考點規(guī)范練51--拋物線

1、考點規(guī)范練51拋物線基礎(chǔ)鞏固1.已知拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線經(jīng)過點(-1,1),則該拋物線焦點坐標(biāo)為()A.(-1,0)B.(1,0)C.(0,-1)D.(0,1)2.拋物線y=-4x2上的一點M到焦點的距離為1,則點M的縱坐標(biāo)是()A.-1716B.-1516C.1716D.15163.(2016河南中原學(xué)術(shù)聯(lián)盟仿真)過拋物線y2=4x的焦點作直線l交拋物線于A,B兩點,若線段AB中點的橫坐標(biāo)為3,則|AB|等于()A.2B.4C.6D.8導(dǎo)學(xué)號372703704.(2016河南商丘三模)已知拋物線y2=8x與雙曲線x2a2-y2=1的一個交點為M,F為拋物線的焦點,若|MF

2、|=5,則該雙曲線的漸近線方程為()A.5x±3y=0B.3x±5y=0C.4x±5y=0D.5x±4y=05.已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點,離心率為12,E的右焦點與拋物線C:y2=8x的焦點重合,A,B是C的準(zhǔn)線與E的兩個交點,則|AB|=()A.3B.6C.9D.126.(2016河北南宮一中三模)已知拋物線y2=2px(p>0)上一點M(1,m)(m>0)到其焦點的距離為5,雙曲線x2a-y2=1的左頂點為A,若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行,則實數(shù)a=()A.19B.14C.13D.127.(2016浙江,理9)若拋物線y2=4x上

3、的點M到焦點的距離為10,則M到y(tǒng)軸的距離是. 8.已知拋物線y2=4x,過焦點F的直線與拋物線交于A,B兩點,過A,B分別作y軸的垂線,垂足分別為C,D,則|AC|+|BD|的最小值為.導(dǎo)學(xué)號37270371 9.已知過拋物線y2=2px(p>0)的焦點,斜率為22的直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)兩點,且|AB|=9.(1)求該拋物線的方程;(2)O為坐標(biāo)原點,C為拋物線上一點,若OC=OA+OB,求的值.導(dǎo)學(xué)號3727037210.已知一條曲線C在y軸右邊,C上每一點到點F(1,0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1.(1)求曲

4、線C的方程;(2)是否存在正數(shù)m,對于過點M(m,0),且與曲線C有兩個交點A,B的任一直線,都有FA·FB<0?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請說明理由.導(dǎo)學(xué)號37270373能力提升11.設(shè)F為拋物線y2=6x的焦點,A,B,C為該拋物線上三點.若FA+FB+FC=0,則|FA|+|FB|+|FC|=()A.4B.6C.9D.12導(dǎo)學(xué)號3727037412.(2016四川,理8)設(shè)O為坐標(biāo)原點,P是以F為焦點的拋物線y2=2px(p>0)上任意一點,M是線段PF上的點,且|PM|=2|MF|,則直線OM的斜率的最大值為()A.33B.23C.22D.1導(dǎo)學(xué)號37

5、27037513.如圖,正方形ABCD和正方形DEFG的邊長分別為a,b(a<b),原點O為AD的中點,拋物線y2=2px(p>0)經(jīng)過C,F兩點,則ba=. 14.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,直線y=4與y軸的交點為P,與C的交點為Q,且|QF|=54|PQ|.(1)求C的方程;(2)過F的直線l與C相交于A,B兩點,若AB的垂直平分線l'與C相交于M,N兩點,且A,M,B,N四點在同一圓上,求l的方程.導(dǎo)學(xué)號37270376高考預(yù)測15.已知拋物線x2=2py(p>0)的頂點到焦點的距離為1,過點P(0,p)作直線與拋物線交于A

6、(x1,y1),B(x2,y2)兩點,其中x1>x2.(1)若直線AB的斜率為12,過A,B兩點的圓C與拋物線在點A處有共同的切線,求圓C的方程;(2)若AP=PB,是否存在異于點P的點Q,使得對任意,都有QP(QA-QB)?若存在,求出點Q的坐標(biāo);若不存在,說明理由.參考答案考點規(guī)范練51拋物線1.B解析 由題意知,該拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-1,則其焦點坐標(biāo)為(1,0).2.B解析 拋物線方程可化為x2=-y4,其準(zhǔn)線方程為y=116.設(shè)M(x0,y0),則由拋物線的定義,可知116-y0=1,y0=-1516.3.D解析 由題設(shè)知線段AB的中點到準(zhǔn)線的距離為4.設(shè)A,B兩點到準(zhǔn)線的距

7、離分別為d1,d2.由拋物線的定義知|AB|=|AF|+|BF|=d1+d2=2×4=8.4.A解析 由題意可知拋物線y2=8x的焦點F(2,0),準(zhǔn)線方程為x=-2.設(shè)M(m,n),則由拋物線的定義可得|MF|=m+2=5,解得m=3.由n2=24,可得n=±26.將M(3,±26)代入雙曲線x2a2-y2=1,可得9a2-24=1,解得a=35,即有雙曲線的漸近線方程為y=±53x,即5x±3y=0.5.B解析 拋物線y2=8x的焦點坐標(biāo)為(2,0),E的右焦點的坐標(biāo)為(2,0).設(shè)橢圓E的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>

8、0),c=2.ca=12,a=4.b2=a2-c2=12,于是橢圓方程為x216+y212=1.拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-2,將其代入橢圓方程可得A(-2,3),B(-2,-3),|AB|=6.6.A解析 因為拋物線的準(zhǔn)線為x=-p2,所以1+p2=5,解得p=8,所以m=4.又雙曲線的左頂點坐標(biāo)為(-a,0),所以41+a=1a,解得a=19,故選A.7.9解析 設(shè)點M坐標(biāo)為(xM,yM).拋物線y2=4x的準(zhǔn)線為x=-1,由拋物線的定義知xM+1=10,即xM=9.8.2解析 由題意知F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即|AC|+|BD|取得最小值時當(dāng)且

9、僅當(dāng)|AB|取得最小值.依拋物線定義知當(dāng)|AB|為通徑,即|AB|=2p=4時,為最小值,所以|AC|+|BD|的最小值為2.9.解 (1)由題意得直線AB的方程為y=22·x-p2,與y2=2px聯(lián)立,消去y有4x2-5px+p2=0,所以x1+x2=5p4.由拋物線定義得|AB|=x1+x2+p=5p4+p=9,所以p=4,從而該拋物線的方程為y2=8x.(2)由(1)得4x2-5px+p2=0,即x2-5x+4=0,則x1=1,x2=4,于是y1=-22,y2=42,從而A(1,-22),B(4,42).設(shè)C(x3,y3),則OC=(x3,y3)=(1,-22)+(4,42)=

10、(4+1,42-22).又y32=8x3,所以22(2-1)2=8(4+1),整理得(2-1)2=4+1,解得=0或=2.10.解 (1)設(shè)P(x,y)是曲線C上任意一點,則點P(x,y)滿足(x-1)2+y2-x=1(x>0),化簡得y2=4x(x>0).(2)設(shè)過點M(m,0)(m>0)的直線l與曲線C的交點為A(x1,y1),B(x2,y2).設(shè)l的方程為x=ty+m.由x=ty+m,y2=4x,得y2-4ty-4m=0,=16(t2+m)>0,于是y1+y2=4t,y1y2=-4m.因為FA=(x1-1,y1),FB=(x2-1,y2),所以FA·FB

11、=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+y1y2+1.又FA·FB<0,所以x1x2-(x1+x2)+y1y2+1<0,因為x=y24,所以不等式可變形為y124·y224+y1y2-y124+y224+1<0,即(y1y2)216+y1y2-14(y1+y2)2-2y1y2+1<0.將代入整理得m2-6m+1<4t2.因為對任意實數(shù)t,4t2的最小值為0,所以不等式對于一切t成立等價于m2-6m+1<0,即3-22<m<3+22.由此可知,存在正數(shù)m,對于過點M(m,0),且與曲線C有兩個交點A,B的

12、任一直線,都有FA·FB<0,且m的取值范圍是(3-22,3+22).11.C解析 由題意得拋物線的焦點為F32,0,準(zhǔn)線方程為x=-32.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3).FA+FB+FC=0,點F是ABC的重心,x1+x2+x3=92.由拋物線的定義可得|FA|=x1-32=x1+32,|FB|=x2-32=x2+32,|FC|=x3-32=x3+32,|FA|+|FB|+|FC|=x1+32+x2+32+x3+32=9.12.C解析 設(shè)P(2pt2,2pt),M(x,y)(不妨設(shè)t>0),Fp2,0,則FP=2pt2-p2,2pt,FM=x-p

13、2,y.FM=13FP,x-p2=2p3t2-p6,y=2pt3,x=2p3t2+p3,y=2pt3.kOM=2t2t2+1=1t+12t1212=22,當(dāng)且僅當(dāng)t=22時等號成立.(kOM)max=22,故選C.13.1+2解析 由正方形的定義可知BC=CD,結(jié)合拋物線的定義得點D為拋物線的焦點,所以|AD|=p=a,Dp2,0,Fp2+b,b,將點F的坐標(biāo)代入拋物線的方程得b2=2pp2+b=a2+2ab,變形得ba2-2ba-1=0,解得ba=1+2或ba=1-2(舍去),所以ba=1+2.14.解 (1)設(shè)Q(x0,4),代入y2=2px得x0=8p.所以|PQ|=8p,|QF|=p2

14、+x0=p2+8p.由題設(shè)得p2+8p=54×8p,解得p=-2(舍去)或p=2.所以C的方程為y2=4x.(2)依題意知l與坐標(biāo)軸不垂直,故可設(shè)l的方程為x=my+1(m0).代入y2=4x得y2-4my-4=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=4m,y1y2=-4.故AB的中點為D(2m2+1,2m),|AB|=m2+1|y1-y2|=4(m2+1).又l'的斜率為-m,所以l'的方程為x=-1my+2m2+3.將上式代入y2=4x,并整理得y2+4my-4(2m2+3)=0.設(shè)M(x3,y3),N(x4,y4),則y3+y4=-4m,y3y4

15、=-4(2m2+3).故MN的中點為E2m2+2m2+3,-2m,|MN|=1+1m2|y3-y4|=4(m2+1)2m2+1m2.由于MN垂直平分AB,故A,M,B,N四點在同一圓上等價于|AE|=|BE|=12|MN|,從而14|AB|2+|DE|2=14|MN|2,即4(m2+1)2+2m+2m2+2m2+22=4(m2+1)2(2m2+1)m4,化簡得m2-1=0,解得m=1或m=-1.所求直線l的方程為x-y-1=0或x+y-1=0.15.解 (1)由已知得p=2,直線和y軸交于點(0,2),則直線AB的方程為y-2=12x,即x-2y+4=0.由x-2y+4=0,x2=4y,得A,B的坐標(biāo)分別為(4,4),(-2,1).又x2=4y,可得y=14x2,故y'=12x,故拋物線在點A處切線的斜率為2.設(shè)圓C的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,則b-4a-4=-12,(a+2)2+(b-1)2=(a-4)2+(b-4)2,解得a=-1,b=132,r2=1254,故圓的方程為(x+1)2+y-1322=1254,即為x2+y2+2x-13x+12=0.(2)依題意可設(shè)直線AB的方程為y=kx+2,代入拋物線方程x2=4y得x2-4kx-8=0,故x1x2=-8.由已知AP=PB