勾股定理的逆定理直角三角形的判定

1、X直角三角形的判定按照這種做法真能得到一個(gè)按照這種做法真能得到一個(gè)直角三角形直角三角形嗎？嗎？ 古埃及人曾用下面的方法得到直角：古埃及人曾用下面的方法得到直角：用用13個(gè)等距的結(jié)個(gè)等距的結(jié),把一根繩子把一根繩子分成等長的分成等長的12段段,然后以然后以3個(gè)結(jié)，個(gè)結(jié)，4個(gè)結(jié)，個(gè)結(jié)，5個(gè)結(jié)的長度為邊長，個(gè)結(jié)的長度為邊長，用木樁釘成一個(gè)三角形，其中用木樁釘成一個(gè)三角形，其中一個(gè)角便是一個(gè)角便是直角直角。 下面的三組數(shù)分別是一個(gè)三下面的三組數(shù)分別是一個(gè)三角形的三邊長角形的三邊長a，b，c：（1） 3，4，5；（；（2） 4，6，8；（3） 6，8，10。（1）這三組數(shù)都滿足）這三組數(shù)都滿足222cba

2、 嗎？嗎？（2）它們都是直角三角形嗎？）它們都是直角三角形嗎？動(dòng)手畫一畫動(dòng)手畫一畫勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 如果直角三角形兩直角邊分別為如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為斜邊為c，那么，那么a a2 2 + b+ b2 2 = c= c2 2勾股定理勾股定理 如果三角形的三邊長如果三角形的三邊長a、b、c滿足滿足 那么這個(gè)三角形是直角三角形那么這個(gè)三角形是直角三角形.且邊且邊c所對的角為直角所對的角為直角互逆定理a a2 2 + b+ b2 2 = c= c2 2勾股定理的逆命題的證明勾股定理的逆命題的證明如果三角形的較長邊的平方等于其它兩條較短邊如果三角形的較長邊的平方等于其

3、它兩條較短邊的平方和，那么這個(gè)三角形是直角三角形。的平方和，那么這個(gè)三角形是直角三角形。 cabBCA已知：在已知：在ABC中，中，AB=c BC=a CA=b 且且a2+b2=c2求證：求證： ABC是直角三角形是直角三角形證明：證明：畫一個(gè)畫一個(gè)ABC,使使 C=900,BC=a, CA=babABC已知：在已知：在ABC中，中，AB=c，BC=a，CA=b，滿足，滿足 ABbcab1A1B1C證明：作證明：作 111CBAbACaCB1111,111122211,ACCACBBCbaBA1111222BAABcBAcba在ABC和 111CBA111111BAABACCACBBCABC

4、)(111SSSCBAC= 1C1CCa222cba 求證：求證：C=90使則有則有中，=90 =90,三角形的三邊長三角形的三邊長a、b、c滿足：滿足：a a2 2 + b+ b2 2 = c= c2 2那么這個(gè)三角形是那么這個(gè)三角形是直角三角形直角三角形,且邊且邊c所對的所對的角為直角角為直角.a a2 2 + b+ b2 2 = c= c2 2 直角三角形直角三角形cabBCA（1）勾股定理主要反映了直角三角形三邊之間）勾股定理主要反映了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，它是解決直角三角形中有關(guān)計(jì)算與的數(shù)量關(guān)系，它是解決直角三角形中有關(guān)計(jì)算與證明的主要依據(jù)；證明的主要依據(jù)；（2）勾股定理的逆

5、定理主要的應(yīng)用是把數(shù)轉(zhuǎn)化）勾股定理的逆定理主要的應(yīng)用是把數(shù)轉(zhuǎn)化為形，通過計(jì)算三角形三邊之間的關(guān)系來判斷一為形，通過計(jì)算三角形三邊之間的關(guān)系來判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形，它可作為直角三角個(gè)三角形是否是直角三角形，它可作為直角三角形的判定依據(jù)形的判定依據(jù)例例1 判斷由判斷由a、b、c組成的三角形是不是直角三角形：組成的三角形是不是直角三角形：(1) a15 , b 8 , c17例題解析例題解析(2) a13 , b 15 , c14分析：由勾股定理的逆定理，判斷三角形是分析：由勾股定理的逆定理，判斷三角形是不是直角三角形，只要看兩條不是直角三角形，只要看兩條較小邊較小邊的平方的平方和是否等于

6、和是否等于最大邊最大邊的平方。的平方。解：解：1528222564 289, 172289 15282172這個(gè)三角形是直角三角形這個(gè)三角形是直角三角形 。角形這個(gè)三角形不是直角三2222221514132251536519616914132 下面以下面以a,b,c為邊長的三角形是不是直為邊長的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一個(gè)角是直角？角三角形？如果是那么哪一個(gè)角是直角？(1) a=25 b=20 c=15 _ _ ;(2) a=13 b=14 c=12 _ _ ;(4) a:b: c=3:4:5 _ _ ;是是是是不是不是 是是 A=900 B=900 C=900(3) a=1 b=

7、2 c= _ _ ;3像像( (3 3，4 4，5 5) )、( (6 6，8 8，1010) )、( (2525，2020，1515) )、 ( (5,12,135,12,13) )等滿足等滿足a a2 2+b+b2 2=c=c2 2的一組的一組正整數(shù)正整數(shù), , 通常稱為通常稱為勾股數(shù)。勾股數(shù)。利用勾股數(shù)可以構(gòu)造直角三角形利用勾股數(shù)可以構(gòu)造直角三角形. .n21，2n，n21（n為大于為大于1的正整數(shù)）是勾股數(shù)嗎？的正整數(shù)）是勾股數(shù)嗎？3k、4k、5k（k2為正整數(shù)）也是一組勾為正整數(shù)）也是一組勾股數(shù)嗎股數(shù)嗎13ABCDABCD34512例例2 一個(gè)零件的形狀如左圖所示，按規(guī)定這個(gè)零一個(gè)零

8、件的形狀如左圖所示，按規(guī)定這個(gè)零件中件中A和和DBC都應(yīng)為直角。工人師傅量得這都應(yīng)為直角。工人師傅量得這個(gè)零件各邊尺寸如右圖所示，這個(gè)個(gè)零件各邊尺寸如右圖所示，這個(gè) 零件符合要求零件符合要求嗎？嗎？例題解析例題解析 例例 3.在在ABC中，中，a=15, b=17, c=8,求求此三角形的面積此三角形的面積。22222217815bca解為直角三角形為直角三角形,且且B=90 ABC的面積為的面積為.608152121ca81517ABC 已知：如圖，四邊形已知：如圖，四邊形ABCD中，中，B900，AB3，BC4，CD12，AD13,求四邊形求四邊形ABCD的面積的面積?ABCD準(zhǔn)備好了嗎?

9、S四邊形四邊形ABCD=36中考鏈接中考鏈接B) (,2)(22則此三角形是滿足條件、三角形三邊長abcbacbaA、銳角三角形、銳角三角形 B、直角三角形、直角三角形C、鈍角三角形、鈍角三角形 D、等邊三角形、等邊三角形1.練一練練一練3如果如果ABC的三邊分別為的三邊分別為a、b、c且滿足且滿足 a2b2c2506a8b10c， 判定判定ABC的形狀的形狀. (二二)解答題：解答題： 練練 習(xí)習(xí) 這個(gè)三角形是直角三角形這個(gè)三角形是直角三角形 3、ABC三邊三邊a,b,c為邊向外作正方形，為邊向外作正方形，以三邊為直徑作半圓，若以三邊為直徑作半圓，若S1+S2=S3成立，成立，則則ABC是直

10、角三角形嗎？是直角三角形嗎？ACabcS1S2S3BABCabcS1S2S3思維訓(xùn)練思維訓(xùn)練 嗎?說明理由ABC是直角三角形 n是正整數(shù))，m,n,(m且cb,a, 分別為ABC三角形的三邊 1、已知 n nm m= =c c2 2m mn n, ,= =b b, ,n n- -m m = =a a2 22 22 22 2分析：分析：先來判斷先來判斷a,b,c三邊哪條最長，三邊哪條最長，可以代可以代m,n為滿足條件的特殊值來試，為滿足條件的特殊值來試，m=5,n=4.則則a=9,b=40,c=41,c最大。最大。2222222222)()2()(cnmmnnmba 解：ABC是直角三角形是直角

11、三角形練一練練一練1、勾股定理的逆定理、勾股定理的逆定理2、怎樣判斷一個(gè)三角形是否為直角三角形、怎樣判斷一個(gè)三角形是否為直角三角形?3、熟悉常用的勾股數(shù)。、熟悉常用的勾股數(shù)。七七：師生互動(dòng)（小結(jié)）師生互動(dòng)（小結(jié)）ABCabcc如果的三邊長為 、 、 其中 為最長邊1ABC222，若a +b =c 則為：2ABC222，若a +b c 則為：3ABC222，若a +b c 則為：直角三角形銳角三角形鈍角三角形 , ,ABCa b c一 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)你知道的三邊在數(shù)量上滿足如下關(guān)系時(shí)分別為什么三角形？二二 滿足222a +b =c的三個(gè)正整數(shù)， 稱為勾股數(shù)。PRQSNE 例2 “遠(yuǎn)航”號、“海

12、天”號輪船同時(shí)離開港口,各自沿一固定方向航行, “遠(yuǎn)航”號每小時(shí)航行16海里, “海天”號每小時(shí)航行12海里.它們離開港口一個(gè)半小時(shí)后相距30海里.如果知道“遠(yuǎn)航”號沿東北方向航行,能知道“海天”號沿哪個(gè)方向航行嗎?拓廣與應(yīng)用勾股定理勾股定理:直角三角形兩直角邊的平方和等直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方于斜邊的平方.?b?c?a?C?B?A幾何語言表述幾何語言表述:例例2 2已知某校有一塊四邊形空地已知某校有一塊四邊形空地ABCD，如圖，現(xiàn)計(jì)，如圖，現(xiàn)計(jì)劃在該空地上種草皮，經(jīng)測量劃在該空地上種草皮，經(jīng)測量A90，AB3m，BC12m，CD13m，DA4m， 若每平方米草皮需若每平方米草

13、皮需100元，問需投入多少元？元，問需投入多少元？3.23.2勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 設(shè)設(shè)ABC的的3條邊長分別是條邊長分別是a、b、c，且且an21，b2n，cn21問：問：ABC是是直角三角形嗎？直角三角形嗎？拓展延伸：拓展延伸：3.23.2勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理若若ABC的三邊的三邊a、b、c滿足條件滿足條件a2b2c233810a24b26c，試判斷，試判斷ABC的的形狀形狀. 思考：思考：3.23.2勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理思考：思考：如果三角形的三邊長如果三角形的三邊長a,b,ca,b,c滿足滿足 a a2 2+b+b2 2=c=c2 2 , ,那么這個(gè)

14、三角形是不是直角三角形？那么這個(gè)三角形是不是直角三角形？定理：定理：如果三角形的三邊長如果三角形的三邊長a,b,ca,b,c滿足滿足 a a2 2+b+b2 2=c=c2 2 , ,那么這個(gè)三角形是直角三角形那么這個(gè)三角形是直角三角形. .這個(gè)結(jié)論是勾股定理的逆定這個(gè)結(jié)論是勾股定理的逆定理理書寫格式：書寫格式：aa2 2+b+b2 2=c=c2 2 ABC ABC為為RtRt滿足滿足a a2 2+b+b2 2=c=c2 2的的三個(gè)正整數(shù)三個(gè)正整數(shù), ,稱為稱為勾股數(shù)勾股數(shù)三角形的三邊長三角形的三邊長a、b、c滿足：滿足：a a2 2 + b+ b2 2 = c= c2 2那么這個(gè)三角形是那么這

15、個(gè)三角形是直角三角形直角三角形。已知：已知：cabBCAABC中，中，AB=c BC=a CA=b 且且a2+b2=c2求證：求證： ABC是直角三角形是直角三角形 7如圖，一塊四邊形地，測得四邊長如圖所如圖，一塊四邊形地，測得四邊長如圖所示，且示，且ABC90，求這個(gè)四邊形地的面積。，求這個(gè)四邊形地的面積。（單位：米）（單位：米）ABDC341312 8已知已知3、4、5是一組勾股數(shù)，那么是一組勾股數(shù)，那么3k、4k、5k（k2為正整數(shù)）也是一組勾為正整數(shù)）也是一組勾股數(shù)嗎股數(shù)嗎(二二)解答題：解答題： 1已知：am2n2，b2mn，cm2n2 (m、n為正整數(shù)，mn). 試判定由a、b、c

16、組成的三角形是不是直 角三角形 不是練練 習(xí)習(xí) 思考思考1:ABC三邊三邊a,b,c為邊向外作正方形，為邊向外作正方形，若若S1+S2=S3成立，則成立，則ABC是什么三角形？是什么三角形？為什么？為什么？ABCabcS1S2S3acb思考思考2:已知已知ABC是直角三角形是直角三角形,以以a,b,c為邊向外作正方形，為邊向外作正方形，有有S1+S2=S3？為什么？為什么？a a2 2 + b+ b2 2 = c= c2 2直角三角形直角三角形直角三角直角三角形形a a2 2 + b+ b2 2 = c= c2 27.如圖：如圖：ADCD ， ACBC ,AB=13， CD=3 ， AD=4

17、。求：。求：(1)求求AC長長 (2)求求BC長長8.如圖如圖, ADCD ，AB=13， BC=12 ，CD=3 ， AD=4 。求：。求：(1)求求AC長長 (2)ACB的度數(shù)。的度數(shù)。BADC1334BADC121334勾股定理與逆定理的勾股定理與逆定理的綜合運(yùn)用綜合運(yùn)用9.如圖如圖, ACBC ，AB=13， BC=12 ，CD=3 ， AD=4 。求：。求：(1)求求AC長長 (2)求求 的面積。的面積。BADC121334ADC勾股定理的逆命題勾股定理的逆命題 如果直角三角形兩直角邊分別為如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為斜邊為c，那么，那么a a2 2 + b+ b2 2

18、 = c= c2 2勾股定理勾股定理 如果三角形的三邊長如果三角形的三邊長a、b、c滿足滿足那么這個(gè)三角形是直角三角形。且邊那么這個(gè)三角形是直角三角形。且邊C年所對的角為直角年所對的角為直角.a a2 2 + b+ b2 2 = c= c2 2互逆命題逆定理逆定理定理定理1、一個(gè)零件的形狀如下圖所示，按規(guī)定這個(gè)零件、一個(gè)零件的形狀如下圖所示，按規(guī)定這個(gè)零件中中A和和DBC都應(yīng)為直角工人師傅量出了這個(gè)都應(yīng)為直角工人師傅量出了這個(gè)零件各邊尺寸，那么這個(gè)零件符合要求嗎零件各邊尺寸，那么這個(gè)零件符合要求嗎? 此時(shí)四邊形此時(shí)四邊形ABCD的面積是多少的面積是多少?2、 已知已知a，b，c為為ABC的三邊的三邊,且且 滿足滿足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c. 試判斷試判斷ABC的形狀的形狀.思維訓(xùn)練思維訓(xùn)練 C=900 AB2= a2+b2 a2+b2=c2 AB 2=c2 AB =c 邊長取正值邊長取正值 ABC ABC（SSS） C= C(全等全等三角形對應(yīng)角相等）三角形對應(yīng)角相等） C= 900BC=a=BCCA=b=CAAB=c=ABcabBCAabBCA已知已知:在在ABC中，中，AB=c BC=a CA=b 且且a2+b2=c2求