高三數(shù)列知識(shí)點(diǎn)與題型總結(jié)2

1、學(xué)習(xí)必備精品學(xué)問(wèn)點(diǎn)數(shù)列考點(diǎn)總結(jié)第一部分求數(shù)列的通項(xiàng)公式一、數(shù)列的相關(guān)概念與表示方法（見(jiàn)輔導(dǎo)書(shū)）二、求數(shù)列的通項(xiàng)公式四種基本數(shù)列：等差數(shù)列、等比數(shù)列、等和數(shù)列、等積數(shù)列及其廣義形式；等差數(shù)列、等比數(shù)列的求通項(xiàng)公式的方法是：累加和累乘，這二種方法是求數(shù)列通項(xiàng)公式的最基本方法；求數(shù)列通項(xiàng)的方法的基本思路是：把所求數(shù)列通過(guò)變形，代換轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列；求數(shù)列通項(xiàng)的基本方法是：累加法和累乘法；一、累加法1適用于：an 1anf n - 這是廣義的等差數(shù)列累加法是最基本的二個(gè)方法之一；如 an 1anf n n2 ，a2a1a3a2f 1f 2就an 1anf n兩邊分別相加得an 1a1nf nk

2、 1例1已知數(shù)列 an 滿意 an 1an2n1， a11 ，求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式；例2已知數(shù)列 an 滿意 an 1nan231， a13 ，求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；練習(xí) 1.已知數(shù)列an的首項(xiàng)為1，且an 1*an2nnn 寫(xiě)出數(shù)列an的通項(xiàng)公式 .答案：n 2n1練 習(xí)2. 已 知 數(shù) 列 an a n滿 足a13，a n 11nn n12， 求 此 數(shù) 列 的 通 項(xiàng) 公 式 .學(xué)習(xí)必備精品學(xué)問(wèn)點(diǎn)na21答案：裂項(xiàng)求和n評(píng)注：已知 a1項(xiàng) an .a , a n 1anf n ，其中 fn 可以是關(guān)于n 的一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、分式函數(shù)，求通如 fn 是關(guān)于 n 的一次函數(shù)

3、，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和;如 fn 是關(guān)于 n 的二次函數(shù)，累加后可分組求和;如 fn 是關(guān)于 n 的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和;如 fn 是關(guān)于 n 的分式函數(shù)，累加后可裂項(xiàng)求和；例 3.已知數(shù)列sn a n 中,a n0 且1 an2n a n,求數(shù)列 a n 的通項(xiàng)公式 .a2an,a1n 11練習(xí) 3已知數(shù)列 an 滿意an2，求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；二、累乘法1、適用于：an 1f n an累乘法是最基本的二個(gè)方法之二；an 1f na2f1 a3f 2，an 1f n 如an，就 a1a2anan兩邊分別相乘得，n 1a1 a1f kk 1 a a2 n15na ，

4、 a3 a 例 4已知數(shù)列n滿意n 1n1，求數(shù)列n的通項(xiàng)公式；學(xué)習(xí)必備精品學(xué)問(wèn)點(diǎn)例 5. 設(shè) an是首項(xiàng)為1 的正項(xiàng)數(shù)列，且n1 a 2na 2a n 1a n0 （ n =1， 2， 3，），就它的通項(xiàng)公式是nn1an = .三、待定系數(shù)法適用于an 1qanf n 基本思路是轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，而數(shù)列的本質(zhì)是一個(gè)函數(shù)，其定義域是自然數(shù)集的一個(gè)函數(shù)；1形如an 1cand , c0 ,其中 a1a 型（ 1）如 c=1 時(shí)，數(shù)列 （ 2）如 d=0 時(shí)，數(shù)列 a n 為等差數(shù)列 ;a n 為等比數(shù)列 ;（ 3）如 c1且d0 時(shí)，數(shù)列 an 為線性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通過(guò)待定系數(shù)法構(gòu)造

5、幫助數(shù)列來(lái)求.待定系數(shù)法：設(shè)an 1ca n ,得 an 1canc1,與題設(shè)an 1cand , 比較系數(shù)得c1d ,所以add, c c10an所以有：ddcadn1c1c1因此數(shù)列na1c1構(gòu)成以c1 為首項(xiàng)，以c 為公比的等比數(shù)列，ddn 1a na1ca na1dn 1dc所以c1c1即：c1adcadc1 . ad規(guī)律：將遞推關(guān)系an 1cand 化為n 1c1n1c1,構(gòu)造成公比為c 的等比數(shù)列nc1 從而求得通項(xiàng)公式da n 11cc n 1 ad c1逐項(xiàng)相減法（階差法）：有時(shí)我們從遞推關(guān)系an 1cand 中把n換成n-1有 a ncan 1d ,兩式相減有an 1a nc

6、ana n 1 從而化為公比為c 的等比數(shù)列 a n1a n ,進(jìn)而求得通項(xiàng)公式.a n 1a nc n aa1 ,2再利用類型 1即可求得通項(xiàng)公式.我們看到此方法比較復(fù)雜.學(xué)習(xí)必備精品學(xué)問(wèn)點(diǎn)例 6、已知數(shù)列 an 中， a11,an2an 11n2 ，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；n2形如：a n 1panq其中 q 是常數(shù)，且n0,1如 p=1 時(shí)，即：a n 1a nq nqn，累加即可 .如 p1 時(shí)，即：a n 1pa n，求通項(xiàng)方法有以下三種方向：i.兩邊同除以n 1p.目的是把所求數(shù)列構(gòu)造成等差數(shù)列a n 1a npqn 1n即：1 p npq,令ba nnnpbn 1b n，就1 p

7、npq,然后類型1，累加求通項(xiàng).ii. 兩邊同除以q n 1. 目的是把所求數(shù)列構(gòu)造成等差數(shù)列；an 1qn 1即：ba np a n1,q q nqbpb1nnn 1令q,就可化為qnq .然后轉(zhuǎn)化為類型5 來(lái)解，iii. 待定系數(shù)法：目的是把所求數(shù)列構(gòu)造成等差數(shù)列設(shè) a n 1q n 1p a np n .通過(guò)比較系數(shù)，求出，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求通項(xiàng).1留意：應(yīng)用待定系數(shù)法時(shí)，要求pq，否就待定系數(shù)法會(huì)失效；例 7、已知數(shù)列 an 滿意an 12 an4 3n1， a1 ，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；練習(xí) 3.（ 2021 陜西卷文）a 1 a2,a anan 1*, nn已知數(shù)列an 滿意，1 2

8、n 22.令 bnan 1an ，證明： bn 是等比數(shù)列； 求an的通項(xiàng)公式；答案：（ 1）bn是以 1 為首項(xiàng)，學(xué)習(xí)必備精品學(xué)問(wèn)點(diǎn)1an2 為公比的等比數(shù)列； （ 2）52 331 n 1 nn * 2；總結(jié)：四種基本數(shù)列1形如a n 1a nf n 型等差數(shù)列的廣義形式，見(jiàn)累加法；2.形如a n 1a nf n型等比數(shù)列的廣義形式，見(jiàn)累乘法；3.形如a n 1a nf n 型（ 1）如a n 1a nd（ d 為常數(shù)），就數(shù)列 a n 為“等和數(shù)列 ”，它是一個(gè)周期數(shù)列，周期為2，其通項(xiàng)分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)來(lái)爭(zhēng)論;（ 2）如 fn 為 n 的函數(shù)（特別數(shù)） 時(shí)，可通過(guò)構(gòu)造轉(zhuǎn)化為an 1a n

9、f n 型， 通過(guò)累加來(lái)求出通項(xiàng);或用逐差法 兩式相減 得 an 1a n 1f nf n1 ，分奇偶項(xiàng)來(lái)分求通項(xiàng).4.形如a n 1anf n 型（ 1）如an 1a np p 為常數(shù) ，就數(shù)列 a n 為“等積數(shù)列 ”，它是一個(gè)周期數(shù)列，周期為2，其通項(xiàng)分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)來(lái)爭(zhēng)論 ;（ 2）如 fn 為 n 的函數(shù)（特別數(shù)）時(shí)，可通過(guò)逐差法得a na n 1f n1 ，兩式相除后，分奇偶項(xiàng)來(lái)分求通項(xiàng).例 8. 數(shù)列 a n 滿意 a10 , a n 1a n2n ,求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 .學(xué)習(xí)必備精品學(xué)問(wèn)點(diǎn)例 9. 已知數(shù)列 an 滿意 a13, a na n 1 1 n2, nn * ,

10、求此數(shù)列的通項(xiàng)公式.其次部分?jǐn)?shù)列求和一、公式法1假如一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列，就求和時(shí)直接利用等差、等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式，留意等比數(shù)列公比 q 的取值情形要分q 1 或 q 1.2一些常見(jiàn)數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式：11 2 34 n n n 1 ；221 3 57 2n 1 n2；n32 4 68 2n2 n.二、非等差、等比數(shù)列求和的常用方法1 倒序相加法假如一個(gè)數(shù)列 an ，首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n 項(xiàng)和即可用倒序相加法，等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和即是用此法推導(dǎo)的2 分組轉(zhuǎn)化求和法如一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由如干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，

11、就求和時(shí)可用分組轉(zhuǎn)化法，分別求和而后相加減3 錯(cuò)位相減法假如一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前n 項(xiàng)和即可用此法來(lái)求，等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和就是用此法推導(dǎo)的4 裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和 小題能否全取 學(xué)習(xí)必備精品學(xué)問(wèn)點(diǎn)1 2021 ·沈陽(yáng)六校聯(lián)考 設(shè)數(shù)列 1n 的前 n 項(xiàng)和為 sn，就對(duì)任意正整數(shù)n，sn n 1 n 1a. 2b.1 n 1c.2d. 1 n 1 121 n 12sn2等差數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為an2n 1，其前 n 項(xiàng)的和為sn，就數(shù)列a 120b 70c 7

12、5d 100n 的前 10 項(xiàng)的和為 3數(shù)列 a1 2， ak 2k， a10 20 共有十項(xiàng)，且其和為240，就 a1 ak a10 的值為 a 31b 120c 130d 1854如數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為an 2n2n 1，就數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 5數(shù)列1，1，1，1，的前n 項(xiàng)和為 2× 44× 66×82n 2n 2分組轉(zhuǎn)化法求和 例 1 等比數(shù)列 an 中， a1， a2， a3 分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且a1， a2， a3 中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列.第一列其次列第三列第一行3210其次行6414第三行98181求數(shù)列 a

13、n 的通項(xiàng)公式；2如數(shù)列 bn 滿意： bn an 1nln an，求數(shù)列 bn 的前 2n 項(xiàng)和 s2n.錯(cuò)位相減法求和 例 2已知數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 sn kcn k其中 c， k 為常數(shù) ，且 a2 4， a6 8a3. 1求 an；2求數(shù)列 nan 的前 n 項(xiàng)和 tn.學(xué)習(xí)必備精品學(xué)問(wèn)點(diǎn)2已知等比數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 sn，且滿意sn 3n k.1求 k 的值及數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；2如數(shù)列 ban 1 滿意 4 kab ，求數(shù)列 b 的前 n 項(xiàng)和 t .n2n nnn1tn 91nn n 1 .4 22·33裂項(xiàng)相消法求和 例 3已知數(shù)列 an 的前

14、n 項(xiàng)和為 sn， a1 1， sn nann n1 n n * 1求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；22設(shè) bn，求數(shù)列 bn 的前 n 項(xiàng)和 tn.anan 13在等比數(shù)列 an 中， a1>0 ， n n* ，且 a3 a2 8，又 a1、a5 的等比中項(xiàng)為16. 1求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；2設(shè) bn log4an，數(shù)列 bn 的前 n 項(xiàng)和為 sn，是否存在正整數(shù)k，使得 1 1 1 1 <k 對(duì)任意 n n* 恒成s1s2s3sn立如存在，求出正整數(shù)k 的最小值；不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由學(xué)習(xí)必備精品學(xué)問(wèn)點(diǎn)【課后練習(xí)題】1已知數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 sn n26n，就 |an| 的

15、前 n 項(xiàng)和 tn a 6n n2b n2 6n 1826n n1 n321n 36n nnnc.2 6n 18 n>3d.2 6nn>3n2如數(shù)列 a 滿意 a 2 且 a a 2n2n 1， s為數(shù)列 a 的前 n 項(xiàng)和，就log s 2 .1nn1nn22 0123已知遞增的等比數(shù)列 an 滿意： a2 a3 a4 28，且 a3 2 是 a2， a4 的等差中項(xiàng)1求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；2如 b a1， s b b b，求 s .nnlog2ann12nn4已知 an 是公差不為零的等差數(shù)列，a11，且 a1， a3 ， a9 成等比數(shù)列1求數(shù)列 an 的通項(xiàng)；2求數(shù)列 2 an 的前 n 項(xiàng)和 sn.ns 2n1 2.b2設(shè)函數(shù)f x x3