高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.1.3 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 第一課時(shí)課件 新人教B版選修2-2

1、1.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義 定義定義：函數(shù)：函數(shù)y=f(x)在在x=x0處的瞬時(shí)變化率是處的瞬時(shí)變化率是0000()()li.mlimxxf xxf xyxx ,|)(00 xxyxf 或或00000()()()limlim.xxf xxf xyfxxx 即：我們稱它為函數(shù)我們稱它為函數(shù)y=f(x)在在x=x0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù),記作記作:回回顧顧 由導(dǎo)數(shù)的意義可知由導(dǎo)數(shù)的意義可知,求函數(shù)求函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)處的導(dǎo)數(shù)的基本步驟是數(shù)的基本步驟是:00(1)()();yf xxf x 求函數(shù)的增量00()()(2);f xxf xyxx求平均變化率00(3)()lim.x

2、yfxx 取極限，得導(dǎo)數(shù)下面來(lái)看導(dǎo)數(shù)的幾何意義: y=f(x)pqmxyoxypy=f(x)qmxyoxy 如圖如圖,曲線曲線c是函數(shù)是函數(shù)y=f(x)的圖象的圖象,p(x0,y0)是曲線是曲線c上的上的任意一點(diǎn)任意一點(diǎn),q(x0+x,y0+y)為為p鄰近一點(diǎn)鄰近一點(diǎn),pq為為c的割線的割線,pm/x軸軸,qm/y軸軸,為為pq的的傾斜角傾斜角.tan,: xyymqxmp則則yx請(qǐng)問(wèn)：是割線pq的什么?斜率!pqoxyy=f(x)割割線線切線切線t請(qǐng)看當(dāng)點(diǎn)請(qǐng)看當(dāng)點(diǎn)q沿著曲線逐漸向點(diǎn)沿著曲線逐漸向點(diǎn)p接近時(shí)接近時(shí),割線割線pq繞著繞著點(diǎn)點(diǎn)p逐漸轉(zhuǎn)動(dòng)的情況逐漸轉(zhuǎn)動(dòng)的情況. 我們發(fā)現(xiàn)我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)點(diǎn)

3、當(dāng)點(diǎn)q沿著曲線無(wú)限接近點(diǎn)沿著曲線無(wú)限接近點(diǎn)p即即x0時(shí)時(shí),割線割線pq有一個(gè)確定位置有一個(gè)確定位置pt.則我們把直線則我們把直線pt稱為曲稱為曲線在點(diǎn)線在點(diǎn)p處的處的切線切線. 設(shè)切線的傾斜角為設(shè)切線的傾斜角為,那么當(dāng)那么當(dāng)x0時(shí)時(shí),割線割線pq的斜的斜率率,稱為曲線在點(diǎn)稱為曲線在點(diǎn)p處的處的切線的斜率切線的斜率.即即:00000()( )( )limlimxxf xxf xykf xxx 切線 這個(gè)概念這個(gè)概念:提供了求曲線上某點(diǎn)切線的斜率的一提供了求曲線上某點(diǎn)切線的斜率的一種方法種方法;切線斜率的本質(zhì)切線斜率的本質(zhì)函數(shù)在函數(shù)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù).導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義 函數(shù)函數(shù)

4、 y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線線 y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)p(x0 ,f(x0)處的切線的斜率處的切線的斜率. 即即:0( )kf x切線 故曲線故曲線y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)p(x0 ,f(x0)處的切線方程是處的切線方程是:)()(000 xxxfxfy /000/0/01y=f(x)p(x ,f(x )f (x )y 2f (x )0,xf (x )0,x注注：（）若若曲曲線線在在點(diǎn)點(diǎn)處處的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)不不存存在在，就就是是切切線線與與 軸軸平平行行。（ ）切切線線與與 軸軸正正方方向向夾夾角角為為銳銳角角，切切線線的的斜斜率率為為正正，切切線線與

5、與 軸軸正正方方向向夾夾角角為為鈍鈍角角，切切線線的的斜斜率率為為負(fù)負(fù)。 201211.1 3,4.96.510.,.h ttth ttt t 例如圖它表示跳水運(yùn)動(dòng)中高度隨時(shí)間變化的函數(shù)的圖象 根據(jù)圖象 請(qǐng)描述、比較曲線在附近的變化情況0l1l2ltho0t1t2t311 .圖圖.,的的變變化化情情況況刻刻畫畫曲曲線線在在動(dòng)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)附附近近利利用用曲曲線線在在動(dòng)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)的的切切線線 .,變化情況在上述三個(gè)時(shí)刻附近的線刻畫曲處的切線在我們用曲線解thtttxh210 .,.,幾乎沒有升降較平坦附近曲線比在所以軸平行于處的切線在曲線時(shí)當(dāng)00001ttxltthtt .,.,附近單調(diào)遞減在即函數(shù)降附近曲

6、線下在所以的斜率處的切線在曲線時(shí)當(dāng)11111102ttthttthltthtt .,.,單調(diào)遞減附近也在即函數(shù)附近曲線下降在所以的斜率處的切線在曲線時(shí)當(dāng)12222203ttthttthltthtt .,.附近下降得緩慢附近比在在這說(shuō)明曲線程度的傾斜的傾斜程度小于直線直線可見從圖2121311ttthll 0l1l2ltho0t1t2t311 .圖圖80.80.50.0010.20.30.40.60.70.90.01.11.10.20.30.40.50.60.70.90.01.11. mlmgc/ mint411 .圖圖 21.1 4,(:/):min.,0.2,0.4,0.6.0.8min,0

7、.1 .cf tmg mltt例如圖它表示人體血管中藥物濃度單位隨時(shí)間單位變化的函數(shù)圖象根據(jù)圖象估計(jì)時(shí) 血管中藥物濃度的瞬時(shí)變化率 精確到 它表示從圖象上看在此時(shí)刻的導(dǎo)數(shù)藥物濃度就是度的瞬時(shí)變化率血管中某一時(shí)刻藥物濃解,.,tf .在此點(diǎn)處的切線的斜率曲線tf.,.時(shí)變化率的近似值瞬可以得到此刻藥物濃度估計(jì)這條切線的斜率利用網(wǎng)格線畫出曲線上某點(diǎn)處的切如圖411 0 .8,0 .4 80 .9 11 .4,1 .00 .70 .81 .4 .tf 作處 的 切 線取 切 線 上兩 點(diǎn) ( 0 . 7 , 0 . 9 1 ) , ( 1 . 0 , 0 . 4 8 )它 的 斜 率 約 為 k =

8、所 以.,這些值是否正確一下驗(yàn)證時(shí)變化率的估計(jì)值下表給出了藥物濃度瞬 417004080604020. tft藥物濃度的瞬時(shí)變化率從求函數(shù)從求函數(shù)f(x)f(x)在在x=xx=x0 0處導(dǎo)數(shù)的過(guò)程可以看處導(dǎo)數(shù)的過(guò)程可以看到到, ,當(dāng)當(dāng)x=xx=x0 0時(shí)時(shí),f(x,f(x0 0) ) 是一個(gè)確定的數(shù)是一個(gè)確定的數(shù). .那那么么, ,當(dāng)當(dāng)x x變化時(shí)變化時(shí), f(x), f(x)便是便是x x的一個(gè)函數(shù)的一個(gè)函數(shù), ,我我們稱它為們稱它為f(x)f(x)的的導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù). .簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)即即: :x x0 0 x x0 0y yf f( (x x+ +x x) )- -f f( (x x)

9、)f f( (x x) )= =y y = =l li im m= =l li im mx xx x 0 0f f ( (x x ) )f f ( (x x) )0就 是在 點(diǎn) x 處 的函 數(shù) 值 .0 0函函 數(shù)數(shù) y y = = f f( (x x) )在在 點(diǎn)點(diǎn) x x 處處 的的 導(dǎo)導(dǎo) 數(shù)數(shù)函函 數(shù)數(shù) f f( (x x) )的的 導(dǎo)導(dǎo) ( (函函 ) )數(shù)數(shù)例例3:求曲線求曲線y=f(x)=x2+1在點(diǎn)在點(diǎn)p(1,2)處的切線方程處的切線方程.qpy=x2+1xy-111ojmyx000()( ):limxf xxf xkx 解因此因此,切線方程為切線方程為y-2=2(x-1),即

10、即y=2x.（1）求出函數(shù)在點(diǎn)）求出函數(shù)在點(diǎn)x0處的變化率處的變化率 ，得到曲線在點(diǎn)得到曲線在點(diǎn)(x0,f(x0)的的。)(0 xf （2）根據(jù)直線方程的）根據(jù)直線方程的，即即).)()(000 xxxfxfy 求切線方程的步驟：求切線方程的步驟：2020(1)1 (1 1)lim2()lim2.xxxxxxx 練練習(xí)習(xí)線線點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn) 處處線線點(diǎn)點(diǎn) 處處線線3 31 18 8：已已知知曲曲y y = =x x 上上一一p p( (2 2, , ) )，求求：3 33 3( (1 1) )p p的的切切的的斜斜率率；（2 2）p p的的切切方方程程3330011()133(1),limlim3xx

11、xxxyyxyxx 解：. 42|22 xy即即點(diǎn)點(diǎn)p處的切線的斜率等于處的切線的斜率等于4. (2)在點(diǎn)在點(diǎn)p處的切線方程是處的切線方程是y-8/3=4(x-2),即即12x-3y-16=0.2230222033 ()()lim333()lim.3xxxxxxxxxx xxx （1）求出函數(shù)在點(diǎn)）求出函數(shù)在點(diǎn)x0處的變化率處的變化率 ，得到曲線，得到曲線 在點(diǎn)在點(diǎn)(x0,f(x0)的切線的斜率。的切線的斜率。)(0 xf （2）根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式寫出切線方程，即）根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式寫出切線方程，即).)()(000 xxxfxfy 求切線方程的步驟：求切線方程的步驟：小結(jié): 無(wú)限逼近的極限思想是建立導(dǎo)數(shù)無(wú)限逼近的極限思想是建立導(dǎo)數(shù)概念、用導(dǎo)數(shù)定義求概念、用導(dǎo)數(shù)定義求 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的基本思想，丟掉極限思想就無(wú)法理解基本思想，丟掉極限思想就無(wú)法理解導(dǎo)導(dǎo) 數(shù)概念。數(shù)概念。作業(yè):2342yxxm 2 2. .求求曲曲線線在在點(diǎn)點(diǎn) （1 1，1 1）處處的的切切線線方方程程。處的導(dǎo)數(shù)。處的導(dǎo)數(shù)。在在求函數(shù)求函數(shù)11. 1 xxy3.求雙曲