ARCH模型和GARCH模型yukz

1、ARCH模型和 GARCH模型Robert F. EngleCliveW. J. Granger本章模型與以前所學(xué)的異方差的不同之處： 隨機擾動項的 無條件方差 雖然是常數(shù)，但是條件方差 是按規(guī)律變動的量。引子 - 問題的提出以前介紹的異方差屬于遞增型異方差，即隨機誤差項方差的變化隨解釋變量的增大而增大。但利率，匯率，股票收益等時間序列中存在的異方差卻不屬于遞增型異方差。例如，匯率，股票價格常常用隨機游走過程描述，yt =yt -1 +t其中 t 為白噪聲過程，1995-2000年日元兌美元匯率時間序列及差分序列見圖1 和圖2。圖 1日元兌美元匯率序列JPY(1995-2000)圖 3收益絕對

2、值序列(1995-2000)圖 2日元兌美元匯率差分序列（收益）D(JPY)圖 4 D(JPY) 的平方 (1995-2000)這種序列的特征是 （ 1）過程的方差不僅隨時間變化，而且有時變化得很激烈。（2）按時間觀察，表現(xiàn)出“波動集群” （volatility clustering）特征，即方差在一定時段中比較小，而在另一時段中比較大。（ 3）從取值的分布看表現(xiàn)的則是“高峰厚尾”（ leptokurtosis and fat-tail ）特征，即均值附近與尾區(qū)的概率值比正態(tài)分布大，而其余區(qū)域的概率比正態(tài)分布小。圖 5 給出高峰厚尾分布示意圖。高峰厚尾分布曲線正態(tài)分布曲線圖 5高峰厚尾分布特征

3、示意圖顯然現(xiàn)期方差與前期的“波動”有關(guān)系。描述這類關(guān)系的模型稱為自回歸條件異方差（ ARCH）模型（ Engle 1982 年提出）。使用 ARCH模型的理由是：（1）通過預(yù)測 yt或 ut 的變化量 評估股票的持有或交易對收益所帶來的風(fēng)險有多大，以及決策的代價有多大；（2）可以預(yù)測yt 的置信區(qū)間，它是隨時間變化的； （3）對條件異方差進行正確估計后可以使回歸參數(shù)的估計量更具有有效性。§1、 ARCH模型1、條件方差多元線性回歸模型：條件方差 或者波動率（Condition variance，volatility）定義為其中t 1 是信息集。2、ARCH模型的定義Engle（198

4、2）提出 ARCH模型（autoregressive conditional heteroskedasticity ，自回歸條件異方差）。ARCH(q)模型：yt xtt（1）t 的無條件方差 是常數(shù)，但是其 條件分布 為22Lt1 t 1其中t 1 是信息集。方程（ 1）是均值方程（ mean equation ）2（2）q t q? t2 ：條件方差，含義是基于過去信息的一期預(yù)測方差方程（ 2）是條件方差方程（ conditional variance equation），由二項組成? 常數(shù)? ARCH項 t2 i ：滯后的殘差平方由于t 2 的非負性，對i 應(yīng)有如下約束，>0,i0

5、,i = 1, 2,q當(dāng)全部i= 0,i= 1, 2, , q 時，條件方差t 2 = 。因為方差是非負的，所以要求 > 0。3、ARCH模型的平穩(wěn)性條件為保證t 2 是一個平穩(wěn)過程，(2)式的特征方程1-1L-2L2-qLq=0的根都應(yīng)在單位圓之外。對 i , i = 1, 2, , q 的另一個約束是01+2+ q<1對(2)式求期望，t 2 = +1 E( t -1 2 ) +2 E(t-2 2) +q E(t-q2)= +1t -1 2+2t -2 2 +當(dāng) T時，2 = +12+22 +2qt- q2q則無條件方差可見若保證t 2 是一個平穩(wěn)過程，應(yīng)該有約束0(1 +2

6、+q ) < 1。因為 Var( yt ) =Var( t ) =t 2，所以上式可以用來預(yù)測yt 的方差。綜上所述， ARCH模型的方差方程的的平穩(wěn)性條件有1) 1- 1L- 2L2 - - qLq=0 的根都應(yīng)在單位圓之外。2) 0+ + +<112q為使模型能夠成立還需要滿足 >0, i 0, i = 1, 2,q例 1ARCH(1) 模型中參數(shù)1 的含義：當(dāng)當(dāng)1 1 時， var( t )10時，退化為傳統(tǒng)情形，t : N (0,)4、ARCH效應(yīng)檢驗ARCH LM Test：拉格朗日乘數(shù)檢驗建立輔助回歸方程此處 e 是回歸殘差。原假設(shè)：H0：序列不存在 ARCH效應(yīng)

7、即H0：1 2Lq 0可以證明：若 H0 為真，則2此處， m為輔助回歸方程的樣本個數(shù)。R 為輔助回歸方程的確定系數(shù)。 view/residual/Tests/ARCH LM Test§ 2、 ARCH模型的實證分析從收盤價，得到收益率數(shù)據(jù)序列。series r=log(p)-log(p(-1)點擊序列 p，然后 view/line graph1、檢驗是否有ARCH現(xiàn)象。首先回歸。取2000 到 2254 的樣本。輸入 ls r c，得到Dependent Variable: RMethod: Least SquaresDate: 10/21/04 Time: 21:26Sample

8、: 2000 2254Included observations: 255VariableCoefficienStd. Error t-StatisticProb.tC0.0004320.0010870.3971300.6916R-squared0.000000Mean dependent var0.000432Adjusted R-squared0.000000S.D. dependent var0.017364S.E. of regression0.017364Akaike info-5.264978criterionSum squared resid0.076579Schwarz cri

9、terion-5.251091Log likelihood672.2847Durbin-Watson stat2.049819問題：這樣進行回歸的含義是什么？其次， view/residual tests/ARCH LM test，得到ARCH Test:F-statistic5.220573Probability0.000001Obs*R-squared44.68954Probability0.000002Test Equation:Dependent Variable: RESID2Method: Least SquaresDate: 10/21/04Time: 21:27Sample(a

10、djusted): 2010 2254Included observations: 245 after adjusting endpointsVariableCoefficienStd. Error t-StatisticProb.tC0.0001105.34E-052.0601380.0405RESID2(-1)0.1415490.0652372.1697760.0310RESID2(-2)0.0550130.0658230.8357660.4041RESID2(-3)0.3377880.0655685.1516970.0000RESID2(-4)0.0261430.0691800.3778

11、930.7059RESID2(-5)-0.0411040.069052-0.5952600.5522RESID2(-6)-0.0693880.069053-1.0048540.3160RESID2(-7)0.0056170.0691780.0811930.9354RESID2(-8)0.1022380.0655451.5598060.1202RESID2(-9)0.0112240.0657850.1706190.8647RESID2(-10)0.0644150.0651570.9886130.3239R-squared0.182406Mean dependent var0.000305Adju

12、sted R-squared0.147466S.D. dependent var0.000679S.E. of regression0.000627Akaike info-11.86836criterionSum squared resid9.19E-05Schwarz criterion-11.71116Log likelihood1464.875F-statistic5.220573Durbin-Watson stat2.004802Prob(F-statistic)0.000001得到什么結(jié)論？2、模型定階：如何確定q實施 ARCH LM test 時，取較大的q，觀察滯后殘差平方的t

13、統(tǒng)計量的 pvalue即可。此處選取 q 3。因此，可以對殘差建立ARCH(3)模型。3、ARCH模型的參數(shù)估計參數(shù)估計采用最大似然估計。具體方法在GARCH一節(jié)中講解。如何實施 ARCH過程：由于存在 ARCH效應(yīng)，所以點擊estimate ，在 method 中選取 ARCH得到如下結(jié)果Dependent Variable: RMethod: ML - ARCHDate: 10/21/04 Time: 21:48Sample: 2000 2254Included observations: 255Convergence achieved after 13 iterationsCoeffic

14、ienStd. Error z-StatisticProb.tC-0.0006400.000750-0.8528880.3937Variance EquationC9.24E-051.66E-055.5693370.0000ARCH(1)0.2447930.0826402.9621420.0031ARCH(2)0.0814250.0774281.0516240.2930ARCH(3)0.4578830.1096984.1740430.0000R-squared-0.003823Mean dependent var0.000432Adjusted R-squared-0.019884S.D. d

15、ependent var0.017364S.E. of regression0.017535Akaike info-5.495982criterionSum squared resid0.076872Schwarz criterion-5.426545Log likelihood705.7377Durbin-Watson stat2.042013為了比較，觀察將q 放大對系數(shù)估計的影響Dependent Variable: RMethod: ML - ARCHDate: 10/21/04 Time: 21:54Sample: 2000 2254Included observations: 25

16、5Convergence achieved after 16 iterationsCoefficienStd. Error z-StatisticProb.tC-0.0006010.000751-0.7999090.4238Variance EquationC9.38E-051.60E-055.8807410.0000ARCH(1)0.2620090.0902562.9029590.0037ARCH(2)0.0419300.0705180.5945960.5521ARCH(3)0.4521870.1084884.1680760.0000ARCH(4)-0.0219200.050982-0.42

17、99560.6672ARCH(5)0.0376200.0443940.8474080.3968R-squared-0.003550Mean dependent var0.000432Adjusted R-squared-0.027830S.D. dependent var0.017364S.E. of regression0.017603Akaike info-5.483292criterionSum squared resid0.076851Schwarz criterion-5.386081Log likelihood706.1198Durbin-Watson stat2.042568觀察

18、：說明 q 選取為 3 確實比較恰當(dāng)。4、ARCH模型是對的嗎？如果 ARCH模型選取正確，即回歸殘差的條件方差是按規(guī)律變化的，那么標(biāo)準(zhǔn)化殘差就會服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即不會有ARCH效應(yīng)了。對 q 為 3 的 ARCH模型做 LM test ，發(fā)現(xiàn)沒有了 ARCH效應(yīng)。注意，雖然是同一個檢驗名稱，但是ARCH過程后是對標(biāo)準(zhǔn)化殘差進行檢驗。注意觀察被解釋變量或者依賴變量是什么？ARCH Test:F-statistic0.238360Probability0.992099Obs*R-squared2.470480Probability0.991299Test Equation:Dependent

19、Variable:STD_RESID2Method: Least SquaresDate: 10/21/04 Time: 21:56Sample(adjusted): 2010 2254Included observations: 245 after adjusting endpointsVariableCoefficienStd. Error t-StatisticProb.tC1.1023710.2649904.1600430.0000STD_RESID2(-1)-0.0385450.065360-0.5897410.5559STD_RESID2(-2)-0.0038040.065308-

20、0.0582520.9536STD_RESID2(-3)-0.0573130.065303-0.8776490.3810STD_RESID2(-4)-0.0103250.065277-0.1581690.8745STD_RESID2(-5)0.0035370.0652800.0541850.9568STD_RESID2(-6)-0.0074200.065274-0.1136700.9096STD_RESID2(-7)0.0633170.0652640.9701650.3330STD_RESID2(-8)-0.0121670.065293-0.1863400.8523STD_RESID2(-9)

21、-0.0106530.065278-0.1631940.8705STD_RESID2(-10)-0.0202110.065228-0.3098450.7570R-squared0.010084Mean dependent var1.007544Adjusted R-squared-0.032221S.D. dependent var2.112747S.E. of regression2.146514Akaike info4.409426criterionSum squared resid1078.160Schwarz criterion4.566625Log likelihood-529.15

22、46F-statistic0.238360Durbin-Watson stat2.000071Prob(F-statistic)0.992099方程整體是不顯著的。還可以觀察標(biāo)準(zhǔn)化殘差A(yù)RCH建模以后， procs/make residual series/可以產(chǎn)生殘差t 和標(biāo)準(zhǔn)化殘差t /t ，以下分別是殘差和標(biāo)準(zhǔn)化殘差?？梢钥闯鰶]有了集群現(xiàn)象。還可以觀察波動率（條件方差）的圖形。對比r 和殘差的圖形，發(fā)現(xiàn)條件方差的起伏與波動率的大小一致。ARCH建模以后， procs/make garch variance series/得到結(jié)論： ARCH模型確實很好描述了股票市場收益率的波動性?？梢杂^

23、察系數(shù)之和小于1，滿足平穩(wěn)性條件。2tq§ 3、 GARCH模型模型 是關(guān)于 t2的分布滯后模型。為避免t2的滯后項過多，可采用加ARCH ( )入 t 2 的滯后項的方法， 此方法是 Bollerslov （1986）提出的 GARCH模型（ Generalized ARCH），主要就是針對 q 較大的情形1、模型定義條件方差方程? 均值?t2 j ：過去的條件方差（也即預(yù)測方差，forecast variance）注意：均值方程中若沒有解釋變量（即只有常數(shù)，如 R C），則 R2 沒有直觀定義了，因此可為負）例 2 GARCH(1,1) Model 標(biāo)準(zhǔn)的 GARCH(1,1)描

24、述為：yt xtt222tt 1t 1（ a）（b）（ a）式是均值的方程，帶誤差項的外生變量的函數(shù)。因為t2 是基于過去信息的一步向前預(yù)測方差，所以稱為條件方差。條件方差的方程有三項。是均值項；t2 1是 GARCH 項 ；t2 1是 ARCH 項 ；在 GARCH(1,1) 的(1,1) 表明有 1 階 GARCH項和 1 階 ARCH項。一個 ARCH模型是 GARCH模型的特殊情況，即當(dāng)條件方差的方程中沒有條件方差的滯后項時，即：ytxt t（c）22（d）tt 1如果對（ 2）式右邊進行迭代?？梢杂羞@說明 GARCH(1,1)的條件方差是以前的所有隨機干擾項平方的加權(quán)和與共同部分構(gòu)成

25、。12222( 11 ) t 1t1 t 1令 ttt , 將其代入 (b) 得 ,t0由此可見，殘差平方服從一個ARMA(1,1)過程。自回歸因子的根為，如果接近 1，則沖擊是長久的。2、GARCH(p, q) 模型的穩(wěn)定性條件計算擾動項的無條件方差：從上式可推出穩(wěn)定條件： 00ij1為使模型有意義，系數(shù)還需要滿足下面兩條1) > 0,i0, i = 1, 2,q,2) i0,j= 1, 2,p3、GARCH模型的參數(shù)估計采用極大似然估計GARCH模型的參數(shù)。下面以GARCH(1, 1)為例。由 GARCH(1, 1)模型可以得到 yt 的分布為由正態(tài)分布的定義公式，得到y(tǒng)t 的 pd

26、f為第 t個觀察樣本的對數(shù)似然函數(shù)值為其中2221 ( yt 1 x t 1)22t1 t 11 t 11 t 1注意 yi 和 yj 之間不相關(guān)，因而是獨立的。似然函數(shù)為取對數(shù)就得到了所有樣本的對數(shù)似然函數(shù)。其中條件方差項以非線性方式進入似然函數(shù)，所以不得不使用迭代算法求解。4、模型的選擇兩條原則：1）若 ARCH(q)中 q 太大，比如 q 大于 7 時，則選擇 GARCH(p, q)2）使用 AIC 和 SC準(zhǔn)則，選擇最優(yōu)的GARCH模型3）對于金融時間序列，一般選擇GARCH(1, 1)就夠了?；仡?AIC 和 SC定義：1）AIC 準(zhǔn)則（ Akaike information cri

27、terion）AIC 越小越好，結(jié)合如下兩者：K（自變量個數(shù)）減少，模型簡潔LnL 增加，模型精確2）SC準(zhǔn)則（ Schwaz criterion）習(xí)題 1：通貨膨脹率有ARCH效應(yīng)嗎？ Greene P572點擊數(shù)據(jù)文件 usinf_greene_p572 。進行回歸ls inflation c inflation(-1)Dependent Variable: INFLATIONMethod: Least SquaresDate: 11/19/04Time: 10:37Sample(adjusted): 1941 1985Included observations: 45 after adj

28、usting endpointsVariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.C2.4328590.8163452.9801840.0047INFLATION(-1)0.4932130.1311573.7604660.0005R-squared0.247477Mean dependent var4.740000Adjusted R-squared0.229976S.D. dependent var4.116784S.E. of regression3.612519Akaike info criterion5.450114Sum squared res

29、id561.1625Schwarz criterion5.530410Log likelihood-120.6276F-statistic14.14110Durbin-Watson stat1.612442Prob(F-statistic)0.000507檢驗 ARCH效應(yīng)ARCH Test:F-statistic0.215950Probability0.953308Obs*R-squared1.231192Probability0.941850Test Equation:Dependent Variable: RESID2Method: Least SquaresDate: 11/19/04

30、Time: 10:46Sample(adjusted): 1946 1985Included observations: 40 after adjusting endpointsVariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.C9.2705227.4255671.2484600.2204RESID2(-1)-0.0311620.170116-0.1831840.8557RESID2(-2)-0.0068860.170151-0.0404690.9680RESID2(-3)0.1162610.1695050.6858880.4974RESID2(-4)0

31、.0185450.1706200.1086940.9141RESID2(-5)0.1279060.1686430.7584390.4534R-squared0.030780Mean dependent var12.28323Adjusted R-squared-0.111753S.D. dependent var34.15088S.E. of regression36.00858Akaike info criterion10.14287Sum squared resid44085.00Schwarz criterion10.39620Log likelihood-196.8574F-stati

32、stic0.215950Durbin-Watson stat1.034796Prob(F-statistic)0.953308習(xí)題 2：通貨膨脹率有ARCH效應(yīng)嗎？ Lin 的數(shù)據(jù)集點擊 usinf文件series dp=100*D(log(p)ls dp c dp(-1) dp(-2) dp(-3)Dependent Variable: DPMethod: Least SquaresDate: 11/19/04Time: 10:10Sample(adjusted): 1951:1 1983:4Included observations: 132 after adjusting endpoin

33、tsVariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.C0.1099070.0634051.7334100.0854DP(-1)0.3935830.0844324.6615360.0000DP(-2)0.2030930.0894522.2704050.0249DP(-3)0.3020730.0841853.5882140.0005R-squared0.696825Mean dependent var1.021373Adjusted R-squared0.689719S.D. dependent var0.711412S.E. of regression0

34、.396277Akaike info criterion1.016428Sum squared resid20.10054Schwarz criterion1.103785Log likelihood-63.08423F-statistic98.06599Durbin-Watson stat1.970959Prob(F-statistic)0.000000ARCH Test:F-statistic0.969524Probability0.439318Obs*R-squared4.892009Probability0.429201Test Equation:Dependent Variable:

35、 RESID2Method: Least SquaresDate: 11/19/04Time: 10:13Sample(adjusted): 1952:2 1983:4Included observations: 127 after adjusting endpointsVariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.C0.1081900.0353023.0646480.0027RESID2(-1)-0.0808320.090353-0.8946190.3728RESID2(-2)0.1079060.0884931.2193650.2251RESID2

36、(-3)0.0811910.0888310.9139960.3625RESID2(-4)0.1107450.0884331.2522990.2129RESID2(-5)0.0312480.0887380.3521340.7254R-squared0.038520Mean dependent var0.147634Adjusted R-squared-0.001211S.D. dependent var0.236307S.E. of regression0.236450Akaike info criterion-7.13E-05Sum squared resid6.764921Schwarz c

37、riterion0.134300Log likelihood6.004525F-statistic0.969524Durbin-Watson stat1.990016Prob(F-statistic)0.439318Dependent Variable: DPMethod: ML - ARCHDate: 11/19/04Time: 10:16Sample(adjusted): 1951:1 1983:4Included observations: 132 after adjusting endpointsConvergence achieved after 25 iterationsCoeff

38、icientStd. Errorz-StatisticProb.C0.1113020.0645121.7252820.0845DP(-1)0.3783170.0961983.9326910.0001DP(-2)0.1883850.0862412.1844010.0289DP(-3)0.3237310.0983453.2917880.0010Variance EquationC0.2924650.0491875.9459390.0000ARCH(1)-0.0297610.047805-0.6225630.5336GARCH(1)-0.8733240.267371-3.2663330.0011R-

39、squared0.696453Mean dependent var1.021373Adjusted R-squared0.681883S.D. dependent var0.711412S.E. of regression0.401250Akaike info criterion1.051145Sum squared resid20.12519Schwarz criterion1.204021Log likelihood-62.37558F-statistic47.79960Durbin-Watson stat1.938286Prob(F-statistic)0.000000§、 G

40、ARCH模型The ARCH-M Model(在方程中的回歸因子 )如果將必要的外生變量或前定變量加到方差方程(2) ，得拓展的方程：xt在方程（ 1） 描述外生變量和前定變量。如果把條件方差引入這個均值方程，則得到所謂的 ARCH-in-Mean (ARCH-M) model (Engle, Lilien, Robins, 1987) 。ARCH-M模型經(jīng)常用在金融應(yīng)用研究中，財產(chǎn)的期望收益與期望風(fēng)險緊密相關(guān)。期望風(fēng)險的估計參數(shù)是風(fēng)險與收益互換的測度。§在 Eviews 中估計 GARCH(p,q) Model 的詳細方法首先選擇 Quick/Estimate Equation鍵或

41、選擇 Object/New Object/Equation，再選擇 ARCH選項，有對話框。然后選擇需要的均值方程、方差方程、估計方法和樣本容量；均值方程（ The Mean Equation Specification）的選項在被解釋變量的編輯框中鍵入均值方程的變量或方程。如果估計的是ARCH-M模型，還應(yīng)該選擇右上角的適當(dāng)選項。方差方程的選項（ Variance Regressors）在 Variance Regressors 框中可以有選擇的列出你希望加入的回歸因子。值得注意的是 EViews 已經(jīng)加入了常數(shù)項，不需要再加入。ARCH模型的說明（ ARCH Specification ）在前面我們已經(jīng)知道了估計GARCH模型，必須給出ARCH和 GARCH項.默認是GARCH(1,1)。為了估計標(biāo)準(zhǔn)的GARCH模型，點擊 GARCH按紐。估計選項EViews提供了一個進入選擇項的按紐，進入后可以將所需要的填入