差商及其性質(zhì)

1、 4.1 差商（均差）及性質(zhì)差商（均差）及性質(zhì)1 差商（均差）差商（均差）已知已知y = =)(xf函數(shù)表函數(shù)表)()()()(1010nnxfxfxfxfxxxx),(jixxji 當(dāng)當(dāng))(xf則則 在在 nnxxxxxx,12110 上平均變化率分別為：上平均變化率分別為： ,)()(,010110 xxxfxfxxf ,)()(,121221xxxfxfxxf .)()(,111 nnnnnnxxxfxfxxf，即有定義：即有定義：定義為定義為f( (x) )的差商的差商）（ 1 .44 差商與牛頓插值多項式差商與牛頓插值多項式定義定義4為函數(shù)為函數(shù)在在jixx ,的的一階差商一階差商（

2、一階一階均差均差）；）；)(xf ,)(,ikjikjkjikjixxxxfxxfxfxxxxxxf 稱為稱為y = =在點在點kjixxx,的的二階差商二階差商（二階均差二階均差）；)(xf （3）一般由函數(shù)）一般由函數(shù)y= =的的n1 1階差商表可定義函數(shù)的階差商表可定義函數(shù)的n階階差商。差商。)(xf)(xf稱為函數(shù)稱為函數(shù)y= =在在nxxx,10點的點的n階差商階差商（n階均差階均差）。,jixx，稱，稱 ,)()()(,ijijjijixxxfxfxfxxxxf （1 1）對于）對于 的一階差商表，再作一次差商，即的一階差商表，再作一次差商，即)(xf（2）由函數(shù)）由函數(shù)y= =）

3、（xfxxxxxxfnn,1010 011021,xxxxxfxxxfnnn 即即 nxxxf,21 110, nxxxfn1 1階階差商差商2 基本性質(zhì)基本性質(zhì)定理定理5 kjijkjiijxxxf00)()( kjjkjxxf01)()( （2）k 階差商階差商 kxxxf,10關(guān)于節(jié)點關(guān)于節(jié)點kxxx,10是對稱的，或說是對稱的，或說均差均差與節(jié)點順序無關(guān)，與節(jié)點順序無關(guān)，即即例如：例如：共共6個個 ijkxxxf, jikxxxf, kjixxxf, ,jkixxxf kijxxxf, ikjxxxf, kxxxf,10 kjkjjjjjjjjxxxxxxxxxxxf01110)()(

4、)()(的線性組合，的線性組合，即即)(xf的的k階差商階差商 kxxxf,10是函數(shù)值是函數(shù)值)(,),(),(10kxfxfxf（1） kxxxf,10 kxxxf,01 01,xxxfkk kxxxf,10 kjkjjjjjjjjxxxxxxxxxxxf01110)()()()(分析分析 ：當(dāng)當(dāng)k =1=1時時, ,01110010)()(xxxfxxxfxxf ， ( (1) )可用歸納法證明?？捎脷w納法證明。(2)(2)利用利用(1)(1)很容易得到。只證很容易得到。只證(1)(1) 010110)()(,xxxfxfxxf 證明：證明：（1）當(dāng)）當(dāng)k =1=1時時, , 01011

5、0)()(,xxxfxfxxf 011100)()(xxxfxxxf 時時成成立立，即即有有假假設(shè)設(shè)當(dāng)當(dāng)nk 111111121)()()()(njnjjjjjjjnxxxxxxxxxfxxxf， njnjjjjjjjnxxxxxxxxxfxxxf011010)()()()(，ix0 x1x2x3x4xkx)(ixf)(0 xf)(1xf)(2xf)(3xf)(4xf)(kxf表表2.4,10 xxf,21xxf,32xxf,43xxf,321xxxf,210 xxxf,432xxxf,3210 xxxxf,4321xxxxf,10kxxxf,12kkkxxxf ,1kkxxf 3 差商表差商

6、表 計算順序計算順序: :同列維爾法，即每次用前一列同行的差商與前一列同列維爾法，即每次用前一列同行的差商與前一列 上一行的差商再作差商。上一行的差商再作差商。4.2 牛頓插值多項式牛頓插值多項式已知已知)(xfy 函數(shù)表（函數(shù)表（4.1）, 由差商定義及對稱性，得由差商定義及對稱性，得 000)()(,xxxfxfxxf )()(,)()(000axxxxfxfxf 110010,xxxxfxxfxxxf )()(,110100bxxxxxfxxfxxf 221010210,xxxxxfxxxfxxxxf )()(,221021010cxxxxxxfxxxfxxxf nnnnxxxxxfxx

7、xfxxxf ,10100 )()(,01010dxxxxxfxxxfxxxfnnnn 1 牛頓插值多項式的推導(dǎo)牛頓插值多項式的推導(dǎo)，)()()()(1010nnxfxfxfxfxxxx）（ 1 .4),(jixxji 當(dāng)當(dāng)將將(b)式兩邊同乘以式兩邊同乘以,)(0 xx )()(,)()(000axxxxfxfxf )()(,110100bxxxxxfxxfxxf )()(,221021010cxxxxxxfxxxfxxxf )()(,01010dxxxxxfxxxfxxxfnnnn )()(,11010 nnxxxxxxxxxf)()(,1100nnnxxxxxxxxxxxf )(,)(,

8、)()(102100100 xxxxxxxfxxxxfxfxf )(0 xx ,0 xxf )(,00 xxxxf 抵消抵消)(10 xxxx 10,xxxf )(,110 xxxxxf 抵消抵消)()(110 nxxxxxx)(,2210 xxxxxxf 10, nxxxf抵消抵消)()(0 xfxf ,10 xxf)(0 xx )(10 xxxx 210,xxxf)(0 xx )(,010nnnxxxxxfxxxf )()(110 nxxxxxx)()(110 nxxxxxx(d)(d)式兩邊同乘以式兩邊同乘以, ,把所有式子相加把所有式子相加, ,得得，)(10 xxxx ,(c),(c

9、)式兩邊同乘以式兩邊同乘以 )()(,)()(,)(,)(,)()(110011010102100100nnnnnxxxxxxxxxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxf 記記 )()(,)(,)(,)()(11010102100100 nnnxxxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxP)()(,)(1100nnnnxxxxxxxxxxxfxR )()(,1100nnnxxxxxxxxxxxf )()(,)(,)(,)(11010102100100 nnxxxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxf- - 牛頓插值多項式牛頓插值多項式- - 牛頓插值余項牛頓

10、插值余項)(,10jnjnxxxxxf 可以驗證可以驗證 ), 1 , 0)()(nixPxfini ，即，即 滿足插值條件滿足插值條件, 因此因此)(xPn可得以下結(jié)論?？傻靡韵陆Y(jié)論。 )(xf)(xPn)(xRn 定理定理6),();, 1 , 0)(,(jixxnixfxjiii 當(dāng)當(dāng)則滿足插值條件則滿足插值條件), 1 , 0(),()(nixPxfini 的插值多項式為：的插值多項式為：)()()(xRxPxfnn （牛頓插值多項式）（牛頓插值多項式）)2 . 4(其中，其中， )(,)()(0100 xxxxfxfxPn)()(,11010 nnxxxxxxxxxf- - 牛頓插值

11、多項式牛頓插值多項式)(,)(010ininnxxxxxxfxR - - 牛頓插值余項牛頓插值余項2 n +1+1階差商函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系階差商函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系由由n次插值多項式的唯一性，則有次插值多項式的唯一性，則有)()(xLxPnn , 牛頓插值牛頓插值多項式多項式)(xPn)(xLn與拉格朗日插值多項式與拉格朗日插值多項式都是次數(shù)小于或等于都是次數(shù)小于或等于n的多項式的多項式, ,只是表達(dá)方式不同只是表達(dá)方式不同. .? ? 因為因為nnnHxLxP )()( ， 而而 的基函數(shù)可為的基函數(shù)可為:nHnxx, 1) 1 ()()( , 1) 2(1100 nxxxxxxxx)(,),()

12、,() 3(10 xlxlxln 已知已知 函數(shù)表函數(shù)表)(xfy ,10 xxf,10nxxxf)(0 xf牛頓插值多牛頓插值多項式系數(shù)項式系數(shù)牛頓插值多牛頓插值多項式系數(shù)項式系數(shù)牛頓插值多牛頓插值多項式系數(shù)項式系數(shù)1)( nxf的的若若階導(dǎo)數(shù)存在時，階導(dǎo)數(shù)存在時，由插值多項式的唯一性由插值多項式的唯一性有余項公式有余項公式)()()(xPxfxRnn )(,010ininxxxxxxf )()!1()(0) 1(ininxxnf ！)1(,)1(10 nfxxxxfnn n+1+1階差商函數(shù)階差商函數(shù)導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)其中其中 ba, 且且 bax, 為包含為包含), 1 , 0(nixi 區(qū)間區(qū)間

13、.依賴于依賴于則則n 階差商與導(dǎo)數(shù)階差商與導(dǎo)數(shù),)()1(階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)存存在在在在區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)nbaxf的關(guān)系為的關(guān)系為 ！nfxxxfnn )(10, 其中其中 ，ba, 的的區(qū)區(qū)間間。，為為包包含含nxxxba10,n +1+1階差商函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系階差商函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系定理定理7 則則次次多多項項式式是是一一個個若若,)2(0nxaxfinii ,10kxxxf 時時當(dāng)當(dāng)時時當(dāng)當(dāng)nkankn,0計算步驟計算步驟: :(2) 用秦九韶算法或著說用嵌套乘法計算用秦九韶算法或著說用嵌套乘法計算 .)(xpn3 牛頓插值多項式計算次數(shù)牛頓插值多項式計算次數(shù)( (當(dāng)當(dāng)k = =n 時時) )(1)

14、 (1) 計算計算差商表差商表( (計算計算 的系數(shù)的系數(shù)) )(xpnix0 x1x2x3x4xkx)(ixf)(0 xf)(1xf)(2xf)(3xf)(4xf)(kxf,10 xxf,21xxf,32xxf,43xxf,321xxxf,210 xxxf,432xxxf,3210 xxxxf,4321xxxxf,10kxxxf,12kkkxxxf ,1kkxxf ,10 xxfn1 n,210 xxxf2 n,3210 xxxxf1,10kxxxf除法次數(shù)除法次數(shù)( (k = =n):):)(213212nnn (2) 用秦九韶算法或著說用嵌套乘法計算用秦九韶算法或著說用嵌套乘法計算 .)

15、(xpn )()(,)(,)(,)()(11010102100100 nnnxxxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxP乘法次數(shù)乘法次數(shù): : n優(yōu)點優(yōu)點: :(1)(1)計算量小計算量小, ,較較 L- - 插值法減少了插值法減少了3-43-4倍倍. .(2)(2)當(dāng)需要增加一個插值節(jié)點時當(dāng)需要增加一個插值節(jié)點時, ,只需再計算一項只需再計算一項, ,即即)()(1xpxpkk )()(,10110kkxxxxxxxxxf - - 遞推公式遞推公式( (適合計算機(jī)計算適合計算機(jī)計算).). ,10 xxf乘除法次數(shù)大約為乘除法次數(shù)大約為: :nnn )(212)(0 xx )(0

16、xx )(0 xx )(0 xx )(1xx )(1xx )(1xx )(0 xf,210 xxxf ,10nxxxf)(1 nxx nn23212 4 兩函數(shù)相乘的差商兩函數(shù)相乘的差商 定理定理8（兩函數(shù)相乘的差商）（兩函數(shù)相乘的差商） kiilkillikiiitthttgtttf,1,1kikiiithtttg 顯然顯然公式成立。公式成立。1 k事實上，事實上，iiiiiitttftfttf 111)()(,iiiiiittthtgthtg 111)()()()(,11 iiittgth一般情況，可用歸納法證明。一般情況，可用歸納法證明。 #ktfthtgtf的的則則)(),()()(

17、設(shè)設(shè)證明：證明：,11kiiiitthttg ,)(1kiiiittthtg )()()()(11 iiiithtgthtg)()()()(111 iiiithtgthtgiiiiitttgtgth 111)()()(iitt 1iiiiittththtg 11)()()()()()()(1iiiithtgthtg iitt 1,)(1 iiitthtg階差商為階差商為5 重節(jié)點差商重節(jié)點差商 （通過差商極限定義）（通過差商極限定義） 定義定義5 ( (重節(jié)點差商重節(jié)點差商) )xxxxxfxxxfxxxxxfxxn )1(10)1(1010,lim,1)1(）（,lim,)1(00000)1

18、(0 xxfxxfxx 記記若若 ,)()()(lim00)1(00)1(00)1(0 xfxxxfxfxx )()()(lim00)1(00)1(00)1(0 xfxxxfxfxx 的節(jié)點的節(jié)點xi( (i= =0 0，1 1，n) )定理定理7中中 ！nfxxxfnn )(10, 互異，有了重節(jié)點差商的定義，該式中的節(jié)點可以相同?；ギ?，有了重節(jié)點差商的定義，該式中的節(jié)點可以相同。 說明：說明：? ?,10 xxxxfdxdn 則定義則定義 類似的有類似的有!)(,)2(0)(1000nxfxxxfnn 個個其中其中 )(,)(,)()(102100100 xxxxxxxfxxxxfxfxP

19、n )()(,)(1100nnnnxxxxxxxxxxxfxR - - 牛頓插值多項式牛頓插值多項式- - 牛頓插值余項牛頓插值余項)()()(xRxPxfnn 4 差商與牛頓插值多項式差商與牛頓插值多項式牛頓插值公式牛頓插值公式 )()(,11010 nnxxxxxxxxxf5 重節(jié)點差商重節(jié)點差商 定義定義5 ( (重節(jié)點差商重節(jié)點差商) )xxxxxfxxxfxxxxxfxxn )1(10)1(1010,lim,1)1(）（,lim,)1(00000)1(0 xxfxxfxx 記記若若 ,)()()(lim00)1(00)1(00)1(0 xfxxxfxfxx )()()(lim00)1

20、(00)1(00)1(0 xfxxxfxfxx ? ?,10 xxxxfdxdn 則定義則定義 類似的有類似的有!)(,)2(0)(1000nxfxxxfnn 個個證明：證明：(2)首先首先,由定義由定義! 1)()(,0000 xfxfxxf 0000000,lim,0 xxxxfxxfxxxfxx 又又)()(!)()(! 2)()()()(000)(200000nnnxxoxxnxfxxxfxxxfxfxf )()(!)()(! 2)()()()(,10100)(000000 nnnxxoxxnxfxxxfxfxxxfxfxxf，! 2)(,0000 xfxxxf 000000,xxxx

21、fxxfxxxf 泰勒展開式泰勒展開式)()(!)()(! 3)(! 2)(20200)(000 nnnxxoxxnxfxxxfxf 1、理解理解差商定義差商定義P.85 7作業(yè)作業(yè): : 3、會用會用牛頓插值多項式解簡單題目。牛頓插值多項式解簡單題目。 2、掌握掌握牛頓插值公式牛頓插值公式)()()(xRxPxfnn 其中，其中， )(,)()(0100 xxxxfxfxPn)()(,11010 nnxxxxxxxxxf- - 牛頓插值多項式牛頓插值多項式)(,)(010ininnxxxxxxfxR - - 牛頓插值余項牛頓插值余項,1010nnxxxxxxf 011021,xxxxxfxxxfnnn )(xf課本課本P.37例例 3編程編程: : nkkknxlyxL0)()(一、一、 Lagrange 插值多項式插值多項式 nkkknknknxxxxxxyxL011,)()()()( nkknxxx01)()( 若若