基于Matlab的橢圓帶阻IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(數(shù)字頻率變換)

1、數(shù)字信號處理課程設(shè)計數(shù)字頻帶變換的橢圓IIR帶阻濾波器設(shè)計南華大學(xué) 電氣工程學(xué)院 電子091班 苗潤武 20094470138一 手工計算完成橢圓IIR數(shù)字帶阻濾波器初始設(shè)計1、設(shè)計要求：濾波器的設(shè)計指標(biāo)要求為通帶下截止頻率, 阻帶下截止頻率,阻帶上截止頻率,通帶上截止頻率, 通帶最大衰減,阻帶最小衰減。其中為我學(xué)號的后兩位。我的學(xué)號：20094470138，所以=38。由此計算性能指標(biāo)（保留小數(shù)點(diǎn)后1位）得：通帶下截止頻率：=1.3 rad/sample阻帶下截止頻率=2.0 rad/sample阻帶上截止頻率：=4.7 rad/sample通帶下截止頻率：=5.3 rad/sample通帶

2、最大衰減：阻帶最小衰減：由得到性能指標(biāo)在MATLAB中的常用形式（保留小數(shù)點(diǎn)后1位）： rad /sample， rad/sample， rad/sample， rad/sample2、數(shù)字邊界頻率轉(zhuǎn)換成模擬邊界頻率：轉(zhuǎn)變換關(guān)系為：其中，令T=2s計算模擬邊界頻率（保留小數(shù)點(diǎn)后1位）得：0.8 rad/s1.6 rad/s-1.0 rad/s-0.5 rad/s另外：3、將帶阻濾波器的設(shè)計要求轉(zhuǎn)換為低通原型濾波器的設(shè)計要求=1=2.0將和的幾何平均值作為頻率歸一化的基準(zhǔn)頻率，即：=2.0定義頻率的選擇性因數(shù)為兩個截止頻率之比：4、設(shè)計低通原型濾波器轉(zhuǎn)移函數(shù)H(s)橢圓濾波器的幅頻響應(yīng)函數(shù)公式為

3、：其中，為波紋系數(shù)，表示波紋情況；為截止頻率，為橢圓函數(shù)。這里：=0.5此外，這時通帶截止頻率的歸一化值和阻帶截止頻率的歸一化值分別為：=0.7071在以為歸一化基準(zhǔn)頻率的條件下，通帶、阻帶階值歸一化頻率互為倒數(shù)。令：，分別計算得：由入階數(shù)計算公式計算得最低階數(shù)N=5由N=5，=2.0查表可確定歸一化轉(zhuǎn)移函數(shù)（參數(shù)保留小數(shù)點(diǎn)后15位）得：5、將橢圓模擬低通原型濾波器轉(zhuǎn)換得數(shù)字濾波器轉(zhuǎn)移函數(shù)由轉(zhuǎn)換公式：（參數(shù)保留小數(shù)點(diǎn)后15位）得：6、將數(shù)字橢圓低通濾波器變換為帶阻濾波器利用數(shù)字頻帶轉(zhuǎn)換公式：其中：，其中：，由數(shù)字低通濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字帶阻濾波器，其階數(shù)增加為2N，即為10階的濾波器則初步運(yùn)算所得

4、濾波器轉(zhuǎn)移函數(shù)的系數(shù)為：den=1,0,-2.12658637235093,0,2.92411213439205,0,-2.37562859929732,0,1.21306969101691,0,-0.312305136646181num=0.0207958528193616,0,0.0543457659047958,0,0.0861892398331069,0,0.0861892398331069,0,0.0543457659047958,0,0.0207958528193616二 濾波器的不同結(jié)構(gòu)對性能指標(biāo)的影響在理想狀態(tài)下，對于同一個傳遞函數(shù)幾乎對應(yīng)著無數(shù)種等效結(jié)構(gòu)，然而這些結(jié)構(gòu)卻并不一

5、定都能實(shí)現(xiàn)。在無限參數(shù)字長的情況下，所有能實(shí)現(xiàn)傳遞函數(shù)的結(jié)構(gòu)之間，其表現(xiàn)完全相同。然而，在實(shí)際中，由于參數(shù)字長有限的限制，各實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的表現(xiàn)并不相同。下面我們就將對比直接型（包括直接I、II型）和級聯(lián)型兩種結(jié)構(gòu)在本例中對性能指標(biāo)的影響。在MATLAB中可以利用FDATOOL工具箱構(gòu)建不同類型的數(shù)字濾波器。在此為了使對比效果明顯，我們不妨先將將上述初步設(shè)計的橢圓數(shù)字IIR帶阻濾波器的設(shè)計參數(shù)的字長（即轉(zhuǎn)移函數(shù)中分子、分母各項(xiàng)前的系數(shù)）進(jìn)行保留小數(shù)點(diǎn)后3位的進(jìn)一步的縮減?？s減后的參數(shù)如下：den=1,0,-2.126,0,2.924,0,-2.375,0,1.213,0,-0.312num=0.02

6、0,0,0.0543,0,0.086,0,0.0861,0,0.054,0,0.021將上述參數(shù)輸入FDATOOL中的filter coefficients工具中如圖1所示。圖1 filter coefficients工具工作界面1、利用直接型結(jié)構(gòu)構(gòu)建數(shù)字濾波器直接型結(jié)構(gòu)濾波器的典型頻率響應(yīng)表達(dá)式為：對應(yīng)的差分方程表達(dá)式為：X(n)y(n)直接型的結(jié)構(gòu)流圖如圖2所示：0.0200.0540.0860.0860.0540.020-2.1272.924-2.3761.213-0.312圖2 直接型I型結(jié)構(gòu)流圖選擇filter structure選項(xiàng)框中的 Direct-Form I選項(xiàng)，點(diǎn)擊窗口下

7、方的Import Filter按鈕，構(gòu)建直接1型結(jié)構(gòu)的橢圓數(shù)字IIR帶阻濾波器，結(jié)果如圖3所示。圖3 Direct-Form I型結(jié)構(gòu)的濾波器幅頻響應(yīng)圖讀圖可以得Direct-Form I結(jié)構(gòu)的濾波器技術(shù)指標(biāo)（，單位為；,單位為dB）如表1所示：表1 Direct-Form I結(jié)構(gòu)濾波器對性能指標(biāo)的影響性能指標(biāo)）初始設(shè)計指標(biāo)Direct-Form I0.20.20332510.00332510.30.2816907-0.01830930.70.71830930.01830930.80.7966749-0.00332516058.42311-1.5768911.7523150.752315由圖3

8、和表1可以看出：濾波器幅頻曲線在通帶和阻帶內(nèi)波動幅度不均勻。出現(xiàn)了阻帶最小衰減下降了-1.57689dB，通帶最大衰減上升了0.752315dB的誤差。和分別較初始設(shè)計增大了0.0033251和0.0183093，和分別較初始設(shè)計減小了0.0033251和.0183093，截止頻率坡度較初始設(shè)計更加陡峭。由于Direct-Form II和Direct-Form I均屬于直接型結(jié)構(gòu)濾波器，因此均具有直接型所共有的上述誤差。2、利用級聯(lián)結(jié)構(gòu)構(gòu)建數(shù)字濾波器級聯(lián)型結(jié)構(gòu)濾波器的典型幅頻響應(yīng)表達(dá)式為對進(jìn)行因式分解，得到級聯(lián)型的典型幅頻響應(yīng)表達(dá)式：直接型的結(jié)構(gòu)流圖如圖4所示：-0.9339-0.93390.

9、60.020.026.11e-15-0.89441.5653-0.76210.8944-1.5653-0.76211.2247-1.2247-1.56531.5653圖4 直接型結(jié)構(gòu)流圖選擇Edit下拉菜單中點(diǎn)擊 Convert to Second-order Sections選項(xiàng)，將構(gòu)建好的Direct-Form I結(jié)構(gòu)的橢圓數(shù)字IIR帶阻濾波器轉(zhuǎn)換為級聯(lián)濾波器，結(jié)果如圖5所示。圖5 Direct-Form I型結(jié)構(gòu)的濾波器幅頻響應(yīng)圖讀圖5可以得級聯(lián)結(jié)構(gòu)的濾波器技術(shù)指標(biāo)（，單位為；,單位為dB）如表2所示：表2 級聯(lián)結(jié)構(gòu)濾波器對性能指標(biāo)的影響性能指標(biāo)）初始設(shè)計指標(biāo)級聯(lián)型0.20.204361

10、10.00436110.30.2833496-0.01665040.70.71665040.01665040.80.7956399-0.0436016060.76630.766311056780.05678從表2中可以看出，采用級聯(lián)結(jié)構(gòu)組成的濾波器：濾波器幅頻曲線在通帶和阻帶內(nèi)波動較均勻。出現(xiàn)了阻帶最小衰減上升了0.7663dB，通帶最大衰減上升了0.05678dB的誤差。和分別較初始設(shè)計增大了0.0043611和0.0166504；和分別較初始設(shè)計減小了0.0166504和0.043601，濾波器的截止頻率坡度較初始設(shè)計更加陡峭。3、兩種結(jié)構(gòu)濾波器對指標(biāo)影響比較與原因分析比較表1和表2發(fā)現(xiàn)：

11、在參數(shù)字長僅保留了小數(shù)點(diǎn)后3位的情況下，兩種結(jié)構(gòu)的濾波器較初始設(shè)計在性能指標(biāo)方面均有誤差。但是直接型誤差比級聯(lián)型更大，受有限參數(shù)字長影響更大，主要表現(xiàn)在：直接型、和與設(shè)計要求相應(yīng)的性能間的差的絕對值普遍大于級聯(lián)型。此外，直接型和級聯(lián)型的幅頻響應(yīng)曲線的通帶的波動均不穩(wěn)定，但是級聯(lián)型的穩(wěn)定性要好于直接型。造成這一現(xiàn)象的原因是：直接型濾波器的系數(shù)不是直接決定單個零極點(diǎn)，因而不能很好的進(jìn)行濾波器性能的控制；此外直接型濾波器的極點(diǎn)對參數(shù)的變化過于敏感，從而使得系統(tǒng)的頻率響應(yīng)對參數(shù)的變化也特別敏感，也就是對參數(shù)的有限字長運(yùn)算過于靈敏，容易出現(xiàn)不穩(wěn)定或產(chǎn)生較大誤差。相比之下，級聯(lián)型濾波器每個二階節(jié)系數(shù)單獨(dú)控

12、制一對零、極點(diǎn)，有利于控制頻率響應(yīng)；此外級聯(lián)結(jié)構(gòu)中后面的網(wǎng)絡(luò)輸出不會再流到前面，運(yùn)算誤差的積累相對直接型就小。4、結(jié)論在受實(shí)際條件限制，參數(shù)字長有限的情況下，級聯(lián)結(jié)構(gòu)型濾波器對參數(shù)變化的反應(yīng)要比直接結(jié)構(gòu)型的更低，性能指標(biāo)誤差更小，濾波器失真更小，濾波效果更好，更能符合設(shè)計指標(biāo)的要求。三 參數(shù)字長對性能指標(biāo)的影響在實(shí)際的數(shù)字濾波器的設(shè)計中，由于計算機(jī)或DSP芯片等的字長和存儲空間有限，所以也只能對設(shè)計參數(shù)取有限的字長進(jìn)行設(shè)計。然而，如果字長太短，則設(shè)計的濾波器誤差就會太大，造成濾波效果不佳。下面就將以上述性能指標(biāo)為依據(jù)，初始設(shè)計的橢圓數(shù)字IIR帶阻濾波器為例，研究不同參數(shù)字長對性能指標(biāo)的影響。并

13、為合適參數(shù)字長的確定探索規(guī)律。將計算獲得的帶阻數(shù)字濾波器的系數(shù)輸入圖1所示的filter coefficients工具中，并點(diǎn)擊Import Filter按鈕，生成數(shù)字濾波器。運(yùn)用FDATOOL工具左下側(cè)上數(shù)第三個的Set quantization parameters按鈕，在filter arithmetic下拉菜單下選擇Fixed Point選項(xiàng)，進(jìn)入如圖6所示的界面。圖6 Set quantization parameters工作界面通過改變coefficient word length的值便可以改變參與構(gòu)建濾波器的參數(shù)字長。1、參數(shù)字長取2位對性能指標(biāo)的影響將coefficient w

14、ord length的值改為2，點(diǎn)擊下方的Apply按鈕，此時設(shè)計的濾波器幅頻響應(yīng)曲線和性能指標(biāo)如圖7所示：圖7 參數(shù)字長取2位時的濾波器幅頻響應(yīng)曲線圖圖7中的虛線為供參考的理想字長下生成的濾波器的幅頻響應(yīng)曲線，圖中實(shí)線為參數(shù)字長取為2位時的濾波器幅頻響應(yīng)曲線。從圖中可以看出：字長為2位時，濾波器的各項(xiàng)性能指標(biāo)離設(shè)計指標(biāo)偏差很大，濾波器失真明顯，濾波效果很差，遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足設(shè)計指標(biāo)的要求。2、參數(shù)字長取4位對性能指標(biāo)的影響將coefficient word length的值改為4，點(diǎn)擊下方的Apply按鈕，此時設(shè)計的濾波器幅頻響應(yīng)曲線和性能指標(biāo)如圖8和表3所示：圖8 參數(shù)字長取4位時的濾波器幅頻

15、響應(yīng)曲線圖表3參數(shù)字長取4位時的實(shí)際性能指標(biāo)一覽表性能指標(biāo)）初始設(shè)計指標(biāo)實(shí)際指標(biāo)差值0.20.03587977-0.164120230.30.44799800.1479980.70.5520020-0.1479980.80.96412020.164120260*1*由圖8和表3可以看出，當(dāng)參數(shù)字長取為4位時，幅頻曲線失真度較2位時有明顯改進(jìn)，但仍很明顯：通、阻帶截止頻率分別有較大的偏移，使得截止頻率坡度非常平緩，濾波效果很差。通帶和阻帶波動平緩，最小和最大衰減頻率不明顯，通帶甚至出現(xiàn)了正增益。離設(shè)計指標(biāo)差距仍然很大。3、參數(shù)字長取6位對性能指標(biāo)的影響將coefficient word leng

16、th的值改為4，點(diǎn)擊下方的Apply按鈕，此時設(shè)計的濾波器幅頻響應(yīng)曲線和性能指標(biāo)如圖9和表4所示：圖9參數(shù)字長取6位時的濾波器幅頻響應(yīng)曲線圖表4 參數(shù)字長取6位時的實(shí)際性能指標(biāo)一覽表性能指標(biāo)）初始設(shè)計指標(biāo)實(shí)際指標(biāo)差值0.20.21640890.01640890.30.2803943-0.01960570.70.71960570.01960570.80.7835911-0.01640896056.47906-3.5209418.0936887.093688由圖9和表4可以看出，當(dāng)參數(shù)字長取為6位時，幅頻曲線失真進(jìn)一步減小，已經(jīng)初具帶阻濾波器的形制。性能指標(biāo)也明顯接近設(shè)計要求：通、阻帶截止頻率與設(shè)

17、計要求間的誤差已經(jīng)縮小至0.02的范圍內(nèi)，截止頻率的坡度也已經(jīng)十分陡峭；但是通帶最大衰減頻率和阻帶最小衰減頻率與設(shè)計指間標(biāo)誤差還是很大，離設(shè)計要求距離還是較遠(yuǎn)。4、參數(shù)字長取8位對性能指標(biāo)的影響將coefficient word length的值改為8，點(diǎn)擊下方的Apply按鈕，此時設(shè)計的濾波器幅頻響應(yīng)曲線和性能指標(biāo)如圖10和表5所示：圖10參數(shù)字長取8位時的濾波器幅頻響應(yīng)曲線圖表5 參數(shù)字長取8位時的實(shí)際性能指標(biāo)一覽表性能指標(biāo)）初始設(shè)計指標(biāo)實(shí)際指標(biāo)差值0.20.20309660.00309660.30.2784694-0.02153060.70.72161060.02153060.80.79

18、69034-0.00309666057.14474-2.85526112323660.232366由圖10和表5可以看出，當(dāng)參數(shù)字長取為8位時，幅頻曲線失真進(jìn)一步減小，但仍可以看出。性能指標(biāo)與設(shè)計要求的差值繼續(xù)減小，也已不明顯；通帶最大衰減頻率和阻帶最小衰減頻率與設(shè)計指間標(biāo)誤差還是有一定的差距，距離設(shè)計要求仍可以進(jìn)一步接近。5、參數(shù)字長取10位對性能指標(biāo)的影響將coefficient word length的值改為10，點(diǎn)擊下方的Apply按鈕，此時設(shè)計的濾波器幅頻響應(yīng)曲線和性能指標(biāo)如圖11和表6所示：圖11參數(shù)字長取10位時的濾波器幅頻響應(yīng)曲線圖表6參數(shù)保留小數(shù)點(diǎn)后7位時的性能指標(biāo)一覽表性能指標(biāo)）初始設(shè)計指標(biāo)實(shí)際指標(biāo)差值0.20.20426680.00426680.30.2802527-0.01974730.70.71974740.01974730.80.7957332-0.00426686059.32246-0.6775411.20996570.2099657由圖11和表6可以看出，當(dāng)參數(shù)字長取為8位時，幅頻曲線失真進(jìn)一步減小，但程度已經(jīng)很小，失真幾乎可以忽略。截止頻率已與設(shè)計要求相差無幾，改善的程度也變得很??；通帶最大衰減和阻帶最小衰減仍然和設(shè)計要求有微小的差距，不可以忽略。