多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)課件

1、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)第四節(jié)一元復(fù)合函數(shù))(),(xuufy求導(dǎo)法則xuuyxyddddddxxufuufyd)()(d)(d多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 第八章 本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容:一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分形式不變性二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分形式不變性多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)一、鏈?zhǔn)椒▌t一、鏈?zhǔn)椒▌t多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)),( vvzuuzz證證),()(tttu 則則);()(tttv ，獲獲得得增增量量設(shè)設(shè)tt 0)()(22 vu 多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)ttvvztuuztz )( ,dtdutu ,dtdvtv .lim0dtdvvzdtduuztzdtdzt

2、 utzv多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)上定理的結(jié)論可推廣到中間變量多于兩個的情況上定理的結(jié)論可推廣到中間變量多于兩個的情況. .如如dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz uvwtz以上公式中的導(dǎo)數(shù)以上公式中的導(dǎo)數(shù) 稱為稱為dtdz )(),(),(tttfz 多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)上定理還可推廣到中間變量不是一元函數(shù)而是多元函數(shù)的情況：上定理還可推廣到中間變量不是一元函數(shù)而是多元函數(shù)的情況：).,(),(yxyxfz 多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)uvxzy鏈?zhǔn)椒▌t如圖示鏈?zhǔn)椒▌t如圖示 xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv 多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)zyxwuv多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)解解 xz uzxu vzxv

3、1cossin veyveuu),cossin(vvyeu yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu).cossin(vvxeu 多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)解解tzdtdvvzdtduuzdtdz ttuvetcossin ttetettcossincos .cos)sin(costttet 多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)即即,),(yxyxfz 令令,xv , yw 特殊地特殊地),(yxufz ),(yxu 其中其中, 1 xv, 0 xw, 0 yv. 1 yw多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo),xfxuufxz .yfyuufyz 兩者的區(qū)別兩者的區(qū)別區(qū)別類似區(qū)別類似多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)解解令令, zyxu ;xy

4、zv 記記,),(1uvuff ,),(212vuvuff 同理有同理有,2f ,11f .22f 多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo) xwxvvfxuuf ;21fyzf zxw2)(21fyzfz ;221zfyzfyzf zf1zvvfzuuf 11;1211fxyf 多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo) zf2zvvfzuuf 22;2221fxyf 于是于是 zxw21211fxyf 2f y )(2221fxyfyz .)(22221211f yf zxyfzxyf 多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)全微分形式不變形的實質(zhì)：全微分形式不變形的實質(zhì)： 無論無論 是自變量是自變量 的函數(shù)或中間變量的函數(shù)或中間變量 的函數(shù)，的函數(shù)，它的全微分

5、形式是一樣的它的全微分形式是一樣的. .zvu、vu、二、全微分形式不變性二、全微分形式不變性多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)dxxvvzxuuz dyyzdxxzdz dyyvvzyuuz dyyudxxuuz dyyvdxxvvzduuz .dvvz 多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)1 1、鏈?zhǔn)椒▌t（分三種情況）、鏈?zhǔn)椒▌t（分三種情況）2 2、全微分形式不變性、全微分形式不變性（特別要注意課中所講的特殊情況）（特別要注意課中所講的特殊情況）（理解其實質(zhì)）（理解其實質(zhì)）三、小結(jié)三、小結(jié)多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)思考題思考題多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)思考題解答思考題解答 xxvuxdxduufdxdz),(.),(),(xvuxxvuxfdxd

6、vvf 多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)練練 習(xí)習(xí) 題題多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo))arctan(xyz xey dxdz三、設(shè)三、設(shè),而而,求求.多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)),(22xyeyxfz 具具中中fyzxz ,四、設(shè)四、設(shè)(其其有一階連續(xù)偏數(shù)有一階連續(xù)偏數(shù)),求求多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)七、設(shè)七、設(shè),)(22yxfyz 其中為可導(dǎo)函數(shù)其中為可導(dǎo)函數(shù), , 驗證驗證: :211yzyzyxzx . .八、設(shè)八、設(shè) ,),(其中其中yyxxz 具有二階導(dǎo)數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù), ,求求 .,2222yzxz 多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)一一、1 1、xyyyyxxxyxxxy222cos)cossin(cos,cos)sin(coscos ； 2 2、,)23(3)23ln(2222yyxxyxyx 2232)23(2)23ln(2yyxxyxyx ； 3 3、.)43(1)41(3232ttt 二二、,)(22222222yxxyeyyxyxyxxz )(22222)(22yxxyeyxxyxyyz . .練習(xí)題答案練習(xí)題答案多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)三、三、xxexxedxdz221)1( . .四、四、.2,22121fxef yyzfyefxxzxyxy 五、五、.),(),1(fxyzuxzxfyuyzyfxu 六、六、,