Diracδ函數(shù)及其性質(zhì)

1、一、 Dirac 函數(shù)函數(shù) v1Dirac函數(shù)的定義函數(shù)的定義 v2Dirac函數(shù)可以用一些連續(xù)函數(shù)的函數(shù)可以用一些連續(xù)函數(shù)的序列極限來(lái)表示序列極限來(lái)表示 v3Dirac 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) v4復(fù)合函數(shù)形式的復(fù)合函數(shù)形式的Dirac函數(shù)函數(shù)h(x) v5二維二維Dirac函數(shù)函數(shù) MMQQI激光脈沖及其它小光源 早在一個(gè)多世紀(jì)前，物理學(xué)家就感到有必要引入一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)描述一類(lèi)物理量，當(dāng)時(shí)用于描述這種物理量的數(shù)學(xué)符號(hào)被稱(chēng)之為沖擊脈沖符號(hào)。1947年，英國(guó)物理學(xué)家P.A.M.Dirac在他的著作Principle of Quantum Mechanics中正式引入(x)，并稱(chēng)它為奇異函數(shù)或廣義

2、函數(shù)。 (x)函數(shù)之所以被稱(chēng)為奇異函數(shù)奇異函數(shù)或廣義函數(shù)廣義函數(shù)，原因在于：一、它不象普通函數(shù)那樣存在確定的函數(shù)值，而是一種極限狀態(tài)，而且它的極限也和普通函數(shù)不同，不是收斂到定值，而是收斂到無(wú)窮大；二、函數(shù)不象普通函數(shù)那樣進(jìn)行四則運(yùn)算和乘冪運(yùn)算，它對(duì)別的函數(shù)的作用只能通過(guò)積分來(lái)確定。 1Dirac 函數(shù)的定義函數(shù)的定義 對(duì)于自變量為一維的函數(shù)函數(shù)(x)來(lái)說(shuō)，它滿(mǎn)足下列條件： 1)(000)(dxxxxx，(1) 這表明，(x)函數(shù)在x0點(diǎn)處處為零，在x=0點(diǎn)出現(xiàn)無(wú)窮大極值，x=0點(diǎn)又稱(chēng)為奇異點(diǎn)。但是，盡管(0)趨近于無(wú)窮大，對(duì)它的積分卻等于1，即對(duì)應(yīng)著函數(shù)的面積或強(qiáng)度等于1，所以(x)又叫做單

3、位脈沖函數(shù)單位脈沖函數(shù)。 很顯然，等式： )0()()(fdxxxf(2) 成立。f(x)是定義在區(qū)間(-，)上的連續(xù)函數(shù)。 在光學(xué)里，(x)函數(shù)常常用來(lái)表示位于坐標(biāo)原點(diǎn)的具有單位光功率的點(diǎn)光源點(diǎn)光源，由于點(diǎn)光源所占面積趨近于零，所以在x=0點(diǎn)功率密度趨近于無(wú)窮大。 在(1)和(2)中變換原點(diǎn)，得到： )()()(000)(afdxaxxfaxaxax，(3) 其中a為任意常數(shù)。因此用(x-a)乘x的函數(shù)，并對(duì)所有x積分的過(guò)程，等效于用a代替x的過(guò)程。 *定義的另外形式：2(x)可以用一些連續(xù)函數(shù)的序列極限來(lái)表示可以用一些連續(xù)函數(shù)的序列極限來(lái)表示 1)、歸一化的Gauss分布函數(shù)G(x)： )

4、2exp(21)(22xxG(4) 該函數(shù)具有如下的性質(zhì)： 22)(1)(dxxGxdxxG(5) 當(dāng)0時(shí)，G(x)就趨向于(x)，即： )2exp(21lim)(lim)(2200 xxGx(6) 1)(000)(dxxxxx，(1) )()()(000)(afdxaxxfaxaxax，(3) 證明：由(4)式可以看出，當(dāng)x=0，0時(shí)， )2exp(21lim)(lim2200 xxG而當(dāng)x0，0時(shí)， 0)2exp(21lim)(lim2200 xxG由公式(5)得： 1)(lim)(lim00dxxGdxxG所以由公式(6)所定義的函數(shù)滿(mǎn)足(x)函數(shù)的條件(1)式?？梢?jiàn)歸一化的Gauss函

5、數(shù)的序列極限可以表示(x)函數(shù)。 2)、函數(shù) xxsinxxsinlim的極限 也滿(mǎn)足(x)函數(shù)的條件： xxxsinlim)(7) 其中0。 證明：當(dāng)x=0時(shí)， limsinlimsinlimxxxx 當(dāng)x0時(shí)，sin(x)/(x) 以周期2/振蕩，振幅隨著|x|的增加而減小。所以，當(dāng)時(shí)，sin0 xx0sinlimsinlimxxxx于是有： 當(dāng)0時(shí)，查找定積分表可得到： dxxxsin所以有：1sinlimsinlimdxxxdxxxxxsinxxsinlim的極限 根據(jù)上述討論可知，函數(shù) 滿(mǎn)足(x)函數(shù)的條件，可以表示Dirac (x)函數(shù)，即(7)式成立。 3)、函數(shù) 22sinxx

6、的極限 22sinlimxx也滿(mǎn)足(x)函數(shù)的條件，即： 22sinlim)(xxx(8) 其中0。 證明：當(dāng)x=0時(shí)， limsinlimsinlim222xxxx當(dāng)x0時(shí)，sin(x)/(x) 以周期2/振蕩，振幅隨著|x|的增加而減小。所以：當(dāng)時(shí)，sin(x)/(x)00sinlimlimsinlimsinlim2222xxxxxx于是有：查找定積分表可得到： dxxx22sin于是有： 1)()()(sinlim1sinlimsinlim222222xdxxdxxxdxxx根據(jù)上述討論可知，函數(shù) 22sinxx的極限 22sinlimxx可以表示Dirac(x)函數(shù)，即式(8)成立。

7、22sinlim)(xxx(8) 4)、階躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù)也可以表示Dirac (x)函數(shù)。 根據(jù)第一次課所講的內(nèi)容可知，階躍函數(shù)step(x)也稱(chēng)為Heaviside函數(shù)，也可以用H(x)表示，其定義如下： axaxaxaxH，2101)(9)函數(shù)H(x-a)對(duì)x的導(dǎo)數(shù)也滿(mǎn)足(x)的條件，即： )()(axHdxdx(10)很容易看出，當(dāng)xa時(shí)， 0lim0dxdHxHx而當(dāng)x=a時(shí)， dxdHxHx0lim利用分步法計(jì)算積分，有： aaafxffdxxffdxxfaxHxfaxHdxaxHdxdxf)(| )()()( )()( )(| )()()()(根據(jù)以上討論，再結(jié)合式(3)可知，Hea

8、viside函數(shù)H(x-a)對(duì)x的導(dǎo)數(shù)可以表示Dirac (x)函數(shù)，即式(10)成立。 證明：3Dirac函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1)、積分性質(zhì)、積分性質(zhì)：函數(shù)的定義式：1)(dxx1)(0dxxx即表明了函數(shù)的積分性質(zhì)，這個(gè)積分也可稱(chēng)之為函數(shù)的強(qiáng)度。性質(zhì)性質(zhì)2)、篩選性質(zhì)、篩選性質(zhì)：式(2)表明了函數(shù)的篩選性質(zhì)。)()()(afdxaxxf則是其推論。 )0()()(fdxxxf(2) 而式(3)中的由此得出推論：性質(zhì)性質(zhì)3)、坐標(biāo)縮放性質(zhì)、坐標(biāo)縮放性質(zhì)，設(shè)a為常數(shù)，且不為零，則有： )0(|)()(aaxax推論1： (-x)=(x) 說(shuō)明函數(shù)具有偶對(duì)稱(chēng)性。 推論2：)0)(|)(a

9、xaax性質(zhì)性質(zhì)4)、函數(shù)的乘法性質(zhì)函數(shù)的乘法性質(zhì)：如果f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)，則有： )()()()(000 xfxxxxxf由此得出推論：x(x)=0和)()(xxdxdx)()()(badxbxxa4復(fù)合函數(shù)形式的復(fù)合函數(shù)形式的函數(shù)函數(shù)h(x) 設(shè)方程h(x)=0有n個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，xn，則在任意實(shí)根xi附近足夠小的鄰域內(nèi)有：h(x)= h(xi)( x-xi)其中h(xi)是h(x)在x=xi處的一階導(dǎo)數(shù)。 如果h (xi)0，則在xi附近可以寫(xiě)出：| )( |)(iixhxxh(x)=h(xi)( x-xi)=上式表明，h(x)是由n個(gè)脈沖構(gòu)成的脈沖系列，各個(gè)脈沖位置由方程h(x)

10、=0的n個(gè)實(shí)根確定，各脈沖的強(qiáng)度則由系數(shù)| h (xi)|-1來(lái)確定。 若h (xi)在n個(gè)實(shí)根處皆不為零，則有： niiixhxxxh1| )( |)()(h (xi)0 )0)()(21)(22aaxaxaax)()(|1)(babxaxbabxax)()(|2xxxnnxx)(1)sin(推論：5二維函數(shù)二維函數(shù)函數(shù)函數(shù) *1、直角坐標(biāo)系的情況二維函數(shù)表示為(x, y)，它是位于xy平面坐標(biāo)原點(diǎn)處的一個(gè)單位脈沖。二維函數(shù)是可分離變量函數(shù)，即有：(x, y)= (x)(y)二維函數(shù)的性質(zhì)以及其證明過(guò)程與一維函數(shù)的情形相同。*2、極坐標(biāo)系的情況(x，y) (r，) ，必須要保證：1)、脈沖位置相同；2)、二者強(qiáng)度(即曲面下體積)相同。只有這樣，坐標(biāo)變換才是等價(jià)的。)2,(0 yr)23,(0 yr),(00rr幾個(gè)二維函數(shù)在兩種坐標(biāo)系中的位置關(guān)系 20200yxr)arctan(000 xy表1考慮到脈沖強(qiáng)度的對(duì)應(yīng)關(guān)系，下面給出兩個(gè)二維函數(shù)坐標(biāo)變換的例子：顯然，(x，y)和(r)的位置相同。)(1),(rryx1),(dxdyyx1)(21)(120020 ddrrrdrdrr例1)、可見(jiàn)，脈沖位置和強(qiáng)度都相同，所以坐標(biāo)變換成立。rr)(曲面下的體積為：而證明：(x，y)曲面下的體積為：例2)、 ),(1),(0000r