D泰勒公式學(xué)習(xí)課程

1、特點(diǎn):)(01xp)(0 xf)(0 xf 一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立)(xf)()(000 xxxfxf)(1xp以直代曲以直代曲0 x)(1xp)(01xp在微分應(yīng)用中已知近似公式 :需要解決的問題如何提高精度 ?如何估計(jì)誤差 ?xx 的一次多項(xiàng)式xy)(xfy O第1頁/共30頁第一頁，編輯于星期五：十七點(diǎn) 三十八分。1. 求求 n 次近似多項(xiàng)式次近似多項(xiàng)式要求要求:, )(xpn)(0!212xpan , )(0 xf ,)(0)(!1xpannnn)(0)(xfn故)(xpn)(0 xf)(00 xxxf!21!1nnnxxxf)(00)(!1n200)(xxxf !21令

2、)(xpn則)(xpn )(xpnnan!)()(xpnn)(00 xpan, )(0 xf, )()(00 xfxpn)(01xpan, )(0 xf 1a)(202xxa10)(nnxxan2!2 a20)() 1(nnxxann, )()(00 xfxpn)()(,0)(0)(xfxpnnn0annxxaxxaxxa)()()(020201第2頁/共30頁第二頁，編輯于星期五：十七點(diǎn) 三十八分。)0(之間與在nx )( )(10nnxxxR )(2) 1( )(0)(xnRnnnn2. 余項(xiàng)估計(jì)余項(xiàng)估計(jì))()()(xpxfxRnn令(稱為余項(xiàng)) ,)(0 xRn)(0 xRn0)(0)(

3、xRnn10)()(nnxxxRnnxnR)(1()(011 )(1( )(011nnxnR1022)() 1()( nnxnnR! ) 1()() 1(nRnn則有)(0 xRn0)(0 xRn0)(0)(xRnn0 x)01(之間與在xx)102(之間與在x第3頁/共30頁第三頁，編輯于星期五：十七點(diǎn) 三十八分。)()()(xpxfxRnn10)()(nnxxxR! ) 1()() 1(nRnn)0(之間與在xx,0)() 1(xpnn10) 1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR)()() 1() 1(xfxRnnn時(shí)的某鄰域內(nèi)當(dāng)在Mxfxn)() 1(0)0(之間與在xx10!

4、 ) 1()(nnxxnMxR)()()(00 xxxxoxRnn第4頁/共30頁第四頁，編輯于星期五：十七點(diǎn) 三十八分。公式 稱為 的 n 階泰勒公式階泰勒公式 .)(xf公式 稱為n 階泰勒公式的拉格朗日余項(xiàng)拉格朗日余項(xiàng) .泰勒泰勒(Taylor)中值定理中值定理 :內(nèi)具有的某開區(qū)間在包含若),()(0baxxf1n直到階的導(dǎo)數(shù) ,),(bax時(shí), 有)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn其中10) 1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR則當(dāng))0(之間與在xx泰勒 第5頁/共30頁第五頁，編輯于星期五：十七點(diǎn) 三

5、十八分。公式 稱為n 階泰勒公式的佩亞諾佩亞諾(Peano) 余項(xiàng)余項(xiàng) .在不需要余項(xiàng)的精確表達(dá)式時(shí)在不需要余項(xiàng)的精確表達(dá)式時(shí) , 泰勒公式可寫泰勒公式可寫為為)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(0nxxo)()(0nnxxoxR注意到* 可以證明: 階的導(dǎo)數(shù)有直到在點(diǎn)nxxf0)( 式成立第6頁/共30頁第六頁，編輯于星期五：十七點(diǎn) 三十八分。特例特例:(1) 當(dāng) n = 0 時(shí), 泰勒公式變?yōu)?(xf)(0 xf)(0 xxf(2) 當(dāng) n = 1 時(shí), 泰勒公式變?yōu)榻o出拉格朗日中值定理)(xf)(0 xf)(00 xxxf

6、20)(!2)(xxf 可見)(xf)(0 xf)(00 xxxf201)(!2)()(xxfxR 誤差)(xf)(0 xf)(00 xxxf10) 1()(! ) 1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)(fd)0(之間與在xx)0(之間與在xx)0(之間與在xx)0(之間與在xx第7頁/共30頁第七頁，編輯于星期五：十七點(diǎn) 三十八分。稱為麥克勞林麥克勞林( Maclaurin )公式公式 ., 00 x則有)(xf)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()(在泰勒公式中若取在泰勒公式中若取)(xf)

7、(0 xf)(00 xxxf10) 1()(! ) 1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()0(之間與在xx)(xf)0(fxf)0( ,)() 1(Mxfn則有誤差估計(jì)式1! ) 1()(nnxnMxR2!2)0(xf nnxnf!)0()(若在公式成立的區(qū)間上麥克勞林 由此得近似公式, ) 10(x記第8頁/共30頁第八頁，編輯于星期五：十七點(diǎn) 三十八分。二、幾個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林公式二、幾個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林公式xxfe)() 1 (,e)()(xkxf),2, 1(1)0()(kfkxe1x!33x!nxn)(xRn!22x其中)(xRn! )

8、 1( n) 10(1nxxe)(xf)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()(麥克勞林公式麥克勞林公式 ) 10(第9頁/共30頁第九頁，編輯于星期五：十七點(diǎn) 三十八分。)sin(212mx)cos() 1(xm)sin( xxxfsin)()2()()(xfkxsinx!33x!55x! ) 12(12mxm)(2xRm其中)(2xRm2k2sin)0()(kfkmk2,012 mk,) 1(1m),2, 1(m1) 1(m) 10(12mx! ) 12(m)(xf)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(

9、xf nnxnf!)0()() 10(麥克勞林公式麥克勞林公式 第10頁/共30頁第十頁，編輯于星期五：十七點(diǎn) 三十八分。麥克勞林公式麥克勞林公式 ! )2(2mxmxxfcos)()3(類似可得xcos1!22x!44x)(12xRm其中)(12xRm! )22(m)cos() 1(1xm) 10(m) 1(22mx)(xf)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()() 10(第11頁/共30頁第十一頁，編輯于星期五：十七點(diǎn) 三十八分。) 1(,)1 ()()4(xxxf)()(xfk)1 (x1x2xnx)(xRn其中)(xRn11)1

10、 (! ) 1()() 1(nnxxnn) 10(kxk)1)(1() 1() 1() 1()0()(kfk),2, 1(k!2 ) 1(! n) 1() 1(n)(xf)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()() 10(麥克勞林公式麥克勞林公式 第12頁/共30頁第十二頁，編輯于星期五：十七點(diǎn) 三十八分。) 1()1ln()()5(xxxf已知)1ln(xx22x33xnxn)(xRn其中)(xRn11)1 (1) 1(nnnxxn) 10(1) 1(n因此可得)()(xfkkkxk)1 (! ) 1() 1(1),2, 1(k)(xf

11、)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()() 10(麥克勞林公式麥克勞林公式 第13頁/共30頁第十三頁，編輯于星期五：十七點(diǎn) 三十八分。三、泰勒公式的應(yīng)用三、泰勒公式的應(yīng)用1. 在近似計(jì)算中的應(yīng)用在近似計(jì)算中的應(yīng)用 誤差1! ) 1()(nnxnMxRM 為)() 1(xfn在包含 0 , x 的某區(qū)間上的上界.需解問題的類型:1) 已知 x 和誤差限 , 要求確定項(xiàng)數(shù) n ;2) 已知項(xiàng)數(shù) n 和 x , 計(jì)算近似值并估計(jì)誤差;3) 已知項(xiàng)數(shù) n 和誤差限 , 確定公式中 x 的適用范圍.)(xf)0(fxf)0( 2!2)0(xf

12、nnxnf!)0()(第14頁/共30頁第十四頁，編輯于星期五：十七點(diǎn) 三十八分。例例1. 計(jì)算無理數(shù)計(jì)算無理數(shù) e 的近似值的近似值 , 使誤差不使誤差不超過超過.106解解: 已知xe! ) 1( nxe1nx令 x = 1 , 得e) 10(! ) 1(e!1!2111nn) 10(由于, 3ee0欲使) 1 (nR! ) 1(3n610由計(jì)算可知當(dāng) n = 9 時(shí)上式成立 ,因此e!91!21112.718282xe1x!33x!nxn!22x的麥克勞林公式為第15頁/共30頁第十五頁，編輯于星期五：十七點(diǎn) 三十八分。說明說明: 注意舍入誤差對(duì)計(jì)算結(jié)果的影注意舍入誤差對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響響

13、. .本例若每項(xiàng)四舍五入到小數(shù)點(diǎn)后 6 位,則 各項(xiàng)舍入誤差之和不超過,105 . 076總誤差限為6105 . 076106105這時(shí)得到的近似值不能保證不能保證誤差不超過.106因此計(jì)算時(shí)中間結(jié)果應(yīng)比精度要求多取一位 .e!91!2111第16頁/共30頁第十六頁，編輯于星期五：十七點(diǎn) 三十八分。例例2. 用近似公式用近似公式!21cos2xx計(jì)算 cos x 的近似值,使其精確到 0.005 , 試確定 x 的適用范圍.解解: 近似公式的誤差)cos(!4)(43xxxR244x令005. 0244x解得588. 0 x即當(dāng)588. 0 x時(shí), 由給定的近似公式計(jì)算的結(jié)果能準(zhǔn)確到 0.0

14、05 .第17頁/共30頁第十七頁，編輯于星期五：十七點(diǎn) 三十八分。例例3、計(jì)算.3cos2elim402xxxx)(!211e4422xoxxx)(!4!21cos542xoxxx)()!412!21(3cos2e442xoxxx127)(lim4441270 xxoxx解解:原式第四節(jié) 2. 利用泰勒公式求極限第18頁/共30頁第十八頁，編輯于星期五：十七點(diǎn) 三十八分。11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnnnx! n) 1() 1(n)1 (x1x2x!2 ) 1() 10(3. 利用泰勒公式證明不等式利用泰勒公式證明不等式例例4. 證明).0(82112xxxx證證:21)1

15、(1xx21x2) 121(21!21x325)1)(221)(121(21!31xx) 10(3225)1 (161821xxxx)0(82112xxxx+第19頁/共30頁第十九頁，編輯于星期五：十七點(diǎn) 三十八分。內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 泰勒公式泰勒公式其中余項(xiàng))(0nxxo當(dāng)00 x時(shí)為麥克勞林公式麥克勞林公式 .)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn10) 1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR)0(之間與在xx第20頁/共30頁第二十頁，編輯于星期五：十七點(diǎn) 三十八分。2. 常用函數(shù)的麥克勞林公式常用函數(shù)的麥

16、克勞林公式 ( P142 P144 ),ex, )1ln(x,sinx,cosx)1 (x3. 泰勒公式的應(yīng)用泰勒公式的應(yīng)用(1) 近似計(jì)算(3) 其他應(yīng)用求極限 , 證明不等式 等.(2) 利用多項(xiàng)式逼近函數(shù) xsin例如例如 第21頁/共30頁第二十一頁，編輯于星期五：十七點(diǎn) 三十八分。泰勒多項(xiàng)式逼近泰勒多項(xiàng)式逼近12! ) 12() 1(9!917!715!513!311sinnnxxxxxxxn)(2nxo!33xxy!5!353xxxy!7!5!3753xxxxyxysinxy xsin6422464224xyO第22頁/共30頁第二十二頁，編輯于星期五：十七點(diǎn) 三十八分。泰勒多項(xiàng)式

17、逼近泰勒多項(xiàng)式逼近12! ) 12() 1(9!917!715!513!311sinnnxxxxxxxn)(2nxoxsinxysin!9!7!5!39753xxxxxy!11!9!7!5!3119753xxxxxxy642246Ox4224y第23頁/共30頁第二十三頁，編輯于星期五：十七點(diǎn) 三十八分。2例例4. 求.43443lim20 xxxx解解:由于x431243 x21)1 (243x 2)(14321x!21) 1(2121243)( x)(2xo用洛必達(dá)法則不方便 !2x用泰勒公式將分子展到項(xiàng),11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnnnx! n) 1() 1(n)1 (

18、x1x2x!2 ) 1() 10(x3421)1 (243x220 limxx 原式)(2216921xox 329x43)(2216941xox 2x43)(2216941xox 思考與練習(xí) 第24頁/共30頁第二十四頁，編輯于星期五：十七點(diǎn) 三十八分。泰勒泰勒 (1685 1731)英國數(shù)學(xué)家,他早期是牛頓學(xué)派最優(yōu)秀的代表人物之一 , 重要著作有: 正的和反的增量方法(1715) 線性透視論(1719) 他在1712 年就得到了現(xiàn)代形式的泰勒公式 .他是有限差分理論的奠基人 .第25頁/共30頁第二十五頁，編輯于星期五：十七點(diǎn) 三十八分。麥克勞林麥克勞林 (1698 1746)英國數(shù)學(xué)家,著作有:流數(shù)論(1742)有機(jī)幾何學(xué)(1720)代數(shù)論(1742)在第一本著作中給出了后人以他的名字命名的麥克勞林級(jí)數(shù)麥克勞林級(jí)數(shù) .第26頁/共30頁第二十六頁，編輯于星期五：十七點(diǎn) 三十八分。, 1 ,0)(上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)在設(shè)函數(shù)xf, 0)(,2) 1 (,1)0(21fff)(xf)(21之間與在其中x, 1