第2章 內(nèi)力篇-彎曲桿件-2013級

1、第第 2 2 章章 應(yīng)力狀態(tài)分析應(yīng)力狀態(tài)分析-內(nèi)力篇內(nèi)力篇2.1.3 2.1.3 梁的內(nèi)力梁的內(nèi)力 剪力與彎矩剪力與彎矩 2.1.4 2.1.4 剪力圖與彎矩圖剪力圖與彎矩圖 2.1.5 2.1.5 載荷、剪力與彎矩間的關(guān)系載荷、剪力與彎矩間的關(guān)系 2.1.1 2.1.1 軸向拉壓桿的內(nèi)力軸向拉壓桿的內(nèi)力2.1.2 2.1.2 扭轉(zhuǎn)桿件的內(nèi)力扭轉(zhuǎn)桿件的內(nèi)力 彎曲（彎曲（bending )工程中有許多發(fā)生彎曲的構(gòu)件工程中有許多發(fā)生彎曲的構(gòu)件彎曲（彎曲（bending )工程中有許多發(fā)生彎曲的構(gòu)件工程中有許多發(fā)生彎曲的構(gòu)件肋梁樓板肋梁樓板彎曲桿件的內(nèi)力彎曲桿件的內(nèi)力彎曲（彎曲（bending )平

2、面彎曲（平面彎曲（plane bending )彎曲桿件的內(nèi)力彎曲桿件的內(nèi)力彎曲（彎曲（bending )受力特點受力特點： （集中力、分布力、集中力偶、（集中力、分布力、集中力偶、分布力偶）作用在桿過軸線的對稱分布力偶）作用在桿過軸線的對稱平面內(nèi)，并垂直于軸線。平面內(nèi)，并垂直于軸線。變形特點變形特點： 軸線由直線變成了在軸線由直線變成了在過軸線過軸線對稱平面內(nèi)的平面對稱平面內(nèi)的平面曲線。曲線。 平面彎曲（平面彎曲（plane bending )對稱彎曲時和特定條件下的非對稱彎曲時，對稱彎曲時和特定條件下的非對稱彎曲時，梁的撓曲線與外力所在平面相重合梁的撓曲線與外力所在平面相重合，這種，這種彎

3、曲稱為彎曲稱為平面彎曲。平面彎曲。彎曲桿件的內(nèi)力彎曲桿件的內(nèi)力彎曲（彎曲（bending )受力特點受力特點： （集中力、分布力、集中力偶、（集中力、分布力、集中力偶、分布力偶）作用在桿過軸線的對稱分布力偶）作用在桿過軸線的對稱平面內(nèi)，并垂直于軸線。平面內(nèi)，并垂直于軸線。變形特點變形特點： 軸線由直線變成了在軸線由直線變成了在過軸線過軸線對稱平面內(nèi)的平面對稱平面內(nèi)的平面曲線。曲線。 平面彎曲（平面彎曲（plane bending ) 發(fā)生彎曲變形的桿件稱為發(fā)生彎曲變形的桿件稱為梁梁（beam）。）。 彎曲桿件的內(nèi)力彎曲桿件的內(nèi)力載荷的簡化：載荷的簡化：集中荷載，集中力偶，分布荷載集中荷載，集中

4、力偶，分布荷載梁的計算簡圖：梁軸線代替梁，將荷載和支座加到梁的計算簡圖：梁軸線代替梁，將荷載和支座加到 軸線上。軸線上。 2-1-3 梁的內(nèi)力梁的內(nèi)力 剪力與彎矩剪力與彎矩 彎曲桿件的內(nèi)力彎曲桿件的內(nèi)力2-1-3 梁的內(nèi)力梁的內(nèi)力 剪力與彎矩剪力與彎矩 一端是固定鉸支約束，另一一端是固定鉸支約束，另一端可動鉸支約束，為端可動鉸支約束，為簡支梁簡支梁 梁的支承的簡化梁的支承的簡化簡支梁的計算簡圖簡支梁的計算簡圖 彎曲桿件的內(nèi)力彎曲桿件的內(nèi)力2-1-3 梁的內(nèi)力梁的內(nèi)力 剪力與彎矩剪力與彎矩 一端為固定約束，另一端自一端為固定約束，另一端自由，即沒有約束，為由，即沒有約束，為懸臂梁懸臂梁 梁的支承

5、的簡化梁的支承的簡化懸臂梁懸臂梁計算簡圖計算簡圖彎曲桿件的內(nèi)力彎曲桿件的內(nèi)力2-1-3 梁的內(nèi)力梁的內(nèi)力 剪力與彎矩剪力與彎矩 簡支梁簡支梁如圖所示，若約束反如圖所示，若約束反力力 、 已求出，用截面法可已求出，用截面法可求梁任意橫截面求梁任意橫截面 II 上的內(nèi)力上的內(nèi)力 剪力剪力（shearing force）彎矩彎矩（bending moment）AFBF( )0yASFqxFx0yF( )ysAFxqxF0 cM（對過截面形心（對過截面形心 C 的的 軸軸 取矩，今后寫為取矩，今后寫為 ）zCM( )02AZxF xqxMx2( )2zAqMxF xx剪力、彎矩的正負號剪力、彎矩的正負

6、號 彎曲桿件的內(nèi)力彎曲桿件的內(nèi)力2-1-3 梁的內(nèi)力梁的內(nèi)力 剪力與彎矩剪力與彎矩 ( )ysAFxqxF2( )2zAqMxF xx彎曲桿件的內(nèi)力彎曲桿件的內(nèi)力 建議：求截面FS和Mz時，均按規(guī)定正向假設(shè)。剪力剪力F FS Sy：作用線平行于橫截面；：作用線平行于橫截面；大小大小等于該截面左側(cè)或右側(cè)（保等于該截面左側(cè)或右側(cè)（保留部分）梁上所有橫向外力的合留部分）梁上所有橫向外力的合力值；力值；正負號正負號：使桿件發(fā)生逆時使桿件發(fā)生逆時針轉(zhuǎn)動的趨勢為正，反之為負。針轉(zhuǎn)動的趨勢為正，反之為負。彎矩彎矩M Mz z：矩失沿：矩失沿z軸；其值等于軸；其值等于該截面左側(cè)或右側(cè)（保留部分）該截面左側(cè)或右

7、側(cè)（保留部分）梁上所有外力向截面形心取矩的梁上所有外力向截面形心取矩的代數(shù)和；代數(shù)和；正負號正負號：使桿件下部受使桿件下部受拉為正，反之為負。拉為正，反之為負。2-1-3 梁的內(nèi)力梁的內(nèi)力 剪力與彎矩剪力與彎矩 例例1 1 外伸梁受力與支承情況如下圖所示，求1-1、2-2兩截面的剪力與彎矩。解： 1）求約束反力 2）求1-1截面上的剪力、彎矩3）求2-2截面上的剪力、彎矩0 2 54 1.5 4 20BAMF 5.5kNAF 0 4 1.5 4 22 10ABMF 2.5kNBF 10 2kNyysFF10 2kN mczMM 彎曲桿件的內(nèi)力彎曲桿件的內(nèi)力2-1-3 梁的內(nèi)力梁的內(nèi)力 剪力與彎

8、矩剪力與彎矩 例例1 1 外伸梁受力與支承情況如下圖所示，求1-1、2-2兩截面的剪力與彎矩。解： 1）求約束反力 2）求1-1截面上的剪力、彎矩3）求2-2截面上的剪力、彎矩5.5kNAF 2.5kNBF 10 2kNyysFF10 2kN mczMM 20 2.5 1.5 20.5kNyysFF 20 2.5 2 1.5 2 12kN mczMM 彎曲桿件的內(nèi)力彎曲桿件的內(nèi)力1)內(nèi)力方程：梁橫截面上的剪力和彎矩是隨截面的位置而變化的，描述這種變化的數(shù)學(xué)表達式ss( )( )yyzzFFxMMx分別稱為剪力方程和彎矩方程。分別稱為剪力方程和彎矩方程。FSy 、Mz為縱坐標; x軸為橫坐標，與

9、梁的軸線一致2-1-4 剪力圖與彎矩圖剪力圖與彎矩圖 2）剪力圖和彎矩圖：剪力圖剪力圖剪力方程剪力方程 Fsy（x）的圖線表示；）的圖線表示；彎矩圖彎矩圖彎矩方程彎矩方程 Mz（x）的圖線表示；）的圖線表示；注意：內(nèi)力方程的分段！分段點設(shè)在外力有突變的截面處。注意：內(nèi)力方程的分段！分段點設(shè)在外力有突變的截面處。彎曲桿件的內(nèi)力彎曲桿件的內(nèi)力彎矩方程彎矩方程 彎矩圖彎矩圖 例例2 2 下圖所示簡支梁，受集中力下圖所示簡支梁，受集中力F作用，試列出梁的剪力方作用，試列出梁的剪力方程和彎矩方程，并作剪力圖與彎矩圖。程和彎矩方程，并作剪力圖與彎矩圖。解： 1） 求支座約束反力并驗算求支座約束反力并驗算2

10、） 分段列剪力與彎矩方程分段列剪力與彎矩方程分分AC段和段和BCBC段段建立內(nèi)力方程。建立內(nèi)力方程。( )yyssFFx剪力方程剪力方程 ( )zzMMx剪力圖剪力圖 21 33ABFFFF根據(jù)力平衡方程得根據(jù)力平衡方程得 ，AC段段：112( ) (0)33yslFxFx 112( ) (0)33zlMxFxx2-1-4 剪力圖與彎矩圖剪力圖與彎矩圖 彎曲桿件的內(nèi)力彎曲桿件的內(nèi)力注意：內(nèi)力方程的分段！注意：內(nèi)力方程的分段！分段點設(shè)在外力有突變分段點設(shè)在外力有突變的截面處。的截面處。彎矩方程彎矩方程 彎矩圖彎矩圖 例例7-2 7-2 下圖所示簡支梁，受集中力下圖所示簡支梁，受集中力F作用，試列

11、出梁的剪力作用，試列出梁的剪力方程和彎矩方程，并作剪力圖與彎矩圖。方程和彎矩方程，并作剪力圖與彎矩圖。解：解： 1） 求支座約束力求支座約束力2） 分段列剪力與彎矩方程分段列剪力與彎矩方程( )yyssFFx剪力方程剪力方程 ( )zzMMx剪力圖剪力圖 21 33ABFFFF221() ()33yslFxFxl222()() ()33zFlMxlxxl分分AC段和段和BCBC段段建立內(nèi)力方程。建立內(nèi)力方程。根據(jù)力平衡方程得根據(jù)力平衡方程得 ，BC段段：2-1-4 剪力圖與彎矩圖剪力圖與彎矩圖 彎曲桿件的內(nèi)力彎曲桿件的內(nèi)力注意：內(nèi)力方程的分段！注意：內(nèi)力方程的分段！分段點設(shè)在外力有突變分段點設(shè)

12、在外力有突變的截面處。的截面處。彎矩方程 彎矩圖 例例2 2 下圖所示簡支梁，受集中力下圖所示簡支梁，受集中力F作用，試列出梁的剪力方作用，試列出梁的剪力方程和彎矩方程，并作剪力圖與彎矩圖。程和彎矩方程，并作剪力圖與彎矩圖。解：解： 1） 求約束反力并驗算求約束反力并驗算2） 分段列剪力與彎矩方程分段列剪力與彎矩方程AC段段 ：BC段段 ：( )yyssFFx剪力方程 ( )zzMMx剪力圖 112( ) (0)33yslFxFx 112( ) (0)33zlMxFxx221() ()33yslFxFxl222()() ()33zFlMxlxxl3） 作剪力圖與彎矩圖作剪力圖與彎矩圖2-1-4

13、 剪力圖與彎矩圖剪力圖與彎矩圖 彎曲桿件的內(nèi)力彎曲桿件的內(nèi)力注意：內(nèi)力方程的分段！注意：內(nèi)力方程的分段！分段點設(shè)在外力有突變分段點設(shè)在外力有突變的截面處。的截面處。彎矩方程彎矩方程 彎矩圖彎矩圖 例例2 2 下圖所示簡支梁，受集中力下圖所示簡支梁，受集中力F作用，試列出梁的剪力方作用，試列出梁的剪力方程和彎矩方程，并作剪力圖與彎矩圖。程和彎矩方程，并作剪力圖與彎矩圖。解：解： 1） 求約束反力并驗算求約束反力并驗算2） 分段列剪力與彎矩方程分段列剪力與彎矩方程( )yyssFFx剪力方程剪力方程 ( )zzMMx剪力圖剪力圖 3） 作剪力圖與彎矩圖作剪力圖與彎矩圖 在集中力作用處，剪力在集中力

14、作用處，剪力發(fā)生突變，其突變量就等于發(fā)生突變，其突變量就等于集中力的數(shù)值；彎矩連續(xù)，集中力的數(shù)值；彎矩連續(xù)，但彎矩圖在此出現(xiàn)折點（斜但彎矩圖在此出現(xiàn)折點（斜率不連續(xù)的點）。率不連續(xù)的點）。2-1-4 剪力圖與彎矩圖剪力圖與彎矩圖 彎曲桿件的內(nèi)力彎曲桿件的內(nèi)力彎矩方程彎矩方程 ( )yyssFFx剪力方程剪力方程 ( )zzMMx122 (0)33( )1 ()33yslFxFxlFxl1222 (0)33( )() ()33zlFxxMxFllxxl步驟：沿坐標為步驟：沿坐標為x x的橫截面將梁截開，取出其中一段，分別應(yīng)的橫截面將梁截開，取出其中一段，分別應(yīng)用用力的平衡方程力的平衡方程和和力矩

15、的平衡方程力矩的平衡方程，即可得到剪力，即可得到剪力F FS Sy y( (x x) )和彎和彎矩矩M Mz z( (x x) )的表達式，即剪力方程的表達式，即剪力方程F FS Sy y ( (x x) )和彎矩方程和彎矩方程M Mz z( (x x) )。2-1-4 剪力圖與彎矩圖剪力圖與彎矩圖 彎曲桿件的內(nèi)力彎曲桿件的內(nèi)力步驟：沿坐標為步驟：沿坐標為x x的橫截面將梁截開，取出其中一段，分的橫截面將梁截開，取出其中一段，分別應(yīng)用別應(yīng)用力的平衡方程力的平衡方程和和力矩的平衡方程力矩的平衡方程，即可得到剪力，即可得到剪力F FQ Q( (x x) )和彎矩和彎矩M M( (x x) )的表達

16、式，即剪力方程的表達式，即剪力方程F FQ Q( (x x) )和彎矩方程和彎矩方程M M( (x x) )。彎矩方程彎矩方程 彎矩圖彎矩圖 ( )yyssFFx剪力方程剪力方程 ( )zzMMx剪力圖剪力圖 練習(xí)練習(xí): : 確定圖中所示梁的剪力確定圖中所示梁的剪力方程和彎矩方程矩圖。方程和彎矩方程矩圖。 解：解：1. 1. 求支座約束力求支座約束力 RR2ABqlFF2-1-4 剪力圖與彎矩圖剪力圖與彎矩圖 彎曲桿件的內(nèi)力彎曲桿件的內(nèi)力彎矩方程彎矩方程 彎矩圖彎矩圖 ( )yyssFFx剪力方程剪力方程 ( )zzMMx剪力圖剪力圖 練習(xí)：練習(xí)： 確定圖中所示梁的剪力確定圖中所示梁的剪力方程

17、和彎矩方程方程和彎矩方程, ,并作內(nèi)力圖。并作內(nèi)力圖。 解：解：1 1） 求支座約束力求支座約束力 RR2ABqlFF2 2） 分段列剪力和彎矩方程分段列剪力和彎矩方程無需分段建立剪力方程和彎矩方程無需分段建立剪力方程和彎矩方程2-1-4 剪力圖與彎矩圖剪力圖與彎矩圖 彎曲桿件的內(nèi)力彎曲桿件的內(nèi)力3 3） 確定剪力方程和彎矩方程確定剪力方程和彎矩方程由左段梁的平衡條件由左段梁的平衡條件 0yF RS0AyFqx Fx+ R02AxM xFxqx 0M 以以A、B之間坐標為之間坐標為x的任的任意截面為假想截面，將梁意截面為假想截面，將梁截開，取左段為研究對象截開，取左段為研究對象，在截開的截面上

18、標出剪，在截開的截面上標出剪力力FQ(x)和彎矩和彎矩M(x)的正方的正方向。向。 SR02yAqlFxqxFqxxl 2022qlxqxM xxl第第7章章 彎曲彎曲解：4）畫剪力圖和彎矩圖畫剪力圖和彎矩圖 x =l/2，彎矩有極大值Mzmax=ql2/8( ) (0)2ysqlFxqxxl 2( ) (0)22zqlqMxxxxl3 3） 確定剪力方程和彎矩方程確定剪力方程和彎矩方程02d)(d qxqlxxMz求極值剪力為零處，彎矩出現(xiàn)極值剪力為零處，彎矩出現(xiàn)極值 例例3 3 如圖所示外伸梁，F(xiàn)、a已知，試作其 、Mz圖。解：解：1）求支座約束力）求支座約束力2）分段列內(nèi)力方程）分段列內(nèi)

19、力方程ySF53 22ABFFFF11111( ) (0)( ) (0)yszFxFxaMxFxxa 分AC段、AD段、BD段建立內(nèi)力方程。根據(jù)力平衡方程得 ， CA段：2-1-4 剪力圖與彎矩圖剪力圖與彎矩圖 彎曲桿件的內(nèi)力彎曲桿件的內(nèi)力 例例7-3 7-3 如圖所示外伸梁，F(xiàn)、a已知，試作其 、Mz圖。解：解：1）求支約束力）求支約束力2）分段列內(nèi)力方程）分段列內(nèi)力方程ySF53 22ABFFFF22222153() (2 )225()() (2 )2yszFxFFFaxaMxFxF xaaxa 分AC段、AD段、BD段建立內(nèi)力方程。根據(jù)力平衡方程得 ，AD段：2-1-4 剪力圖與彎矩圖剪

20、力圖與彎矩圖 彎曲桿件的內(nèi)力彎曲桿件的內(nèi)力解：解：333333() (23 )23()(3) (23 )2yszFxFaxaMxFaxaxa 例例7-3 7-3 如圖所示外伸梁，F(xiàn)、a已知，試作其 、Mz圖。ySF2）分段列內(nèi)力方程）分段列內(nèi)力方程分分AC段、段、AD段段、BD段段建立內(nèi)力方程。建立內(nèi)力方程。根據(jù)力平衡方程得根據(jù)力平衡方程得 ， DB段段：2-1-4 剪力圖與彎矩圖剪力圖與彎矩圖 彎曲桿件的內(nèi)力彎曲桿件的內(nèi)力3）繪剪力圖和彎矩圖繪剪力圖和彎矩圖 在集中力偶作用處，在集中力偶作用處，剪力連續(xù)，彎矩發(fā)生突變，剪力連續(xù)，彎矩發(fā)生突變，其突變量就等于集中力偶矩的值。其突變量就等于集中力

21、偶矩的值。 1231122133 (0)53( ) (2 )223 (23 )2 (0)5( )() (2 )23(3) (23 )2yszFxaFxFFFaxaFaxaFxxaMxFxF xaaxaFaxaxa 彎曲桿件的內(nèi)力彎曲桿件的內(nèi)力2-1-5 載荷、剪力與彎矩間的關(guān)系載荷、剪力與彎矩間的關(guān)系0yF( )( )( )d( )0yyySSSq x dxFxFxFx0CMd( )( )d( )d( )d( )02yzSzzxMxFxxq xxMxMx彎曲桿件的內(nèi)力彎曲桿件的內(nèi)力內(nèi)力突變規(guī)律內(nèi)力突變規(guī)律2-1-5 載荷、剪力與彎矩間的關(guān)系載荷、剪力與彎矩間的關(guān)系彎曲桿件的內(nèi)力彎曲桿件的內(nèi)力一

22、段梁上的一段梁上的外力情況外力情況剪力圖的特征剪力圖的特征彎矩圖的特征彎矩圖的特征最大彎矩所在截最大彎矩所在截面的可能位置面的可能位置q0向下的均布荷載向下的均布荷載無荷載無荷載集中力集中力FC集中力偶集中力偶mC上凸的二次拋上凸的二次拋物線物線在在FS=0的截面的截面一般斜直線一般斜直線或或在在C處有突變處有突變F在在C處有尖角處有尖角在剪力突變的在剪力突變的截面截面在在C處無變化處無變化C在在C處有突變處有突變m在緊靠在緊靠C的某一的某一側(cè)截面?zhèn)冉孛嫦蜃笙聝A斜的直線向左下傾斜的直線 水平直線水平直線 2 各種荷載下剪力圖與彎矩圖的形態(tài)各種荷載下剪力圖與彎矩圖的形態(tài)：彎曲桿件的內(nèi)力彎曲桿件的內(nèi)力F FAyAy0.89 kN 0.89 kN F FFyFy1.11 kN 1.11 kN FBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kNDC（+）（-）Fsy（ kN）0.891.11練習(xí)練習(xí)1： 作圖