工程力學(xué)12-彎曲變形

1、1 1、近似撓曲線微分方程表達(dá)？如何、近似撓曲線微分方程表達(dá)？如何求解？求解？2 2、撓度是否發(fā)生在彎矩最大的位置？、撓度是否發(fā)生在彎矩最大的位置？3 3、剛度條件？、剛度條件？4 4、靜定基，變形比較法。、靜定基，變形比較法。工程背景工程背景 （一）建筑結(jié)構(gòu)（一）建筑結(jié)構(gòu)工程背景工程背景 （一）建筑結(jié)構(gòu)（一）建筑結(jié)構(gòu)工程背景工程背景 （一）建筑結(jié)構(gòu)（一）建筑結(jié)構(gòu)工程背景工程背景 （一）建筑結(jié)構(gòu)（一）建筑結(jié)構(gòu)工程背景工程背景 （二）大型橋梁（二）大型橋梁工程背景工程背景 （二）大型橋梁（二）大型橋梁工程背景工程背景 （二）大型橋梁（二）大型橋梁工程背景工程背景 （二）大型橋梁（二）大型橋梁工程

2、背景工程背景 （三）航天航空（三）航天航空工程背景工程背景 （三）航天航空（三）航天航空太陽能電池帆板梁在載荷作用下，要有足夠的強(qiáng)度，它必須滿梁在載荷作用下，要有足夠的強(qiáng)度，它必須滿足強(qiáng)度條件，但是，是否梁滿足了強(qiáng)度條件之足強(qiáng)度條件，但是，是否梁滿足了強(qiáng)度條件之后，它就能夠正常地工作呢？后，它就能夠正常地工作呢？往往并非如此。往往并非如此。橋式起重機(jī)的大梁橋式起重機(jī)的大梁齒輪傳動軸齒輪傳動軸 所以，工程實(shí)際中的構(gòu)件除了滿足強(qiáng)度條件之所以，工程實(shí)際中的構(gòu)件除了滿足強(qiáng)度條件之外，往往還要滿足變形方面的要求，也就是要外，往往還要滿足變形方面的要求，也就是要滿足滿足剛度條件。剛度條件。當(dāng)然，什么事情都

3、是一分為二的，有些場合當(dāng)然，什么事情都是一分為二的，有些場合，我們還要，我們還要利用彎曲變形達(dá)到一定的目的利用彎曲變形達(dá)到一定的目的，例如，各種車輛中的疊板彈簧，就要求其在例如，各種車輛中的疊板彈簧，就要求其在外力的作用下產(chǎn)生足夠的變形，來緩和車輛外力的作用下產(chǎn)生足夠的變形，來緩和車輛所受到的沖擊和振動。所受到的沖擊和振動。另外，在另外，在研究超靜定梁研究超靜定梁時(shí)，我們也必須考慮時(shí)，我們也必須考慮梁在外力作用下的變形。梁在外力作用下的變形。12-1 引言引言彎曲變形的描述梁 對稱面 梁軸線變形：變形前為直線的梁軸線，變形后為曲線。這根曲線稱為撓撓曲線曲線。q一、撓度及轉(zhuǎn)角的概念一、撓度及轉(zhuǎn)角

4、的概念1梁的梁的撓曲線撓曲線軸線變形后形成的光軸線變形后形成的光滑連續(xù)曲線滑連續(xù)曲線1) )轉(zhuǎn)角：轉(zhuǎn)角：2梁變形的度量梁變形的度量梁橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)動的角度，梁橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)動的角度，符號：符號：q q ，正負(fù)：逆時(shí)針轉(zhuǎn)動為正，反之為負(fù)；正負(fù)：逆時(shí)針轉(zhuǎn)動為正，反之為負(fù)；2) )撓度：撓度：梁橫截面形心的豎向位移，梁橫截面形心的豎向位移，符號：符號：w，正負(fù)：向上為正，反之為負(fù)。正負(fù)：向上為正，反之為負(fù)。撓度隨軸線變化的關(guān)系撓度隨軸線變化的關(guān)系3) )撓曲線方程：撓曲線方程： ；( )w f x4) )轉(zhuǎn)角方程：轉(zhuǎn)角方程： 轉(zhuǎn)角與撓度的關(guān)系：轉(zhuǎn)角與撓度的關(guān)系：dtan( )dww xxqqvx

5、BAq qwxB1略去剪力的影響，則平面假設(shè)成立，彎曲略去剪力的影響，則平面假設(shè)成立，彎曲變形是因各個(gè)橫截面繞各自的中性軸轉(zhuǎn)動一個(gè)變形是因各個(gè)橫截面繞各自的中性軸轉(zhuǎn)動一個(gè)角度，而中性軸本身也要發(fā)生位移。角度，而中性軸本身也要發(fā)生位移。截面形心位移截面形心位移截面轉(zhuǎn)角截面轉(zhuǎn)角豎向位移豎向位移 y=w=f(x)水平位移水平位移 略去略去( )dwtgfxdxqqq12-2 撓曲線近似微分方程撓曲線近似微分方程1( )( ) (121)( )zM xk xxEI高等數(shù)學(xué)：對曲線高等數(shù)學(xué)：對曲線v=f(x) 其曲率為其曲率為 23222)(1 |)(1)(dxdwdxwdxxk12-2 撓曲線近似微分

6、方程撓曲線近似微分方程1力學(xué)關(guān)系力學(xué)關(guān)系：EIxMx)()(1 2數(shù)學(xué)關(guān)系數(shù)學(xué)關(guān)系：221d( )dwwxx3撓曲線近似微分方程撓曲線近似微分方程：( )EIwM x在圖示坐標(biāo)下：在圖示坐標(biāo)下：0,M0,w M0,w022322|1( )1 () d wdxdwxdxvxBAwxB1qq q小變形，撓曲線很平坦。小變形，撓曲線很平坦。 1dvdx與與1相比可略去相比可略去( )EIwM x應(yīng)用條件：應(yīng)用條件：1.1.小變形小變形2.2.最大應(yīng)力不超過材料的比例極限，即最大應(yīng)力不超過材料的比例極限，即滿足虎克定律滿足虎克定律3.W3.W向上為正向上為正EIz為常數(shù)，撓曲線近似微分方程為 xMdx

7、wdEIz22 xMdxdwdxdEIz)( dxxMdxdwdEIz)( 12-3 計(jì)算梁位移的積分法計(jì)算梁位移的積分法 dxxMdxdwdEIz)( zdwEIMx dxCdx ()zEI dwMx dxC dx zEI wMx dx dxCxD C C、D D為積分常數(shù)，可由梁上某些點(diǎn)的位移為積分常數(shù)，可由梁上某些點(diǎn)的位移的已知條件來確定。的已知條件來確定。( )dEIwM xxCEIq( )d )dEIwM xxxCxD 轉(zhuǎn)角方程轉(zhuǎn)角方程撓曲線方程撓曲線方程CxxMEId)(zqDCxxxxMwEI d)d)(z0 x0|0 xw0|0 xq0 x0|0 xw0|0 xqlx 0|lx

8、w0|lxqCxxMEId)(zqDCxxxxMwEI d)d)(z021|xaxww021|xaxqq右左AAqq右左AAff0右左AAqq0Af中間鉸中間鉸支座支座A中間鉸中間鉸A繪制撓曲線的方法：繪制撓曲線的方法：1.1.繪制繪制M M圖圖2.2.由由M M圖的正負(fù)、零點(diǎn)或零值區(qū)，確定圖的正負(fù)、零點(diǎn)或零值區(qū)，確定撓曲線的凹凸或拐點(diǎn)或直線區(qū)，撓曲線的凹凸或拐點(diǎn)或直線區(qū)，3.3.由位移邊界條件確定撓曲線的位置。由位移邊界條件確定撓曲線的位置。BqBw)()(lxFxM)()(lxFxMwEI ClxFCxlxFwEIEI2)(21d)(qDCxlxFDxCxlxFwEI32)(61d)(21

9、ClxFCxlxFwEIEI2)(21d)(qDCxlxFDxCxlxFwEI32)(61d)(210 x0Aq0Aw0212CFl0613DFl221FlC361FlD EIFlEIlxF22)(22qEIFlEIxFlEIlxFw626)(323EIFlEIlxF22)(22qEIFlEIxFlEIlxFw626)(323EIFlB22qEIFlwB33lFbFAlFaFB11xlFbM )0(1ax )(222axFxlFbM)(2bxa11xlFbwEI 12112CxlFbEIq1113116DxCxlFbEIw)(222axFxlFbwEI 222222)(22CaxFxlFbEI

10、q22232322)(66DxCaxFxlFbEIw12112CxlFbEIq1113116DxCxlFbEIw222222)(22CaxFxlFbEIq22232322)(66DxCaxFxlFbEIw01x0Awlx 0Bwaxax21|21qqaxaxww21|21021 DD)(62221bllFbCC)3(622211lbxlFbEIq122311)(6xlbxlFbwEI2222212)(3)3(6axbllbxlFbEIq32222222)()(6axblxlbxlFbwEIlx 2EIlalFabB6)( qba EIblFbwl48)43(222積分法求梁的變形關(guān)鍵點(diǎn)積分法求

11、梁的變形關(guān)鍵點(diǎn)： 分段列彎距方程分段列彎距方程 尋找邊界條件尋找邊界條件分段 AB、BC、CD三段，六個(gè)積分常數(shù)邊界條件 右左右左ccBBAAfffff 0 0q0 Dccf右左qqPDABC邊界條件：BCBAlff 0集中力作用點(diǎn)，集中力偶作用點(diǎn)，集中力作用點(diǎn)，集中力偶作用點(diǎn)，分布力的起、終點(diǎn)為分段點(diǎn)。分布力的起、終點(diǎn)為分段點(diǎn)。支承條件、連續(xù)條件、光滑條件。支承條件、連續(xù)條件、光滑條件。有多少積分常數(shù)就有且僅有多少個(gè)有多少積分常數(shù)就有且僅有多少個(gè)邊界條件。邊界條件。ABC12-4 計(jì)算梁位移的疊加法計(jì)算梁位移的疊加法積分法積分法：得到撓度方程：得到撓度方程w(x)和轉(zhuǎn)角方和轉(zhuǎn)角方程程q q(

12、x) 。因而可求出任意截。因而可求出任意截面的撓度和轉(zhuǎn)角。面的撓度和轉(zhuǎn)角。積分法積分法：繁、荷載復(fù)雜時(shí)分段多，：繁、荷載復(fù)雜時(shí)分段多，因而積分常數(shù)多。因而積分常數(shù)多。依據(jù)積分法的結(jié)果發(fā)展的疊加法效率更高。依據(jù)積分法的結(jié)果發(fā)展的疊加法效率更高。221(3)26MxwPxlxEIEI()EIwMP lx212BMlwEI一、疊加法和疊力原理一、疊加法和疊力原理BAPPBAMBAMM單獨(dú)作用時(shí)的撓度與轉(zhuǎn)角單獨(dú)作用時(shí)的撓度與轉(zhuǎn)角22MxwcxDEIEIwM2323BMlPlwEIEIMxwcEIMxwEI22MxwEIP單獨(dú)作用時(shí)的撓度與轉(zhuǎn)角單獨(dú)作用時(shí)的撓度與轉(zhuǎn)角()EIwP lx 21(3)6wPx

13、lxEI323BPlwEI 2323BMlPlwEIEI221(3)26MxwPxl xEIEI=某梁對應(yīng)某種荷載情況的撓度為某梁對應(yīng)某種荷載情況的撓度為w1該梁對應(yīng)另一種荷載情況的撓度為該梁對應(yīng)另一種荷載情況的撓度為w2當(dāng)這兩種荷載同時(shí)作用在梁上時(shí)撓度為當(dāng)這兩種荷載同時(shí)作用在梁上時(shí)撓度為w21www則則同樣地，同樣地， q q=q q1+q q2彎曲變形很小彎曲變形很小材料服從胡克定律材料服從胡克定律彎矩與載荷呈線性關(guān)系彎矩與載荷呈線性關(guān)系()E IwMx撓曲線的微分方程撓曲線的微分方程 qPMMM而且在工程實(shí)際中，我們往往關(guān)心的是一些而且在工程實(shí)際中，我們往往關(guān)心的是一些指定點(diǎn)的撓度和一些

14、指定截面的轉(zhuǎn)角。指定點(diǎn)的撓度和一些指定截面的轉(zhuǎn)角。 一一 當(dāng)梁上同時(shí)作用幾個(gè)載荷時(shí)，可分當(dāng)梁上同時(shí)作用幾個(gè)載荷時(shí)，可分別求出每個(gè)載荷單獨(dú)引起的變形，把所別求出每個(gè)載荷單獨(dú)引起的變形，把所得變形疊加得變形疊加(代數(shù)和代數(shù)和)即為這些載荷共同作即為這些載荷共同作用時(shí)的變形。用時(shí)的變形。 -疊加法疊加法疊加法疊加法依據(jù)力作用的獨(dú)立性原則依據(jù)力作用的獨(dú)立性原則,分為：分為：載荷疊加法載荷疊加法和和幾何疊加法幾何疊加法,其其中載荷疊加法較常用中載荷疊加法較常用載荷疊加法載荷疊加法:將結(jié)構(gòu)上共同作用的不同載荷分將結(jié)構(gòu)上共同作用的不同載荷分解為各種簡單載荷單獨(dú)作用的情解為各種簡單載荷單獨(dú)作用的情況況,然后利

15、用預(yù)先計(jì)算好的簡單載然后利用預(yù)先計(jì)算好的簡單載荷作用下的結(jié)果荷作用下的結(jié)果(位移、應(yīng)力等）位移、應(yīng)力等）進(jìn)行疊加后得到載荷共同作用的進(jìn)行疊加后得到載荷共同作用的結(jié)果。結(jié)果。位移疊加法位移疊加法:將結(jié)構(gòu)上的位移理解為結(jié)構(gòu)各部分將結(jié)構(gòu)上的位移理解為結(jié)構(gòu)各部分累積的結(jié)果，為求某點(diǎn)位移，許找累積的結(jié)果，為求某點(diǎn)位移，許找到結(jié)構(gòu)各部分變形與所求點(diǎn)位移間到結(jié)構(gòu)各部分變形與所求點(diǎn)位移間的關(guān)系。然后將各部分對該點(diǎn)的位的關(guān)系。然后將各部分對該點(diǎn)的位求和，得到計(jì)算結(jié)果。求和，得到計(jì)算結(jié)果。位移疊加法通常需要將結(jié)構(gòu)的一部分在想象中位移疊加法通常需要將結(jié)構(gòu)的一部分在想象中理解為剛體，即剛化過程。理解為剛體，即剛化過程

16、。疊加法成立前提，線彈性、小變形疊加法成立前提，線彈性、小變形2/2qlM CMCqCwwwEIMl162CMwEIql38454CqwEIqlEIMlEIql38417163845424AMAqAqqqAMqEIMl3AqqEIql243EIqlEIMlEIql24532433CCBlwwqtan2CBqqCCqqtanCCBlwwq2EIqlEIlq1288)2(44CwEIqlEIlq486)2(33CqEIqllEIqlEIqlwB3847248128434EIqlCB483qqEIqlEIMlBC243312qqEIqlEIlqC486)2(331q1288)2(441qlEIlqw

17、CEIqllwBC482412qEIqlBC24323qqEIqllwBC482323qEIqlwwwwEIqlCCCCCCCC1284843213321qqqq 圖示懸臂梁圖示懸臂梁EIz為常數(shù)，荷載情況為常數(shù)，荷載情況如圖所示，試求如圖所示，試求B截面的撓度和轉(zhuǎn)角。截面的撓度和轉(zhuǎn)角。解：先將作用在梁上的荷載分為分布荷解：先將作用在梁上的荷載分為分布荷載載q和集中力和集中力P單獨(dú)作用這兩種情況。單獨(dú)作用這兩種情況。(圖圖1、2)ABLqPABLqLAPB(2)(1)然后由附錄IV查得均布荷載單獨(dú)作用時(shí)418BzqLfEI 316BzqLEIq 集中力單獨(dú)作用時(shí)323BzPLfEI 222Bz

18、PLEIq 應(yīng)用疊加法應(yīng)用疊加法3212()62BBBzzqLPLEIEIqqq 4312()83BBBzzqLPLfffEIEI 33BzPLfEI 22BzPLEIq LAPBABLq48BzPLfEI 36BzPLEIq APB348CzPLfEI 216AzPLEIq 45384CzqLfEI 324AzPLEIq 撓度： 3、8、48、584轉(zhuǎn)角： 2、6、16、24ABqPL/2L/2CL/2L/2C 求圖示梁截面B的撓度解：為了利用表中的結(jié)果，可將原荷載視為圖(1)和圖(2)兩種情況的疊加ABCaLqEIzABcLqABcLqa(1)(2)ABCaLqEIz418BzqLfEI

19、ABcLq(1)圖(2) CB段M=0，所以CB為直線428CzqafEI326CzqaEIq)( 222aLffCCBq432 ()86BzzqaqafLaEIEIABcLqaq2cf2c(2)B由疊加原理BBBfff21 443()886zzzqLqaqaLaEIEIEI 4433644zqLaLaEI解法2dxaABxLqABxp=qdx距離A端為x的dx梁段上的荷載可視為集中力P22(3)(3)66BzzPxqxdfLxLx dxEIEI 2 (3)6LLBBzaaqxfdfLx dxEI 4433()644zqLaa LEI 對于懸臂梁和簡支梁任何荷載都可用此法處理。其引起的撓度查附

20、錄IV為ABxp=qdx如何畫撓曲線的大致形狀如何畫撓曲線的大致形狀EIxMw)( （1）根據(jù)彎矩圖中各段）根據(jù)彎矩圖中各段M的正負(fù)號，來確定相的正負(fù)號，來確定相應(yīng)各段撓曲線的凹凸性；彎矩圖中應(yīng)各段撓曲線的凹凸性；彎矩圖中M出現(xiàn)正負(fù)出現(xiàn)正負(fù)號變化的點(diǎn)（號變化的點(diǎn)（0點(diǎn)）為撓曲線的拐點(diǎn)；若彎矩圖點(diǎn)）為撓曲線的拐點(diǎn)；若彎矩圖中有一段中有一段M=0，則此段撓曲線為直線。，則此段撓曲線為直線。（2）然后，根據(jù)邊界條件和連續(xù)光滑條件，就）然后，根據(jù)邊界條件和連續(xù)光滑條件，就可以將撓曲線的大致形狀畫出來。可以將撓曲線的大致形狀畫出來。DBqa0.125qa2+_M舉舉 例例ABCP11BPqC 分析圖示梁

21、各截面的撓度和轉(zhuǎn)角分析圖示梁各截面的撓度和轉(zhuǎn)角P1P2ABCDABCP22BPqC 1CPf2CPfQ=P2BMqBCACMfMCPf2C C BP2CM 求圖示荷載作用下，C截面的撓度。LaABCP為了求AB梁某點(diǎn)的變形可考慮將外力P向B點(diǎn)簡化, 圖a和圖b, AB梁段中任一截面的彎矩均相同, 即彎矩方程不變, A點(diǎn)、B點(diǎn)的支承條件也相同, 因此, 圖 a和圖b在梁段AB上任一點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角均相同。解解：我們分別考慮AB和BC梁段的情況。LaABCPLaABCP(a)(b)pam 0而圖b即為 簡 支梁在B端受 載 ，可查表圖(a)中BC梁段與圖C的區(qū)別在于圖(a)中BC段的B截面有轉(zhuǎn)動,

22、而圖C中B截面無轉(zhuǎn)動. 我們可先視B截 *Cf*Cf疊加, 即可得到圖(a)中C面無轉(zhuǎn)動, 求出C截面的撓度轉(zhuǎn)動對C點(diǎn)撓度的影響與, 然后求出B截面的截面的撓度。LaABCPBCP(a)(c)zCEIpaf33*zzBEIpaLEILm330qaffBCCq* )(32aLEIpazLaABCPBCP*cfqBaqB(b)(c)pam 0aEIpaLEIpazz333一、超靜定梁的概念和解法一、超靜定梁的概念和解法1多余約束：多余約束： 相對于平衡而言，不需要的約束。相對于平衡而言，不需要的約束。2靜定基：靜定基： 超靜定結(jié)構(gòu)除去多余約束，代以相應(yīng)約束反超靜定結(jié)構(gòu)除去多余約束，代以相應(yīng)約束反力

23、所得到的靜定結(jié)構(gòu)。力所得到的靜定結(jié)構(gòu)。3變形協(xié)調(diào)條件：變形協(xié)調(diào)條件： 為與原超靜定結(jié)構(gòu)等效，靜定基在除為與原超靜定結(jié)構(gòu)等效，靜定基在除去多余約束處應(yīng)滿足的變形條件。去多余約束處應(yīng)滿足的變形條件。4超靜定梁的解法：超靜定梁的解法：過程：判斷超靜定次數(shù)，除去多余約束，代以約束過程：判斷超靜定次數(shù)，除去多余約束，代以約束 反力形成靜定基，利用變形協(xié)調(diào)條件求解約反力形成靜定基，利用變形協(xié)調(diào)條件求解約 束反力。束反力。比較變形法比較變形法二、例題二、例題例例 求下圖所示超靜定梁的支座反力。求下圖所示超靜定梁的支座反力。lABqABqFByMAFAyABqMA解：解：1) )判斷超靜定次數(shù)：判斷超靜定次數(shù)

24、：2) )取靜定基：取靜定基：0)()( ByFBqBByyy1次次 除去除去B點(diǎn)垂直位移約束點(diǎn)垂直位移約束( (可動鉸支座可動鉸支座) )，代以約束反力，代以約束反力FBy3) )變形協(xié)調(diào)條件變形協(xié)調(diào)條件48qlEIqlFBy83 33ByF lEI04) )利用平衡條件求利用平衡條件求 其余反力其余反力28185qlMqlFAAy ，5) )靜定基的選取不是唯一的靜定基的選取不是唯一的0)()( AMAqAAq qq qq q變形協(xié)調(diào)條件：變形協(xié)調(diào)條件：求圖示梁的約束反力。求圖示梁的約束反力。ABCqll解：三個(gè)反力二個(gè)平衡方程 所以為超靜定問題0qBRBBfffB048)2(384)2(534zBzEIlREIlqqlRRqlRCAB43 45ACqRB12-6 梁的剛度條件與合理剛度設(shè)計(jì)梁的剛度條件與合理剛度設(shè)計(jì)maxLfLfmaxqq對于梁的撓度，其容許值通常用許用的Lf撓度與梁跨長的比值作為標(biāo)準(zhǔn)。對于轉(zhuǎn)角，一般用容許轉(zhuǎn)角q作為標(biāo)準(zhǔn)。即梁的剛度條件