輕松應(yīng)用均值不等式

1、運(yùn)用均值不等式的八類拼湊方法利用均值不等式求最值或證明不等式是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)。在運(yùn)用均值不等式解題時(shí),我們常常會(huì)遇到題中某些式子不便于套用公式，或者不便于利用題設(shè)條件，此時(shí)需要對(duì)題中的式子適當(dāng)進(jìn)行拼湊變形。均值不等式等號(hào)成立條 件具有潛在的運(yùn)用功能。以均值不等式的取等條件為出發(fā)點(diǎn)，為解題提供信息，可以引發(fā)出種種拼湊方法。筆者把運(yùn) 用均值不等式的拼湊方法概括為八類。一、拼湊定和 通過因式分解、納入根號(hào)內(nèi)、升冪等手段，變?yōu)椤胺e”的形式，然后以均值不等式的取等條件為出發(fā)點(diǎn)，均分系 數(shù)，拼湊定和，求積的最大值。例 已知 0 x 1，求函數(shù) y x3 x2 x 1 的最大值。2 2 2解： y x2

2、 x 1 x 1 x 1 1 x2x 1 1 x3227x1當(dāng)且僅當(dāng) x 132。27解 ： yx2 。22因 x x 1x222x x 1 x22231，271 x，即 x 1 時(shí)，上式取“ =”。故 ymax23評(píng)注：通過因式分解，將函數(shù)解析式由“和”的形式，變?yōu)椤胺e”的形式，然后利用隱含的“定和”關(guān)系，求“積”的最大值。例 2 求函數(shù) y x2 1 x2 0 x 1 的最大值。2當(dāng)且僅當(dāng)x 1 x ，即 x 6 時(shí)，上式取“ =”。故 ymax 2 3 。2 3 9評(píng)注： 將函數(shù)式中根號(hào)外的正變量移進(jìn)根號(hào)內(nèi)的目的是集中變?cè)?，為“拼湊定和”?chuàng)造條件 例3 已知 0 x 2 ，求函數(shù) y 6

3、x 4 x2 的最大值。2解： y236x24x2182x24x24x22x2 4 x2 4 x2318 8327當(dāng)且僅當(dāng) 2x 4 x ，即 x 3 時(shí)，上式取“ =”。故 ymax27 ，又 y 0, ymax3二、拼湊定積 通過裂項(xiàng)、分子常數(shù)化、有理代換等手段，變?yōu)椤昂汀钡男问?，然后以均值不等式的取等條件為出發(fā)點(diǎn)， 配項(xiàng)湊定積，創(chuàng)造運(yùn)用均值不等式的條件例4 設(shè) x1 ，求函數(shù) y x 5 x 2 的最小值。x1解：y x 1 4 x 1 1 x 1 4 5 2 x 1 4 5 9。當(dāng)且僅當(dāng) x 1時(shí)，上式取“ =”。故 ymin 9 。評(píng)注：有關(guān)分式的最值問題，若分子的次數(shù)高于分母的次數(shù)

4、，則可考慮裂項(xiàng)，變?yōu)楹偷男问?，然后“拼湊定積” 往是十分方便的。24 x 1例5 已知 x 1 ，求函數(shù) y 2 的最大值。x 3 2解：x 1, x 1 0 ，24 x 12x 1 4 x 1 424x 1 4 4x1242 2 4當(dāng)且僅當(dāng) x 1 時(shí)，上式取“ =”。故 ymax 3。評(píng)注： 有關(guān)的最值問題，若分子的次數(shù)低于分母的次數(shù)，可考慮改變?cè)降慕Y(jié)構(gòu)，將分子化為常數(shù)，再設(shè)法將分母拼湊定積” 。2 cos x例 6 已知 0 x ，求函數(shù) y 的最小值。sin xxx解： 因?yàn)?0 x ，所以 0 ，令 tant ，則 t 0 。2 2 2所以 y1sin x1 cos xsin x2

5、t1 t 2t當(dāng)且僅當(dāng)=”。故 ymin3 。1 3t ，即 t3 , x時(shí)，上式取2t 2 3 3評(píng)注： 通過有理代換，化無理為有理，化三角為代數(shù)，從而化繁為簡(jiǎn)，化難為易，創(chuàng)造出運(yùn)用均值不等式的環(huán)境。三、拼湊常數(shù)降冪例7 若 a3 b3 2,a, b R ，求證： a b 2。分析：基本不等式等號(hào)成立的條件具有潛在的運(yùn)用功能，它能在“等”與“不等”的互化中架設(shè)橋梁，能為解題提供信息，開辟捷徑。本題已知與要求證的條件是 a b 1，為解題提供了信息，發(fā)現(xiàn)應(yīng)拼湊項(xiàng)，巧妙降次，迅速促成“等”與“不等”的辯證轉(zhuǎn)化。證明： a3 13 13 33 a3 13 13 3a,b3 13 13 33 b3

6、13 13 3b 。33a3 b3 4 6 3 a b , a b 2. 當(dāng)且僅當(dāng) a b 1時(shí)，上述各式取“ =”，故原不等式得證。評(píng)注：本題借助取等號(hào)的條件，創(chuàng)造性地使用基本不等式，簡(jiǎn)潔明了。例8 若 x3 y3 2,x,y R ，求 x2 y2 5xy 的最大值。解： 3 1 xx 1x3x3,3 1y y1y3y3 ,31 xy 1 x3y3,2 2 1x3x3 1y3y35 1x3y37 7 x3y3x2 y2 5xy7 。33當(dāng)且僅當(dāng) a b 1時(shí)，上述各式取“ =”，故 x2 y 2 5xy 的最大值為 7。例9 已知 a,b, c 0,abc 1，求證： a3 b3 c3 ab

7、 bc ca 。證明：1a3b33 1a b,1b3c3 3 1b c,1c3a33 1c a，3 2a3b3c33 abbcca，又ab bcca33a2b2c2 3 ，3333 333 2a3b3c32 abbcca3,a3 b3c3abbc ca 。當(dāng)且僅當(dāng) a b c 1時(shí)，上述各式取“ =”，故原不等式得證。四、拼湊常數(shù)升冪例10 若 a ,b,c R ，且 a b c 1，求證 a 5 b 5 c 5 4 3 。1 分析： 已知與要求證的不等式都是關(guān)于a,b,c 的輪換對(duì)稱式，容易發(fā)現(xiàn)等號(hào)成立的條件是a b c ，故應(yīng)3拼湊 16 ，巧妙升次，迅速促成“等”與“不等”的辯證轉(zhuǎn)化。證

8、明： 2 16 a 5 16 a 5 , 2 16 b 5 16 b 5 , 2 16 c 5 16 c 5 ，b 5 c 5 31 a b c 32. a 5 b 5 c 5 4 3 。當(dāng)且僅當(dāng) a b c 時(shí)，上述各式取“ =”，故原不等式得證。333例11 若 a b 2,a,b, R ，求證： a3 b3 2 。證明： 3 1 1a 13 13 a3,3 1 1 b 13 13 b3, 3 a b 4 a3 b3。33又 a b 2, a3 b3 2 。當(dāng)且僅當(dāng) a b 1時(shí)，上述各式取“ =”，故原不等式得證。1五、約分配湊通過“ 1”變換或添項(xiàng)進(jìn)行拼湊，使分母能約去或分子能降次。例

9、1228已知 x, y, 0,1，求 xy的最小值。xy解： x y x y126 x4y32y46x4y當(dāng)且僅當(dāng) 2 8xy1 時(shí)，即24.y16 ，上式取“ =”，故 xy min 64。例13 已知 0 x 1，求函數(shù) yx 解： 因?yàn)?0 x 1，所以 1 x 0 。11x的最小值。41所以 y 4 1 x 1 x x1x11x5 4 1 x x 9 。x 1 x當(dāng)且僅當(dāng)4 1 x x 2時(shí)，即 x ，上式取“ =”，故 ymin 9 。 1 x 3a2b 2c21例14 若 a ,b,cR ，求證 abc1a b c 。b c c a a b 2分析： 注意結(jié)構(gòu)特征：要求證的不等式是

10、關(guān)于 a,b,c 的輪換對(duì)稱式，當(dāng) a b c 時(shí)，等式成立。此時(shí)bca，2a設(shè)m b c2a，解得 m1 a 2 b c1 ，所以 a 應(yīng)拼湊輔助式 b c 為拼湊的需要而添，經(jīng)此一添，解題可見眉目。4 b c 4證明：bca2b cb c a, b2 c a 2 b2 c a b, c2 a b c a 4c。b2abc21 a b c 。當(dāng)且僅當(dāng) a b c時(shí)，上述各式取“ =”，故原不等式得證。2六、引入?yún)?shù)拼湊某些復(fù)雜的問題難以觀察出匹配的系數(shù)，但利用“等”與“定”的條件，建立方程組，解得待定系數(shù)，可開 辟解題捷徑。149例15 已知 x, y, z R ，且 x y z 1，求 的

11、最小值。 xyz解： 設(shè) 0 ，故有 x y z 1 0。149149x y z 1 1xxyzxyz x2 4 6 12 。當(dāng)且僅當(dāng) x, y,z 同時(shí)成立時(shí)上述不等式取“ =”，xyz為 36 。，代入 x y z 1，解得36，此時(shí) 1236 ， 故 1 4 9 的最小值xyz七、引入對(duì)偶式拼湊 根據(jù)已知不等式的結(jié)構(gòu)，給不等式的一端匹配一個(gè)與之對(duì)偶的式子，然后一起參與運(yùn)算，創(chuàng)造運(yùn)用均值不等 式的條件。例16設(shè)a1,a2, ,an 為互不相等的正整數(shù)，求證a21 a22 a23an21111 。1 2n12 22 32n2123n證明： 記 bna21a22a23an2 ，構(gòu)造對(duì)偶式dn1

12、111 ，123na1a2a3an則 bndna211a221a23 1a2n12 1111 ，nn12a122a232 a3n2an123n當(dāng)且僅當(dāng) ai i i N ,i n 時(shí)，等號(hào)成立。又因?yàn)?a1, a2, ,an 為互不相等的正整數(shù)，1 1 1 1 1 1 1 1所以 d n，因此 bn。n 1 2 3 n n 1 2 3 n評(píng)注： 本題通過對(duì)式中的某些元素取倒數(shù)來構(gòu)造對(duì)偶式。八、確立主元拼湊在解答多元問題時(shí)，如果不分主次來研究，問題很難解決；如果根據(jù)具體條件和解題需要，確立主元，減少變?cè)?個(gè)數(shù)，恰當(dāng)拼湊，可創(chuàng)造性地使用均值不等式。1例17 在 ABC中，證明 cos Acos B

13、 cosC。8分析：cosAcosBcosC為輪換對(duì)稱式， 即A,B,C的地位相同， 因此可選一個(gè)變?cè)獮橹髟?將其它變?cè)醋鞒Ａ?(固 定)，減少變?cè)獋€(gè)數(shù)，化陌生為熟悉。證明： 當(dāng) cosA 0 時(shí)，原不等式顯然成立。1當(dāng)cosA 0時(shí)， cos Acos B cosCcos A cos B C cos B C1 cos A cos B C cos A1 1 cos A 1 cos A12cosA 1 cosA 21 cosA 1 cosAcos(B C) 1 當(dāng)且僅當(dāng) ，即 ABC 為正三角形時(shí)，原不等式等號(hào)成立。cos A 1 cos A綜上所述，原不等式成立。評(píng)注：變形后選擇 A 為主元，先把 A 看