概率論與數(shù)理統(tǒng)計(含答案)

1、 概率論與數(shù)理統(tǒng)計復(fù)習大綱與復(fù)習題 09-10第二學期一、 復(fù)習方法與要求 學習任何數(shù)學課程，要求掌握的都是基本概念、基本定理、基本方法，概率論與數(shù)理統(tǒng)計同樣.對這些基本內(nèi)容，習慣稱三基，自己作出羅列與總結(jié)是學習的重要一環(huán)，希望嘗試自己完成. 學習數(shù)學離不開作題，復(fù)習時同樣.正因為要求掌握的是基本內(nèi)容，將課件中提供的練習題作好就可以了，不必再找其他題目. 如開學給出的學習建議中所講：作為本科的一門課程，在教材中我們講述了大綱所要求的基本內(nèi)容.考慮到學員的特點，在學習中可以有所側(cè)重.考試也有所側(cè)重，期末考試各章內(nèi)容要求與所占分值如下： 第一章 隨機事件的關(guān)系與運算，概率的基本概念與關(guān)系，約占30

2、分. 第二章 一維隨機變量的分布， 約占25分. 第三章 二維隨機變量的分布，僅要求掌握二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布律、邊緣分布律、隨機變量獨立的判別與函數(shù)分布的確定. 約占10分. 第四章 隨機變量的數(shù)字特征. 約占15分. 第五、六、七、八章約占20分.內(nèi)容為：第五章：契比雪夫不等式與中心極限定理. 第六章：總體、樣本、統(tǒng)計量等術(shù)語；常用統(tǒng)計量的定義式與常用分布（分布、分布）；正態(tài)總體樣本函數(shù)服從分布定理. 第七章：矩估計，點估計的評選標準，一個正態(tài)總體期望與方差的區(qū)間估計. 第八章：一個正態(tài)總體期望與方差的假設(shè)檢驗. 二、 期終考試方式與題型本學期期末考試類型為集中開卷考試，即允許帶教材

3、與參考資料.題目全部為客觀題，題型有判斷與選擇.當然有些題目要通過計算才能得出結(jié)果.其中判斷題占70分，每小題2分；選擇題占30分，每小題3分.三、 應(yīng)熟練掌握的主要內(nèi)容 1. 理解概率這一指標的涵義.2. 理解統(tǒng)計推斷依據(jù)的原理，即實際推斷原理，會用其作出判斷. 3. 理解事件的包含、相等、和、差、積、互斥、對立的定義，掌握樣本空間劃分的定義.掌握事件的運算律.4. 熟練掌握用簡單事件的和、差、積、劃分等表示復(fù)雜事件； 掌握事件的常用變形： （使成包含關(guān)系的差）， （獨立時計算概率方便） ，（使成為互斥事件的和） （是一個劃分） （利用劃分將轉(zhuǎn)化為若干互斥事件的和） （即一個劃分） 若，則.

4、5. 掌握古典概型定義，熟悉其概率計算公式.掌握摸球、放盒子、排隊等教材所舉類型概率的計算.6. 熟練掌握事件的和、差、積、獨立等基本概率公式，以及條件概率、全概、逆概公式，并利用它們計算概率.7. 掌握離散型隨機變量分布律的定義、性質(zhì)，會求簡單離散型隨機變量的分布律.8. 掌握0-1分布、二項分布、泊松分布的分布律. 9. 掌握連續(xù)型隨機變量的概率密度的定義與性質(zhì). 10. 掌握隨機變量分布函數(shù)的定義、性質(zhì).11. 理解連續(xù)型隨機變量的概率密度曲線、分布函數(shù)以及隨機變量取值在某一區(qū)間上的概率的幾何意義.12. 掌握隨機變量在區(qū)間內(nèi)服從均勻分布的定義，會寫出的概率密度.13. 掌握正態(tài)分布概率

5、密度曲線圖像； 掌握一般正態(tài)分布與標準正態(tài)分布的關(guān)系定理； 會查正態(tài)分布函數(shù)表；理解服從正態(tài)分布的隨機變量，其概率與參數(shù)和的關(guān)系. 14. 離散型隨機變量有分布律會求分布函數(shù)；有分布函數(shù)會求分布律.15. 連續(xù)型隨機變量有概率密度會求分布函數(shù)；有分布函數(shù)，會求概率密度.16. 有分布律或概率密度會求事件的概率. 17. 理解當概率時，事件不一定是不可能事件；理解當概率時，事件不一定是必然事件. 18. 掌握二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布律定義； 會利用二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布律計算有關(guān)事件的概率； 有二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布律會求邊緣分布律以及判斷是否獨立； 會確定二維離散型隨機變量函數(shù)

6、的分布.19. 掌握期望、方差定義式與性質(zhì)，會計算上述數(shù)字.20. 掌握0-1分布、二項分布、泊松分布、均勻分布、正態(tài)分布、指數(shù)分布的參數(shù)與期望、方差的關(guān)系.21了解契比雪夫不等式.22. 會用中心極限定理計算概率.理解拉普拉斯中心極限定理的涵義是： 設(shè)隨機變量服從二項分布，當n較大時，則 ，其中23. 了解樣本與樣本值的區(qū)別，掌握統(tǒng)計量，樣本均值與樣本方差的定義.24. 了解分布、分布的概率密度圖象，會查兩個分布的分布函數(shù)表，確定上分位點.25. 了解正態(tài)總體中，樣本容量為n的樣本均值與服從的分布.26. 掌握無偏估計量、有效估計量定義.27. 會計算參數(shù)的矩估計.28. 會計算正態(tài)總體參數(shù)

7、與的區(qū)間估計.29. 掌握一個正態(tài)總體，當已知或未知時，的假設(shè)檢驗，的假設(shè)檢驗.30. 了解假設(shè)檢驗的兩類錯誤涵義.四、復(fù)習題 注 為了方便學員復(fù)習，提供復(fù)習題如下，這些題目都是課件作業(yè)題目的改造，二者相輔相成，希望幫助大家學懂基本知識點. 期終試卷中70分的題目抽自復(fù)習題.（答案供參考）（一）判斷題第一章 隨機事件與概率 1.寫出下列隨機試驗的樣本空間 （1）袋中有編號為1、2、3、4、5的5個球，從中隨機取1個，觀察取到球的號碼，樣本空間為 . 正確 （2）袋中有編號為1、2、3的3個球，從中隨機取2個，觀察取到球的號碼，樣本空間為 錯誤 解析 同時取2個球，不可能取到2個號碼相同的球，如

8、，所以是錯誤的.2. 袋中有編號為1、2、3、4、5的5個球，從中隨機取一個.設(shè)（取到1、2、3號球），（取到奇數(shù)號球），（取到3、4、5號球），（取到4、5號球），（取到2號球），則（1）（取到1、1、2、3、3、5號球） 錯誤解析 取到1號球是一個結(jié)果，即一個樣本點，其含在事件中也含在事件中，事件是將，的樣本點放到一起構(gòu)成新的事件，“取到1號球”仍然是一個樣本點，不能記為1、1，同理 3、3也是錯誤的.（2）（取到2號球） 錯誤解析 事件即，其由屬于而不屬于的樣本點構(gòu)成，只有“取到2號球”屬于，不屬于，所以，故是錯誤的.（3） （取到1、2、3、4、5號球） 錯誤 解析 事件由屬于且屬于的

9、樣本點構(gòu)成，（取到3、4、5號球），（取到4、5號球），共同的樣本點為（取到4、5號球），所以（取到4、5號球），故（取到1、2、3、4、5號球）是錯誤的.（4） （取到3號球） 正確解析 參照對事件的分析，可知 （取到3號球）是正確的.（5）（取到1、2、3、4、5號球） 正確解析 參照對事件的分析，可知（取到1、2、3、4、5號球）是正確的.（6）（取到1、2、3、4、5號球） 錯誤解析 事件沒有共同的樣本點，即事件與互斥，故（取到1、2、3、4、5號球）是錯誤的.（7）（取到4，5號球）； 正確解析 為的對立事件，其由所有屬于樣本空間而不屬于事件的樣本點組成。 （8）（取到2、4、5號球

10、）. 正確解析 先確定，由與共同的樣本點組成，（取到1、3號球），為的對立事件，所以（取到2、4、5號球）是正確的。（9）不等于樣本空間 . 錯誤解析 先確定的內(nèi)容，（取到1、2、3號球），（取到3、4、5號球），與的和事件應(yīng)該為（取到1、2、3、4、5號球）。而樣本空間即所有結(jié)果的集合就是（取到1、2、3、4、5號球），所以。故稱不等于樣本空間是錯誤的。 3. 甲、乙二人打靶，每人射擊一次，設(shè)分別為甲、乙命中目標，用事件的關(guān)系式表示下列事件，則（1）（甲沒命中目標） 錯誤 （2）（甲沒命中目標） 正確解析 事件（甲沒命中目標），涵義為不考慮乙是否命中，僅考慮甲，故（2）（甲沒命中目標）是正確

11、的；而表示事件（甲沒命中目標且乙命中目標），故（1）（甲沒命中目標）是錯誤的.（3）（僅甲命中目標）；錯誤解析 為甲命中目標，其不管乙是否命中，而（僅甲命中目標）意味乙沒有命中目標，所以（僅甲命中目標）。（4）（甲、乙均命中目標） 錯誤 （5）（甲、乙均命中目標） 正確解析 因為與的和事件表示或或，積事件表示且.分別為甲、乙命中目標，所以表示或甲命中目標，或乙命中目標，表示甲命中目標且乙命中目標，即甲、乙均命中目標，所以（4）錯，（5）正確.4.一批產(chǎn)品中有3件次品，從這批產(chǎn)品中任取5件檢查，設(shè)（5件中恰有i件次品），i=0,1,2,3 敘述下列事件，則（1）（5件中恰有0件次品）=（5件中沒

12、有次品） 正確解析 由事件的定義，顯然（5件中恰有0件次品）=（5件中沒有次品）是正確的.（2）（5件中恰有1件次品） 錯誤（3）（5件中至少有1件次品） 正確解析 從這批產(chǎn)品中任取5件檢查，從取到次品的數(shù)目的角度可以將樣本點分為3類，沒有次品，有1件次品，有2件次品，有3件次品.為沒有次品，其對立事件為有次品，故有1件次品， 2件次品， 3件次品樣本點的總和為的對立事件.故（2）（5件中恰有1件次品）是錯誤的，（3）（5件中至少有1件次品）是正確的.（4）（5件中最多有2件次品）正確解析 注意該批產(chǎn)品中有3件次品，從取到次品數(shù)目的角度看，取5件檢查次品數(shù)最多有3件.因為為5件中恰有3件次品，

13、其對立事件則為沒有次品，或有1件次品，或有2件次品，故（5件中最多有2件次品）是正確的.（5） =（5件中至少有3件次品）錯誤（6） =（5件中至少有2件次品）正確解析 表示或或，則是有2件次品，故（5） =（5件中至少有3件次品）是錯誤的，（6） =（5件中至少有2件次品）是正確的.5.指出下列命題中哪些成立，哪些不成立？（1） 錯誤 （2） 正確（3） 正確 （4） 錯誤（5） 錯誤 （6） 正確（7） 若，則；正確 （8） 若，則； 錯誤（9） 若，則. 錯誤（10）；正確 （11）若互斥，則 。正確解析 由下面圖示可見，所以（1）是錯誤的，（2）是正確的.由下面圖可見，所以（3）是正確

14、的，（4）是錯誤的.（5）（6）是考察對事件運算律中德.摩根律的掌握，顯然（6） 正確， （5）錯誤. （7）（8）（9）圖（a）事件，即事件的樣本點都是事件的樣本點，故仍然為，所以是正確的。為事件與共同的樣本點構(gòu)成，因為事件的樣本點都是事件的樣本點，故，所以是錯誤的。 （a） (b) (c) 圖（b）紅色區(qū)域為，圖（c）綠色區(qū)域為，顯然綠色區(qū)域包含紅色區(qū)域，即，所以是錯誤的.（10），式的兩邊均為與的和事件，由事件和的運算滿足交換律也可知該式成立。（11）首先應(yīng)該清楚事件差的含義，是屬于而不屬于的樣本點構(gòu)成的事件?？聪聢D，與互斥，事件的所有樣本點也只有的樣本點滿足屬于而不屬于，所以是正確的。

15、 6. 袋中有編號為1、2、3、4、5的5個球，從中隨機取一個.設(shè)（取到1、2、3號球），（取到奇數(shù)號球），（取到3、4、5號球），（取到4、5號球），（取到2號球），則（1） 正確 解析 等可能概型事件的概率為 隨機試驗為從1、2、3、4、5的5個球中隨機取一個，從取球號數(shù)角度看共有5種可能，即樣本空間中含5個樣本點，且取到每一個球的可能性相等，該隨機試驗為等可能概型.事件（取到1、2、3號球），含三個樣本點，所以是正確的. （2） 正確解析 概率有性質(zhì)：互斥事件和的概率等于概率的和.事件 （取到奇數(shù)號球），（取到2號球），兩事件沒有共同的樣本點，即兩事件互斥. ，所以是正確的.（3） 錯誤

16、 （4） 正確解析 方法1 事件（取到1、2、3號球），（取到2號球），與非互斥，與和的概率為 .方法2 因為事件包含事件，故，所以 .總之（3）是錯誤的，（4）是正確的.（5） 錯誤 （6） 正確解析 事件（取到1、2、3號球），（取到奇數(shù)號球）=（取到1、3、5號球），事件與有共同的樣本點，不是互斥的，與的積事件取到1、3號球），故 ，所以（5） 是錯誤的；（6）是正確的.（7）； 正確（8）； 錯誤（9）； 正確（10）. 錯誤解析 （7）、（8）、（9）、（10）均為計算兩個事件茬的概率，兩個事件差的概率公式為： 對任意事件有 ， 若事件事件包含事件，則。由題設(shè)（取到1、2、3號球），

17、（取到奇數(shù)號球），（取到4、5號球），（取到2號球）。因為事件包含事件，所以（7）是正確的。而事件不包含事件，所以（8）是錯誤的，（9）是正確的；同樣事件不包含事件，所以（10）是錯誤的.（11） ； 正確 （12） ；正確（13） ；正確 （14） ；正確 （15） 。正確解析 （11）該隨機試驗的樣本空間（取到1、2、3、4、5號球），由題設(shè)（取到4、5號球），顯然（取到1、2、3號球），所以，。（12）由題設(shè)（取到1、2、3號球），（取到奇數(shù)號球）=（取到1、3、5號球），故事件取到1、3號球），所以是正確的。（13）由題設(shè)（取到3、4、5號球），（取到2號球），兩事件沒有共同的樣本點，

18、即兩事件互斥，為不可能事件，故。（14）的計算有兩種方法：方法1條件概率計算公式 由前面的計算結(jié)果知道，所以。方法2由條件概率的本質(zhì)涵義。為在已知事件發(fā)生條件下事件發(fā)生的概率，由題設(shè)（取到1、2、3號球），（取到奇數(shù)號球）=（取到1、3、5號球），發(fā)生即已經(jīng)知道取到的是1、2、3號球中的一個，其中只有1、3號球?qū)儆冢拾l(fā)生條件下事件發(fā)生的概率。（15）為在已知事件發(fā)生條件下事件發(fā)生的概率，由題設(shè)（取到3、4、5號球），（取到4、5號球），發(fā)生了，一定是取到了4、5號球中的一個，無論取到哪一個事件均發(fā)生，故。7.（1） 設(shè)事件互斥， =0.3 ，則 . 正確 （2） 設(shè)事件互斥， 則=0.7 .

19、 錯誤 （3） 設(shè)， 則 . 正確 （4） 設(shè)事件相互獨立， =0.3，則. 錯誤（5） 設(shè)事件相互獨立， =0.3，則. 正確（6） 設(shè)事件相互獨立， =0.3，則. 正確（7）設(shè)事件相互獨立 ， ，則。 正確解析 （1）參考6（2）的解析，可知互斥， 所以是正確的.（2）由上面的分析，互斥， ，故所以=0.7 是錯誤的.（3）沒有互斥的前提，與兩個事件和的概率 則 ，所以是正確的. （4）（5）（6）均在事件相互獨立條件下討論問題，事件相互獨立必然滿足，所以 是錯誤的，是正確的。因為 ，所以 是正確的。（7）參考5題中對“（4）是錯誤的”的分析，應(yīng)該有。又當隨機事件與相互獨立時，與、與、與

20、均相互獨立，故，綜上有。8. 設(shè)事件 ，則（1） 正確（2） 錯誤（3） 正確 （4） 錯誤（5） 正確 （6） 正確解析 若事件，如圖 事件，可見； 且容易得出結(jié)論， 又由概率基本性質(zhì)，若事件，則.所以（1）是正確的；（2）是錯誤的，（3） 是正確的；（4）是錯誤的，（5） 是正確的；（6）因為，是正確的.評注 題目6-8是在考核對概率基本性質(zhì)（基本關(guān)系式）的理解.9. 古典概型(1).箱中有2件次品與3件正品，一次取出兩個，則恰取出2件次品的概率為 正確 恰取出2件次品的概率為 錯誤恰取出1件次品1件正品的概率為 正確 恰取出1件次品1件正品的概率為 錯誤 解析 這是一道等可能概率問題中的

21、超幾何概型問題，從5件產(chǎn)品中一次取2件共有種取法，即總的樣本點數(shù)為.注意不存在次序問題，不應(yīng)該用. 恰取出2件次品，只有一種可能2件次品全取出，即，所以恰取出2件次品的概率為是正確的；恰取出2件次品的概率為 是錯誤的.恰取出1件次品1件正品有種可能，所以恰取出1件次品1件正品的概率為是正確的；恰取出1件次品1件正品的概率為是錯誤的.(2).上中下三本一套的書隨機放在書架上，則 恰好按上中下順序放好的概率為 正確恰好按上中下順序放好的概率為 錯誤上下兩本放在一起的概率為 正確 上下兩本放在一起的概率為 錯誤解析 上中下三本書擺放共有種可能，恰好按上中下順序放好僅有一種可能，所以恰好按上中下順序放

22、好的概率為是正確的，恰好按上中下順序放好的概率為是錯誤的.將上下兩本書作為一個整體，與“中”排隊，有種排法，而上下兩本書又有種排法，故上下兩本放在一起共有放法，所以上下兩本放在一起的概率為 是正確的，上下兩本放在一起的概率為是錯誤的.評注 題目9-10是在考核對等可能概型概率計算的理解.10. 若 則（1） 正確 （2） 錯誤 （3） 正確 （4） 錯誤解析 若，事件有資格做條件，事件發(fā)生條件下事件的條件概率的定義為；若，事件有資格做條件，事件發(fā)生條件下事件的條件概率的定義為.由題設(shè)，所以（1）是正確的，（2） 是錯誤的.（3）是正確的，（4） 是錯誤的.11. 已知10只電子元件中有2只是次

23、品，在其中取2次，每次任取一只，作不放回抽樣，則（1）第一次取到正品 正確 （2）第一次取到次品 正確（3）第一次取到正品，第二次取到次品 正確（4）第一次取到正品，第二次取到次品 錯誤（5）第一次取到正品，第二次取到次品 正確（6）一次取到正品，一次取到次品 錯誤解析（1）（2）僅考慮第一次取到正品或次品的概率，總的樣本點數(shù)為10，取到正品的樣本點數(shù)為8，取到次品的樣本點數(shù)為2，所以（1）第一次取到正品是正確的，（2）第一次取到次品是正確的.（4）（5）用兩種方法計算（第一次取到正品，第二次取到次品）事件的概率.方法1 樣本點總數(shù)為，（第一次取到正品，第二次取到次品）的樣本點數(shù)為，所以第一次

24、取到正品，第二次取到次品）. 方法2 設(shè)第一次取到正品），第二次取到正品），則第一次取到正品，第二次取到次品）. .綜上，（4）第一次取到正品，第二次取到次品是錯誤的，錯在樣本點總數(shù)計為而不是，沒有考慮順序.（5）第一次取到正品，第二次取到次品是正確的.（6）事件（一次取到正品，一次取到次品）對順序沒要求，可以是第一次取到正品，第二次取到次品，也可以是第一次取到次品，第二次取到正品.方法1 樣本點總數(shù)為，事件（一次取到正品，一次取到次品）所含樣本點數(shù)為，所以一次取到正品，一次取到次品.方法2 設(shè)第一次取到正品），第二次取到正品）一次取到正品，一次取到次品所以（6）一次取到正品，一次取到次品是錯

25、誤的.12某工廠有甲、乙、丙三個車間，生產(chǎn)同一種零件，產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的25%、35%、40%，每個車間的產(chǎn)品中，次品分別占5%，4%，2%?，F(xiàn)在從產(chǎn)品中隨意抽檢一件，設(shè)、分別為抽到甲、乙、丙車間的產(chǎn)品，為抽到次品， （1）則在已知取到甲車間產(chǎn)品的條件下取到次品的概率應(yīng)該記作 ；正確 ；錯誤 。錯誤 則在已知取到次品的條件下取到甲車間產(chǎn)品的概率應(yīng)該記作 ；正確 ；錯誤 。錯誤 解析 條件概率符號的規(guī)定為：作為已知發(fā)生的事件寫在括號中豎線的右側(cè)另一事件寫在括號中豎線的左側(cè)。由題設(shè)（取到甲車間產(chǎn)品），（抽到次品），故在已知取到甲車間產(chǎn)品的條件下取到次品的概率應(yīng)該記作，是正確的，、均是錯誤的。 （2

26、）則在已知取到甲車間產(chǎn)品的條件下，取到次品的概率。正確 則在已知取到乙車間產(chǎn)品的條件下，取到次品的概率。正確 則在已知取到丙車間產(chǎn)品的條件下，取到次品的概率。正確 解析 首先不言而喻的是每件產(chǎn)品會等可能的被取到。題目中給出各車間的次品率，如甲車間的次品率為0.05，相當于甲車間的產(chǎn)品中次品占全部產(chǎn)品的5%。若已知取到甲車間的產(chǎn)品，此時取到次品的概率即次品占甲車間產(chǎn)品的比率5%=0.05，所以是正確的。其余同理。 （3）則抽到次品的概率為 。錯誤 。正確 解析 抽到的次品必然屬于甲、乙、丙三個車間中的某一個，、即是一個完備事件組也稱作劃分，即事件可以用、劃分為互斥的三部分，。所以 再由乘法公式，

27、如，同理可以計算、。綜上分析可知是正確的。 ，簡單的將各車間的次品率相加是錯誤的。 （4）已經(jīng)計算得抽到次品的概率為0.0345，則在已知抽到次品的條件下抽到甲車間產(chǎn)品的概率為 。正確 。錯誤在已知抽到次品的條件下抽到甲車間產(chǎn)品的概率記為是對的，條件概率的定義式為，所以正確，是錯誤的。13.設(shè)甲袋中有6只紅球，4只白球，乙袋中有7只紅球，3只白球，現(xiàn)在從甲袋中隨機取一球，放入乙袋，再從乙袋中隨機取一球，則：（1）兩次都取到紅球的概率為 正確（2）兩次都取到紅球的概率為 錯誤（3）已知從甲袋取到紅球，從乙袋中取到紅球的概率為 錯誤（4）已知從甲袋取到白球，從乙袋中取到紅球的概率為 錯誤（5）從乙

28、袋中取到紅球的概率為； 正確（6）已知從乙袋取到紅球，從甲袋中取到紅球的概率為 . 正確解析 設(shè)從甲袋中取到紅球），從乙袋中取到紅球），（1）（2） 兩次都取到紅球其中的思路是：從甲袋取到紅球事件已經(jīng)發(fā)生了，即將1個紅球放到乙袋中，乙袋中有11個球，其中8個紅球，故此時取到紅球的概率為.所以（1）兩次都取到紅球的概率為是正確的，（2）兩次都取到紅球的概率為是錯誤的.（3）如前面所設(shè)，事件“已知從甲袋取到紅球，從乙袋中取到紅球”的概率應(yīng)該記為，如上面的分析，所以（3）已知從甲袋取到紅球，從乙袋中取到紅球的概率為是錯誤的.（4）已知從甲袋取到白球，從乙袋中取到紅球的概率是條件概率，即，.所以（4）

29、已知從甲袋取到白球，從乙袋中取到紅球的概率為是錯誤的.（5）從乙袋中取到紅球有兩種可能，一為從甲袋取到紅球且從乙袋中取到紅球，另一為從甲袋取到白球且從乙袋中取到紅球，可以用全概公式計算： 所以（5）從乙袋中取到紅球的概率為是正確的。（6）根據(jù)所設(shè)事件，“已知從乙袋取到紅球，從甲袋中取到紅球的概率”應(yīng)該表示為，即已知事件發(fā)生了，求在事件發(fā)生條件下，事件發(fā)生的條件概率。由逆概公式（貝葉斯公式）有 ，所以（6）是正確的。評注 11-13是在考核對條件概率，乘法公式的理解.14.某人打靶，命中率為0.2，則下列事件的概率為（1）第一槍沒打中的概率為0.8； 正確（2）第二槍沒打中的概率為0.8； 正確

30、（3）第二槍沒打中的概率為0.16 錯誤（4）第一槍與第二槍全打中的概率為 錯誤（5）第一槍與第二槍全打中的概率為 正確（6）第三槍第一次打中的概率為. 正確（7）射擊三槍中僅打中一槍的概率為.解析 題目給出“命中率為0.2”，相當于每次打靶命中與否都是相互獨立的.既然各槍打中的概率為0.2，各槍沒打中的概率也就均為0.8，所以（1）第一槍沒打中的概率為0.8，（2）第二槍沒打中的概率為0.8，都是正確的，（3）第二槍沒打中的概率為0.16，是錯誤的. (第一槍與第二槍全打中) 是第一槍打中且第二槍打中的積事件，又兩事件相互獨立， P(第一槍與第二槍全打中) ，所以（4）第一槍與第二槍全打中的

31、概率為是錯誤的，（5）第一槍與第二槍全打中的概率為是正確的. “第三槍第一次打中”當然是第一、二搶沒打中，第三槍打中，所以（6）第三槍第一次打中的概率為是正確的. 射擊三槍中僅打中一槍，可以是第一槍打中第二、三槍未打中，也可以是第二槍打中第一、三槍未打中，還可以是第三槍打中第一、二槍未打中，即有三種可能，所以（7）射擊三槍中僅打中一槍的概率為是錯誤的，正確的是。15 .幾點概率思想 （1）概率是刻畫隨機事件發(fā)生可能性大小的指標. 正確（2）頻率穩(wěn)定性指的是隨著試驗次數(shù)的增多，事件發(fā)生的頻率接近一個常數(shù). 正確（3）實際推斷原理為：一次試驗小概率事件一般不會發(fā)生. 正確（4）實際推斷原理為：一次

32、試驗小概率事件一定不會發(fā)生. 錯誤第二章 隨機變量及其分布16.隨機變量的分布律為，則（1） 正確 （2） 錯誤 解析 分布律有性質(zhì)：所有概率和為1.故應(yīng)該有，所以（1）是正確的，（2） 是錯誤的. 17.在6只同類產(chǎn)品中有2只次品，4只正品.從中每次取一只，共取5次，每次取出產(chǎn)品立即放回，再取下一只，設(shè)為5次中取出的次品數(shù)，則 （1）第3次取到次品的概率為0. 錯誤 （2）第3次取到次品的概率為. 正確（3）5次中恰取到2只次品的概率 正確（4）5次中恰取到2只次品的概率 錯誤（5）最少取到1只次品的概率 正確（6）最少取到1只次品的概率 錯誤（7）隨機變量的分布律為； 錯誤（8）隨機變量的

33、分布律為. 正確解析 由題設(shè)每次取出產(chǎn)品立即放回，再取下一只，故每次取到次品的概率相同，均為，共取5次，每次兩個結(jié)果，次品或正品，該隨機試驗為5重伯努利實驗，5次中取到的次品數(shù)服從二項分布，的概率，即5次中 恰取到只次品的概率為，所以（1）第3次取到次品的概率為0是錯誤的，（2）第3次取到次品的概率為是正確的.（3）5次中恰取到2只次品的概率是正確的，（4）5次中恰取到2只次品的概率 是錯誤的.（5）（最少取到1只次品）的對立事件是5次中沒取到次品，（沒取到次品）即的概率，故（5）最少取到1只次品的概率是正確的，（6）最少取到1只次品的概率是錯誤的.為5次中恰取到1只次品的概率，即的概率.求隨

34、機變量的分布律，應(yīng)該將的所有可能取值與取值的概率列出，由前面的分析知道的概率為是正確的，（7）錯在沒有列出的范圍，（8）是正確的。 18.某交通路口一個月內(nèi)發(fā)生交通事故的次數(shù)服從參數(shù)為3的泊松分布，則（1）該交通路口一個月內(nèi)發(fā)生3次交通事故的概率. 錯誤（2）該交通路口一個月內(nèi)發(fā)生2次交通事故的概率. 正確（3）該交通路口一個月內(nèi)最多發(fā)生1次交通事故的概率. 錯誤（4）該交通路口一個月內(nèi)最多發(fā)生1次交通事故的概率為. 正確 解析 泊松分布的分布律為，例如，的概率為.所以（1）該交通路口一個月內(nèi)發(fā)生3次交通事故的概率為，故是錯誤的.（2）該交通路口一個月內(nèi)發(fā)生2次交通事故的概率是正確的.（3）（

35、4）該交通路口一個月內(nèi)最多發(fā)生1次交通事故的概率，即的概率， ， 故（4）該交通路口一個月內(nèi)最多發(fā)生1次交通事故的概率為 是正確的，而稱交通路口一個月內(nèi)最多發(fā)生1次交通事故的概率為是錯誤的.19.袋中有2個紅球3個白球，從中隨機取一個球，當取到紅球令，取到白球令，則（1）稱為服從分布. 正確 （2）為連續(xù)型隨機變量. 錯誤（3）的分布律為. 錯誤 （4）的分布律為. 正確（5）的分布函數(shù)為 錯誤 （6）的分布函數(shù)為 正確解析 由題設(shè)僅取數(shù)0與1，且取0與1的概率均大于0，所以（1）稱為服從分布是正確的.分布是離散型隨機變量的分布，服從分布，顯然不會是連續(xù)型隨機變量，所以（2）為連續(xù)型隨機變量是

36、錯誤的.因為的概率即取到紅球的概率，故，所以（3）的分布律為是錯誤的，（4）的分布律為是正確的.隨機變量的分布函數(shù)的定義為。當時分布函數(shù)的函數(shù)值，即隨機變量取值小于或等于0的概率，應(yīng)該為，即，而（5）定義，顯然（5）是錯誤的。再分析時分布函數(shù)的函數(shù)值，即隨機變量取值小于或等于1的概率，應(yīng)該為1，（5）定義，顯然（5）也是錯誤的。而（6）是正確的。20. 設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為 ，則（1） 錯誤 （2） 正確（3） 正確 （4） 錯誤（5） 正確 （6） 錯誤（7）X的分布律為 . 正確 （8）X的分布律為 錯誤解析 分布函數(shù)的定義為，例如就是的概率，.該題分布函數(shù)為分段函數(shù)，例如當，因為，所

37、以，即；當因為，所以，即；當 因為，所以，即.利用上面知識分析（1）（2）：由分布函數(shù)定義，而，所以，故（1） 是錯誤的.（2） 是正確的. 該分布函數(shù)值僅在與兩處有變化，即當由小于0變到等于0時，分布函數(shù)值由0增加到，增加了，故增加的即的概率，也即；當由小于1變到等于1時，分布函數(shù)值由增加到1，增加了，故增加的即的概率，也即. 分布函數(shù)的圖像更清楚地展示了上述規(guī)律，見圖分布函數(shù)僅在與兩處有跳躍，所以隨機變量的分布律為，在其他各點的概率為0.故（7）的分布律為 是正確的， （8）的分布律為是錯誤的.（3）是正確的， （4）是錯誤的. 由分布函數(shù)的定義可以知道所以，故（5）是正確的， （6）是錯

38、誤的.評注 這是一道考核分布函數(shù)概念，分布函數(shù)與分布律關(guān)系，由分布函數(shù)計算概率的題目.21.設(shè)隨機變量X的概率密度 ， 則 （1）由積分可以計算常數(shù)A. 錯誤（2）由積分可以計算常數(shù)A. 正確 （3）常數(shù)A =2 . 正確 （4）常數(shù)A =1 . 錯誤解析 概率密度有性質(zhì)，當中有未知參數(shù)時，其即是含的方程，故可以通過計算常數(shù)。問題是積分中的在不同區(qū)間的具體內(nèi)容要與定義相符，該題目的定義為在區(qū)間上為，其他處均為0，所以應(yīng)該是 ， 其中，不為0的積分僅有.故（1）是錯誤的，（2）是正確的。 完成式的計算，所以（3）常數(shù)=2 是正確的，（4）常數(shù) =1是錯誤的. 22.設(shè)隨機變量的概率密度 ， 則（

39、1） 正確 （2） 正確（3） 錯誤 （4） 錯誤 解析 隨機變量的概率密度與概率之間有如下關(guān)系 ，關(guān)鍵在的內(nèi)容要與區(qū)間對應(yīng).由題設(shè)僅在上為，其他處均為0.故（1）是正確的.（2） 是正確的.（3），故是錯誤的.（4），故是 錯誤的.23.設(shè)隨機變量的分布函數(shù)，則的概率密度（1） 正確 （2） 錯誤（3） 錯誤 （4） 錯誤 解析 連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)與概率密度之間有如下關(guān)系：在概率密度的可導(dǎo)點，.故在內(nèi)，；在內(nèi)，；在內(nèi)，.又因為概率密度在個別點的值不影響概率的計算，所以只要滿足概率密度的非負性，在與處，概率密度可以任意定義.綜上僅有（1）是正確的，其他均是錯誤的.24.公共汽車站每隔10

40、分鐘有一輛汽車通過，乘客隨機到車站等車，則（1）乘客候車時間不超過5分鐘的概率為. 正確（2）乘客候車時間超過5分鐘的概率為. 正確（3）乘客候車時間不超過3分鐘的概率為. 正確（4）乘客候車時間超過3分鐘的概率為. 錯誤解析 因為公共汽車站每隔10分鐘有一輛汽車通過，所以只在0到10分鐘內(nèi)考慮既可.由題設(shè)乘客隨機到車站等車，相當于乘客到車站的時刻服從內(nèi)的均勻分布. 均勻分布的概率計算公式為：設(shè)隨機變量服從區(qū)間的均勻分布，則其中，如圖.當乘客在內(nèi)任意時刻到達時，乘客候車時間不超過5分鐘，故乘客候車時間不超過5分鐘），所以（1）乘客候車時間不超過5分鐘的概率為是正確的. 當乘客在內(nèi)任意時刻到達時

41、，乘客候車時間超過5分鐘，故乘客候車時間超過5分鐘），所以（2）乘客候車時間超過5分鐘的概率為是正確的. 當乘客在內(nèi)任意時刻到達時，乘客候車時間才不超過3分鐘，故乘客候車時間不超過3分鐘），所以（3）乘客候車時間不超過3分鐘的概率為是正確的.當乘客在內(nèi)任意時刻到達時，乘客候車時間才超過3分鐘，故乘客候車時間超過3分鐘），所以（4）乘客候車時間超過3分鐘的概率為是錯誤的.25. 隨機變量 則(1) 正確 （2） 正確 （3） 正確 （4） 錯誤解析 為標準正態(tài)分布，其概率密度為偶函數(shù)，概率密度圖像如圖故的概率與的概率相等，均為，所以（1）（2）（3）均是正確的，（4）是錯誤的. 26. 隨機變量

42、，為標準正態(tài)分布的分布函數(shù)， 則 （1）； 錯誤 （2）； 正確(3)= ； 錯誤(4) =。 正確解析 正態(tài)分布有定理：設(shè)，則.該題設(shè)，相當于，故，所以（2）是正確的，（1）是錯誤的。標準正態(tài)分布的分布函數(shù)一般用表示，既然服從標準正態(tài)分布，則.又標準正態(tài)分布的分布函數(shù)有性質(zhì)：.由題設(shè)，故 所以(3)= 是錯誤的. 所以(4) = 是正確的.27. 隨機變量的概率密度為 則稱服從參數(shù)為的指數(shù)分布. 正確解析 其為指數(shù)分布的定義，應(yīng)該記住。28設(shè)，則（1）的分布律為 正確（2） 的分布律為 正確解析 求離散型隨機變量的分布律即應(yīng)該將該隨機變量的所有取值與取值的概率列出.（1）可以取到0，1，則只

43、能取到0，2，且所以的分布律為是正確的.（2）試用列表方式求解的取值為 0 1的取值為 1 3可見的概率即的概率，的概率即的概率，所以的分布律為是正確的.29.設(shè)隨機變量的概率密度為 ,則的概率密度為（1） 錯誤 （2） 正確解析 求連續(xù)型隨機變量函數(shù)的概率密度應(yīng)該先求分布函數(shù)，再對分布函數(shù)求導(dǎo)即得到概率密度.隨機變量的分布函數(shù)為.當，故 ；當，故；當，故；綜上 ，所以（1）錯誤，（2）正確.第三章 二維離散型隨機變量及其分布30. 設(shè)二維隨機變量的分布律為 判斷下述結(jié)論是否正確？ （1） 正確 （2） 錯誤（3）的邊緣分布律為 錯誤（4）不獨立 錯誤（5）概率 錯誤（6）的分布律為 正確分析

44、 要回答該題目，首先應(yīng)該清楚聯(lián)合分布律的涵義.該表表示的取值共有（0，0）、（0，1）、（1，0）、（1，1）、（2，0）、（2，1）6種可能，取各對數(shù)值的概率分別為 ， ，.（1） 正確解析 從前面對聯(lián)合分布律表的闡述可知是正確的。（2） 錯誤解析 為且的概率，根據(jù)所給聯(lián)合分布律，應(yīng)該求取0或1，且取0，即取的概率，故 ，所以（2）是錯誤的。（3）的邊緣分布律為 ； 錯誤 解析 求的邊緣分布律，即求的分布律，應(yīng)該先確定的取值，為0，1，再確定取各值的概率.求的概率，應(yīng)該將上述概率中所有無論取任何值的概率相加，即，類似可以計算的概率，所以的邊緣分布律為. 題目給出的分布律，是的邊緣分布律，非的

45、邊緣分布律，所以是錯誤的.將各取值的概率寫在聯(lián)合分布律的邊上，各自的邊緣分布律一目了然：.（4）不獨立 錯誤解析 解答該題目應(yīng)該先清楚離散型隨機變量相互獨立的條件： 如果相互獨立，要求取每一對數(shù)都滿足積的概率等于概率的積。此題即要求 ， ，.是否滿足上述6個等式，應(yīng)該一一驗證：例如 ； ；對每一對取值的概率都作如上驗證，可知都有積的概率等于概率的積，故是相互獨立的.（5）概率 錯誤解析 由聯(lián)合分布律知道的取值共有（0，0）、（0，1）、（1，0）、（1，1）、（2，0）、（2，1）6種可能，其中當與都使，且取其他任何數(shù)值，故 ，所以是錯誤的。（6）的分布律為 正確解析 要判斷的分布律為是否正確

46、，只能將的分布律求出，首先確定由的各對取值計算的的值，不妨列表完成： 表中間的數(shù)值即是由算得的值，可知的取值有-1，0，1，2。再確定各取值的概率：，顯然的分布律為是正確的。31. 設(shè)二維隨機變量（X，Y）的分布律為則 （1）相互獨立； 錯誤 （2）的分布律為 ； 正確 對（3）的分布律為 。 正確 解析 （1）在30題（4）中已經(jīng)講過相互獨立的條件，先將與的邊緣分布律求出列在表中，如下表 可見 ， ，所以相互不獨立。注意只要有一對數(shù)積的概率不等于概率的積，即相互不獨立。（2） 為二維隨機變量，每次試驗有一對取值，此題目取值為，等等. 表示取每對數(shù)中最大的，例如當時，則；當時，則；當時，則.以

47、此類推.為確定取值可以列表分析，表為 表的中間即為對應(yīng)的每一對取值，隨機變量的取值.由此可知取到0，1，2三個數(shù).的概率即為取概率的和，為.同理可以分析與的概率，所給結(jié)果是正確的.（3）表示取每對數(shù)中最小的，例如當時，則；當時，則；當時，則.以此類推.同樣可以列表分析的所有取值，并確定所有取值的概率.請自己分析第四章 隨機變量的數(shù)字特征32. 設(shè)隨機變量的分布律為 ，判斷下述結(jié)論是否正確？（1）=； 正確 （2） ； 錯誤 （3）； 正確（4）的方差 . 正確 解析（1）判斷是否正確，只能通過計算。離散型隨機變量數(shù)學期望的計算：是將分布律中所有取值與概率相乘加起來，即： 所以是正確的。（2）

48、這種求的數(shù)學期望的方法顯然是錯誤的，應(yīng)該是 ， 所以（2）是錯誤的，（3）是正確的。 （4）由方差的計算公式，的方差，由上面的分析知道 ，由上面（1）的分析知道 ， ，所以 是正確的。 33.設(shè)隨機變量的概率密度，則（1）； 錯誤（2） ；正確 （3）；正確（4） ；錯誤（5）.正確解析 判斷（1）、(2)一個思路，即掌握數(shù)學期望的計算方法，如果隨機變量X的概率密度為，則 ，由題設(shè)，該題目的數(shù)學期望計算為 所以（1）是錯誤的，（2）是正確的。 隨機變量的函數(shù)的期望的計算為所以（3）是正確的。 同31題的分析，的方差的計算公式為，由上面（1）的分析知道 ，所以（4） 是錯誤的，（5）是正確的。 注 即使不計算也應(yīng)該知道（4）是錯誤的，因為方差的定義為，其不可能為負數(shù)。34.設(shè)隨機變量的概率密度 ，判斷下述結(jié)論是否正確？（1）； 錯誤 （2）； 正確 （3）； 正確（4）= ； 正確（5）的方差 。 錯誤解析 同33題（1）、(2)的分析，當隨機變量的概率密度為，則 ，具體到這道題概率密度是分段定義的，積分也必須分段進行，正確的做法是：=，所以（1）=是錯誤的，（2）的計算是正確的。隨機變量的函數(shù)的期望的計算為所