數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)《復(fù)變函數(shù)》教學(xué)大綱

1、數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)復(fù)變函數(shù)教學(xué)大綱課程編碼( ) 課程總學(xué)時(shí)：54  學(xué)分：3一、課程說明1課程性質(zhì)復(fù)變函數(shù)是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的一門專業(yè)主干課程，是數(shù)學(xué)分析的后續(xù)課程。本課程的主要內(nèi)容是討論單復(fù)變量的復(fù)值可微函數(shù)的性質(zhì)，其主要研究對象是全純函數(shù)，即復(fù)解析函數(shù)。復(fù)變函數(shù)論又稱復(fù)分析，是數(shù)學(xué)分析的推廣和發(fā)展。因此它不僅在內(nèi)容上與數(shù)學(xué)分析有許多類似之處，而且在邏輯結(jié)構(gòu)方面也非常類似。復(fù)變函數(shù)論是一門古老而富有生命力的學(xué)科。早在19世紀(jì)，Cauchy、Weierstrass及Riemann等數(shù)學(xué)巨匠就已經(jīng)給這門學(xué)科奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。復(fù)變函數(shù)論作為一種強(qiáng)有力的工具，已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)的

2、眾多領(lǐng)域，如理論物理、空氣動力學(xué)、流體力學(xué)、彈性力學(xué)以及自動控制學(xué)等，目前也被廣泛應(yīng)用于信號處理、電子工程等領(lǐng)域。復(fù)變函數(shù)論作為一門學(xué)科，有其自身的特點(diǎn)，有其特有的研究方法。在學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)注意將所學(xué)的知識融匯貫通，并通過與微積分理論的比較加深理解，掌握它自身所固有的理論和方法。2課程教學(xué)目標(biāo)與要求（1）通過本課程的教學(xué)，使學(xué)生掌握復(fù)變函數(shù)論的基本理論和方法，獲得獨(dú)立地分析和解決某些相關(guān)理論和實(shí)際問題的能力。為進(jìn)一步學(xué)習(xí)其他課程，并為將來從事教學(xué)，科研及其他實(shí)際工作打好基礎(chǔ)。（2）通過基本概念的正確講解，基本理論的系統(tǒng)闡述，基本運(yùn)算能力的嚴(yán)格訓(xùn)練，逐步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)修養(yǎng)。同時(shí)注意擴(kuò)展學(xué)生的學(xué)習(xí)

3、思路，使他們了解更多的和現(xiàn)代生活息息相關(guān)的數(shù)學(xué)應(yīng)用知識。（3）作為師范專業(yè)，在有關(guān)內(nèi)容方面注重高等數(shù)學(xué)對初等數(shù)學(xué)的提高和指導(dǎo)意義，使學(xué)生在今后的工作中有較高的起點(diǎn)。3選用教材與參考書目選用教材：復(fù)變函數(shù)論（第三版），鐘玉泉，高等教育出版社，2003年。參考書目：復(fù)變函數(shù)（第二版），余家榮，高等教育出版社，1992年。多復(fù)變函數(shù)美那托西姆漢著，科學(xué)出版社。解析函數(shù)邊值問題路見可著，上?？萍汲霭嫔纭＝馕龊瘮?shù)的邊界性質(zhì)蘇N.普里瓦洛夫著，科學(xué)出版社。函數(shù)論習(xí)題集遠(yuǎn)木幸成日 湖南科技出版社 1979年4課程教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)復(fù)變函數(shù)主要研究解析函數(shù)。復(fù)變函數(shù)論的基本理論由柯西的積分理論、Weierstra

4、ss的級數(shù)理論、Riemann的幾何理論三大部分組成。留數(shù)定理為柯西定理的推廣，羅朗級數(shù)是泰勒級數(shù)的推廣，保形變換是復(fù)變函數(shù)幾何理論的基本概念。留數(shù)理論、級數(shù)理論和保形變換為實(shí)際應(yīng)用提供了特有的復(fù)變函數(shù)論方法。因此課程的教學(xué)重點(diǎn)是：（1）解析函數(shù)，柯西積分定理和積分公式（2）級數(shù)，泰勒展開式和羅朗展開式，解析函數(shù)的唯一性定理（3）留數(shù)定理及應(yīng)用（4）線性變換，保形映射（5）解析開拓和黎曼面介紹課程教學(xué)的難點(diǎn)是：（1）多值函數(shù)（2）保形映射5課程教學(xué)方法與手段1）學(xué)與思的結(jié)合：既要了解相關(guān)內(nèi)容，又要對此進(jìn)行深入的思考與分析；2）聽與說的結(jié)合：要求學(xué)生既要認(rèn)真聽老師的講解，又要勇于發(fā)表自己的見解；

5、3）知與做的結(jié)合：通過對數(shù)學(xué)方法的掌握，解決與之相關(guān)的其他數(shù)學(xué)問題；4）理論與實(shí)踐的結(jié)合：通過本課程理論學(xué)習(xí)形成的數(shù)學(xué)思想方法，應(yīng)用于實(shí)際之中，同時(shí)加深對其他數(shù)學(xué)專業(yè)課的理解。6課程考核方法與要求本課程考核以筆試為主，是一門考試課程，主要考核學(xué)生對基礎(chǔ)理論，基本概念的掌握程度，以及學(xué)生邏輯推理能力和計(jì)算能力。平時(shí)作業(yè)成績占10%，期中考試成績占20%，期末考試成績占70%。7先修課程與后續(xù)課程先修課程：數(shù)學(xué)分析，解析幾何，高等代數(shù)，普通物理， 后續(xù)課程：數(shù)學(xué)建模，常微分方程，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，實(shí)變函數(shù)，泛函分析8其他有關(guān)說明課時(shí)期中考試。二、教學(xué)內(nèi)容第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)一、復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)是研

6、究復(fù)變函數(shù)的基礎(chǔ)。二、主要內(nèi)容：（6 學(xué)時(shí)）1.復(fù)數(shù)：復(fù)數(shù)的定義，代數(shù)表達(dá)，四則運(yùn)算，共軛；復(fù)數(shù)與平面上點(diǎn)一一對應(yīng)關(guān)系，復(fù)平面在幾何中的應(yīng)用；復(fù)平面與平面向量的關(guān)系，復(fù)數(shù)的模與輻角、三角表達(dá)式。 2.復(fù)平面上的點(diǎn)集初步概念：內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)、聚點(diǎn)、圓盤、連通性、開集、閉集等，約當(dāng)曲線、區(qū)域的概念3 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)的概念，復(fù)變函數(shù)的的極限與連續(xù)4 復(fù)球面與無窮遠(yuǎn)點(diǎn)復(fù)球面，擴(kuò)充復(fù)球面上的幾個(gè)概念三、要求：1.復(fù)數(shù)的運(yùn)算，復(fù)數(shù)與平面點(diǎn)、平面向量的對應(yīng)關(guān)系、模，輻角的概念、性質(zhì)；2.區(qū)域（單、復(fù)連通）光滑曲線、無窮遠(yuǎn)點(diǎn)復(fù)平面，擴(kuò)充復(fù)平面3 復(fù)變函數(shù)的極限、連續(xù)與其實(shí)、虛部這一對二元函數(shù)的極限連續(xù)性

7、的等價(jià)性。4 有界閉集上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。四、難點(diǎn)：輻角   無窮遠(yuǎn)點(diǎn) 第二章 解析函數(shù)一、 復(fù)變函數(shù)及其理論與微分學(xué)的相應(yīng)內(nèi)容有相似亦有不同，并有一定的聯(lián)系。解析函數(shù)是本課程主要研究對象，解析函數(shù)的實(shí)、虛部之間深刻的內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)在CauchyRiemann方程中。二、  主要內(nèi)容（8學(xué)時(shí)）1.    解析函數(shù)的概念與柯西黎曼條件復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分、解析函數(shù)極其簡單性質(zhì)、柯西黎曼條件2.   初等解析函數(shù)：指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)與雙曲函數(shù) 3.   

8、; 初等多值函數(shù)：根式函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、具有多個(gè)有限支點(diǎn)的情形、一般冪函數(shù)與一般指數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)。三、 要求：1.  解析的概念、復(fù)變函數(shù)的可導(dǎo)性與其實(shí)虛部的可導(dǎo)性的關(guān)系、CauchyRiemann方程。2   基本初等函數(shù)的定義、性質(zhì)、與相應(yīng)實(shí)函數(shù)的同與不同之處3   多值函數(shù)的概念、分支、分支點(diǎn)的概念。四、重點(diǎn)：CauchyRiemann方程和基本初等函數(shù)的定義和性質(zhì)難點(diǎn)：輻角函數(shù)、多值函數(shù)的分支點(diǎn) 第三章 復(fù)變函數(shù)的積分一、  本章研究復(fù)積分。它從柯西積分定理出發(fā)得出柯西積分

9、公式，從而得到解析函數(shù)的積分表達(dá)及其導(dǎo)數(shù)的存在性和積分表達(dá)，這是實(shí)分析中所沒有的性質(zhì)。二、 主要內(nèi)容：（8學(xué)時(shí)）1. 復(fù)積分的概念與簡單性質(zhì)：復(fù)積分的定義、復(fù)變函數(shù)積分的計(jì)算問題、積分的基本性質(zhì)。2. 柯西積分定理：柯西積分定理、柯西積分定理的證明、不定積分、柯西積分定理的推廣等3 柯西積分公式及其推論：柯西積分公式、解析函數(shù)的無窮可微性、柯西積分不等式與Liouville定理、Morera定理4 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系三、  要求：1. 積分的定義、性質(zhì)、將光滑曲線上的連續(xù)函數(shù)的積分化成定積分計(jì)算2. 柯西積分定理、積分公式、導(dǎo)數(shù)公式的內(nèi)容、推廣及應(yīng)用它們求積

10、分3. 掌握柯西不等式、Liouville定理；Morera定理是柯西積分定理的逆定理。四、重點(diǎn)：柯西積分定理和柯西積分公式。難點(diǎn)：掌握柯西不等式、Liouville定理第四章 解析函數(shù)的冪級數(shù)表示法一、級數(shù)是研究解析函數(shù)的一個(gè)重要工具。泰勒定理肯定了解析函數(shù)在解析點(diǎn)展成冪級數(shù)的可能性。它在理論上的應(yīng)用使我們得到了體現(xiàn)解析函數(shù)重要特性和內(nèi)在聯(lián)系的定理：解析函數(shù)的唯一性定理。二、主要內(nèi)容：（6學(xué)時(shí)）1. 復(fù)級數(shù)的基本性質(zhì)：復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)、一致收斂的復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)、解析函數(shù)項(xiàng)級數(shù)。2. 冪級數(shù)：冪級數(shù)的斂散性、收斂半徑的求法、柯西阿達(dá)瑪公式、冪級數(shù)和的解析性3 解析函數(shù)的泰勒展開式：泰勒定理、冪級數(shù)的和函

11、數(shù)在其收斂圓周上的狀況、一些初等函數(shù)的泰勒級數(shù)4. 解析函數(shù)零點(diǎn)的孤立性及唯一性定理：解析函數(shù)零點(diǎn)的孤立性，唯一性定理、最大模原理、三、 要求：1.    泰勒定理及將函數(shù)泰勒展開2.    解析函數(shù)唯一性定理的內(nèi)容，意義，證明思路3.    冪級數(shù)的收斂范圍及性質(zhì)四、 重點(diǎn)：泰勒展開  解析函數(shù)唯一性定理  難點(diǎn)：唯一性定理、最大模原理的理解第五章 解析函數(shù)的洛朗展式與孤立奇點(diǎn)一、級數(shù)是研究解析函數(shù)的一個(gè)重要工具。羅朗定理肯定了解析函數(shù)在解析環(huán)中展成羅朗級數(shù)的可能

12、性。它們在理論上的應(yīng)用使我們得到了體現(xiàn)解析函數(shù)的重要特性：孤立奇點(diǎn)的性質(zhì)。二、主要內(nèi)容：（8學(xué)時(shí)）1. 解析函數(shù)的羅朗展式：雙邊冪級數(shù)、解析函數(shù)的羅朗展式、羅朗級數(shù)與泰勒級數(shù)的關(guān)系、解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)鄰域內(nèi)的羅朗展式、2. 解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn)：解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn)的分類、可去奇點(diǎn)、席瓦爾茲引理、極點(diǎn)、本性奇點(diǎn)、畢卡（Picard）定理。3. 解析函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性質(zhì)4. 整函數(shù)和亞純函數(shù)的概念：整函數(shù)、亞純函數(shù)。三、 要求：1.  羅朗定理及將函數(shù)羅朗展開2.   孤立奇點(diǎn)的分類判別3.  本性奇點(diǎn)的Weierstrass定理

13、和Picard定理四、難點(diǎn)：無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性質(zhì)重點(diǎn)： 孤立奇點(diǎn)  羅朗展開式 第六章       留數(shù)理論及其應(yīng)用一、 留數(shù)在復(fù)變函數(shù)論本身及應(yīng)用中較為主要，留數(shù)定理的應(yīng)用在本章中包含兩個(gè)方面：一是計(jì)算積分，二是考察區(qū)域內(nèi)函數(shù)的零點(diǎn)分布情況二、  主要內(nèi)容：（10學(xué)時(shí)）1. 留數(shù) 、定義、求法、留數(shù)定理2. 利用留數(shù)定理求積分（I）3.輻角原理及應(yīng)用（Rouche定理）三、  要求：1. 留數(shù)的定義、求留數(shù)、留數(shù)定理2. 利用留數(shù)定理求積分的方法3. 幅角原理及其應(yīng)用：對數(shù)留數(shù)、

14、幅角原理、Rouche定理，四、 難點(diǎn)：幅角原則及Rouche定理重點(diǎn)：留數(shù)定理 第七章      保形映射一、保形映射是復(fù)變函數(shù)理論的基本概念。線性變換及其他基本初等函數(shù)的變換有某些重要的特性，在實(shí)際問題中有重要的應(yīng)用。二、主要內(nèi)容（8學(xué)時(shí)）1.  解析變換特性：保域性、保角性，保形性。2.  線性變換：線性變換及其分解、線性變換的保形性，保交比性、保圓性，保對稱性及應(yīng)用3. 某些初等函數(shù)線性變換所構(gòu)成的保性變換：冪函數(shù)與根式函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)由圓弧構(gòu)成兩角形區(qū)域的保

15、形變換。4 關(guān)于保形變換的黎曼存在定理和邊界對應(yīng)定理三、要求：1. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義及保形變換，線性變換的概念，性質(zhì)，單葉解析函數(shù)的概念2. 利用兩個(gè)特殊的分式線性函數(shù)求保形變換四、 難點(diǎn)： 單葉解析函數(shù)重點(diǎn)： 保形變換 三、授  課  進(jìn)  度  表周次課次授課內(nèi)容授課時(shí)數(shù)課外作業(yè)備  注11§1.1 復(fù)數(shù)23  2§1.2復(fù)平面上的點(diǎn)集22 23§1.3復(fù)變函數(shù)22 4§1.4 復(fù)球面與無窮遠(yuǎn)點(diǎn)23  35§2.1

16、解析函數(shù), C-R條件2 6§2.2初等解析函數(shù)（1）23 47§2.2初等解析函數(shù)（2）23  8§2.3 初等多值函數(shù)22 59§3.1 復(fù)積分的概念23 10§3.2 Cauchy積分定理23  6 11§3.3 Cauchy積分公式及推論22 12§3.4解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系24 713§4.1 復(fù)級數(shù)的基本性質(zhì)24  14§4.2冪級數(shù) §4.3Taylor展開式

17、25 815§4.4零點(diǎn)的孤立性及唯一性定理 24  16§5.1羅朗展開式 22 1017§5.2孤立奇點(diǎn)(1)21 18§5.2孤立奇點(diǎn)(2)22  11 19§5.3無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性質(zhì)23 20§5.3整函數(shù)與亞純函數(shù)2  第 2頁授  課  進(jìn)  度  表周次課次授課內(nèi)容授課時(shí)數(shù)課外作業(yè)備  注1321§6.1殘數(shù)23  22§6.2用殘數(shù)定理

18、計(jì)算積分(1)23 1423§6.2用殘數(shù)定理計(jì)算積分(2)22 24§6.3 輻角原理及其應(yīng)用 23  1525§7.1解析變換的特性21選講 26§7.2線性變換22選講 1627§7.3某些初等函數(shù)的保形變換22選講 28§7.4（1）黎曼定理22選講 1729§7.4（2）邊界對應(yīng)定理22選講  復(fù)習(xí) 2   18   考試         附注1參照校歷制訂授課進(jìn)度。進(jìn)度表中的“課次”指第幾次課。2課外作業(yè)（填習(xí)題號或作業(yè)量），實(shí)驗(yàn)、教學(xué)