定積分及其應(yīng)用習(xí)題課

1、1基本內(nèi)容基本內(nèi)容目錄 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例題選講例題選講2一、基本內(nèi)容一、基本內(nèi)容( )d ( ) , , baif xxf xa ba b 定定積積分分是是一一種種特特定定形形式式的的極極限限，因因此此它它是是一一個(gè)個(gè)數(shù)數(shù), ,這這個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)只只由由被被積積函函數(shù)數(shù)與與積積分分注注意意區(qū)區(qū)間間來(lái)來(lái)唯唯一一確確定定, ,而而與與的的分分法法無(wú)無(wú)關(guān)關(guān), ,與與各各的的取取法法無(wú)無(wú)關(guān)關(guān), ,與與積積分分變變量量用用什什么么字字母母表表之之點(diǎn)點(diǎn): :示示無(wú)無(wú)關(guān)關(guān). .1. 定定積積分分基基本本概概念念01( )dlim()nbiiaif xxfx (1)(1)分分劃劃，(2)(2)作作和和，(3(3

2、要要點(diǎn)點(diǎn)：) )求求極極限限首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3 (1) ( ) , ( ) , (2) ( ) , ( )2. , f xa bf xa bf xa bf xa b若若在在上上連連續(xù)續(xù), ,則則在在上上可可積積. .若若在在上上有有界界可可, ,且且只只有有有有限限個(gè)個(gè)間間斷斷點(diǎn)點(diǎn), ,則則在在積積的的充充分分條條件件上上可可積積. . (1) ( )d0 (2) ( )d( )d (3) ( )( )d(3. )d( )daabaabbbbaaaf xxf xxf xxlf xkg xxlf xxkg xx 定定積積分分的的性性質(zhì)質(zhì)首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 4首頁(yè) 上頁(yè) 下

3、頁(yè) 返回 結(jié)束 (4) ( )d( )d( )d(5) d(6) , ( )0( )d0(7) , ( )( ), ( )d( )d(8) ( )d|( )|d ( )|( )|(9) ()( )dbcbaacbababbaabbaaaf xxf xxf xxxbaa bf xf xxa bf xg xf xxg xxf xxf xxf xf xm baf xx 若若在在上上，則則若若在在上上則則由由可可積積可可積積. .注注: :() ( ) , bm bammf xa b 其其中中 ，分分別別是是在在上上的的最最小小值值，最最大大值值. .5 (10) ( )d( )() ()baf xx

4、fbaab 積積分分中中值值定定理理首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ( )( )d () ( )( ) , d 4 ( )( )d( )d. xaxaxf ttaxbxf xa bxf ttf xx 積積分分上上限限是是在在上上的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)，即即這這揭揭示示了了定定積積分分與與原原函函數(shù)數(shù)之之間間的的的的函函數(shù)數(shù)本本質(zhì)質(zhì)聯(lián)聯(lián)系系. .6 ( )d ( ) , ( )d( )ddd ( )d( )d( )ddbxbxxbbxxbf ttf xa bf ttf ttf ttf ttf xxx 不不是是在在上上的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)，事事實(shí)實(shí)上上，因因所所：以以注注( )( )( )(

5、)dd ( )d( )d( )ddd( ( )( )( ( ) ( ) (b xcb xa xa xcf ttf ttf ttxxf a x a xf b x b xc 推推廣廣：為為常常數(shù)數(shù)）首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 7 ( )d( )( ) 5. ( )( ) ( ( ) , )baf xxf bf afxf xf xa b 其其牛牛頓頓萊萊布布尼尼（微微積積分分基基本本公公式式中中在在茨茨公公式式上上連連續(xù)續(xù)）( ) , (1) ( ) , ; (2) ( )( ) , ( )d( )( )baf xa bf xa bf xf xa bf xxf bf a 若若在在上上連連續(xù)續(xù)，則則

6、在在上上有有原原函函數(shù)數(shù)若若是是在在上上的的原原函函數(shù)數(shù)，則則要要點(diǎn)點(diǎn)：首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (1) ( ) , ( ) , f xa bf xa b在在上上有有原原函函數(shù)數(shù), ,不不能能推推出出在在上上可可積積. .幾點(diǎn)注記：幾點(diǎn)注記：8221sin 0 ( )0 0 xxf xxx 22 1,11212 sincos 0 ( )( )0 0 xxfxf xxxxx 在在上上處處處處有有導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) ( ) 11 ( ) 11 ( ) 11 f xf xf x 即即在在， 上上有有原原函函數(shù)數(shù), ,但但在在， 上上無(wú)無(wú)界界，故故在在， 上上不不可可積積. .例如例如首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回

7、 結(jié)束 9 1,1 . 在在上上可可積積 , ( )( ),( )d( )( ), ( ) , baa bfxf xf xxf bf af xa b 綜綜上上所所述述, ,命命題題“如如果果在在上上有有則則必必有有從從而而在在上上可可積積”是是錯(cuò)錯(cuò)誤誤的的. . (2) ( ) , ( ) , f xa bf xa b在在上上可可積積, ,不不能能推推出出在在上上一一定定有有原原函函數(shù)數(shù). .例例如如0 0 ( )1 0 xf xx 當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)( )( ),0,f xf xx 假假如如有有原原函函數(shù)數(shù)則則在在時(shí)時(shí)1( ),0,( ).f xcxf xc在在時(shí)時(shí)1,.cc 續(xù)續(xù)的的 所所以以0,(

8、 )xf x 在在時(shí)時(shí)是是連連( ).f xc 從從而而(0)(0)1.ff 這這與與矛矛盾盾( )( )0.fxf x 故故首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 10(2) ( )dlim( )d () ( )dlim( )d ()bbattabtaatbf xxf xxaf xxf xxb 無(wú)無(wú)界界函函數(shù)數(shù)的的反反常常積積分分為為瑕瑕點(diǎn)點(diǎn)為為瑕瑕點(diǎn)點(diǎn)6. 反反常常積積分分00(1) ( )dlim( )d ( )dlim( )d ( )d( )d( )dtaatbbttf xxf xxf xxf xxf xxf xxf xx 無(wú)無(wú)窮窮限限的的反反常常積積分分首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 11 首先

9、畫出平面圖形的大概圖形，然后根據(jù)圖首先畫出平面圖形的大概圖形，然后根據(jù)圖形的特點(diǎn)，選擇相應(yīng)的積分變量，確定積分區(qū)域形的特點(diǎn)，選擇相應(yīng)的積分變量，確定積分區(qū)域?qū)懗鰣D形面積的積分表達(dá)式寫出圖形面積的積分表達(dá)式.7.平面圖形的面積平面圖形的面積首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 122121 ( ),( ) ( )( )( )( )d, ().bayfxyfxfxfxafxfxxa b ab 如如果果圖圖形形由由所所圍圍成成, ,則則所所圍圍面面積積為為 其其中中為為兩兩曲曲線線交交點(diǎn)點(diǎn)的的橫橫坐坐標(biāo)標(biāo))(1xfy )(2xfy abxyo12 ( ), (), 如如果果圖圖形形由由曲曲線線及及射射線線圍

10、圍成成的的曲曲邊邊扇扇形形 則則面面積積為為21 ( ) d2a xo( ) 2 ( )() ( ) dbayf xaxbxvf xx 連連續(xù)續(xù)曲曲線線段段繞繞軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周所所圍圍成成的的立立體體的的體體積積8. 旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積xyoabxyoab( )yf x 首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 13( ),a xxx 如如果果是是過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn) 且且垂垂直直與與 軸軸的的截截面面面面積積 則則立立體體體體積積為為xabxy)(xa( )dbava xx 9. 平行截面面積為已知的立體的體積平行截面面積為已知的立體的體積如果曲線弧的參數(shù)方程為如果曲線弧的參數(shù)方程為,)()( tytx

11、)( t10. 平面曲線的弧長(zhǎng)平面曲線的弧長(zhǎng)22( )( )dsttt 則曲線弧長(zhǎng)為則曲線弧長(zhǎng)為首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 14 物體在變力物體在變力f(x)的作用下的作用下, 從從x軸上軸上a點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)移動(dòng)到 b點(diǎn)點(diǎn), 所做的功為所做的功為( )dbawf xx 11. 變力作功變力作功12. 水壓力水壓力 對(duì)液體深度作微元對(duì)液體深度作微元,求得壓強(qiáng)求得壓強(qiáng),然后對(duì)深度積分然后對(duì)深度積分可求得物體所受的水壓力可求得物體所受的水壓力. 計(jì)算一根細(xì)棒對(duì)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的引力計(jì)算一根細(xì)棒對(duì)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的引力,可將細(xì)棒置可將細(xì)棒置于坐標(biāo)軸上建立直角坐標(biāo)系于坐標(biāo)軸上建立直角坐標(biāo)系, 對(duì)細(xì)棒所處的區(qū)間取對(duì)細(xì)棒所處

12、的區(qū)間取微元微元,然后積分然后積分.13. 引力引力首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 15二、基本方法二、基本方法12346 、利利用用定定義義、利利用用定定積積分分的的幾幾何何意意義義、利利用用牛牛頓頓萊萊布布尼尼茨茨公公式式、利利用用換換元元法法、利利用用分分步步積積分分法法主要方法主要方法 ( )d( )( ) ( )( ) , ( ) , baf xxf bf af xf xa bf xa b 對(duì)對(duì)于于牛牛頓頓萊萊布布尼尼茨茨公公式式的的應(yīng)應(yīng)用用, ,應(yīng)應(yīng)注注意意此此公公式式通通常常只只用用于于被被積積函函數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù)的的情情形形, ,對(duì)對(duì)于于在在上上可可積積, ,但但有有間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)的的

13、情情形形要要具具體體考考慮慮. .另另外外, ,也也必必須須在在上上連連續(xù)續(xù). .首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1600(1) ( )d ( )()d(2) ( ) ( )d0(3) ( ) ( )d2( )daaaaaaaaf xxf xfxxf xf xxf xf xxf xx 若若為為奇奇函函數(shù)數(shù)， 則則若若為為偶偶函函數(shù)數(shù)， 則則00(5) ( )d()d ()aaf xxf axxtax令令0(4) ( ) ( )d( )da ttaf xtf xxf xx 若若是是周周期期函函數(shù)數(shù)， 為為周周期期，則則利利用用換換元元法法可可得得許許多多公公式式：首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 17

14、22002002000(6) (sin )d(cos )d(7) (sin )d2(sin )d(8) (sin )d(sin )d (sin )d2fxxfxxfxxfxxxfxxfxxfxx 首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 7、定積分應(yīng)用的基本方法、定積分應(yīng)用的基本方法 :微元分析法微元分析法微元形狀微元形狀 : 條、條、段、段、 帶、帶、 片、片、扇、扇、環(huán)、環(huán)、殼殼 等等.18一、一、 定積分的應(yīng)用及方法定積分的應(yīng)用及方法幾何方面幾何方面 : 面積、面積、體積、體積、 弧長(zhǎng)、弧長(zhǎng)、 表面積表面積 .物理方面物理方面 : 質(zhì)量、質(zhì)量、作功、作功、 側(cè)壓力、側(cè)壓力、引力、引力、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣

15、量 .首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 19三、例題選講三、例題選講22 ln(1)d .xixex 計(jì)計(jì)算算例例1 1 解解注注意意到到區(qū)區(qū)間間的的對(duì)對(duì)稱稱性性, ,將將被被積積函函數(shù)數(shù)表表為為奇奇函函數(shù)數(shù)與與偶偶函函數(shù)數(shù)之之和和：11( ) ( )() ( )()22f xf xfxf xfx奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)20 ln(1)ln(1)dxxxexex 22221 ( )d ( )()d2f xxf xfxx所所以以20 ( )()df xfxx 首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2083 lim( )d( )xaxaxf ttf xxa 求求，其其中中例例2 2連連續(xù)續(xù). . lim( )

16、dxaxaxf ttxa 解解lim( )d ( )xaxaf ttx f x ( )a f a 洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則201 lnd1xxexxe 22200lnddxxexxx0 ( )dlim) 0 xaxaxf ttxa 型型首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2120(1)(2) dxttx 討討論論的的單單調(diào)調(diào)性性, ,并并例例3 3求求極極值值. . 20( )(1)(2) dxxttt 解解 設(shè)設(shè)2()(1)(2)xxx 則則12( )012xxx 令令，得得， 1( )0( )xxx 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，所所以以單單調(diào)調(diào)減減少少；1(2)( )0( )xxxx 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，所所以以單單調(diào)調(diào)增增加

17、加. .( )1xx 從從而而在在處處取取得得極極小小值值. .極極小小值值為為432101544 )43tttt駐點(diǎn)駐點(diǎn)120(1)(1)(2) dttt 1320(584)dtttt 1712 首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 221, () lim( )d .nbankk babaf af xxnn 類類似似地地11011 ( ),( )0,1,1 lim( )( )dnknnkkfn nf xkff xxn n 一一般般地地，若若計(jì)計(jì)算算和和式式的的極極限限時(shí)時(shí)，和和式式若若能能化化為為形形如如的的數(shù)數(shù)列列 并并且且在在上上連連續(xù)續(xù) 則則都都可可利利用用定定積積分分求求其其極極限限 即即首

18、頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 23! limln.nnnn例例 計(jì)計(jì)算算4 4!,nnnyn 解 令則解 令則1lnln1ln2ln lnnynnn1ln1ln2lnln nnnn112lnlnlnnnnnn11lnnkkn n 首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 241 11lim(ln)limlnnnnnkkyn n 所以 所以 10ln dx x 1100 ln dxxx !limln1.nnnn 即即1!lim.nnnen 類似可得 類似可得 首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 250 ( )2, ( )( )sin d5,(0).ff xfxx xf 已已知知 求求 例例5 50 ( )( )si

19、n df xfxx x 解解 00( )sin d( )sin df xx xfxx x 00( )sin dsin d( )fxx xx fx 00sin( )( )cos dxfxfxx x 0cos d ( )xf x 首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 26(0)3.f 故 故 0( )(0)( )sin dfff xx x 0 ( )( )sin d( )(0)f xfxx xff 所所以以2(0)5f00cos( )( )sin dxf xf xx x 首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 272( 21)201sin2 d .x x 算算 例例6 6 計(jì)計(jì) 222001sin2 d(sinco

20、s ) dx xxxx解解 20|sincos|dxxx 2404(cossin )d(sincos )dxxxxxx 4204sincos cossin xxxx 21(12)首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2822d .axxax 0 0計(jì)計(jì)例例算算7 7 sin ,xat 解 令則解 令則2022dcos dsincosaxt tttxax 0 020cos d2sin()4t tt 20cos()d442sin()4ttt 2011cos()sin()4422d2sin()4tttt 首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 29.4 20cos()141 d2sin()4ttt 201ln |si

21、n()|244t 首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 30222222111lim418424ninnnn 計(jì)計(jì)算算 例例2211 lim4nnkink 解解102d4xx 102d( )21 ( )2xx 10arcsin2x 6 2111 0 1 ( ),41 , ( )nkkknnnknf xxfn 由由定定積積分分定定義義, ,將將，等等分分, ,令令在在小小區(qū)區(qū)間間取取右右端端點(diǎn)點(diǎn)作作和和1211lim4 ( )nnknkn 首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3124400d d.119xxxxx 試試證證，并并求求其其值值例例解解40d1xx 令令1xt 402111d1ttt 240d1t

22、tt 240d1xxx 2444000d1dd2111xxxxxxx所所以以24011d21xxx 22121011d2xxxx 首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3222121011d2xxxx 210111d()2()2xxxx 101arctan2 22xx 2 2 首頁(yè) 上頁(yè) 返回 結(jié)束 33解解 這是三葉玫瑰線，由這是三葉玫瑰線，由 sin3 0，有有20,3 3 4533及及由對(duì)稱性由對(duì)稱性222660016d3sin3d2ara 26013(1cos6 )d2a 例例 10 求求 = a sin3 所圍圖形的面積所圍圖形的面積.26031sin6 26a 24a 首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返

23、回 結(jié)束 34解解222333,yax因因322233yax得得,aax 32233daavaxx 332105a 222333 (0 11. )xyaax求求星星形形線線繞繞 軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而成成的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體 例例的的體體積積 旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 a ayxo(p281-13題題)35222 ()(0) 2.1xyhrhrx 求求由由繞繞 軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周所所成成圓圓環(huán)環(huán)體體 的的體體積積例例解解222222()() drrvhrxhrxx 224drrhrxx 2184hrxyo222r h 2208drhrxx 首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (參

24、見參見p281-15(3)題題)362 43(0, 3)(3 ,03)1 yxx 求求拋拋物物線線及及其其在在點(diǎn)點(diǎn)和和處處的的切切線線所所圍圍成成的的圖圖形形 例例的的面面積積. . 24,yx 解解則則03|4, |2,xxyy (0, 3) 43,yx過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)的的切切線線為為(3,0) 26,yx 過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)的的切切線線為為yxo3232( ,3)m(0, 3) (3,0)43 ,26yxyx 由由2(,3)3m得得切切線線的的交交點(diǎn)點(diǎn)首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 于于是是所所求求面面積積為為37yxo3232( ,3)m(0, 3) (3,0)32322032(43)(43)d ( 26)

25、(43)daxxxxxxxx 32323220d(69)dxxxxx94 首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 38例例14 求拋物線求拋物線21yx在在(0,1) 內(nèi)的一條切線內(nèi)的一條切線, 使它與兩坐標(biāo)軸和拋物線所圍圖形的面積最小使它與兩坐標(biāo)軸和拋物線所圍圖形的面積最小.解解 設(shè)拋物線上切點(diǎn)為設(shè)拋物線上切點(diǎn)為2( ,1)m xx 則該點(diǎn)處的切線方程為則該點(diǎn)處的切線方程為2(1)2()yxx xx 它它與與 x , y 軸的交點(diǎn)分別為軸的交點(diǎn)分別為221(,0),(0,1)2xabxx 所圍面積所圍面積yxo11mab( )s x 221 (1)22xx 120(1)dxx 22(1)243xx 首

26、頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 392221( )(1)(31)4sxxxx 3,3x ( )0;sx 3,3x ( )0sx ( )0,sx 令令得得 0 , 1 上的唯一駐點(diǎn)上的唯一駐點(diǎn)33x 3( )0,1,3xs x 因因此此是是在在上上的的唯唯一一極極小小點(diǎn)點(diǎn)且為且為最小點(diǎn)最小點(diǎn) . 故所求故所求切線為切線為2 3433yx 首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 400, 0( ),rr32( )sind .3oxvr ( )rr x d dr證證 先求先求 ,d 上微曲邊扇形上微曲邊扇形繞極軸旋轉(zhuǎn)而成的體積繞極軸旋轉(zhuǎn)而成的體積d.oxv體積微元體積微元ddrr r2sinr doxv所所以以2

27、 sind ( )20drrr 32( )sin d3r 故故32( )sind3oxvr 繞極軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為繞極軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例 15 證明曲邊扇形證明曲邊扇形41解解 (1)0 x 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，由方程得由方程得2( )( )32x fxf xax ( )32f xax 即即23( )2f xaxcx故得故得2 ( )0,13( )( ),2 ( )12. (1) ( ); (2) 16,?f xax fxf xxyf xxf xax 設(shè)設(shè)非非負(fù)負(fù)函函數(shù)數(shù)在在上上滿滿足足 曲曲線線與與直直線線及及 坐坐標(biāo)標(biāo)軸軸所所圍圍圖圖形形面面積積為為求求函函數(shù)數(shù)為為

28、何何值值時(shí)時(shí) 所所圍圍圖圖形形繞繞 軸軸一一周周所所得得旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體體體積積最最小小例例首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 42102( )df xx 1203d2axcxx 22ac4ca23( )(4)2f xaxa x(2) 旋轉(zhuǎn)體體積旋轉(zhuǎn)體體積120( )dvfxx 2116310aa 110,35va 令令5a 得得5|0,15av 5,a 所所以以為為唯唯一一極極小小值值點(diǎn)點(diǎn)xoy1xoy15av 因因此此時(shí)時(shí)取取最最小小值值. .首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 又又又又43 17 , r半半徑徑為為 的的球球沉沉入入水水中中 球球的的上上部部與與水水面面相相切切 球球的的密密度度與與水水相相同同 現(xiàn)現(xiàn)將將球球從從水水中中取取出出 需需作作 例例多多少少功功. .(p288-7題題)xoy 解解 以水中球心為坐標(biāo)原點(diǎn)以水中球心為坐標(biāo)原點(diǎn), ,建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖. .r r 所求功為將所求功為將- -r, r上的微薄上的微薄片都上提片都上提2r功元素的積分功元素的積分.設(shè)在設(shè)在x處處(, )xr r 厚為厚為dx的小薄片在水中的的小薄片在水中的行程為行程為,rx 在水上的行程為在水上的行程為2()rrxrx首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 44xyoxrx rx 由題設(shè)由題設(shè), 球的比重與水的比重相同球的比重與水的比重相同, 水下薄片所受水下薄片所