 的中點，EFBC.EF?平面 BCHG，BC?

13、平面 BCHG，EF平面BCHG.A1G 綊 EB，四邊形 A1EBG 是平行四邊形， A1EGB.A1E?平面 BCHG，GB? 平面 BCHG，A1E平面BCHG.A1EEFE，平面EFA1平面BCHG. 拓展探究 在本例條件下， 若 D1，D 分別為 B1C1，BC 的中點，求證：平面 A1BD1平面 AC1D.證明 13如圖所示，連接A1C 交 AC1 于點 M ，四邊形 A1ACC1 是平行四邊形，M 是 A1C 的中點，連接 MD ，D 為 BC 的中點，A1BDM .A1B? 平面 A1BD1，DM?平面 A1BD1，DM 平面A1BD1.又由三棱柱的性質(zhì)知，D1C1 綊 BD，

14、四邊形 BDC1D1 為平行四邊形，DC1BD1.又 DC1?平面 A1BD1，BD1? 平面 A1BD1，DC1平面A1BD1，又DC1DMD，DC1、DM? 平面 AC1D，平面A1BD1平面AC1D.證明面面平行的4 種方法(1)面面平行的定義 (不常用 )(2)面面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平14行于另一個平面，那么這兩個平面平行(3)利用垂直于同一條直線的兩個平面平行(4)兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行對點訓(xùn)練 (2019 ·河南許昌三校第三次考試 )如圖所示，四邊形 ABCD 與四邊形 ADEF 都為平行四邊形， M，N，G 分別是

15、AB，AD，EF 的中點求證：(1)BE平面 DMF ；(2)平面 BDE平面 MNG. 證明 (1)如圖所示，連接 AE，則 AE 必過 DF 與 GN 的交點 O，連接 MO，則 MO 為ABE 的中位線，所以 BEMO.因為 BE?平面 DMF ，MO? 平面 DMF ，所以 BE平面DMF .(2)因為 N，G 分別為平行四邊形ADEF 的邊 AD，EF 的中點，15所以 DEGN.因為 DE?平面 MNG，GN? 平面 MNG，所以 DE平面MNG.因為 M 為 AB 的中點，所以MN 為ABD 的中位線，所以BDMN.因為 BD?平面 MNG，MN? 平面 MNG，所以 BD平面M

16、NG.因為 DE 與 BD 為平面 BDE 內(nèi)的兩條相交直線，所以平面 BDE平面MNG.課后跟蹤訓(xùn)練 (四十七 )基礎(chǔ)鞏固練一、選擇題1(2018 ·黑龍江大慶月考 )有以下三種說法， 其中正確的是 ( ) 若直線 a 與平面 相交，則 內(nèi)不存在與 a 平行的直線；若直線 b平面 ，直線 a 與直線 b 垂直，則直線 a 不可能與平行；直線 a，b 滿足 ab，則 a 平行于經(jīng)過 b 的任何平面A BCD 解析 對于，若直線 a 與平面 相交，則 內(nèi)不存在與 a 平行的直線，是真命題，故正確；對于，若直線 b平面，直線 a與直線 b 垂直，則直線 a 可能與 平行，故錯誤；對于，若

17、直線a，b 滿足 ab，則直線 a 與直線 b 可能共面，故錯誤故選 D.答案D2(2019 ·遼寧丹東期末 )已知 m，n 是兩條不同直線， ，是兩個不同平面，則下列命題正確的是()A 若 ，垂直于同一平面，則與 平行16B若 m，n 平行于同一平面，則m 與 n 平行C若 ，不平行，則在 內(nèi)不存在與 平行的直線D若 m，n 不平行，則 m 與 n 不可能垂直于同一平面 解析 由于 ， 垂直于同一平面，則 與 平行或相交，利用正方體可判斷，故 A 不正確；若 m，n 平行于同一平面，則 m 與 n 可能平行、相交或異面，故 B 不正確；利用正方體中的側(cè)面與底面，側(cè)面的上底面的棱與下

18、底面的棱，能夠找到平行線，所以C 不正確；D 正確故選 D.答案D3(2019 ·河北石家莊模擬 )過三棱柱 ABCA1B1C1 的任意兩條棱的中點作直線，其中與平面ABB1A1 平行的直線共有 ()A4 條B6 條C8 條D12 條解析 如圖， H，G，F(xiàn)，I 是相應(yīng)線段的中點，故符合條件的直線只能出現(xiàn)在平面 HGFI 中，有 FI ，F(xiàn)G，GH，HI，HF，GI 共 6 條直線，故選 B.答案B174(2019 ·湖南長沙二模 )已知 m，n 是兩條不同的直線， ， 是三個不同的平面，則下列命題中正確的是()A m，n，則 mnBmn，m，則 nCm，m，則 D，則 解

19、析 對于 A ，平行于同一平面的兩條直線可能相交，可能平行，也可能異面，故A 不正確；對于 B，mn，m，則 n或 n? ，故 B 不正確；對于 C，利用垂直于同一直線的兩個平面平行，可知C 正確；對于 D，因為垂直于同一平面的兩個平面的位置關(guān)系是相交或平行，故 D 不正確故選 C.答案C5(2017 ·全國卷 )如圖，在下列四個正方體中， A，B 為正方體的兩個頂點， M，N，Q 為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線 AB 與平面 MNQ 不平行的是 ()18 解析 解法一：對于選項 B，如圖所示，連接 CD，因為 AB CD，M，Q 分別是所在棱的中點，所以 MQCD，所以

20、ABMQ ，又AB?平面 MNQ，MQ? 平面 MNQ，所以 AB平面MNQ.同理可證選項C，D 中均有 AB平面MNQ.故選 A.解法二：對于選項A，設(shè)正方體的底面對角線的交點為O(如圖所示 )，連接 OQ，則 OQAB，因為 OQ 與平面 MNQ 有交點，所以 AB 與平面 MNQ 有交點，即 AB 與平面 MNQ 不平行，故選 A.答案A二、填空題196(2019 ·廣東順德質(zhì)檢 )如圖所示，四棱錐 PABCD 的底面是一直角梯形， ABCD，BAAD，CD2AB，PA底面 ABCD，E 為PC 的中點，則 BE 與平面 PAD 的位置關(guān)系為 _解析 取 PD 的中點 F，連接

21、 EF、AF，1在PCD 中， EF 綊2CD.又ABCD 且 CD2AB，EF 綊 AB，四邊形 ABEF 是平行四邊形， EBAF.又EB?平面 PAD，AF? 平面 PAD，BE平面PAD.答案 平行207(2018 ·湖南株洲調(diào)研 )如圖所示， 正方體 ABCDA1B1C1D1 中，AB2，點 E 為 AD 的中點，點 F 為 CD 上一點若 EF平面 AB1C，則線段 EF 的長度等于 _ 解析 在正方體 ABCDA1B1C1D1 中，AB2，AC2 2.又 E為 AD 中點，EF平面AB1C，EF? 平面 ADC，平面 ADC平面 AB1C1 AC，EFAC，F(xiàn) 為 DC

22、 中點，EF 2AC 2.答案28棱長為 2 的正方體 ABCDA1B1C1D1 中，M 是棱 AA1 的中點，過 C，M，D1 作正方體的截面，則截面的面積是 _ 解析 由面面平行的性質(zhì)知截面與面AB1 的交線 MN 是AA1B9的中位線，所以截面是梯形CD1MN，易求其面積為 2.9答案 2三、解答題9.21如圖所示，四邊形 ABCD 是平行四邊形，點 P 是平面 ABCD 外一點， M 是 PC 的中點，在 DM 上取一點 G，過 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH.求證： APGH. 證明 如圖所示，連接AC 交 BD 于點 O，連接 MO，四邊形 ABCD 是平行四邊形，O

23、 是 AC 的中點，又 M 是 PC 的中點，APOM.又 MO? 平面 BMD，PA?平面 BMD，PA平面BMD .平面PAHG平面 BMD GH ，且 PA? 平面 PAHG，PAGH.10.22(2019 ·南通模擬 )如圖所示，斜三棱柱 ABCA1B1C1 中，點 D， D1 分別為 AC，A1C1 上的點A D(1)當11 等于何值時， BC 平面 AB DAD(2)若平面 BC1D平面 AB1D1，求 DC的值解(1)A1D1如圖所示，取D1 為線段 A1C1 的中點，此時 D1C11.連接 A1B，交 AB1 于點 O，連接 OD 1.由棱柱的性質(zhì)知，四邊形A1ABB

24、1 為平行四邊形，點 O 為 A1B的中點在A1BC1 中，點 O，D1 分別為 A1B，A1C1 的中點，OD1BC1.又OD1? 平面 AB1D1，BC1?平面 AB1D1，23BC1平面AB1D1.當A1D11 時， BC1平面AB1D1.D1C1(2)由平面 BC1D平面AB1D1，且平面 A1BC1平面 BC1DBC1，平面A1BC1平面 AB，得A1D1A1O， ，1D1D1OBC1 D1OD1C1OB又由題(1)可知A1D1DC，A1ODC1，即AD1.D1C1ADOB1，DCAD能力提升練11如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1 中，棱長為 a，M、N 分2a別為 A1B 和

25、 AC 上的點， A1MAN 3 ，則 MN 與平面 BB1C1C 的位置關(guān)系是 ()A 相交B平行C垂直D不能確定2a 解析 連接 CD1、AD1，在 CD1 上取點 P，使 D1P 3 ，連接MP、NP，MPBC，PNAD1BC1，MP平面BB1C1C，PN平面BB1C1C，平面MNP平面BB1C1C，MN 平面BB1C1C.故選 B.24答案B12(2018 ·江西高安期末 )三棱柱 ABCA1B1C1 中，側(cè)棱 AA1 垂直于底面 A1B1C1，底面三角形 A1B1C1 是正三角形， E 是 BC 的中點，則下列敘述正確的是 () CC1 與 B1E 是異面直線； AE 與

26、B1C1 是異面直線，且 AEB1C1； AC平面 ABB1A1； A1C1平面 AB1E.A BCD 解析 對于， CC1，B1E 都在平面 BB1C1C 內(nèi)，故錯誤；對于， AE，B1C1 為在兩個平行平面中且不平行的兩條直線，底面三角形 ABC 是正三角形， E 是 BC 中點，所以 AEBC，又 B1C1BC，故25AE 與 B1C1 是異面直線，且 AEB1C1，故正確；對于，上底面ABC是一個正三角形，不可能存在AC平面 ABB1A1，故錯誤；對于，A1C1 所在的平面與平面AB1E 相交，且A1C1 與交線有公共點，故錯誤故選 A.答案A13已知正方體 ABCDA1B1C1D1

27、的棱長為 1，點 P 是面 AA1D1D 的中心，點 Q 是 B1D1 上一點，且 PQ面 AB1，則線段 PQ 長為_解析 連接 AB1、AD1，點P 是平面 AA1D1D 的中心，點P 是 AD1 的中點，PQ平面AB1，PQ? 平面 D1AB1，平面 D1AB1平面 AB1AB1，PQAB1，12PQ2AB1 2 .26答案 2214如圖所示，平面平面 ，點 A，點 C，點 B，點 D，點 E，F(xiàn) 分別在線段 AB，CD 上，且 AEEBCFFD.(1)求證： EF平面 ；(2)若 E，F(xiàn) 分別是 AB，CD 的中點， AC4，BD6，且 AC，BD 所成的角為 60°，求 EF 的長 解 (1)證明：當 AB，CD 在同一平面內(nèi)時， 由平面 平面，平面 平面 ABDCAC，平面 平面 ABDCBD 知， ACBD.AEEBCFFD，EFBD.又 EF?，BD? ，EF平面.當 AB 與 CD 異面時，如圖所示，設(shè)平面ACD平面 DH ，且 DHAC，平面平面，平面 平面 ACDHAC，ACDH，四邊形 ACDH 是平行四邊形，在 AH 上取一點 G，使 AGGHCFFD，連接 EG，F(xiàn)G，BH.又AEEBCFFDAGGH，GFHD，EGBH.27又 EGGFG，BHH