BB64平面與直線課件

1、BB64平面與直線PPT課件1高等數(shù)學(xué) 第十六講BB64平面與直線PPT課件2第四節(jié)一、平面平面二、直線二、直線三、直線與平面的位置關(guān)系三、直線與平面的位置關(guān)系平面與直線 第六章 本節(jié)我們將以向量和坐標(biāo)為工具,討論平面和直線。BB64平面與直線PPT課件3zyxo0Mn一、平面的點(diǎn)法式方程一、平面的點(diǎn)法式方程),(0000zyxM設(shè)一平面通過已知點(diǎn)且垂直于非零向0)()()(000zzCyyBxxAM稱式為平面的點(diǎn)法式方程點(diǎn)法式方程,求該平面的方程.,),(zyxM任取點(diǎn)),(000zzyyxx法向量.量, ),(CBAn MMn000MMnMM0則有 故的為平面稱n平面上任一向量均與n垂直。

2、因為過空間內(nèi)一點(diǎn)作與已知向量垂直的平面是唯一的，所以已知平面上的一點(diǎn)及垂直于平面的一個向量，那么這個平面的位置就完全確定。BB64平面與直線PPT課件4.1, 9 ,14)4 , 1, 2(0的平面方程且垂直于向量求過點(diǎn)nM:解由點(diǎn)法式得0419214)()()(zyx015914zyx在平面上任取一點(diǎn)zyxM,例例1 1BB64平面與直線PPT課件5kji例例2.2.求過三點(diǎn),3M又) 1,9,14(0)3()2(914zyx015914zyx即1M2M3M解解: 取該平面 的法向量為),2,3, 1(),4, 1,2(21MM)3,2,0(3M的平面 的方程. 利用點(diǎn)法式得平面 的方程34

3、6231n3121MMMM注：1.一平面的法向量有無窮多個,且相互平行.2.平面方程是以zyx,為變量的三元一次方程.nBB64平面與直線PPT課件6二、平面的一般方程二、平面的一般方程 將平面的點(diǎn)法式方程此方程稱為0DzCyBxA0)()()(000zzCyyBxxA)(000zCyBxAD顯然方程與點(diǎn)法式方程等價, )0(222CBA),(CBAn 的平面, 因此方程的圖形是法向量為 平面的一般方程平面的一般方程.展開得0)(000zCyBxACzyBxA令方程中zyx,的系數(shù)構(gòu)成該平面的法向量CBA,. n得平面方程BB64平面與直線PPT課件7特殊情形特殊情形 當(dāng) D = 0 時, A

4、 x + B y + C z = 0 表示 通過原點(diǎn)通過原點(diǎn)的平面; 當(dāng) A = 0 時, B y + C z + D = 0 的法向量平面平行于 x 軸; A x+C z+D = 0 表示 A x+B y+D = 0 表示 C z + D = 0 表示 A x + D =0 表示 B y + D =0 表示0DCzByAx)0(222CBA平行于 y 軸的平面;平行于 z 軸的平面;平行于 xoy 面 的平面;平行于 yoz 面 的平面；平行于 zox 面 的平面.,), 0(iCBnBB64平面與直線PPT課件8例例1. 求通過 x 軸和點(diǎn)( 4, 3, 1) 的平面方程.解解: 因平面通

5、過 x 軸 ,0 DA故設(shè)所求平面方程為0zCyB代入已知點(diǎn)) 1,3,4(得BC3化簡,得所求平面方程03 zy例例2. 求過點(diǎn)M ( 1, 0, 5) 且與xoy面平行的平面方程.解解:由題意設(shè)所求平面為0 DzC將已知點(diǎn) M(1 ,0 ,5)代入0)5(5ZCCD0C所求平面為5z) 1 , 0 , 0(nBB64平面與直線PPT課件9)5,15,10(0) 1() 1(3) 1(2zyx0632zyx例例3求過點(diǎn) 且垂直于二平面 和 的平面方程.) 1 , 1 , 1 (7zyx051223zyx解解: 已知二平面的法向量為取所求平面的法向量 則所求平面方程為化簡得),1, 1, 1

6、(1n)12,2,3(2n21nnn)1,3,2(5BB64平面與直線PPT課件10), 0 , 0(, )0 , 0(, )0 , 0 ,(cRbQaP得：例例3.3.用平面的一般式方程導(dǎo)出平面的截距式方程.PozyxRQ三、平面的截距式方程三、平面的截距式方程當(dāng)平面與三坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為則cba,就分別稱為平面在zyx,軸上的截距。將已知點(diǎn)), 0 , 0(, )0 , 0(, )0 , 0 ,(cRbQaP分別代入0DzCyBxAcDCbDBaDADCcDBbDAa000BB64平面與直線PPT課件11得到1czbyax)0,(cba平面方程的截距式方程截距式方程為 00DDzcDybD

7、xaD軸上的截距x軸上的截距y軸上的截距zBB64平面與直線PPT課件12例如：例如：01052:zyx其對應(yīng)的截距式方程為：12105:zyx例例4 4： 已知一平面過點(diǎn)（1，0，3），且在三個軸上的截距之比為3:2:1:cba求此平面方程。解：解：設(shè)所求方程為：1czbyaxacabcba3,23:2:1:又知平面過點(diǎn)（1，0，3）于是有133201aaa6, 4, 2cba所求平面方程為：1642zyxBB64平面與直線PPT課件134 4、兩平面的夾角、兩平面的夾角設(shè)平面1的法向量為 平面2的法向量為則兩平面夾角 的余弦為 cos即212121CCBBAA222222CBA212121

8、CBA兩平面法向量的夾角(常為銳角)稱為兩平面的夾角.122n1n),(1111CBAn ),(2222CBAn 2121cosnnnn 注：取絕對值是表示為銳角時cos的值。BB64平面與直線PPT課件142特別有下列結(jié)論：特別有下列結(jié)論：21) 1 (0212121CCBBAA21/)2(212121CCBBAA),(:),(:2222211111CBAnCBAn1122121cosnnnn 21nn 21/ nn2n1n2n1nBB64平面與直線PPT課件15例例5：求兩平面的夾角和08311xyx解：解：)0, 0, 3()0, 1, 1 (21nn2121cosnnnn 223234

9、.由公式得：所以兩平面的夾角為：BB64平面與直線PPT課件16例例6. 一平面通過兩點(diǎn)垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程 .解解: 已知平面的法向量為的法向量垂直，) 1, 1, 2(所求平面為0) 1() 1() 1(2zyx即02zyx)1, 1, 1(1M, )1, 1,0(2M和所求平面上, ) 1 , 1 , 1 (1n且)2, 0 , 1(21MM和, ) 1 , 1 , 1 (1n與所求平面的kji111201121nMMnBB64平面與直線PPT課件17因此有例例6. 一平面通過兩點(diǎn)垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程 .解解: 設(shè)所求平面的

10、法向量為,020CBA即CA2的法向量,0CBACCAB)()0(0) 1() 1() 1(2CzCyCxC約去C , 得0) 1() 1() 1(2zyx即02zyx0) 1() 1() 1(zCyBxA)1, 1, 1(1M, )1, 1,0(2M和則所求平面故, ),(CBAn方程為 n21MMn且BB64平面與直線PPT課件18外一點(diǎn),求),(0000zyxP0DzCyBxA五、點(diǎn)到平面的距離五、點(diǎn)到平面的距離222101010)()()(CBAzzCyyBxxA222000CBADzCyBxAd0111DzCyBxA解解: :設(shè)平面法向量為),(1111zyxP在平面上取一點(diǎn)是平面到

11、平面的距離d .0P,則P0 到平面的距離為01PrjPPdnnnPP010P1Pnd, ),(CBAn (點(diǎn)到平面的距離公式)例例7. 設(shè)BB64平面與直線PPT課件19的距離到平面求點(diǎn)01) 1 , 1 , 2(zyx:解311111) 1(1121222）（d例例8 8222000CBADzCyBxAdBB64平面與直線PPT課件20例例9：求兩平行平面之間的距離，其中35623: 1zyx56623: 2zyx解：解：在其中一平面上任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)到另一平面的距離即為所求的距離。在1上取一點(diǎn),635, 0, 00P:20為的距離到dP3721623566356222d。的距離為到平面3

12、21BB64平面與直線PPT課件21說明：說明：求兩平行平面之間的距離，其中01: 1DzCyBxA解：解：在其中一平面上任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)到另一平面的距離即為所求的距離。在1上取一點(diǎn),0000zyxP:20為的距離到dP:21的距離為到平面02: 2DCzByAx2222000CBADzCyBxAd1000: 1DCzByAx22212CBADDdBB64平面與直線PPT課件22主講教師主講教師: 王升瑞王升瑞高等數(shù)學(xué) 第十七講BB64平面與直線PPT課件23二、空間直線方程二、空間直線方程1 1. 直線的直線的一般式方程一般式方程 xyzo01111DzCyBxA02222DzCyBxA1

13、2 L因此直線的一般式方程直線的一般式方程直線可視為兩平面交線，設(shè)(不唯一)0:11111DzCyBxA0:22222DzCyBxA直線 L上的任一點(diǎn)),(zyxM應(yīng)同時滿足這兩個平面方程。BB64平面與直線PPT課件24通過空間直線通過空間直線L的平面有無窮多個的平面有無窮多個，其中任意兩個平面的方程聯(lián)立而得到的方程組均可以表示同一直線L，因此直線L的方程不是唯一的。例如：坐標(biāo)面方程組0 x和0y都通過z軸，因此0 x0y是z軸的一般式方程。而平面0 yx和0 yx也通過z軸，因此方程組0 yx0 yx軸的一般式方程。也是zBB64平面與直線PPT課件252. 直線的點(diǎn)向式及兩點(diǎn)式直線的點(diǎn)向

14、式及兩點(diǎn)式方程方程由立體幾何知道，過空間內(nèi)一點(diǎn)作平行與已知直線的直線是唯一的。因此，若知道直線上的一點(diǎn)及與已知直線平行的某一向量。 那么該直線的位置就完全確定了。由此可建立直線方程。凡是與直線平行的非零向量都稱為直線的方向方向一條直線的方向向量有無窮多個，向量向量。它們是相互平行的。 任一方向向量的坐標(biāo)稱為直線的一組方向數(shù)一組方向數(shù)。由于過空間一點(diǎn)可作而且只能作一條直線平行與已知向量，所以當(dāng)已知直線L上一點(diǎn)),(0000zyxM和它的一方向向量pnmS,直線L的位置就完全確定了。BB64平面與直線PPT課件26建立直線建立直線 L L 的點(diǎn)向式方程的點(diǎn)向式方程),(0000zyxM故有mxx0

15、設(shè)直線上的動點(diǎn)為 則),(zyxMnyy0pzz0此式稱為直線的點(diǎn)向式方程點(diǎn)向式方程(也稱為對稱式方程對稱式方程)s已知直線上一點(diǎn)),(0000zyxM),(zyxM和它的方向向量 , ),(pnms sMM/0此方程中實際包含了兩個平面方程nyy0mxx0mxx0pzz0方程組中兩個方程均為一次的平面方程BB64平面與直線PPT課件27說明說明: : 某些分母為零時, 其分子也理解為零.00yyxx直線方程為例如, 當(dāng),0, 0時pnm,0, 0, 0時pnm直線方程為當(dāng)00 xxpzz0nyy0根據(jù)空間任兩點(diǎn)可以唯一地確定一條直線設(shè)直線 L上兩個已知點(diǎn)),(0000zyxM),(1111z

16、yxM),(/01010110zzyyxxMMS空間直線的兩點(diǎn)式方程兩點(diǎn)式方程：010 xxxx010yyyy010zzzz),(00yxBB64平面與直線PPT課件283. 直線的直線的參數(shù)式方程參數(shù)式方程設(shè)得直線L的參數(shù)式方程 :tpzznyymxx000tmxx0tnyy0tpzz0t為參變量注意注意： 空間直線的方程都是方程組形式?？臻g平面方程是一個一次代數(shù)方程，兩者不同，不能混淆！BB64平面與直線PPT課件29例例1 1.用對稱式及參數(shù)式表示直線解解: :先在直線上找一點(diǎn).043201 zyxzyx632zyzy再求直線的方向向量2,0zy令 x = 1, 解方程組,得交已知直線的

17、兩平面的法向量為是直線上一點(diǎn) .)2,0, 1(故.s, ) 1, 1, 1 (1n)3, 1,2(2n21ns,ns21nnsBB64平面與直線PPT課件30故所給直線的對稱式方程為參數(shù)式方程為tztytx32 41t41x1y32z解題思路解題思路: 先找直線上一點(diǎn);再找直線的方向向量.)3, 1,4(21nns312111kjiBB64平面與直線PPT課件31例例2：一直線L通過點(diǎn),1, 0 , 20M且垂直于yoz坐標(biāo)面。求L的方程。解解： 因為L垂直于yoz坐標(biāo)面，所以yoz坐標(biāo)面的法向量就直線L的方向向量。而x軸上的基本單位向量0 , 0 , 1i是yoz坐標(biāo)面的法向量。0 , 0

18、 , 1iS所求直線L的方程：01012zyxBB64平面與直線PPT課件32例例3：求經(jīng)過點(diǎn),1 , 1, 10M且與直線L1：平行的直線L 的方程。0923042zyxzyx解：解：1/LL故L1的方向向量S也是直線L的方向向量2, 1, 31 , 4, 2211nnL中21314221kjinnS,10, 7 , 91017191:zyxL注：該題即為求過一已知點(diǎn)且與兩已知平面的交線平行的直線方程。BB64平面與直線PPT課件332L1L則兩直線夾角 滿足21, LL設(shè)直線 兩直線的夾角指其方向向量間的夾角(通常取銳角)的方向向量分別為212121ppnnmm212121pnm22222

19、2pnm),(, ),(22221111pnmspnms2121cosssss 1s2s4. 兩直線間的位置關(guān)系兩直線間的位置關(guān)系 BB64平面與直線PPT課件34特別有特別有:21) 1(LL 21/)2(LL0212121ppnnmm212121ppnnmm21ss 21/ssBB64平面與直線PPT課件35例例4.4. 求以下兩直線的夾角解解: 直線直線二直線夾角 的余弦為13411:1zyxL0202:2zxyxL cos22從而4的方向向量為1L的方向向量為2L) 1,2,2() 1(1)2()4(212221)4(1222) 1()2(2) 1,4, 1 (1s2010112kji

20、s BB64平面與直線PPT課件36當(dāng)直線與平面垂直時,規(guī)定其夾角線所夾銳角 稱為直線與平面間的夾角;L三三. 直線與平面的位置關(guān)系直線與平面的位置關(guān)系當(dāng)直線與平面不垂直時,設(shè)直線 L 的方向向量為 平面 的法向量為則直線與平面夾角 滿足.2222222CBApnmpCnBmA直線和它在平面上的投影直),(pnms ),(CBAn ),(2sin(sinnsnsns sn),cos(nsBB64平面與直線PPT課件37特別有特別有: :L) 1(/)2(L0pCnBmApCnBmAns/ns解解: : 取已知平面的法向量421zyx則直線的對稱式方程為0432zyx直的直線方程. 為所求直線的

21、方向向量. 132垂 ) 1,3,2(nn例例1. 求過點(diǎn)(1,2 , 4) 且與平面BB64平面與直線PPT課件38例例2;求直線012:zyyxL與平面01:zyx的夾角的正弦。解解：L的一個方向向量110012kjiS2, 2, 1 1 , 1 , 1n中法向量則它們的夾角正弦為：sin331222221111212111nsns BB64平面與直線PPT課件39例例3：求過直線211111:zyxL與平面0153:zyx的交點(diǎn)，且垂直于此平面的直線方程。解：解：L的參數(shù)方程：1211tztytx相交，則與L000,zyx交點(diǎn)坐標(biāo)為將L的參數(shù)方程代入已知的平面方程中得：015) 12(3

22、) 1() 1(ttt2t再代入L的參數(shù)方程中得：533000zyx所求的直線L垂直于已知平面，則L中)3, 1 , 1 (/nS故所求直線L的方程為：351313:zyxLBB64平面與直線PPT課件403.平面束方程平面束方程(1) 過直線00:22221111DzCyBxADzCyBxAL的平面束)(1111DzCyBxA0)(2222DzCyBxA方程0,21不全為12xAA2211yBB221102211DDzCC2211BB64平面與直線PPT課件41例例4. 求過直線L:0405zxzyxzyx84 且與平面4夾成角的平面方程.提示提示: 過直線 L 的平面束方程0)4(5zxz

23、yx其法向量為已知平面的法向量為選擇使43. 012720zyx從而得所求平面方程n1n4012 114cosnnnn.1,5,11nL8,4, 1n04)1 (5)1 (zyx即BB64平面與直線PPT課件42內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1.平面平面基本方程:一般式點(diǎn)法式截距式0DCzByAx)0(222CBA1czbyax三點(diǎn)式0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx0)()()(000zzCyyBxxA)0(abcBB64平面與直線PPT課件430212121CCBBAA212121CCBBAA2.平面與平面之間的關(guān)系平面平面垂直:平行:夾角公式:2121cosnnnn 021nn021nn, 0:22222DzCyBxA),(2222CBAn , 0:11111DzCyBxA),(1111CBAn BB64平面與直線PPT課件443. 空間直線方程空間直線方程一般式對稱式參數(shù)式0022221111DzCyBxADzCyBxAtpzztnyytmxx000pzznyymxx000)0(222pnmBB64平面與直線PPT課件45,1111111pzznyymxxL：直線0212121ppnnmm,2222222pzzn