全國各地中考數(shù)學(xué)試卷分類匯編：動態(tài)問題3

1、精品資源動態(tài)問題10 . (2013湖南張家界，25, 12分)如圖，拋物線y=ax2+bx+c (a電)的圖象過點 C (0, 1),頂點為 Q (2, 3),點D在x軸正半軸上，且 OD=OC .(1)求直線CD的解析式；(2)求拋物線的解析式；(3)將直線CD繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°所得直線與拋物線相交于另一點E,求證：3EQs* CDO;(4)在(3)的條件下，若點 P是線段QE上的動點，點F是線段OD上的動點，問：在 P 點和F點移動過程中，如CF的周長是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由.考點：二次函數(shù)綜合題.分析：(1)利用待定系數(shù)法求出直線解

2、析式；(2)利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；(3)關(guān)鍵是證明4CEQ與3DO均為等腰直角三角形；(4)如答圖 所示，作點C關(guān)于直線QE的對稱點C；作點C關(guān)于x軸的對稱點C", 連接C'C，交OD于點F,交QE于點P,則4PCF即為符合題意的周長最小的三角 形，由軸對稱的性質(zhì)可知，4PCF的周長等于線段 C'C的長度.利用軸對稱的性質(zhì)、兩點之間線段最短可以證明此時APCF的周長最小.如答圖所示，利用勾股定理求出線段CC的長度，即APCF周長的最小值.解答：解：(1) . C (0, 1), OD=OC,，D 點坐標為(1,0).設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b (k%

3、), j 1 二b將 C (0, 1), D (1, 0)代入得：，Lk+b=O解得：b=1 , k= - 1,直線CD的解析式為：y= -x+1 .(2)設(shè)拋物線的解析式為 y=a (x-2) 2+3,將 C(0, 1)代入得：1=ax(2) 2+3,解得 a=y=(x-2) 2+3= -2x2+2x+1.22(3)證明：由題意可知，/ ECD=45 °, OC=OD ,且 OCOD,OCD 為等腰直角三角形，/ ODC=45°,./ ECD=/ODC, CE/x軸，則點 C、E關(guān)于對稱軸(直線 x=2)對稱，點E的坐標為(4, 1).如答圖 所示，設(shè)對稱軸(直線 x=2

4、)與CE交于點F,則F (2, 1), ME=CM=QM=2 , .QME 與4QMC 均為等腰直角三角形， . / QEC= / QCE=45又OCD為等腰直角三角形，ODC=/OCD=45 °,/ QEC= / QCE= / ODC= / OCD=45 °, . CEQA CDO .(4)存在.如答圖所示，作點C關(guān)于直線QE的對稱點C ；作點C關(guān)于x軸的對稱點C，連 接C'C，交OD于點F,交QE于點P,則4PCF即為符合題意的周長最小的三角形， 由軸對稱的性質(zhì)可知，APCF的周長等于線段 CC的長度.(證明如下：不妨在線段 OD上取異于點F的任一點F'

5、,在線段QE上取異于點P的 任一點 P',連接 F'C, FP； PC'.由軸對稱的性質(zhì)可知，AP'CF'的周長=FC+F P'+P'C'而F'C+F'P'+PC是點C', C之間的折線段，由兩點之間線段最短可知：F C +F P+PC> C'C，即hCF的周長大于 APCE的周長.)如答圖所示，連接CE, 0, C'關(guān)于直線QE對稱，4QCE為等腰直角三角形， . QCE為等腰直角三角形， . CEC為等腰直角三角形， 點C'的坐標為(4, 5); C, C關(guān)于x軸對

6、稱，點 C的坐標為(-1,0).過點 C作 C'Ny 軸于點 N,則 NC =4 , NC=4+1+1=6 ,在RtACNC中，由勾股定理得：CC Wnc，2+近*2=3+6 2= 2后.綜上所述，在 P點和F點移動過程中， APCF的周長存在最小值，最小值為 2萌市.歡迎下載點評：本題是中考壓軸題，綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、相似三角形、 等腰直角三角形、勾股定理、軸對稱的性質(zhì)等重要知識點，涉及考點較多，有一點的 難度.本題難點在于第 (4)問，如何充分利用軸對稱的性質(zhì)確定 APCF周長最小時的 幾何圖形，是解答本題的關(guān)鍵.11. (2013上海市，24, 12分)如

7、圖9,在平面直角坐標系 xoy中，頂點為M的拋物線y =ax2 +bx(a >01)經(jīng)過點A和x軸正半軸上的點 B , AO =OB = 2, /AOB =1200 .(1)求這條拋物線的表達式；(2)聯(lián)結(jié)OM ,求ZAOM的大小；(3)如果點C在x軸上，且 ABC與 AOM相似，求點C的坐標.I答文】孫(11如圖，過加a作A工Ly輸于點D.什得 * (- 3 赤h mi., 0)代入 y = as" + bx f 得:a - 3 &E u =-3（：）過點V作觸千點協(xié)，這條拋物姓的表達it知八史三-氈 31V3TJ5TJ，taiEPM - - -1. .',

8、ZEPM - 300QE 3Kf/- ZAOM * ZAOB + ZEPM-I5O0,.卜 zu AH J3» t3rl j AB ri = d HE 3AZABH = 30 .ZABC*ISO0./. 上AdM二迪AJCmZiHHJ相似.則心:宿四=叫，或絲.W/.C <4, 0LAU=2. OM = Jr+r B C = c- 2) AB=2上.設(shè)點匚的坐標比0 1,則根據(jù)坐標和勾鹿電理. WGii+iQM zjh由一 得L AB BCc-2旭段簿 _2i r事將，匚 (Sh 0)BC AB C - 2 W/彝上所述，如果生C在X軸上，且AaBcAaom相褪.啊息。的生標為

9、仃1舊 或，孔0）,I考點】二作褥算你建.皿三弟所打F1峙殊膏W三角函或值，曲虢上點的里場與方程的關(guān)系，二改施”的ttlfi,與股定理,相似三箱形的判定，分叁國.酉應(yīng)用rWl（1）底用三重函就求出點a的生除 爐& 3的坐 “，3<14加，郎可樂得a、忙從福求騫皿物娃 的泰達苴.O 應(yīng)用二汶而獲拊性周.求出有標.從而生海/段乂工及*.迸而求得上司HJ的大小.（?）由于可事小。M ZABC,根據(jù)相也三晦形的對應(yīng)，分處一則， 竺-四 兩沖情況河館.AB BC BC AB1 2 312. （2013山西，26, 14分）綜合與探究：如圖，拋物線y= x - x-4與x軸交于A,B 42兩

10、點（點B在點A的右側(cè)）與y軸交于點C,連接BC,以BC為一邊，點O為對稱中心作菱形BDEC,點P是x軸上的一個動點，設(shè)點P的坐標為（m, 0）,過點P作x軸的垂線l交拋物線于占J 八、(1)求點A,B,C的坐標。(2)當(dāng)點P在線段OB上運動時，直線l分別交BD, BC于點M,N。試探究m為何值時,四邊形CQMD是平行四邊形，此時，請判斷四邊形CQBM的形狀，并說明理由。(3)當(dāng)點P在線段EB上運動時，是否存在點 Q,使4BDQ為直角三角形，若存在，請直 接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由。1 o 3斛析：(1)當(dāng) y=0 時，-x x- 4=0,解得，xi =-2,x2 =8 42 點B在

11、點A的右側(cè)，.點A,B的坐標分別為：(-2, 0), (8, 0)當(dāng) x=0 時，y=-4 點C的坐標為(0, -4),(2)由菱形的對稱性可知，點D的坐標為(0, 4).?b = 4i設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b,則.解得，k= , b=4.?8k+b = 02,1 直線BD的解析式為y = -x+4.211 2 3. l，x 軸，.點 M , Q 的坐標分力1J是(m, m + 4), (m, m - -m-4)242如圖，當(dāng)MQ=DC時，四邊形CQMD是平行四邊形./ 1,1 2 3,(m + 4) -( m - -m- 4)=4-(-4)242化簡彳導(dǎo):m2 - 4m = 0 .解得，m1=0,(舍去)m2=4.當(dāng)m=4時，四邊形 CQMD是平行四邊形.此時，四邊形CQBM是平行四邊形.解法一：m=4, .點 P 是 OB 中點.lx 軸，l/y 軸.BP BM 1. . BPMA BOD. . - = 一 BM=DMBO BD 2四邊形CQMD是平行四邊形，DMCQ.'BM £CQ.四邊形CQBM為平行四邊形解法二：設(shè)直線?h = -41BC的解析式為y=k1x+b1,則.解得，匕=一，b1=-4?8k1+B=02,直線BC的解析式為y= 1 x-42 又Ux軸交BC于點N. .x=4時，y=-2.，點N的坐標為(4,-2)