第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)

1、第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)1 -1質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng),在時(shí)刻t 質(zhì)點(diǎn)的位矢為r,速度為v ,速率為v,t 至(t t)時(shí)間內(nèi)的位移為r, 路程為s, 位矢大小的變化量為r ( 或稱r),平均速度為,平均速率為(1) 根據(jù)上述情況,則必有()(A) r= s = r(B) r s r,當(dāng)t0 時(shí)有dr= ds dr(C) r r s,當(dāng)t0 時(shí)有dr= dr ds(D) r s r,當(dāng)t0 時(shí)有dr= dr = ds(2) 根據(jù)上述情況,則必有()(A) = ,= (B) , (C) = , (D) ,= 分析與解(1) 質(zhì)點(diǎn)在t 至(t t)時(shí)間內(nèi)沿曲線從P 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn),各量關(guān)系如圖所示, 其中路程s P

2、P, 位移大小rPP,而r r-r表示質(zhì)點(diǎn)位矢大小的變化量,三個(gè)量的物理含義不同,在曲線運(yùn)動(dòng)中大小也不相等(注：在直線運(yùn)動(dòng)中有相等的可能)但當(dāng)t0 時(shí),點(diǎn)P無(wú)限趨近P點(diǎn),則有drds,但卻不等于dr故選(B)(2) 由于r s,故,即但由于drds,故,即由此可見(jiàn),應(yīng)選(C)1 -2一運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在某瞬時(shí)位于位矢r(x,y)的端點(diǎn)處,對(duì)其速度的大小有四種意見(jiàn),即(1)；(2)；(3)；(4)下述判斷正確的是()(A) 只有(1)(2)正確 (B) 只有(2)正確(C) 只有(2)(3)正確 (D) 只有(3)(4)正確分析與解表示質(zhì)點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離隨時(shí)間的變化率,在極坐標(biāo)系中叫徑向速率通常用符號(hào)

3、vr表示,這是速度矢量在位矢方向上的一個(gè)分量；表示速度矢量；在自然坐標(biāo)系中速度大小可用公式計(jì)算,在直角坐標(biāo)系中則可由公式求解故選(D)1 -3質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng),r 表示位置矢量, v表示速度,a表示加速度,s 表示路程, a表示切向加速度對(duì)下列表達(dá)式,即(1)d v /dt a；(2)dr/dt v；(3)ds/dt v；(4)d v /dta下述判斷正確的是()(A) 只有(1)、(4)是對(duì)的 (B) 只有(2)、(4)是對(duì)的(C) 只有(2)是對(duì)的 (D) 只有(3)是對(duì)的分析與解表示切向加速度a,它表示速度大小隨時(shí)間的變化率,是加速度矢量沿速度方向的一個(gè)分量,起改變速度大小的作用；在極坐標(biāo)

4、系中表示徑向速率vr(如題1 -2 所述)；在自然坐標(biāo)系中表示質(zhì)點(diǎn)的速率v；而表示加速度的大小而不是切向加速度a因此只有(3) 式表達(dá)是正確的故選(D)1 -4一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),則有()(A) 切向加速度一定改變,法向加速度也改變(B) 切向加速度可能不變,法向加速度一定改變(C) 切向加速度可能不變,法向加速度不變(D) 切向加速度一定改變,法向加速度不變分析與解加速度的切向分量a起改變速度大小的作用,而法向分量an起改變速度方向的作用質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),由于速度方向不斷改變,相應(yīng)法向加速度的方向也在不斷改變,因而法向加速度是一定改變的至于a是否改變,則要視質(zhì)點(diǎn)的速率情況而定質(zhì)點(diǎn)作勻速率

5、圓周運(yùn)動(dòng)時(shí), a恒為零；質(zhì)點(diǎn)作勻變速率圓周運(yùn)動(dòng)時(shí), a為一不為零的恒量,當(dāng)a改變時(shí),質(zhì)點(diǎn)則作一般的變速率圓周運(yùn)動(dòng)由此可見(jiàn),應(yīng)選(B) *1 -5如圖所示,湖中有一小船,有人用繩繞過(guò)岸上一定高度處的定滑輪拉湖中的船向岸邊運(yùn)動(dòng)設(shè)該人以勻速率v0 收繩,繩不伸長(zhǎng)且湖水靜止,小船的速率為v,則小船作()(A) 勻加速運(yùn)動(dòng), (B) 勻減速運(yùn)動(dòng), (C) 變加速運(yùn)動(dòng),(D) 變減速運(yùn)動(dòng), (E) 勻速直線運(yùn)動(dòng),分析與解本題關(guān)鍵是先求得小船速度表達(dá)式,進(jìn)而判斷運(yùn)動(dòng)性質(zhì)為此建立如圖所示坐標(biāo)系,設(shè)定滑輪距水面高度為h,t 時(shí)刻定滑輪距小船的繩長(zhǎng)為l,則小船的運(yùn)動(dòng)方程為,其中繩長(zhǎng)l 隨時(shí)間t 而變化小船速度,式

6、中表示繩長(zhǎng)l 隨時(shí)間的變化率,其大小即為v0,代入整理后為,方向沿x 軸負(fù)向由速度表達(dá)式,可判斷小船作變加速運(yùn)動(dòng)故選(C)討論有人會(huì)將繩子速率v0按x、y 兩個(gè)方向分解,則小船速度,這樣做對(duì)嗎？1 -6已知質(zhì)點(diǎn)沿x 軸作直線運(yùn)動(dòng),其運(yùn)動(dòng)方程為,式中x 的單位為m,t 的單位為 s求：(1) 質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)開始后4.0 s內(nèi)的位移的大小；(2) 質(zhì)點(diǎn)在該時(shí)間內(nèi)所通過(guò)的路程；(3) t4 s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度分析位移和路程是兩個(gè)完全不同的概念只有當(dāng)質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)且運(yùn)動(dòng)方向不改變時(shí),位移的大小才會(huì)與路程相等質(zhì)點(diǎn)在t 時(shí)間內(nèi)的位移x 的大小可直接由運(yùn)動(dòng)方程得到：,而在求路程時(shí),就必須注意到質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程

7、中可能改變運(yùn)動(dòng)方向,此時(shí),位移的大小和路程就不同了為此,需根據(jù)來(lái)確定其運(yùn)動(dòng)方向改變的時(shí)刻tp ,求出0tp 和tpt 內(nèi)的位移大小x1 、x2 ,則t 時(shí)間內(nèi)的路程,如圖所示,至于t 4.0 s 時(shí)質(zhì)點(diǎn)速度和加速度可用和兩式計(jì)算解(1) 質(zhì)點(diǎn)在4.0 s內(nèi)位移的大小 (2) 由 得知質(zhì)點(diǎn)的換向時(shí)刻為 (t0不合題意)則所以,質(zhì)點(diǎn)在4.0 s時(shí)間間隔內(nèi)的路程為 (3) t4.0 s時(shí)1 -7一質(zhì)點(diǎn)沿x 軸方向作直線運(yùn)動(dòng),其速度與時(shí)間的關(guān)系如圖(a)所示設(shè)t0 時(shí),x0試根據(jù)已知的v-t 圖,畫出a-t 圖以及x -t 圖分析根據(jù)加速度的定義可知,在直線運(yùn)動(dòng)中v-t曲線的斜率為加速度的大小(圖中A

8、B、CD 段斜率為定值,即勻變速直線運(yùn)動(dòng)；而線段BC 的斜率為0,加速度為零,即勻速直線運(yùn)動(dòng))加速度為恒量,在a-t 圖上是平行于t 軸的直線,由v-t 圖中求出各段的斜率,即可作出a-t 圖線又由速度的定義可知,x-t 曲線的斜率為速度的大小因此,勻速直線運(yùn)動(dòng)所對(duì)應(yīng)的x -t 圖應(yīng)是一直線,而勻變速直線運(yùn)動(dòng)所對(duì)應(yīng)的xt 圖為t 的二次曲線根據(jù)各段時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)方程xx(t),求出不同時(shí)刻t 的位置x,采用描數(shù)據(jù)點(diǎn)的方法,可作出x-t 圖解將曲線分為AB、BC、CD 三個(gè)過(guò)程,它們對(duì)應(yīng)的加速度值分別為 (勻加速直線運(yùn)動(dòng)) (勻速直線運(yùn)動(dòng)) (勻減速直線運(yùn)動(dòng))根據(jù)上述結(jié)果即可作出質(zhì)點(diǎn)的a-t 圖圖

9、(B)在勻變速直線運(yùn)動(dòng)中,有由此,可計(jì)算在02和46時(shí)間間隔內(nèi)各時(shí)刻的位置分別為用描數(shù)據(jù)點(diǎn)的作圖方法,由表中數(shù)據(jù)可作02和46時(shí)間內(nèi)的x -t 圖在24時(shí)間內(nèi), 質(zhì)點(diǎn)是作的勻速直線運(yùn)動(dòng), 其x -t 圖是斜率k20的一段直線圖(c)1 -8已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為,式中r 的單位為m,t 的單位為求：(1) 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡；(2) t 0 及t 2時(shí),質(zhì)點(diǎn)的位矢；(3) 由t 0 到t 2內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的位移r 和徑向增量r； *(4) 2 內(nèi)質(zhì)點(diǎn)所走過(guò)的路程s分析質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程為y f(x),可由運(yùn)動(dòng)方程的兩個(gè)分量式x(t)和y(t)中消去t 即可得到對(duì)于r、r、r、s 來(lái)說(shuō),物理含義不同,可根據(jù)其定義

10、計(jì)算其中對(duì)s的求解用到積分方法,先在軌跡上任取一段微元ds,則,最后用積分求解(1) 由x(t)和y(t)中消去t 后得質(zhì)點(diǎn)軌跡方程為這是一個(gè)拋物線方程,軌跡如圖(a)所示(2) 將t 0和t 2分別代入運(yùn)動(dòng)方程,可得相應(yīng)位矢分別為 , 圖(a)中的P、Q 兩點(diǎn),即為t 0和t 2時(shí)質(zhì)點(diǎn)所在位置(3) 由位移表達(dá)式,得其中位移大小而徑向增量*(4) 如圖(B)所示,所求s 即為圖中PQ段長(zhǎng)度,先在其間任意處取AB 微元ds,則,由軌道方程可得,代入ds,則2內(nèi)路程為1 -9質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為式中x,y 的單位為m,t 的單位為試求：(1) 初速度的大小和方向；(2) 加速度的大小和方向分析由運(yùn)動(dòng)

11、方程的分量式可分別求出速度、加速度的分量,再由運(yùn)動(dòng)合成算出速度和加速度的大小和方向解(1) 速度的分量式為當(dāng)t 0 時(shí), vox -10 m·-1 , voy 15 m·-1 ,則初速度大小為設(shè)vo與x 軸的夾角為,則123°41(2) 加速度的分量式為 , 則加速度的大小為設(shè)a 與x 軸的夾角為,則-33°41(或326°19)1 -10一升降機(jī)以加速度1.22 m·-2上升,當(dāng)上升速度為2.44 m·-1時(shí),有一螺絲自升降機(jī)的天花板上松脫,天花板與升降機(jī)的底面相距2.74 m計(jì)算：(1)螺絲從天花板落到底面所需要的時(shí)間；

12、(2)螺絲相對(duì)升降機(jī)外固定柱子的下降距離分析在升降機(jī)與螺絲之間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)的情況下,一種處理方法是取地面為參考系,分別討論升降機(jī)豎直向上的勻加速度運(yùn)動(dòng)和初速不為零的螺絲的自由落體運(yùn)動(dòng),列出這兩種運(yùn)動(dòng)在同一坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)方程y1 y1(t)和y2 y2(t),并考慮它們相遇,即位矢相同這一條件,問(wèn)題即可解；另一種方法是取升降機(jī)(或螺絲)為參考系,這時(shí),螺絲(或升降機(jī))相對(duì)它作勻加速運(yùn)動(dòng),但是,此加速度應(yīng)該是相對(duì)加速度升降機(jī)廂的高度就是螺絲(或升降機(jī))運(yùn)動(dòng)的路程解1(1) 以地面為參考系,取如圖所示的坐標(biāo)系,升降機(jī)與螺絲的運(yùn)動(dòng)方程分別為當(dāng)螺絲落至底面時(shí),有y1 y2 ,即 (2) 螺絲相對(duì)升降機(jī)外固

13、定柱子下降的距離為解2(1)以升降機(jī)為參考系,此時(shí),螺絲相對(duì)它的加速度大小ag a,螺絲落至底面時(shí),有(2) 由于升降機(jī)在t 時(shí)間內(nèi)上升的高度為則 1 -11一質(zhì)點(diǎn)P 沿半徑R 3.0 m的圓周作勻速率運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)一周所需時(shí)間為20.0,設(shè)t 0 時(shí),質(zhì)點(diǎn)位于O 點(diǎn)按(a)圖中所示Oxy 坐標(biāo)系,求(1) 質(zhì)點(diǎn)P 在任意時(shí)刻的位矢；(2)5時(shí)的速度和加速度分析該題屬于運(yùn)動(dòng)學(xué)的第一類問(wèn)題,即已知運(yùn)動(dòng)方程r r(t)求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的一切信息(如位置矢量、位移、速度、加速度)在確定運(yùn)動(dòng)方程時(shí),若取以點(diǎn)(0,3)為原點(diǎn)的Oxy坐標(biāo)系,并采用參數(shù)方程xx(t)和yy(t)來(lái)表示圓周運(yùn)動(dòng)是比較方便的然后,運(yùn)用坐

14、標(biāo)變換x x0 x和y y0 y,將所得參數(shù)方程轉(zhuǎn)換至Oxy 坐標(biāo)系中,即得Oxy 坐標(biāo)系中質(zhì)點(diǎn)P 在任意時(shí)刻的位矢采用對(duì)運(yùn)動(dòng)方程求導(dǎo)的方法可得速度和加速度解(1) 如圖(B)所示,在Oxy坐標(biāo)系中,因,則質(zhì)點(diǎn)P 的參數(shù)方程為,坐標(biāo)變換后,在Oxy 坐標(biāo)系中有,則質(zhì)點(diǎn)P 的位矢方程為(2) 5時(shí)的速度和加速度分別為 1 -12地面上垂直豎立一高20.0 m 的旗桿,已知正午時(shí)分太陽(yáng)在旗桿的正上方,求在下午200 時(shí),桿頂在地面上的影子的速度的大小在何時(shí)刻桿影伸展至20.0 m？分析為求桿頂在地面上影子速度的大小,必須建立影長(zhǎng)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系,即影子端點(diǎn)的位矢方程根據(jù)幾何關(guān)系,影長(zhǎng)可通過(guò)太陽(yáng)光線

15、對(duì)地轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度求得由于運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性,太陽(yáng)光線對(duì)地轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度也就是地球自轉(zhuǎn)的角速度這樣,影子端點(diǎn)的位矢方程和速度均可求得解設(shè)太陽(yáng)光線對(duì)地轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為,從正午時(shí)分開始計(jì)時(shí),則桿的影長(zhǎng)為shtgt,下午200 時(shí),桿頂在地面上影子的速度大小為當(dāng)桿長(zhǎng)等于影長(zhǎng)時(shí),即s h,則即為下午300 時(shí)1 -13質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng),加速度a4 -t2 ,式中a的單位為m·-2 ,t的單位為如果當(dāng)t 3時(shí),x9 m,v 2 m·-1 ,求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程分析本題屬于運(yùn)動(dòng)學(xué)第二類問(wèn)題,即已知加速度求速度和運(yùn)動(dòng)方程,必須在給定條件下用積分方法解決由和可得和如aa(t)或v v(t),則可兩邊直接積分

16、如果a 或v不是時(shí)間t 的顯函數(shù),則應(yīng)經(jīng)過(guò)諸如分離變量或變量代換等數(shù)學(xué)操作后再做積分解由分析知,應(yīng)有得 (1)由 得 (2)將t3時(shí),x9 m,v2 m·-1代入(1) (2)得v0-1 m·-1,x00.75 m于是可得質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程為1 -14一石子從空中由靜止下落,由于空氣阻力,石子并非作自由落體運(yùn)動(dòng),現(xiàn)測(cè)得其加速度aA -Bv,式中A、B 為正恒量,求石子下落的速度和運(yùn)動(dòng)方程分析本題亦屬于運(yùn)動(dòng)學(xué)第二類問(wèn)題,與上題不同之處在于加速度是速度v的函數(shù),因此,需將式dv a(v)dt 分離變量為后再兩邊積分解選取石子下落方向?yàn)閥 軸正向,下落起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)(1) 由題意知 (

17、1)用分離變量法把式(1)改寫為 (2)將式(2)兩邊積分并考慮初始條件,有得石子速度 由此可知當(dāng),t時(shí),為一常量,通常稱為極限速度或收尾速度(2) 再由并考慮初始條件有得石子運(yùn)動(dòng)方程1 -15一質(zhì)點(diǎn)具有恒定加速度a 6i 4j,式中a的單位為m·-2 在t0時(shí),其速度為零,位置矢量r0 10 mi求：(1) 在任意時(shí)刻的速度和位置矢量；(2) 質(zhì)點(diǎn)在Oxy 平面上的軌跡方程,并畫出軌跡的示意圖分析與上兩題不同處在于質(zhì)點(diǎn)作平面曲線運(yùn)動(dòng),根據(jù)疊加原理,求解時(shí)需根據(jù)加速度的兩個(gè)分量ax 和ay分別積分,從而得到運(yùn)動(dòng)方程r的兩個(gè)分量式x(t)和y(t)由于本題中質(zhì)點(diǎn)加速度為恒矢量,故兩次積

18、分后所得運(yùn)動(dòng)方程為固定形式,即和,兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)均為勻變速直線運(yùn)動(dòng)讀者不妨自己驗(yàn)證一下解由加速度定義式,根據(jù)初始條件t0 0時(shí)v0 0,積分可得又由及初始條件t0 時(shí),r0(10 m)i,積分可得由上述結(jié)果可得質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程的分量式,即x 103t2y 2t2消去參數(shù)t,可得運(yùn)動(dòng)的軌跡方程3y 2x -20 m這是一個(gè)直線方程直線斜率,33°41軌跡如圖所示1 -16一質(zhì)點(diǎn)在半徑為R 的圓周上以恒定的速率運(yùn)動(dòng),質(zhì)點(diǎn)由位置A 運(yùn)動(dòng)到位置B,OA 和OB 所對(duì)的圓心角為(1) 試證位置A 和B 之間的平均加速度為；(2) 當(dāng)分別等于90°、30°、10°和1

19、76;時(shí),平均加速度各為多少？ 并對(duì)結(jié)果加以討論分析瞬時(shí)加速度和平均加速度的物理含義不同,它們分別表示為和在勻速率圓周運(yùn)動(dòng)中,它們的大小分別為, ,式中v可由圖(B)中的幾何關(guān)系得到,而t 可由轉(zhuǎn)過(guò)的角度 求出由計(jì)算結(jié)果能清楚地看到兩者之間的關(guān)系,即瞬時(shí)加速度是平均加速度在t0 時(shí)的極限值解(1) 由圖(b)可看到v v2 -v1 ,故而所以 (2) 將90°,30°,10°,1°分別代入上式,得,以上結(jié)果表明,當(dāng)0 時(shí),勻速率圓周運(yùn)動(dòng)的平均加速度趨近于一極限值,該值即為法向加速度1 -17質(zhì)點(diǎn)在Oxy 平面內(nèi)運(yùn)動(dòng),其運(yùn)動(dòng)方程為r2.0ti (19.0

20、-2.0t2 )j,式中r 的單位為m,t的單位為s求：(1)質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程；(2) 在t11.0s 到t2 2.0s 時(shí)間內(nèi)的平均速度；(3) t1 1.0時(shí)的速度及切向和法向加速度；(4) t 1.0s 時(shí)質(zhì)點(diǎn)所在處軌道的曲率半徑分析根據(jù)運(yùn)動(dòng)方程可直接寫出其分量式x x(t)和y y(t),從中消去參數(shù)t,即得質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程平均速度是反映質(zhì)點(diǎn)在一段時(shí)間內(nèi)位置的變化率,即,它與時(shí)間間隔t 的大小有關(guān),當(dāng)t0 時(shí),平均速度的極限即瞬時(shí)速度切向和法向加速度是指在自然坐標(biāo)下的分矢量a 和an ,前者只反映質(zhì)點(diǎn)在切線方向速度大小的變化率,即,后者只反映質(zhì)點(diǎn)速度方向的變化,它可由總加速度a 和a 得到

21、在求得t1 時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度和法向加速度的大小后,可由公式求解(1) 由參數(shù)方程x 2.0t,y 19.0-2.0t2消去t 得質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程：y 19.0 -0.50x2 (2) 在t1 1.00 到t2 2.0時(shí)間內(nèi)的平均速度(3) 質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的速度和加速度分別為則t1 1.00時(shí)的速度v(t)t 12.0i -4.0j切向和法向加速度分別為(4) t 1.0質(zhì)點(diǎn)的速度大小為則1 -18飛機(jī)以100 m·-1 的速度沿水平直線飛行,在離地面高為100 m時(shí),駕駛員要把物品空投到前方某一地面目標(biāo)處,問(wèn)：(1) 此時(shí)目標(biāo)在飛機(jī)正下方位置的前面多遠(yuǎn)？ (2) 投放物品時(shí),駕駛員看目標(biāo)

22、的視線和水平線成何角度？(3) 物品投出2.0后,它的法向加速度和切向加速度各為多少？分析物品空投后作平拋運(yùn)動(dòng)忽略空氣阻力的條件下,由運(yùn)動(dòng)獨(dú)立性原理知,物品在空中沿水平方向作勻速直線運(yùn)動(dòng),在豎直方向作自由落體運(yùn)動(dòng)到達(dá)地面目標(biāo)時(shí),兩方向上運(yùn)動(dòng)時(shí)間是相同的因此,分別列出其運(yùn)動(dòng)方程,運(yùn)用時(shí)間相等的條件,即可求解此外,平拋物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只存在豎直向下的重力加速度為求特定時(shí)刻t時(shí)物體的切向加速度和法向加速度,只需求出該時(shí)刻它們與重力加速度之間的夾角或由圖可知,在特定時(shí)刻t,物體的切向加速度和水平線之間的夾角,可由此時(shí)刻的兩速度分量vx 、vy求出,這樣,也就可將重力加速度g 的切向和法向分量求得解(1

23、) 取如圖所示的坐標(biāo),物品下落時(shí)在水平和豎直方向的運(yùn)動(dòng)方程分別為x vt,y 1/2 gt2飛機(jī)水平飛行速度v100 m·s-1 ,飛機(jī)離地面的高度y100 m,由上述兩式可得目標(biāo)在飛機(jī)正下方前的距離(2) 視線和水平線的夾角為(3) 在任意時(shí)刻物品的速度與水平軸的夾角為取自然坐標(biāo),物品在拋出2s 時(shí),重力加速度的切向分量與法向分量分別為1 -19如圖(a)所示,一小型迫擊炮架設(shè)在一斜坡的底端O 處,已知斜坡傾角為,炮身與斜坡的夾角為,炮彈的出口速度為v0,忽略空氣阻力求：(1)炮彈落地點(diǎn)P 與點(diǎn)O 的距離OP；(2) 欲使炮彈能垂直擊中坡面證明和必須滿足并與v0 無(wú)關(guān)分析這是一個(gè)斜

24、上拋運(yùn)動(dòng),看似簡(jiǎn)單,但針對(duì)題目所問(wèn),如不能靈活運(yùn)用疊加原理,建立一個(gè)恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,將運(yùn)動(dòng)分解的話,求解起來(lái)并不容易現(xiàn)建立如圖(a)所示坐標(biāo)系,則炮彈在x 和y 兩個(gè)方向的分運(yùn)動(dòng)均為勻減速直線運(yùn)動(dòng),其初速度分別為v0cos和v0sin,其加速度分別為gsin和gcos在此坐標(biāo)系中炮彈落地時(shí),應(yīng)有y 0,則x OP如欲使炮彈垂直擊中坡面,則應(yīng)滿足vx 0,直接列出有關(guān)運(yùn)動(dòng)方程和速度方程,即可求解由于本題中加速度g 為恒矢量故第一問(wèn)也可由運(yùn)動(dòng)方程的矢量式計(jì)算,即,做出炮彈落地時(shí)的矢量圖如圖(B)所示,由圖中所示幾何關(guān)系也可求得 (即圖中的r 矢量)(1)解1由分析知,炮彈在圖(a)所示坐標(biāo)系中兩個(gè)分

25、運(yùn)動(dòng)方程為 (1) (2)令y 0 求得時(shí)間t 后再代入式(1)得解2做出炮彈的運(yùn)動(dòng)矢量圖,如圖(b)所示,并利用正弦定理,有從中消去t 后也可得到同樣結(jié)果(2) 由分析知,如炮彈垂直擊中坡面應(yīng)滿足y 0 和vx 0,則 (3)由(2)(3)兩式消去t 后得由此可知只要角和滿足上式,炮彈就能垂直擊中坡面,而與v0 的大小無(wú)關(guān)討論如將炮彈的運(yùn)動(dòng)按水平和豎直兩個(gè)方向分解,求解本題將會(huì)比較困難,有興趣讀者不妨自己體驗(yàn)一下1 -20一直立的雨傘,張開后其邊緣圓周的半徑為R,離地面的高度為h,(1) 當(dāng)傘繞傘柄以勻角速旋轉(zhuǎn)時(shí),求證水滴沿邊緣飛出后落在地面上半徑為的圓周上；(2) 讀者能否由此定性構(gòu)想一種

26、草坪上或農(nóng)田灌溉用的旋轉(zhuǎn)式灑水器的方案？分析選定傘邊緣O 處的雨滴為研究對(duì)象,當(dāng)傘以角速度旋轉(zhuǎn)時(shí),雨滴將以速度v 沿切線方向飛出,并作平拋運(yùn)動(dòng)建立如圖(a)所示坐標(biāo)系,列出雨滴的運(yùn)動(dòng)方程并考慮圖中所示幾何關(guān)系,即可求證由此可以想像如果讓水從一個(gè)旋轉(zhuǎn)的有很多小孔的噴頭中飛出,從不同小孔中飛出的水滴將會(huì)落在半徑不同的圓周上,為保證均勻噴灑對(duì)噴頭上小孔的分布還要給予精心的考慮解(1) 如圖(a)所示坐標(biāo)系中,雨滴落地的運(yùn)動(dòng)方程為 (1) (2)由式(1)(2)可得 由圖(a)所示幾何關(guān)系得雨滴落地處圓周的半徑為(2) 常用草坪噴水器采用如圖(b)所示的球面噴頭(0 45°)其上有大量小孔噴

27、頭旋轉(zhuǎn)時(shí),水滴以初速度v0 從各個(gè)小孔中噴出,并作斜上拋運(yùn)動(dòng),通常噴頭表面基本上與草坪處在同一水平面上則以角噴射的水柱射程為為使噴頭周圍的草坪能被均勻噴灑,噴頭上的小孔數(shù)不但很多,而且還不能均勻分布,這是噴頭設(shè)計(jì)中的一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題1 -21一足球運(yùn)動(dòng)員在正對(duì)球門前25.0 m 處以20.0 m·-1 的初速率罰任意球,已知球門高為3.44 m若要在垂直于球門的豎直平面內(nèi)將足球直接踢進(jìn)球門,問(wèn)他應(yīng)在與地面成什么角度的范圍內(nèi)踢出足球？ (足球可視為質(zhì)點(diǎn)) 分析被踢出后的足球,在空中作斜拋運(yùn)動(dòng),其軌跡方程可由質(zhì)點(diǎn)在豎直平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)方程得到由于水平距離x 已知,球門高度又限定了在y 方向的范圍

28、,故只需將x、y 值代入即可求出解取圖示坐標(biāo)系Oxy,由運(yùn)動(dòng)方程,消去t 得軌跡方程以x 25.0 m,v 20.0 m·-1 及3.44 my0 代入后,可解得7111°1 6992°2792°2 1889°如何理解上述角度的范圍？在初速一定的條件下,球擊中球門底線或球門上緣都將對(duì)應(yīng)有兩個(gè)不同的投射傾角(如圖所示)如果以7111°或 18.89°踢出足球,都將因射程不足而不能直接射入球門；由于球門高度的限制, 角也并非能取71.11°與18.89°之間的任何值當(dāng)傾角取值為27.92° 6992

29、°時(shí),踢出的足球?qū)⒃竭^(guò)門緣而離去,這時(shí)球也不能射入球門因此可取的角度范圍只能是解中的結(jié)果1 -22一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為R 的圓周按規(guī)律運(yùn)動(dòng),v0 、b 都是常量(1) 求t 時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的總加速度；(2) t 為何值時(shí)總加速度在數(shù)值上等于b？(3) 當(dāng)加速度達(dá)到b 時(shí),質(zhì)點(diǎn)已沿圓周運(yùn)行了多少圈？分析在自然坐標(biāo)中,s 表示圓周上從某一點(diǎn)開始的曲線坐標(biāo)由給定的運(yùn)動(dòng)方程s s(t),對(duì)時(shí)間t 求一階、二階導(dǎo)數(shù),即是沿曲線運(yùn)動(dòng)的速度v 和加速度的切向分量a,而加速度的法向分量為anv2 /R這樣,總加速度為a aeanen至于質(zhì)點(diǎn)在t 時(shí)間內(nèi)通過(guò)的路程,即為曲線坐標(biāo)的改變量sst -s0因圓周長(zhǎng)為2R

30、,質(zhì)點(diǎn)所轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)自然可求得解(1) 質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)的速率為其加速度的切向分量和法向分量分別為, 故加速度的大小為其方向與切線之間的夾角為(2) 要使ab,由可得(3) 從t0 開始到tv0 /b 時(shí),質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路程為因此質(zhì)點(diǎn)運(yùn)行的圈數(shù)為1 -23一半徑為0.50 m 的飛輪在啟動(dòng)時(shí)的短時(shí)間內(nèi),其角速度與時(shí)間的平方成正比在t2.0 時(shí)測(cè)得輪緣一點(diǎn)的速度值為4.0 m·-1求：(1) 該輪在t0.5的角速度,輪緣一點(diǎn)的切向加速度和總加速度；(2)該點(diǎn)在2.0內(nèi)所轉(zhuǎn)過(guò)的角度分析首先應(yīng)該確定角速度的函數(shù)關(guān)系kt2依據(jù)角量與線量的關(guān)系由特定時(shí)刻的速度值可得相應(yīng)的角速度,從而求出式中的比例系數(shù)

31、k,(t)確定后,注意到運(yùn)動(dòng)的角量描述與線量描述的相應(yīng)關(guān)系,由運(yùn)動(dòng)學(xué)中兩類問(wèn)題求解的方法(微分法和積分法),即可得到特定時(shí)刻的角加速度、切向加速度和角位移解因R v,由題意t2 得比例系數(shù)所以 則t0.5 時(shí)的角速度、角加速度和切向加速度分別為總加速度在2.0內(nèi)該點(diǎn)所轉(zhuǎn)過(guò)的角度1 -24一質(zhì)點(diǎn)在半徑為0.10 m的圓周上運(yùn)動(dòng),其角位置為,式中 的單位為rad,t 的單位為(1) 求在t 2.0時(shí)質(zhì)點(diǎn)的法向加速度和切向加速度(2) 當(dāng)切向加速度的大小恰等于總加速度大小的一半時(shí), 值為多少？(3) t 為多少時(shí),法向加速度和切向加速度的值相等？分析掌握角量與線量、角位移方程與位矢方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系,應(yīng)用運(yùn)動(dòng)學(xué)求解的方法即可得到解(1) 由于,則角速度在t 2 時(shí),法向加速度和切向加速度的數(shù)值分別為(2) 當(dāng)時(shí),有,即得 此時(shí)刻的角位置為(3) 要使,則有t 0.551 -25一無(wú)風(fēng)的下雨天,一列火車以v120.0 m·-1 的速度勻速前進(jìn),在車內(nèi)的旅客看見(jiàn)玻璃窗外的雨滴和垂線成75°角下降求雨滴下落的速度v2 (設(shè)下降的雨滴作勻速運(yùn)動(dòng))分析這是一個(gè)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題設(shè)雨滴為研究對(duì)象,地面為靜止參考系,火車為動(dòng)參考系v1 為相對(duì) 的速度,v2 為雨滴相對(duì)的速度,利用相對(duì)運(yùn)