高中數(shù)學(xué) 第一章 推理與證明 1.1.2 類比推理課件2 北師大版選修2-2

1、魯班給鐵皮加上齒制成了鋸，便于切割。對我們的啟發(fā)：對我們的啟發(fā)：最早的餐刀和水果刀相似，怎樣對餐刀進(jìn)行改造？加上齒加上齒 即：類比推理是由即：類比推理是由特殊到特殊特殊到特殊的推理的推理類比推理的一般步驟：類比推理的一般步驟：觀察、比較觀察、比較聯(lián)想、類推聯(lián)想、類推猜想新結(jié)論猜想新結(jié)論222121212,()221aaaaa ar例例 ：若若則則有有不不等等式式成成立立， 此此不不等等式式能能推推廣廣嗎嗎？“沒有大膽的猜測就沒有偉大的發(fā)明” 牛頓牛頓問題：有學(xué)生根據(jù)等式的性質(zhì)類比不等式的性質(zhì)。問題：有學(xué)生根據(jù)等式的性質(zhì)類比不等式的性質(zhì)。等式的性質(zhì)：等式的性質(zhì)：(1) a=ba+c=b+c;(2

2、) a=b ac=bc;(3) a=ba2=b2;等等。等等。類比不等式的性質(zhì)：類比不等式的性質(zhì)：(1) aba+cb+c;(2) ab acbc;(3) aba2b2;等等。等等。問：這樣猜想出的結(jié)論是否一定正確？問：這樣猜想出的結(jié)論是否一定正確？ 123(),()()_,()2nnnnnannaaaabnnnannbnn例例 ：若若數(shù)數(shù)列列是是等等差差數(shù)數(shù)列列，則則數(shù)數(shù)列列也也是是等等差差數(shù)數(shù)列列。類類比比上上述述性性質(zhì)質(zhì)，相相應(yīng)應(yīng)的的：若若數(shù)數(shù)列列是是等等比比數(shù)數(shù)列列，則則數(shù)數(shù)列列也也是是等等比比數(shù)數(shù)列列。123nna a aa “ “類比是一個偉大的引路人類比是一個偉大的引路人, ,求

3、解立體幾何往往求解立體幾何往往有賴于平面幾何的類比問題有賴于平面幾何的類比問題.”.” 數(shù)學(xué)家波利亞數(shù)學(xué)家波利亞 . . .例例3.半徑為半徑為r的圓的面積的圓的面積 ，周長，周長 若將若將r看作看作 上的變量，則上的變量，則 ，式可用語言敘述為：圓的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于式可用語言敘述為：圓的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于圓的周長函數(shù)。對于半徑為圓的周長函數(shù)。對于半徑為r的球，若將的球，若將r看看作作 上的變量，請你寫出上的變量，請你寫出 類似于類似于的式子：的式子：_，式可用語言敘述為式可用語言敘述為_ _ 2)(rrsrrc2)(), 0( rr2)(2)34(3r.42r球的體球的體積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于球

4、的表面積函數(shù)。積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于球的表面積函數(shù)。), 0( 24rabacabcdab =bd bc.defpdefpo例例 ：在在平平面面幾幾何何中中，有有射射影影定定理理“在在 t t a ab bc c中中，點點 在在邊邊上上的的射射影影為為 ，有有”類類比比平平面面幾幾何何定定理理，研研究究三三棱棱錐錐的的側(cè)側(cè)面面積積與與射射影影定定理理，地地面面面面積積的的關(guān)關(guān)系系，可可以以得得出出的的正正確確結(jié)結(jié)論論是是：“在在三三棱棱錐錐中中，面面d de ef f, ,面面d df fp p, ,面面d dp pe e兩兩兩兩垂垂直直，點點 在在底底面面上上的的射射影影為為 ，則則有有_ _ _

5、 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .”2defoefefps=ss例例5：類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定：類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理理,試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想 例例6:已知三角形的面積為已知三角形的面積為 其中其中a、b、c 為三角形邊長，為三角形邊長，r 為內(nèi)為內(nèi) 切圓的半徑。利用類比推理寫出四面切圓的半徑。利用類比推理寫出四面 體的體積公式。體的體積公式。rcbas)(21 rssssv)(31321練習(xí)練習(xí)1 1：正三角形內(nèi)任意一點到三邊距：正三角形內(nèi)任意一點到三邊距離之和是一個定值。離之和是一個定值。正四面體內(nèi)任

6、意一點到四個面的距離之和正四面體內(nèi)任意一點到四個面的距離之和是一個定值。是一個定值。 “ “每當(dāng)理智缺乏可靠論證的思路時，每當(dāng)理智缺乏可靠論證的思路時，類比這個方法往往指引我們前進(jìn)。類比這個方法往往指引我們前進(jìn)?！笨档?從具體問從具體問題出發(fā)題出發(fā)觀察、分析、觀察、分析、比較、聯(lián)想比較、聯(lián)想歸納、歸納、類比類比提出提出猜想猜想通俗地說，合情推理是指通俗地說，合情推理是指“合乎情理合乎情理”的推理的推理.合情推理合情推理歸納推理歸納推理類比推理類比推理小結(jié)： 對這兩種推理在數(shù)學(xué)活動中的作用，對這兩種推理在數(shù)學(xué)活動中的作用，著名的數(shù)學(xué)教育家著名的數(shù)學(xué)教育家 g g 波利亞作了精辟波利亞作了精辟的論

7、述：的論述：“數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過程與任何其他知數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過程與任何其他知識的創(chuàng)造過程一樣，在證明一個數(shù)學(xué)定理識的創(chuàng)造過程一樣，在證明一個數(shù)學(xué)定理之前，先得猜測這個定理的內(nèi)容；在完成之前，先得猜測這個定理的內(nèi)容；在完成詳細(xì)的證明之前，先得推測證明的思詳細(xì)的證明之前，先得推測證明的思路創(chuàng)造過程是一個艱苦曲折的過程數(shù)路創(chuàng)造過程是一個艱苦曲折的過程數(shù)學(xué)家創(chuàng)造性的工作是論證推理，即證學(xué)家創(chuàng)造性的工作是論證推理，即證明但這個證明是通過合情推理、通過猜明但這個證明是通過合情推理、通過猜想而發(fā)現(xiàn)的想而發(fā)現(xiàn)的”練習(xí)練習(xí)2 2：計算機中常用的十六進(jìn)位制是逢：計算機中常用的十六進(jìn)位制是逢進(jìn)的計算制，采用數(shù)字進(jìn)的計算制，采用數(shù)字- -和字母和字母- -共個計數(shù)符號，這些符號與十進(jìn)制共個計數(shù)符號，這些符號