常微分方程課件

1、常微分方程常常 微微 分分 方方 程程常微分方程常微分方程課程簡(jiǎn)介常微分方程課程簡(jiǎn)介 常微分方程是研究自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中的事物、物體和常微分方程是研究自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中的事物、物體和現(xiàn)象運(yùn)動(dòng)、演化和變化規(guī)律的最為基本的數(shù)學(xué)理論和方法。現(xiàn)象運(yùn)動(dòng)、演化和變化規(guī)律的最為基本的數(shù)學(xué)理論和方法。物理、化學(xué)、生物、工程、航空航天、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)和金融領(lǐng)物理、化學(xué)、生物、工程、航空航天、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)和金融領(lǐng)域中的許多原理和規(guī)律都可以描述成適當(dāng)?shù)某Ｎ⒎址匠蹋缬蛑械脑S多原理和規(guī)律都可以描述成適當(dāng)?shù)某Ｎ⒎址匠?，如牛頓運(yùn)動(dòng)定律、萬有引力定律、機(jī)械能守恒定律，能量守恒牛頓運(yùn)動(dòng)定律、萬有引力定律、機(jī)械能守恒定律，能量守

2、恒定律、人口發(fā)展規(guī)律、生態(tài)種群競(jìng)爭(zhēng)、疾病傳染、遺傳基因定律、人口發(fā)展規(guī)律、生態(tài)種群競(jìng)爭(zhēng)、疾病傳染、遺傳基因變異、股票的漲伏趨勢(shì)、利率的浮動(dòng)、市場(chǎng)均衡價(jià)格的變化變異、股票的漲伏趨勢(shì)、利率的浮動(dòng)、市場(chǎng)均衡價(jià)格的變化等，對(duì)這些規(guī)律的描述、認(rèn)識(shí)和分析就歸結(jié)為對(duì)相應(yīng)的常微等，對(duì)這些規(guī)律的描述、認(rèn)識(shí)和分析就歸結(jié)為對(duì)相應(yīng)的常微分方程描述的數(shù)學(xué)模型的研究。因此，常微分方程的理論和分方程描述的數(shù)學(xué)模型的研究。因此，常微分方程的理論和方法不僅廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)，而且越來越多的應(yīng)用于社會(huì)方法不僅廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)，而且越來越多的應(yīng)用于社會(huì)科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域。 常微分方程 學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)常微分方程常微分方程的目的

3、是用微積分的思想，結(jié)合線性代的目的是用微積分的思想，結(jié)合線性代數(shù)，解析幾何等的知識(shí)，來解決數(shù)學(xué)理論本身和其它學(xué)科中出數(shù)，解析幾何等的知識(shí)，來解決數(shù)學(xué)理論本身和其它學(xué)科中出現(xiàn)的若干最重要也是最基本的微分方程問題，使學(xué)生學(xué)會(huì)和掌現(xiàn)的若干最重要也是最基本的微分方程問題，使學(xué)生學(xué)會(huì)和掌握常微分方程的基礎(chǔ)理論和方法，為學(xué)習(xí)其它數(shù)學(xué)理論，如微握常微分方程的基礎(chǔ)理論和方法，為學(xué)習(xí)其它數(shù)學(xué)理論，如微分幾何、泛函分析等后續(xù)課程打下基礎(chǔ)；同時(shí)，通過這門課本分幾何、泛函分析等后續(xù)課程打下基礎(chǔ)；同時(shí)，通過這門課本身的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練，使學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的一些基本方法，初步身的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練，使學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的一些基本方法，初

4、步了解當(dāng)今自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中的一些非線性問題，為他們將了解當(dāng)今自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中的一些非線性問題，為他們將來從事相關(guān)領(lǐng)域的科學(xué)研究工作培養(yǎng)興趣，做好準(zhǔn)備來從事相關(guān)領(lǐng)域的科學(xué)研究工作培養(yǎng)興趣，做好準(zhǔn)備。 教材及參考資料教材及參考資料教教 材材：常微分方程，：常微分方程，( (第二版）（第二版）（9797年國(guó)家教委一等獎(jiǎng)），年國(guó)家教委一等獎(jiǎng)）， 王高雄等編（中山大學(xué)王高雄等編（中山大學(xué)), ), 高教出版社。高教出版社。參考書目參考書目： 常微分方程習(xí)題集常微分方程習(xí)題集, ,莊萬，高教出版社莊萬，高教出版社 常微分方程全程導(dǎo)學(xué)及習(xí)題全解，石瑞青編，常微分方程全程導(dǎo)學(xué)及習(xí)題全解，石瑞青編， 中

5、國(guó)時(shí)代經(jīng)濟(jì)出版社。中國(guó)時(shí)代經(jīng)濟(jì)出版社。 常微分方程第一章 緒論 常微分方程是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支常微分方程是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支, ,是人們是人們解決各種實(shí)際問題的有效工具解決各種實(shí)際問題的有效工具, ,它在幾何它在幾何, ,力學(xué)力學(xué), ,物物理理, ,電子技術(shù)電子技術(shù), ,自動(dòng)控制自動(dòng)控制, ,航天航天, ,生命科學(xué)生命科學(xué), ,經(jīng)濟(jì)等經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用, ,本章將通過幾個(gè)具體例子本章將通過幾個(gè)具體例子, ,粗略地介紹常微分方程的應(yīng)用粗略地介紹常微分方程的應(yīng)用, ,并講述一些最基本并講述一些最基本概念概念. .常微分方程1.1 微分方程模型 微分方程微分方程:

6、 :聯(lián)系著聯(lián)系著自變量自變量, ,未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式的關(guān)系式. . 為了定量地研究一些實(shí)際問題的變化規(guī)律為了定量地研究一些實(shí)際問題的變化規(guī)律, ,往往是往往是要對(duì)所研究的問題進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化和假設(shè)要對(duì)所研究的問題進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化和假設(shè), ,建立數(shù)學(xué)建立數(shù)學(xué)模型模型, ,當(dāng)問題涉及變量的變化率時(shí)當(dāng)問題涉及變量的變化率時(shí), ,該模型就是微分該模型就是微分方程方程, ,下面通過幾個(gè)典型的例子來說明建立微分方程下面通過幾個(gè)典型的例子來說明建立微分方程模型的過程模型的過程. .常微分方程例1 鐳的衰變規(guī)律:0,0,.tRt設(shè)鐳的衰變規(guī)律與該時(shí)刻現(xiàn)有的量成正比且已知時(shí) 鐳元素的量為克 試

7、確定在任意 時(shí)該時(shí)鐳元素的量常微分方程解:( ),tR t設(shè) 時(shí)刻時(shí)鐳元素的量為,)()(dttdRtR對(duì)時(shí)間的變化律是由于鐳元素的衰變律就:衰變律可得依題目中給出鐳元素的,kRdtdR0)0(RR.)(, 0隨時(shí)間的增加而減少是由于這里tRk :解之得kteRtR0)(即鐳元素的存量是指數(shù)規(guī)律衰減的.常微分方程 將某物體放置于空氣中將某物體放置于空氣中, , 在時(shí)刻在時(shí)刻0t時(shí)時(shí), , 測(cè)得它的溫度為測(cè)得它的溫度為,1500Cu1010分鐘后測(cè)量得溫度為分鐘后測(cè)量得溫度為 試決定此物試決定此物.1001Cu體的溫度體的溫度 和時(shí)間和時(shí)間 的關(guān)系的關(guān)系.ut例例2 2 物理冷卻過程的數(shù)學(xué)模型物

8、理冷卻過程的數(shù)學(xué)模型Newton Newton 冷卻定律冷卻定律: : 1. 1. 熱量總是從溫度高的物體向溫度低的物體傳導(dǎo)熱量總是從溫度高的物體向溫度低的物體傳導(dǎo); ; 2. 2. 在一定的溫度范圍內(nèi)在一定的溫度范圍內(nèi), ,一個(gè)物體的溫度變化速度一個(gè)物體的溫度變化速度與這一物體的溫度與其所在的介質(zhì)的溫度之差成正比與這一物體的溫度與其所在的介質(zhì)的溫度之差成正比. . 常微分方程 設(shè)物體在時(shí)刻設(shè)物體在時(shí)刻 的溫度為的溫度為 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的物理意義根據(jù)導(dǎo)數(shù)的物理意義, , 則則 溫度的變化速度為溫度的變化速度為 由由NewtonNewton冷卻定律冷卻定律, , 得到得到 t).(tu.dtdu, )

9、uk(udtdua其中其中 為比例系數(shù)為比例系數(shù). . 此數(shù)學(xué)關(guān)系式就是物體冷卻過此數(shù)學(xué)關(guān)系式就是物體冷卻過程的數(shù)學(xué)模型程的數(shù)學(xué)模型.0k注意注意: :此式子并不是直接給出此式子并不是直接給出 和和 之間的函數(shù)關(guān)系之間的函數(shù)關(guān)系, ,而只是給出了未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與未知函數(shù)之間的關(guān)系式而只是給出了未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與未知函數(shù)之間的關(guān)系式. .如何如何由此式子求得由此式子求得 與與 之間的關(guān)系式之間的關(guān)系式, , 以后再介紹以后再介紹. .utut解:常微分方程例3 R-L-C電路 如圖所示的如圖所示的R-L-CR-L-C電路電路. . 它包含電感它包含電感L,L,電阻電阻R,R,電容電容C C及電源及

10、電源e(t). e(t). 設(shè)設(shè)L,R,CL,R,C均為常數(shù)均為常數(shù),e(t),e(t)是時(shí)間是時(shí)間t t的已知函數(shù)的已知函數(shù). .試求當(dāng)開關(guān)試求當(dāng)開關(guān)K K合上后合上后, ,電路中電流強(qiáng)度電路中電流強(qiáng)度I I與時(shí)間與時(shí)間t t之間的關(guān)系之間的關(guān)系. . 常微分方程電路的電路的Kirchhoff第二定律第二定律: 設(shè)當(dāng)開關(guān)K合上后, 電路中在時(shí)刻t的電流強(qiáng)度為I(t), 則電流 經(jīng)過電感L, 電阻R和電容的電壓降分別為 其中Q為電量,于是由Kirchhoff第二定律, 得到 ,CQRIdtdIL. 0)(CQRIdtdILte因?yàn)?于是得到,dtdQI .)(122dttdeLLCIdtdIL

11、RdtId這就是電流強(qiáng)度I與時(shí)間t所滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式. 解:在閉合回路中在閉合回路中,所有支路上的電壓的代數(shù)和為零所有支路上的電壓的代數(shù)和為零. 常微分方程例例5 5 （理想單擺運(yùn)動(dòng)）建立理想單擺運(yùn)動(dòng)滿足的微（理想單擺運(yùn)動(dòng)）建立理想單擺運(yùn)動(dòng)滿足的微分方程，并得出理想單擺運(yùn)動(dòng)的周期公式。分方程，并得出理想單擺運(yùn)動(dòng)的周期公式。 從圖從圖3-13-1中不難看出，小球所受的合力為中不難看出，小球所受的合力為mgsinmgsin，根據(jù)根據(jù)牛頓第二定律牛頓第二定律可得：可得： sinmlmg 這是理想單擺應(yīng)這是理想單擺應(yīng)滿足的運(yùn)動(dòng)方程滿足的運(yùn)動(dòng)方程MQPmgl圖圖3-1 （3.13.1）的）的近似方程近似

12、方程從而得出兩階微分方程：從而得出兩階微分方程： 0sin0(0)0, (0)gl（3.1） （3.13.1）是一個(gè)兩階非線性方程，不是一個(gè)兩階非線性方程，不易求解。當(dāng)易求解。當(dāng)很小時(shí)，很小時(shí)，sinsin，此時(shí)，此時(shí)，可考察（可考察（3.13.1）的近似線性方程：）的近似線性方程： 常微分方程00(0)0, (0)gl（3.2） （3.23.2）的解為）的解為: : (t)= 0cost 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),(t)=04Tt 42g Tl故有故有由此即可得出由此即可得出2gTlgl其中其中常微分方程例例6 6 傳染病模型傳染病模型: : 長(zhǎng)期以來長(zhǎng)期以來, ,建立傳染病的數(shù)學(xué)建立傳染病的數(shù)學(xué)模型來描

13、述傳染病的傳播過程模型來描述傳染病的傳播過程, ,一直是各國(guó)有關(guān)專一直是各國(guó)有關(guān)專家和官員關(guān)注的課題家和官員關(guān)注的課題. .人們不能去做傳染病傳播的人們不能去做傳染病傳播的試驗(yàn)以獲取數(shù)據(jù)試驗(yàn)以獲取數(shù)據(jù), ,所以通常主要是依據(jù)機(jī)理分析的所以通常主要是依據(jù)機(jī)理分析的方法建立模型方法建立模型. .:假設(shè)設(shè),時(shí)間以天為計(jì)量單位,不變N察地區(qū)的 總地區(qū)假設(shè)設(shè)疾病傳播期內(nèi)所件為).()()()() 1 (titst和別為在總?cè)藬?shù)中所占比例分病人和已感染者健康人群中易感染者在時(shí)該.,)2(稱日接觸率的平均人數(shù)是每個(gè)病人每天有效接觸常微分方程解:根據(jù)題設(shè),每個(gè)病人每天可使.)( 個(gè)健康者變?yōu)椴∪藅s由于病人總?cè)藬?shù)為),(tNi所以每天共有( ) ( ).Ns t i t個(gè)健康者被感染于是病人增加率為,NsidtdiN再由初始條件得又因, 1)()( tits)1 (iidtdi0)0(ii常微分方程思考與練習(xí)1.曲線上任一點(diǎn)的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積都等于常數(shù) ,求該曲線所滿足的微分方程.2a:),(距分別為的切線的橫截距與縱截過點(diǎn)yx.xyyyyx和解:由題目條