微積分下總結(jié)

1、,00ts 使方程成為恒等式的函數(shù).通解通解 解中所含獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與方程) 1(00) 1(0000)(,)(,)(nnyxyyxyyxy 確定通解中任意常數(shù)的條件.n 階方程的初始條件初始條件( (或初值條件或初值條件) ):的階數(shù)相同.特解特解21xy200ddtts引例24 . 022ddtsxxy2dd引例1 cxy22122 . 0ctcts通解:tts202 . 0212 xy特解:微分方程的解解 不含任意常數(shù)的解, 定解條件定解條件 其圖形稱為積分曲線積分曲線. .分離變量方程的解法分離變量方程的解法:xxfyygd)(d)(設(shè) y (x) 是方程的解, xxfxxxgd

2、)(d)()(兩邊積分, 得 yygd)(xxfd)(cxfyg)()(則有恒等式 當(dāng)g(y)與f(x) 可微且 g (y) g(y) 0 時, 的隱函數(shù) y (x) 是的解. 則有稱為方程的隱式通解, 或通積分.同樣, 當(dāng) f (x) = f (x)0 時, 由確定的隱函數(shù) x(y) 也是的解. 設(shè)左右兩端的原函數(shù)分別為 g(y), f(x), 說明由確定一、齊次方程一、齊次方程形如)(ddxyxy的方程叫做齊次方程齊次方程 .令,xyu ,xuy 則代入原方程得,ddddxuxuxy)(dduxuxuxxuuud)(d兩邊積分, 得xxuuud)(d積分后再用xy代替 u, 便得原方程的通

3、解.解法:分離變量: ( h, k 為待 二、可化為齊次方程的方程二、可化為齊次方程的方程111ddcybxacybxaxy)0(212cc,. 111時當(dāng)bbaa作變換kyyhxx,dd,ddyyxx則原方程化為 ybxaybxaxy11ddckbha111ckbha令 0ckbha0111ckbha, 解出 h , k ybxaybxaxy11dd(齊次方程)定常數(shù)), ,代入將kyyhxx求出其解后, 即得原方 程的解.,. 211時當(dāng)bbaa原方程可化為 1)(ddcybxacybxaxy令, ybxavxybaxvdddd則1ddcvcvbaxv(可分離變量方程)注注: 上述方法可適

4、用于下述更一般的方程 111ddcybxacybxafxy)0(212cc一、一階線性微分方程一、一階線性微分方程一階線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式:)()(ddxqyxpxy若 q(x) 0, 0)(ddyxpxy若 q(x) 0, 稱為非齊次方程非齊次方程 .1. 解齊次方程分離變量xxpyyd)(d兩邊積分得cxxpylnd)(ln故通解為xxpcyd)(e稱為齊次方程齊次方程 ;xxpcyd)(e對應(yīng)齊次方程通解齊次方程通解非齊次方程特解xxpcd)(e2. 解非齊次方程)()(ddxqyxpxy用常數(shù)變易法常數(shù)變易法:,e)()()(xxpxuxyd則xxpud)(e)(xpxxpud)(e)

5、(xq故原方程的通解xxqxxpxxpde)(ed)(d)(cxxqyxxpxxpde)(ed)(d)(y即即作變換xxpuxpd)(e)(xxpxqxud)(e)(ddcxxquxxpde)(d)(兩端積分得二、伯努利二、伯努利 ( bernoulli )方程方程 伯努利方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:)1,0()()(ddnyxqyxpxynny以)()(dd1xqyxpxyynn令,1 nyzxyynxzndd)1 (dd則)()1 ()()1 (ddxqnzxpnxz求出此方程通解后,除方程兩邊 , 得換回原變量即得伯努利方程的通解.解法解法:(線性方程)伯努利 一、一、)()(xfyn令,) 1(

6、nyz)(ddnyxz則因此1d)(cxxfz即1) 1(d)(cxxfyn同理可得2)2(d cxyn1d)(cxxfxd xxfd)(依次通過 n 次積分, 可得含 n 個任意常數(shù)的通解 ., )(xf21cxc型的微分方程型的微分方程 ),(yxfy 型的微分方程型的微分方程 設(shè), )(xpy ,py 則原方程化為一階方程),(pxfp 設(shè)其通解為),(1cxp則得),(1cxy再一次積分, 得原方程的通解21d),(cxcxy二、二、三、三、),(yyfy 型的微分方程型的微分方程 令),(ypy xpydd 則xyypddddyppdd故方程化為),(ddpyfypp設(shè)其通解為),(

7、1cyp即得),(1cyy分離變量后積分, 得原方程的通解21),(dcxcyy內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)可降階微分方程的解法 降階法)(. 1)(xfyn逐次積分),(. 2yxfy 令, )(xpy xpydd 則),(. 3yyfy 令, )(ypy yppydd 則定理定理 2.)(),(21xyxy若是二階線性齊次方程的兩個線性無關(guān)特解, )()(2211xycxycy數(shù)) 是該方程的通解.例如例如, 方程0 yy有特解,cos1xy ,sin2xy 且常數(shù),故方程的通解為xcxcysincos21(自證) 推論推論. nyyy,21若是 n 階齊次方程 0)()()(1) 1(1)(yxay

8、xayxaynnnn的 n 個線性無關(guān)解, 則方程的通解為)(11為任意常數(shù)knncycycyxytan21y為任意常21,(cc則三、線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)三、線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu) )(* xy設(shè)是二階非齊次方程的一個特解, )(*)(xyxyyy (x) 是相應(yīng)齊次方程的通解,定理定理 3.)()()(xfyxqyxpy 則是非齊次方程的通解 .證證: 將)(*)(xyxyy代入方程左端, 得)*( yy)*( )(yyxp)*)(*)(*(yxqyxpy )()(yxqyxpy )(0)(xfxf)*( )(yyxq定理定理 4.),2, 1()(mkxyk設(shè)分別是方程的特解,是方程)

9、,2, 1()()()(mkxfyxqyxpyk mkkyy1則)()()(1xfyxqyxpymkk 的特解. (非齊次方程之解的疊加原理) 定理3, 定理4 均可推廣到 n 階線性非齊次方程. 二階常系數(shù)齊次線性微分方程:),(0為常數(shù)qpyqypy xrye和它的導(dǎo)數(shù)只差常數(shù)因子,代入得0e)(2xr qprr02qrpr稱為微分方程的特征方程特征方程,1. 當(dāng)042qp時, 有兩個相異實根,21r ,r方程有兩個線性無關(guān)的特解:,e11xry ,e22xry 因此方程的通解為xrxrccy21ee21( r 為待定常數(shù) ),xrre,函數(shù)為常數(shù)時因為所以令的解為 則微分其根稱為特征根特

10、征根.),(0為常數(shù)qpyqypy 特征方程02qrpr2. 當(dāng)042qp時, 特征方程有兩個相等實根21rr 則微分方程有一個特解)(12xuyy 設(shè)另一特解( u (x) 待定)代入方程得:e1xr)(1urup0uq)2(211ururu 1r注意是特征方程的重根0 u取 u = x , 則得,e12xrxy 因此原方程的通解為xrxccy1e)(21,2p.e11xry )(e1xuxr0)()2(1211 uqrprupru),(0為常數(shù)qpyqypy 特征方程02qrpr3. 當(dāng)042qp時, 特征方程有一對共軛復(fù)根i,i21rr這時原方程有兩個復(fù)數(shù)解:xy)i(1e)sini(c

11、osexxxxy)i(2e)sini(cosexxx 利用解的疊加原理 , 得原方程的線性無關(guān)特解:)(21211yyy)(21i212yyyxxcosexxsine因此原方程的通解為)sincos(e21xcxcyx小結(jié)小結(jié):),(0為常數(shù)qpyqypy ,02qrpr特征方程:xrxrccy21ee2121,:rr特征根21rr 實根 221prrxrxccy1e)(21i21,r)sincos(e21xcxcyx特 征 根通 解以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 .內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)),(0為常數(shù)qpyqypy 特征根:21, rr(1) 當(dāng)時, 通解為xrxrccy21ee2121r

12、r (2) 當(dāng)時, 通解為xrxccy1e)(2121rr (3) 當(dāng)時, 通解為)sincos(e21xcxcyxi2, 1r可推廣到高階常系數(shù)線性齊次方程求通解 .)(xfyqypy ),(為常數(shù)qp二階常系數(shù)線性非齊次微分方程 :根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理 , 其通解為yy *y非齊次方程特解齊次方程通解求特解的方法根據(jù) f (x) 的特殊形式 ,*y給出特解的待定形式,代入原方程比較兩端表達(dá)式以確定待定系數(shù) . 待定系數(shù)法待定系數(shù)法)(xfyqypy ),(為常數(shù)qp二階常系數(shù)線性非齊次微分方程 :根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理 , 其通解為yy *y非齊次方程特解齊次方程通解求特解的方法根據(jù) f (x) 的

13、特殊形式 ,*y給出特解的待定形式,代入原方程比較兩端表達(dá)式以確定待定系數(shù) . 待定系數(shù)法待定系數(shù)法)(exqx )()2(xqp )()(2xqqp)(expmx一、一、 型)(e)(xpxfmx 為實數(shù) ,)(xpm設(shè)特解為, )(e*xqyx其中 為待定多項式 , )(xq )()(e*xqxqyx )()(2)(e*2xqxqxqyx 代入原方程 , 得 )(xq )()2(xqp)()(2xqqp)(xpm為 m 次多項式 .)(xfyqypy (1) 若 不是特征方程的根, , 02qp即則取),(xqm從而得到特解形式為. )(e*xqymxq (x) 為 m 次待定系數(shù)多項式(

14、2) 若 是特征方程的單根 , , 02qp,02 p)(xq則為m 次多項式, 故特解形式為xmxqxye)(*(3) 若 是特征方程的重根 , , 02qp,02 p)(xq 則是 m 次多項式,故特解形式為xmxqxye)(*2小結(jié)小結(jié) 對方程,)2, 1, 0(e)(*kxqxyxmk此結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 .)(xq )()2(xqp)(xpm)()(2xqqp即即當(dāng) 是特征方程的 k 重根 時,可設(shè)特解內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)xmxpyqypye)(. 1 為特征方程的 k (0, 1, 2) 重根,xmkxqxye)(*則設(shè)特解為sin)(cos)(e. 2xxpxxpyq

15、ypynlx 為特征方程的 k (0, 1 )重根, ixkxye*則設(shè)特解為sin)(cos)(xxrxxrmmnlm,max3. 上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.apfpp)(lim0,0,0時，當(dāng)pp 00有apf)(3. 多元函數(shù)的極限4. 多元函數(shù)的連續(xù)性1) 函數(shù)連續(xù)在0)(ppf)()(lim00pfpfpp2) 閉域上的多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):有界定理 ;最值定理 ; 介值定理3) 一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)p61 題 2; 4; 5 (3), (5) ( 畫圖 ) ; 8p129 題 3; *4思考與練習(xí)思考與練習(xí)定理定理：若 f (p) 在有界閉域 d 上連續(xù), 則,0

16、) 1 ( k)()2(pf, ,mm* (4) f (p) 必在d 上一致連續(xù) .;,)(dpkpf使在 d 上可取得最大值 m 及最小值 m ;(3) 對任意，dq;)(qf使(有界性定理) (最值定理) (介值定理) (一致連續(xù)性定理) 閉域上多元連續(xù)函數(shù)有與一元函數(shù)類似的如下性質(zhì):(證明略) 一、全微分的定義、全微分的定義 定義定義: 如果函數(shù) z = f ( x, y )在定義域 d 的內(nèi)點( x , y ),(),(yxfyyxxfz可表示成, )(oybxaz其中 a , b 不依賴于 x , y , 僅與 x , y 有關(guān)，稱為函數(shù)),(yxf在點 (x, y) 的全微分全微分

17、, 記作ybxafz dd若函數(shù)在域 d 內(nèi)各點都可微,22)()(yx則稱函數(shù) f ( x, y ) 在點( x, y) 可微可微，處全增量則稱此函數(shù)在在d 內(nèi)可微內(nèi)可微.axby)(oybxazybxafz dd(2) 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)),(),(yxfyyxxfz)()(lim0oybxa下面兩個定理給出了可微與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系:(1) 函數(shù)可微函數(shù) z = f (x, y) 在點 (x, y) 可微),(lim00yyxxfyx當(dāng)函數(shù)可微時 :得zyx00lim0),(yxf函數(shù)在該點連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在 函數(shù)可微 即內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 微分定義:),(為例以yxfz zyyxfxyxfyx),()

18、,(zdyyxfxyxfyxd),(d),(22)()(yx2. 重要關(guān)系:)( o函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可微函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)定義空間光滑曲面0),(:zyxf曲面 在點法線方程法線方程),(0000zyxfxxx),(0000zyxfyyy),(0000zyxfzzz)( ),()( ),(00000000yyzyxfxxzyxfyx1) 隱式情況 .的法向量法向量),(000zyxm0)(,(0000zzzyxfz切平面方程切平面方程2. 曲面的切平面與法線曲面的切平面與法線),(, ),(, ),(000000000zyxfzyxfzyxfnzyx空間光滑曲面)

19、,(:yxfz )( ),()( ),(0000000yyyxfxxyxfzzyx切平面方程切平面方程法線方程法線方程1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx,1cos,1cos2222yxyyxxffffff2) 顯式情況.法線的方向余弦方向余弦2211cosyxff法向量法向量) 1 ,(yxffn內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 方向?qū)?shù)方向?qū)?shù) 三元函數(shù) ),(zyxf在點),(zyxp沿方向 l (方向角),為的方向?qū)?shù)為coscoscoszfyfxflf 二元函數(shù) ),(yxf在點),(yxp),的方向?qū)?shù)為coscosyfxflf沿方向 l (方向角為yfxfcossin2.

20、 梯度梯度 三元函數(shù) ),(zyxf在點),(zyxp處的梯度為zfyfxfff,gradgrad 二元函數(shù) ),(yxf在點),(yxp處的梯度為),(, ),(yxfyxfffyxgradgrad3. 關(guān)系關(guān)系方向?qū)?shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在 可微leflfgradgrad梯度在方向 l 上的投影. 方向: f 變化率最大的方向模: f 的最大變化率之值 梯度的特點內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 函數(shù)的極值問題函數(shù)的極值問題第一步 利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點.即解方程組第二步 利用充分條件 判別駐點是否為極值點 .2. 函數(shù)的條件極值問題函數(shù)的條件極值問題(1) 簡單問題用代入法, ),(yxfz 0),(

21、0),(yxfyxfyx如對二元函數(shù)(2) 一般問題用拉格朗日乘數(shù)法設(shè)拉格朗日函數(shù)如求二元函數(shù)下的極值,解方程組第二步 判別 比較駐點及邊界點上函數(shù)值的大小 根據(jù)問題的實際意義確定最值第一步 找目標(biāo)函數(shù), 確定定義域 ( 及約束條件)3. 函數(shù)的最值問題函數(shù)的最值問題在條件求駐點 . ),(yxfz 0),(yx),(),(yxyxff0 xxxff0yyyff0fxyo8. 設(shè)函數(shù)),(yxfd 位于 x 軸上方的部分為d1 , ),(),() 1 (yxfyxf),(),()2(yxfyxfd),(dyxf0d),(dyxf當(dāng)區(qū)域關(guān)于 y 軸對稱, 函數(shù)關(guān)于變量 x 有奇偶性時, 仍1d在

22、 d 上d),(21dyxf在閉區(qū)域上連續(xù), 域d 關(guān)于x 軸對稱,則則有類似結(jié)果.在第一象限部分, 則有1:,221 yxdd 為圓域例如dyxyxdd)(22dyxyxdd)(1dd)(422dyxyx0d內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)(1) 二重積分化為二次積分的方法直角坐標(biāo)系情形直角坐標(biāo)系情形 : 若積分區(qū)域為)()(,),(21xyyxybxayxd則)()(21d),(dd),(xyxybadyyxfxyxf 若積分區(qū)域為)()(,),(21yxxyxdycyxd則)()(21d),(dd),(yxyxdcdxyxfyyxf)(1xyy )(2xyy xybadoxy)(1yxx ddc)(2y

23、xx o)()(,),(21rrdddrrfyxf)sin,cos(d),(則)()(21d)sin,cos(drrrrf(2) 一般換元公式),(),(vuyyvuxxdyx),(,),(dvu0),(),(vuyxj且則ddvuvuyvuxfyxfdd ),(),(d),(j極坐標(biāo)系情形極坐標(biāo)系情形: 若積分區(qū)域為ddrr在變換下d)(1r)(2rox(3) 計算步驟及注意事項計算步驟及注意事項 畫出積分域 選擇坐標(biāo)系 確定積分序 寫出積分限 計算要簡便域邊界應(yīng)盡量多為坐標(biāo)線被積函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)變量易分離積分域分塊要少累次積分好算為妙圖示法不等式( 先積一條線, 后掃積分域 )充分利用對稱性應(yīng)

24、用換元公式zxyddyxdd 三重積分計算：方法三重積分計算：方法1. 投影法投影法 (“先一后二先一后二” ) dyxyxzzyxz),(),(),(:21yxzzyxfyxzyxzddd),(),(),(21該物體的質(zhì)量為vzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxfdyxzyxzzzyxfyx),(),(21d),(ddyxzyxfdd),(細(xì)長柱體微元的質(zhì)量為),(2yxzz ),(1yxzz 微元線密度記作yxddoab方法方法2. 截面法截面法 (“先二后一先二后一”)bzadyxz),(:為底, d z 為高的柱形薄片質(zhì)量為zd以該物體的質(zhì)量為vzyxfd),(

25、bazdyxzyxfdd),(zdbayxzyxfzdd),(dzdzzdzdyxzyxfdd),(zzyxfd),(面密度zd記作xyzo投影法方法方法3. 三次積分法三次積分法設(shè)區(qū)域:利用投影法結(jié)果 ,bxaxyyxydyx)()(:),(21),(),(21yxzzyxz把二重積分化成二次積分即得:vzyxfd),(),(),(21d),(ddyxzyxzdzzyxfyxvzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxf)()(21dxyxyybaxd小結(jié)小結(jié): 三重積分的計算方法三重積分的計算方法方法方法1. “先一后二先一后二”方法方法2. “先二后一先二后一”方法方法

26、3. “三次積分三次積分”),(),(21d),(ddyxzyxzdzzyxfyxvzyxfd),(zdbayxzyxfzdd),(d),(),()()(2121d),(ddyxzyxzxyxybazzyxfyx具體計算時應(yīng)根據(jù)vzyxfd),(vzyxfd),(三種方法(包含12種形式)各有特點,被積函數(shù)及積分域的特點靈活選擇. xyz2. 利用柱坐標(biāo)計算三重積分利用柱坐標(biāo)計算三重積分 ,),(3rzyxm設(shè),代替用極坐標(biāo)將yx),z（則就稱為點m 的柱坐標(biāo).z200sinyzz cosx直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系:常數(shù)坐標(biāo)面分別為圓柱面常數(shù)半平面常數(shù)z平面z),(zyxm)0 ,(yxo3.

27、 利用球坐標(biāo)計算三重積分利用球坐標(biāo)計算三重積分 ,),(3rzyxm設(shè)),(z其柱坐標(biāo)為就稱為點m 的球坐標(biāo).直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系,zomzr),(r則0200rcossinrx sinsinry cosrz 坐標(biāo)面分別為常數(shù)r球面常數(shù)半平面常數(shù)錐面, rom 令),(rmsinrcosrz mxyzo內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)zyxdddzddddddsin2rr積分區(qū)域多由坐標(biāo)面被積函數(shù)形式簡潔, 或坐標(biāo)系 體積元素 適用情況直角坐標(biāo)系柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系* * 說明說明:三重積分也有類似二重積分的換元積分公式換元積分公式:),(),(wvuzyxj對應(yīng)雅可比行列式為*ddd),(ddd),(w

28、vujwvufzyxzyxf變量可分離.圍成 ;nmaddk一、曲面的面積一、曲面的面積xyzso設(shè)光滑曲面dyxyxfzs),( , ),(:則面積 a 可看成曲面上各點),(zyxm處小切平面的面積 d a 無限積累而成. 設(shè)它在 d 上的投影為 d ,adcosd),(),(11cos22yxfyxfyxd),(),(1d22yxfyxfayx(稱為面積元素)則mnd故有曲面面積公式d),(),(122dyxyxfyxfayxyzxzaddd)()(122若光滑曲面方程為zyzxyxadd)()(122,),( , ),(zydzyzygx則有zyd即xzxyzyadd)()(122若光

29、滑曲面方程為 ,),( , ),(xzdxzxzhy若光滑曲面方程為隱式,0),(zyxf則則有yxzyzxdyxffyzffxz),(,ayxdxzdzzyxffff222,0zf且yxdd3. 計算計算 對光滑曲線弧, )( , )(, )(:ttytxllsyxfd),( 對光滑曲線弧, )()(:bxaxyllsyxfd),(baxxf) )(,(),()(: rrllsyxfd),()sin)(,cos)(rrf 對光滑曲線弧tttd)()(22xx d)(12d)()(22rr)(),(ttf3. 計算,)()(:tytxl: tlyyxqxyxpd),(d),(tttqttpd

30、)(),( )(),()(t)(t 對有向光滑弧 對有向光滑弧baxxyl:, )(:xxxqxxpbad )(,)(,)(xlyyxqxyxpd),(d),(zzyxryzyxqxzyxpd),(d),(d),(:,)()()(ttztytx)(, )(),(tttp)(t)(t)(t4. 兩類曲線積分的聯(lián)系lyqxpddsqpldcoscoszryqxpdddsrqpdcoscoscos)(, )(),(tttq)(, )(),(tttrtd 對空間有向光滑弧 :推論推論: 正向閉曲線 l 所圍區(qū)域 d 的面積lxyyxadd21格林公式格林公式ldyqxpyxypxqdddd例如例如, 橢圓)20(sincos:byaxl所圍面積lxyyxadd212022d)sincos(21ababab定理1 二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件定理定理2. 設(shè)d 是單連通域 ,),