高考數(shù)學(xué)理一輪復(fù)習(xí)精品資料 專題13 導(dǎo)數(shù)的概念及其運(yùn)算教學(xué)案 Word版含解析

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料2019.5專題專題 1313 導(dǎo)數(shù)的概念及其運(yùn)算（教學(xué)案）導(dǎo)數(shù)的概念及其運(yùn)算（教學(xué)案）高考數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)精品資料高考數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)精品資料1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景；2.通過函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義；3.能根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)yc(c為常數(shù))，yx，y1x，yx2，yx3，yx的導(dǎo)數(shù)；4.能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡單復(fù)合函數(shù)(僅限于形如yf(axb)的復(fù)合函數(shù))的導(dǎo)數(shù)1函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)(1)定義函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0的瞬時變化率limx0fx0 xfx0 xl，通常稱為f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，并記作

2、f(x0)，即limx0fx0 xfx0 xf(x0)(2)幾何意義函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)的幾何意義是曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)的切線的斜率等于f(x0)2函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)如果f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)每一點(diǎn)x導(dǎo)數(shù)都存在，則稱f(x)在區(qū)間(a，b)可導(dǎo)這樣，對開區(qū)間(a，b)內(nèi)每個值x，都對應(yīng)一個確定的導(dǎo)數(shù)f(x)于是，在區(qū)間(a，b)內(nèi)，f(x)構(gòu)成一個新的函數(shù)，我們把這個函數(shù)稱為函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)，記為f(x)(或yx、y)3基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式y(tǒng)f(x)yf(x)ycyxnyx(x0，0)yax(a0，a1)yexylogax(a0，a1，x0)y

3、lnxysinxycosxy0ynxn1，n為自然數(shù)yx1，為有理數(shù)yaxlnayexy1xlnay1xycosxysinx4導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(1)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)fxgxfxgxfxgxgx2(g(x)0)5復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)yf(g(x)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)yf(u)，ug(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yxyuux，即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積高頻考點(diǎn)一高頻考點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算例 1、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y(3x24x)(2x1)；(2)yx2sinx；(3)y3xex2xe；(4)ylnxx21；(5)yln(2x5)解(

4、1)y(3x24x)(2x1)6x33x28x24x6x35x24x，y18x210 x4.(2)y(x2)sinxx2(sinx)2xsinxx2cosx.(3)y(3xex)(2x)e(3x)ex3x(ex)(2x)3xexln33xex2xln2(ln31)(3e)x2xln2.(4)ylnxx21lnxx21x2121xx212xlnxx212x212x2lnxxx212.(5)令u2x5，ylnu，則y(lnu)u12x5222x5，即y22x5.【感悟提升】(1)求導(dǎo)之前，應(yīng)利用代數(shù)、三角恒等式等變形對函數(shù)進(jìn)行化簡，然后求導(dǎo)，這樣可以減少運(yùn)算量，提高運(yùn)算速度，減少差錯；遇到函數(shù)的商

5、的形式時，如能化簡則化簡，這樣可避免使用商的求導(dǎo)法則，減少運(yùn)算量(2)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時，先確定復(fù)合關(guān)系，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時可換元【變式探究】(1)f(x)x(20 xxlnx)，若f(x0)20 xx，則x0等于()ae2b1cln2de(2)若函數(shù)f(x)ax4bx2c滿足f(1)2，則f(1)等于()a1b2c2d0答案(1)b(2)b高頻考點(diǎn)二高頻考點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義例 2、(1)函數(shù)f(x)lnx2xx的圖象在點(diǎn)(1，2)處的切線方程為()a2xy40b2xy0cxy30dxy10(2)曲線ye2x1 在點(diǎn)(0,2)處的切線與直線y0 和yx圍成的三角形的面積為_答案

6、(1)c(2)13解析(1)f(x)1lnxx2，則f(1)1，故該切線方程為y(2)x1，即xy30.(2)y2e2x，曲線在點(diǎn)(0,2)處的切線斜率k2，切線方程為y2x2，該直線與直線y0 和yx圍成的三角形如圖所示，其中直線y2x2 與yx的交點(diǎn)為a(23，23)，三角形的面積s1212313.【變式探究】(1)與直線 2xy40 平行的拋物線yx2的切線方程是()a2xy30b2xy30c2xy10d2xy10(2)已知函數(shù)f(x)xlnx，若直線l過點(diǎn)(0，1)，并且與曲線yf(x)相切，則直線l的方程為()axy10bxy10cxy10dxy10答案(1)d(2)b【舉一反三】已

7、知f(x)lnx，g(x)12x2mx72(m0)，直線l與函數(shù)f(x)，g(x)的圖象都相切，且與f(x)圖象的切點(diǎn)為(1，f(1)，則m等于()a1b3c4d2答案d解析f(x)1x，直線l的斜率為kf(1)1.又f(1)0，切線l的方程為yx1.g(x)xm，設(shè)直線l與g(x)的圖象的切點(diǎn)為(x0，y0)，則有x0m1，y0 x01，y012x20mx072，m0，于是解得m2.故選 d.高頻考點(diǎn)三、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系高頻考點(diǎn)三、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系例 3、如圖，點(diǎn)a(2,1)，b(3,0)，e(x,0)(x0)，過點(diǎn)e作ob的垂線l.記aob在直線l左側(cè)部分的面積為s，則函數(shù)sf(x

8、)的圖象為下圖中的()答案d【感悟提升】導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切點(diǎn)處切線的斜率，應(yīng)用時主要體現(xiàn)在以下幾個方面：(1)已知切點(diǎn)a(x0，f(x0)求斜率k，即求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值：kf(x0)(2)已知斜率k，求切點(diǎn)a(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k.(3)若求過點(diǎn)p(x0，y0)的切線方程， 可設(shè)切點(diǎn)為(x1，y1)， 由y1fx1，y0y1fx1x0 x1求解即可(4)函數(shù)圖象在每一點(diǎn)處的切線斜率的變化情況反映函數(shù)圖象在相應(yīng)點(diǎn)處的變化情況，由切線的傾斜程度可以判斷出函數(shù)圖象升降的快慢【變式探究】(1)已知函數(shù)f(x)3xcos2xsin2x，af(4)，f(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則過曲線yx

9、3上一點(diǎn)p(a，b)的切線方程為()a3xy20b4x3y10c3xy20 或 3x4y10d3xy20 或 4x3y10(2)若直線y2xm是曲線yxlnx的切線，則實(shí)數(shù)m的值為_答案(1)c(2)e解析(1)由f(x)3xcos2xsin2x得f(x)32sin2x2cos2x，則af(4)32sin22cos21.由yx3得y3x2，當(dāng)p點(diǎn)為切點(diǎn)時，切線的斜率k3a23123.又ba3，則b1，所以切點(diǎn)p的坐標(biāo)為(1,1)故過曲線yx3上的點(diǎn)p的切線方程為y13(x1)，即 3xy20.當(dāng)p點(diǎn)不是切點(diǎn)時，設(shè)切點(diǎn)為(x0，x30)，切線方程為yx303x20(xx0)，p(a，b)在曲線y

10、x3上，且a1，b1.1x303x20(1x0)，2x303x2010，2x302x20 x2010，(x01)2(2x01)0，切點(diǎn)為12，18 ，此時的切線方程為y1834x12 ，綜上，滿足題意的切線方程為 3xy20 或 3x4y10，故選 c.(2)設(shè)切點(diǎn)為(x0，x0lnx0)，由y(xlnx)lnxx1xlnx1，得切線的斜率klnx01，故切線方程為yx0lnx0(lnx01)(xx0)，整理得y(lnx01)xx0，與y2xm比較得lnx012，x0m，解得x0e，故me.【20 xx 高考山東理數(shù)】若函數(shù)( )yf x的圖象上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直

11、，則稱( )yf x具有 t 性質(zhì).下列函數(shù)中具有 t 性質(zhì)的是（）（a）sinyx（b）lnyx（c）exy （d）3yx【答案】a【解析】當(dāng)sinyx時，cosyx ，cos0 cos1 ，所以在函數(shù)sinyx圖象存在兩點(diǎn)，使條件成立，故 a 正確；函數(shù)3ln ,e ,xyx yyx的導(dǎo)數(shù)值均非負(fù)，不符合題意，故選 a?！?0 xx 高考福建， 理 10】 若定義在r上的函數(shù) f x滿足 01f ， 其導(dǎo)函數(shù) fx滿足 1fxk，則下列結(jié)論中一定錯誤的是（）a11fkkb111fkkc1111fkkd111kfkk【答案】c【20 xx安徽卷】設(shè)函數(shù)f(x)1(1a)xx2x3，其中a0.

12、(1)討論f(x)在其定義域上的單調(diào)性；(2)當(dāng)x時 ，求f(x)取得最大值和最小值時的x的值【解析】解： (1)f(x)的定義域?yàn)?，)，f(x)1a2x3x2.令f(x)0，得x11 43a3，x21 43a3，x1x2，所以f(x)3(xx1)(xx2)當(dāng)xx2時，f(x)0；當(dāng)x1x0.故f(x)在，1 43a3和1 43a3，內(nèi)單調(diào)遞減，在1 43a3，1 43a3內(nèi)單調(diào)遞增(2)因?yàn)閍0，所以x10，當(dāng)a4 時，x21.由(1)知，f(x)在上單調(diào)遞增，所以f(x)在x0 和x1 處分別取得最小值和最大值當(dāng) 0a4 時，x21.由(1)知，f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以f

13、(x)在xx21 43a3處取得最大值又f(0)1，f(1)a，所以當(dāng) 0a1 時，f(x)在x1 處取得最小值；當(dāng)a1 時，f(x)在x0 和x1 處同時取得最小值；當(dāng) 1a12x，原不等式成立假設(shè)pk(k2，kn*)時，不等式(1x)k1kx成立當(dāng)pk1 時，(1x)k1(1x)(1x)k(1x)(1kx)1(k1)xkx21(k1)x.所以當(dāng)pk1 時，原不等式也成立綜合可得，當(dāng)x1，x0 時，對一切整數(shù)p1，不等式(1x)p1px均成立(2)方法一：先用數(shù)學(xué)歸納法證明anc1p.當(dāng)n1 時，由題設(shè)知a1c1p成立綜合可得，對一切正整數(shù)n，不等式anc1p均成立再由an1an11pcap

14、n1可得an1an1，即an1an1c1p，nn*.方法二：設(shè)f(x)p1pxcpx1p，xc1p，則xpc，所以f(x)p1pcp(1p)xpp1p1cxp0.由此可得，f(x)在有(x)0，(x)在(0，a1上單調(diào)遞減，(a1)1 時，存在x0，使(x)nln(n1)證明如下：方法一：上述不等式等價于12131n1x1x，x0.令x1n，nn，則1n1lnn1n.方法二：上述不等式等價于12131n1x1x，x0.令x1n，nn，則 lnn1n1n1.故有 ln 2ln 112，ln 3ln 213，ln(n1)lnn1n1，上述各式相加可得 ln(n1)12131n1，結(jié)論得證方法三：如

15、圖，錯誤錯誤!xx1dx 是由曲線 yxx1，xn 及 x 軸所圍成的曲邊梯形的面積，而1223nn1是圖中所示各矩形的面積和，1223nn1錯誤錯誤!xx1dx錯誤錯誤!11x1dxnln(n1)，結(jié)論得證【20 xx四川卷】 設(shè)等差數(shù)列an的公差為d， 點(diǎn)(an，bn)在函數(shù)f(x)2x的圖像上(nn*)(1)若a12，點(diǎn)(a8，4b7)在函數(shù)f(x)的圖像上，求數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn；(2)若a11，函數(shù)f(x)的圖像在點(diǎn)(a2，b2)處的切線在x軸上的截距為 21ln 2，求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和tn.【解析】(1)由已知得，b72a7，b82a84b7，所以2a842a72a72，解

16、得da8a72，所以snna1n（n1）2d2nn(n1)n23n.(2)函數(shù)f(x)2x在點(diǎn)(a2，b2)處的切線方程為y2a2(2a2ln 2)(xa2)，其在x軸上的截距為a21ln 2.由題意有a21ln 221ln 2，解得a22.所以da2a11.從而ann，bn2n，所以數(shù)列anbn的通項(xiàng)公式為anbnn2n，所以tn12222323n12n1n2n，2tn1122322n2n1，因此，2tntn11212212n1n2n212n1n2n2n1n22n.所以，tn2n1n22n.1 已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x)， 且滿足f(x)2xf(1)lnx， 則f(1)等于()aeb

17、1c1de答案b解析由f(x)2xf(1)lnx，得f(x)2f(1)1x.f(1)2f(1)1，則f(1)1.2已知曲線ylnx的切線過原點(diǎn)，則此切線的斜率為()aebec.1ed1e答案c3已知f1(x)sinxcosx，fn1(x)是fn(x)的導(dǎo)函數(shù)，即f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，fn1(x)fn(x)，nn n*，則f20 xx(x)等于()asinxcosxbsinxcosxcsinxcosxdsinxcosx答案b解析f1(x)sinxcosx，f2(x)f1(x)cosxsinx，f3(x)f2(x)sinxcosx，f4(x)f3(x)cosxsinx，f5(

18、x)f4(x)sinxcosxf1(x)，fn(x)是以 4 為周期的函數(shù)，f20 xx(x)f4(x)sinxcosx，故選 b.4設(shè)曲線yaxln(x1)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y2x，則a等于()a0b1c2d3答案d解析令f(x)axln(x1)，則f(x)a1x1.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得在點(diǎn)(0,0)處的切線的斜率為f(0)a1.又切線方程為y2x，則有a12，a3.5已知yf(x)是可導(dǎo)函數(shù)，如圖，直線ykx2 是曲線yf(x)在x3 處的切線，令g(x)xf(x)，g(x)是g(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g(3)等于()a1b0c2d4答案b解析由題圖可知曲線yf(x)在x3 處切線的斜

19、率等于13，f(3)13.g(x)xf(x)，g(x)f(x)xf(x)，g(3)f(3)3f(3)，又由題圖可知f(3)1，g(3)13(13)0.6已知曲線y1ex1，則曲線的切線斜率取得最小值時的直線方程為()ax4y20bx4y20c4x2y10d4x2y10答案a7在平面直角坐標(biāo)系xoy中，若曲線yax2bx(a，b為常數(shù))過點(diǎn)p(2，5)，且該曲線在點(diǎn)p處的切線與直線 7x2y30 平行，則ab的值是_答案3解析yax2bx的導(dǎo)數(shù)為y2axbx2，直線 7x2y30 的斜率為72.由題意得4ab25，4ab472，解得a1，b2，則ab3.8已知函數(shù)f(x)x33x，若過點(diǎn)a(0,

20、16)且與曲線yf(x)相切的直線方程為yax16，則實(shí)數(shù)a的值是_答案99已知曲線yx3x2 在點(diǎn)p0處的切線l1平行于直線 4xy10，且點(diǎn)p0在第三象限(1)求p0的坐標(biāo)；(2)若直線ll1，且l也過切點(diǎn)p0，求直線l的方程解(1)由yx3x2，得y3x21，由已知令 3x214，解之得x1.當(dāng)x1 時，y0；當(dāng)x1 時，y4.又點(diǎn)p0在第三象限，切點(diǎn)p0的坐標(biāo)為(1，4)(2)直線ll1，l1的斜率為 4，直線l的斜率為14.l過切點(diǎn)p0，點(diǎn)p0的坐標(biāo)為(1，4)，直線l的方程為y414(x1)，即x4y170.10設(shè)函數(shù)f(x)axbx，曲線yf(x)在點(diǎn)(2，f(2)處的切線方程為

21、 7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)證明：曲線yf(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x0 和直線yx所圍成的三角形的面積為定值，并求此定值解(1)方程 7x4y120 可化為y74x3.當(dāng)x2 時，y12.又f(x)abx2，于是2ab212，ab474，解得a1，b3.故f(x)x3x.(2)設(shè)p(x0，y0)為曲線上任一點(diǎn)，由y13x2知曲線在點(diǎn)p(x0，y0)處的切線方程為yy013x20 (xx0)，即yx03x013x20 (xx0)令x0，得y6x0，從而得切線與直線x0 的交點(diǎn)坐標(biāo)為0，6x0.令yx，得yx2x0，從而得切線與直線yx的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2x0,2x0)所以點(diǎn)

22、p(x0，y0)處的切線與直線x0，yx所圍成的三角形的面積為s12|6x0|2x0|6.故曲線yf(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x0，yx所圍成的三角形的面積為定值，且此定值為 6.11已知函數(shù)f(x)x1，g(x)alnx，若在x14處函數(shù)f(x)與g(x)的圖象的切線平行，則實(shí)數(shù)a的值為()a.14b.12c1d4答案a解析由題意可知f(x)12x12，g(x)ax，由f(14)g(14)，得12(14)12a14，可得a14，經(jīng)檢驗(yàn)，a14滿足題意12曲邊梯形由曲線yx21，y0，x1，x2 所圍成，過曲線yx21 (x)上一點(diǎn)p作切線，使得此切線從曲邊梯形上切出一個面積最大的普通梯形，則這一點(diǎn)的坐標(biāo)為()a.32，2b.32，134c.52，134d.52，2答案b13 若函數(shù)f(x)12x2axlnx存在垂直于y軸的切線， 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案2，)解析f(x)