孫訓(xùn)方材料力學(xué)03扭轉(zhuǎn)

1、材材 料料 力力 學(xué)學(xué)材材 料料 力力 學(xué)學(xué)2第三章第三章 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)3- -1 概述概述3- -2 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)3- -3 傳動軸的外力偶矩傳動軸的外力偶矩 扭矩及扭矩圖扭矩及扭矩圖3- -4 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力 強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件3- -5 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形 剛度條件剛度條件3- -6 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能3- -7 等直非圓桿自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形等直非圓桿自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形材材 料料 力力 學(xué)學(xué)工程實(shí)例工程實(shí)例3- -1 概概 述述材材 料料 力力 學(xué)學(xué)汽車傳動軸汽車傳動軸從動輪從動輪主動輪主動輪從動

2、輪從動輪nMe2Me1Me3材材 料料 力力 學(xué)學(xué)汽車方向盤汽車方向盤材材 料料 力力 學(xué)學(xué)6變形特點(diǎn)：變形特點(diǎn)： . . 相鄰橫截面繞桿的軸線相對轉(zhuǎn)動；相鄰橫截面繞桿的軸線相對轉(zhuǎn)動； . . 桿表面的縱向線變成螺旋線；桿表面的縱向線變成螺旋線； . . 實(shí)際構(gòu)件在工作時(shí)除發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形外，實(shí)際構(gòu)件在工作時(shí)除發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形外， 還伴隨有彎曲或拉、壓等變形還伴隨有彎曲或拉、壓等變形。第三章第三章 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)MeMe受力特點(diǎn)受力特點(diǎn): 桿件的兩端作用兩個(gè)桿件的兩端作用兩個(gè)大小相等大小相等、轉(zhuǎn)向相反轉(zhuǎn)向相反、且、且作作用面垂直于桿件軸線用面垂直于桿件軸線的力偶。的力偶。材材 料料 力力 學(xué)學(xué)桿件的任意兩個(gè)

3、橫截面都發(fā)生繞軸線的相對轉(zhuǎn)動。桿件的任意兩個(gè)橫截面都發(fā)生繞軸線的相對轉(zhuǎn)動。圓軸扭轉(zhuǎn)變形圓軸扭轉(zhuǎn)變形材材 料料 力力 學(xué)學(xué)83- -2 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒薄壁圓筒通常指通常指 的圓筒的圓筒100r 當(dāng)其兩端面上作用有外力偶矩時(shí)，任一橫截面上的內(nèi)當(dāng)其兩端面上作用有外力偶矩時(shí)，任一橫截面上的內(nèi)力偶矩力偶矩扭矩扭矩eMT 第三章第三章 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)材材 料料 力力 學(xué)學(xué)9薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)第三章第三章 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)（1 1）薄壁圓筒表面上每個(gè)格子的直角均改變了）薄壁圓筒表面上每個(gè)格子的直角均改變了，這種直，這種直角改變量稱為角改變量稱為切應(yīng)變。切應(yīng)變。（2 2）該圓筒兩個(gè)斷面之間繞

4、圓筒軸線相對轉(zhuǎn)動了）該圓筒兩個(gè)斷面之間繞圓筒軸線相對轉(zhuǎn)動了角，這角，這種角位移稱為種角位移稱為相對扭轉(zhuǎn)角。相對扭轉(zhuǎn)角。材材 料料 力力 學(xué)學(xué)實(shí)實(shí) 驗(yàn)驗(yàn)應(yīng)力分析應(yīng)力分析dxxMeMe實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象（1 1）圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改變，）圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改變，只是繞軸線作了相對轉(zhuǎn)動；只是繞軸線作了相對轉(zhuǎn)動；（2 2）各縱向線均轉(zhuǎn)動了同一微小角度）各縱向線均轉(zhuǎn)動了同一微小角度 ；（3 3）所有矩形網(wǎng)格均變成平行四邊形。所有矩形網(wǎng)格均變成平行四邊形。材材 料料 力力 學(xué)學(xué)推推 論論（1 1）橫截面上無正應(yīng)力，）橫截面上無正應(yīng)力， 只有切應(yīng)力；只有切應(yīng)力；（2

5、 2）切應(yīng)力方向垂直半徑）切應(yīng)力方向垂直半徑 或與圓周相切?；蚺c圓周相切。dx ABDCMeMe （3 3）對于薄壁圓筒，可認(rèn)為切）對于薄壁圓筒，可認(rèn)為切 應(yīng)力沿壁厚均勻分布；應(yīng)力沿壁厚均勻分布； （4 4）圓周上所有點(diǎn)處的切應(yīng)力）圓周上所有點(diǎn)處的切應(yīng)力 相同。相同。T材材 料料 力力 學(xué)學(xué)12. 薄壁圓筒橫截面上切應(yīng)力的計(jì)算公式薄壁圓筒橫截面上切應(yīng)力的計(jì)算公式TrAAd02 AT引進(jìn)，上式可寫作引進(jìn)，上式可寫作200rA 20000(2)2dATTTrrrrA0dArAT第三章第三章 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)T材材 料料 力力 學(xué)學(xué)13. . 剪切胡克定律剪切胡克定律第三章第三章 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn) 在認(rèn)為切應(yīng)力沿壁

6、厚均勻分布的情況下，切應(yīng)變也是在認(rèn)為切應(yīng)力沿壁厚均勻分布的情況下，切應(yīng)變也是不沿壁厚變化的，不沿壁厚變化的，故有故有/r l注意：注意：此處此處 r 為薄壁圓筒的為薄壁圓筒的外半徑外半徑。材材 料料 力力 學(xué)學(xué)三個(gè)彈性常數(shù)的關(guān)系三個(gè)彈性常數(shù)的關(guān)系可推出可推出 與與 間的線性關(guān)系：間的線性關(guān)系：該式稱為材料的該式稱為材料的剪切胡克定律剪切胡克定律G G 剪切剪切( (切變切變) )模量模量02TAG2(1)EGO薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：rlT材材 料料 力力 學(xué)學(xué)思考題：指出下面圖形的切應(yīng)變思考題：指出下面圖形的切應(yīng)變2 切應(yīng)變?yōu)榍袘?yīng)變?yōu)榍袘?yīng)變?yōu)榍袘?yīng)變?yōu)? 材材 料料 力

7、力 學(xué)學(xué)163-3 傳動軸的外力偶矩傳動軸的外力偶矩 扭矩及扭矩圖扭矩及扭矩圖. . 傳動軸的外力偶矩傳動軸的外力偶矩 當(dāng)傳動軸穩(wěn)定轉(zhuǎn)動時(shí)，作用于某一當(dāng)傳動軸穩(wěn)定轉(zhuǎn)動時(shí)，作用于某一輪上的外力偶在輪上的外力偶在t 秒秒鐘內(nèi)所作功等于外力鐘內(nèi)所作功等于外力偶之矩偶之矩Me 乘以乘以輪在輪在t 秒鐘內(nèi)的轉(zhuǎn)角秒鐘內(nèi)的轉(zhuǎn)角a a 。第三章第三章 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)從動輪從動輪主動輪主動輪從動輪從動輪nMe2Me1Me3P P 軸傳遞的功率軸傳遞的功率(kW)(kW) n n 軸的轉(zhuǎn)速軸的轉(zhuǎn)速( r/min )( r/min )Me材材 料料 力力 學(xué)學(xué)17 因此，外力偶因此，外力偶M Me e每秒鐘所作功，即每秒

8、鐘所作功，即該輪所傳遞的功率為該輪所傳遞的功率為3radkweN ms3eN m/3/mineN m 10 10 2 1060rad srPMtMnM作用于每一輪上的外力偶矩：作用于每一輪上的外力偶矩：33kwkweN m/min/min 1060 9.55 102 rrPPMnn第三章第三章 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)Me材材 料料 力力 學(xué)學(xué)18. . 扭矩及扭矩圖扭矩及扭矩圖 傳動軸橫截面上的扭矩傳動軸橫截面上的扭矩T T 可利用可利用截面法截面法來計(jì)算。來計(jì)算。第三章第三章 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)T = MenABnmnm(a)MeMeIIMeT材材 料料 力力 學(xué)學(xué)19 扭矩的正負(fù)可按扭矩的正負(fù)可按右手螺旋法右手螺

9、旋法則確定：扭矩矢量離開截則確定：扭矩矢量離開截面為正，指向截面為負(fù)。面為正，指向截面為負(fù)。第三章第三章 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)mITImIITmITImIIT正正負(fù)負(fù)材材 料料 力力 學(xué)學(xué)20例題例題3 3- -1 1 一傳動軸如圖，轉(zhuǎn)速一傳動軸如圖，轉(zhuǎn)速 ；主動輪輸入；主動輪輸入的功率的功率P P1 1= 500 kW= 500 kW，三個(gè)從動輪輸出的功率分別為：，三個(gè)從動輪輸出的功率分別為：P P2 2= = 150 kW150 kW，P P3 3= 150 kW= 150 kW，P P4 4= 200 kW= 200 kW。試作軸的扭矩圖。試作軸的扭矩圖。 300minrn 第三章第三章 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)材

10、材 料料 力力 學(xué)學(xué)2133e15009.55 1015.9 1015.9300MN mkN me2e3e44.786.37MMkN mMkN m材材 料料 力力 學(xué)學(xué)22ABCDMe4Me1Me3Me2BCxT2Me2Me32239.56eeTMMkN m00232TMMMeex22材材 料料 力力 學(xué)學(xué)231234.789.566.37TkN mTkN mTkN m mNT 9560max+4780N.m9560 N.m6370N.mABCDMe4Me1Me3Me2同理同理材材 料料 力力 學(xué)學(xué)24思考：思考：如果將從動輪如果將從動輪D D與與C C的位置對調(diào)，試作該傳動軸的扭的位置對調(diào)，

11、試作該傳動軸的扭 矩圖。這樣的布置是否合理？矩圖。這樣的布置是否合理？第三章第三章 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)材材 料料 力力 學(xué)學(xué)25第三章第三章 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)15.94.786.37 4.78材材 料料 力力 學(xué)學(xué)263- -4 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件. . 橫截面上的應(yīng)力橫截面上的應(yīng)力第三章第三章 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)觀察變形觀察變形提出假設(shè)提出假設(shè)變形的分布規(guī)律變形的分布規(guī)律應(yīng)力的分布規(guī)律應(yīng)力的分布規(guī)律建立公式建立公式變形幾何關(guān)系變形幾何關(guān)系物理關(guān)系物理關(guān)系靜力關(guān)系靜力關(guān)系材材 料料 力力 學(xué)學(xué)1、變形現(xiàn)象、變形現(xiàn)象 （1 1）軸線仍為直線，且長度不變；）軸線仍為直線，且長度不變；（2

12、 2）橫截面仍為平面且與軸線垂直；）橫截面仍為平面且與軸線垂直；變形幾何關(guān)系變形幾何關(guān)系（3 3）縱向線保持為直線，只是繞軸）縱向線保持為直線，只是繞軸 線旋轉(zhuǎn)。線旋轉(zhuǎn)。2 2、平面假設(shè)、平面假設(shè) 假設(shè)橫截面如同剛性平面般繞桿的軸線轉(zhuǎn)動假設(shè)橫截面如同剛性平面般繞桿的軸線轉(zhuǎn)動材材 料料 力力 學(xué)學(xué)aabO1O2dxb28橫截面上一點(diǎn)處的切應(yīng)變隨點(diǎn)的位置的變化規(guī)律橫截面上一點(diǎn)處的切應(yīng)變隨點(diǎn)的位置的變化規(guī)律第三章第三章 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)TTADDdGEGdtand GGxEG材材 料料 力力 學(xué)學(xué)29xdd 式中式中 相對扭轉(zhuǎn)角相對扭轉(zhuǎn)角沿桿長的變化率，常用沿桿長的變化率，常用 來表示，對于給定的橫截面為來

13、表示，對于給定的橫截面為常量。常量。xdd第三章第三章 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)bbTTO1O2d GGDDaadxAE材材 料料 力力 學(xué)學(xué)30物理方面物理方面第三章第三章 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)ro 同一圓周上各點(diǎn)切應(yīng)力同一圓周上各點(diǎn)切應(yīng)力 均相同，且其值與均相同，且其值與 成正比，成正比， 與半徑垂直。與半徑垂直。由剪切胡克定律由剪切胡克定律GxGGddmax材材 料料 力力 學(xué)學(xué)rOdAdAT靜力關(guān)系靜力關(guān)系 公式的建立公式的建立TAAdTAxGAdddTAxGAddd2p2dIAApddGITx 代入物理關(guān)系中得到代入物理關(guān)系中得到PITT 橫截面上的扭矩橫截面上的扭矩 求應(yīng)力的點(diǎn)到圓心的距離求應(yīng)力的點(diǎn)到圓心的距

14、離Ip 橫截面對圓心的極慣性矩橫截面對圓心的極慣性矩材材 料料 力力 學(xué)學(xué)32pppmaxWTrITITrpITTmaxmaxd式中式中Wp稱為稱為扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)，其單，其單位為位為 m3。橫截面周邊上各點(diǎn)處橫截面周邊上各點(diǎn)處 r) )的最大的最大切應(yīng)力為切應(yīng)力為第三章第三章 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)TmaxmaxdD材材 料料 力力 學(xué)學(xué)33實(shí)心圓截面實(shí)心圓截面：32042d32dd 圓截面的極慣性矩圓截面的極慣性矩Ip 和扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)和扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)Wp第三章第三章 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)162/3ppddIWAAId2p材材 料料 力力 學(xué)學(xué)34空心圓截面：空心圓截面：DdDdDAIDdA其中44442232

15、p13232 d2d第三章第三章 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)4344pp116162/DDdDDIW材材 料料 力力 學(xué)學(xué)【練習(xí)練習(xí)】圖示空心圓軸外徑圖示空心圓軸外徑 D=100mm，內(nèi)徑，內(nèi)徑d=80mm， M1=6kNm，M2=4kNm，材料的切變模量，材料的切變模量G=80GPa。（1） 作軸的扭矩圖；作軸的扭矩圖；（2） 求軸的最大切應(yīng)力及其位置。求軸的最大切應(yīng)力及其位置。M1M2ABCll材材 料料 力力 學(xué)學(xué)解解:（1）作軸的扭矩圖）作軸的扭矩圖Me1Me2ABCllBC段段1Me2CT1T1+Me2=02Me2CMe1BT2T2+Me2-Me1=0T2 =2kNm AB段段T1 = -4kNm最大

16、扭矩發(fā)生在最大扭矩發(fā)生在BC段段|T|max=4kNm4kNm2kNm+_材材 料料 力力 學(xué)學(xué)T（2）求軸的最大切應(yīng)力及位置）求軸的最大切應(yīng)力及位置 max 最大切應(yīng)力發(fā)生在截面的最大切應(yīng)力發(fā)生在截面的周邊上，且垂直于半徑。周邊上，且垂直于半徑。maxmaxpTWM1M2ABCllMPa5 .34)1 (1643maxDT max材材 料料 力力 學(xué)學(xué)38可得：可得：切應(yīng)力互等定理切應(yīng)力互等定理Mz=0，第三章第三章 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)dddd ddyzxxzyxydydzabdzdxc材材 料料 力力 學(xué)學(xué)39 現(xiàn)分析現(xiàn)分析單元體內(nèi)垂直于前、后兩平面的任一斜截面單元體內(nèi)垂直于前、后兩平面的任一斜截面

17、 ef ( (如圖如圖) )上的應(yīng)力上的應(yīng)力。. . 斜截面上的應(yīng)力斜截面上的應(yīng)力第三章第三章 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)xydydzabdzdxc an bcdef材材 料料 力力 學(xué)學(xué)40分離體上作用力的平衡方程為分離體上作用力的平衡方程為0sinsindcoscosdd, 00cossindsincosdd, 0AAAFAAAF利用利用 ，經(jīng)整理得經(jīng)整理得2cos,2sin第三章第三章 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)bef材材 料料 力力 學(xué)學(xué)41 單元體的四個(gè)側(cè)面單元體的四個(gè)側(cè)面( = 0和 = 90)上切應(yīng)力的絕對上切應(yīng)力的絕對值最大；值最大； =-45和和 =+45截面截面上切應(yīng)力為零，而正應(yīng)力的絕上切應(yīng)力為零，而正應(yīng)力

18、的絕對值最大；對值最大；min45max45第三章第三章 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)2cos,2sin討 論材材 料料 力力 學(xué)學(xué)42第三章第三章 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)低碳鋼扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)低碳鋼扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)鑄鐵扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)鑄鐵扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)材材 料料 力力 學(xué)學(xué)43 思考：思考：低碳鋼和鑄鐵的圓截面試件其扭轉(zhuǎn)破壞的斷口分低碳鋼和鑄鐵的圓截面試件其扭轉(zhuǎn)破壞的斷口分別如圖別如圖a a及圖及圖b b所示，試問為什么它們的斷口形式不同？所示，試問為什么它們的斷口形式不同？第三章第三章 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)（a）（b）低碳鋼低碳鋼鑄鐵鑄鐵材材 料料 力力 學(xué)學(xué)44 例題例題3 3- -2 2 實(shí)心圓截面軸實(shí)心圓截面軸( (圖圖a a) )和空心圓截面軸和空心圓截面

19、軸( (圖圖b) b) （ ）除橫截面不同外，其它均相同。試求兩）除橫截面不同外，其它均相同。試求兩種圓軸在橫截面上種圓軸在橫截面上最大切應(yīng)力相等最大切應(yīng)力相等的情況下，的情況下，D D2 2與與d d1 1之比以之比以及兩軸的重量比。及兩軸的重量比。8 . 0/22Dd第三章第三章 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)材材 料料 力力 學(xué)學(xué)4531e1pe1p1max, 116dMWMWT432e2pe2p2max, 2116DMWMWT解：4322p311p116,16DWdW第三章第三章 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)194. 18 . 0113412dD由1,max=2,max，并將 0.8代入得材材 料料 力力 學(xué)學(xué)46兩軸的重量比

20、即為其橫截面面積之比：兩軸的重量比即為其橫截面面積之比：512. 08 . 01194. 1144222122221222212dDddDAA第三章第三章 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)材材 料料 力力 學(xué)學(xué)47. 強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件第三章第三章 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)1 1、數(shù)學(xué)表達(dá)式、數(shù)學(xué)表達(dá)式2 2、強(qiáng)度條件的應(yīng)用、強(qiáng)度條件的應(yīng)用強(qiáng)度校核強(qiáng)度校核設(shè)計(jì)截面設(shè)計(jì)截面確定許可荷載確定許可荷載maxmaxp TWmaxp TWmaxp TWmaxp TW材材 料料 力力 學(xué)學(xué)48【練習(xí)練習(xí)】圖示階梯狀圓軸，圖示階梯狀圓軸，AB段直徑段直徑d1=120 mm，BC段直徑段直徑d2=100 mm。扭轉(zhuǎn)力偶矩扭轉(zhuǎn)力偶矩MA =22 kNm

21、，MB =36 kNm，MC =14 kNm，材料的許用切應(yīng)力材料的許用切應(yīng)力 80 MPa。試校核該軸的強(qiáng)試校核該軸的強(qiáng)度。度。第三章第三章 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)ABCMAMBMC材材 料料 力力 學(xué)學(xué)49BC BC 段內(nèi)段內(nèi)MPa3 .71Pa103 .71 m1010016mN101463332p2max, 2WTAB AB 段內(nèi)段內(nèi)MPa8 .64Pa108 .64 m1012016mN102263331p1max, 1WT解：解：1. 1. 繪扭矩圖繪扭矩圖 2. 2. 求每段軸的橫截面求每段軸的橫截面上的最大切應(yīng)力上的最大切應(yīng)力第三章第三章 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)+2214ABCMAMBMC材材 料料 力力 學(xué)學(xué)503. 3. 校核強(qiáng)度校核強(qiáng)度 需要指出的