高等代數(shù)--第三章 矩陣ppt課件

1、第三章 矩陣n矩陣的運算n矩陣的逆n初等矩陣n矩陣的等價n矩陣的分塊1 矩陣的運算矩陣的運算n矩陣的加法、減法n矩陣的數(shù)乘n矩陣的乘積n矩陣的轉(zhuǎn)置n矩陣乘積的行列式矩陣的定義n定義定義1 由由 個數(shù)排成的個數(shù)排成的m行行n列的列的表表n n稱為一個稱為一個 矩陣矩陣.mn111212122212nnmmmnaaaaaaaaamn 以后我們用以后我們用A,B,或或 來表示來表示矩陣矩陣. 有時也記為有時也記為),(),(ijijba,mnmnAB(),(),ijmnijmnab矩陣相等 假設(shè)m=l,n=k，且 我們稱A與B相等，記為A=B.lkijmnijbBaA)(,)(), 2 , 1, 2

2、 , 1( ,njmibaijijBack 矩陣的加法矩陣的加法定義定義2 設(shè)設(shè) 那么那么 稱為稱為A與與B的和，記為的和，記為C=A+B. 即對應(yīng)元素相加即對應(yīng)元素相加. 相加的矩陣必需有一樣相加的矩陣必需有一樣的行數(shù)及列數(shù)的行數(shù)及列數(shù). 有以下性質(zhì)有以下性質(zhì):結(jié)合律：結(jié)合律：A+(B+C)=(A+B)+C交換律：交換律：A+B=B+A。(),()ijmnijmnAaBb()()ijmnijijmnCcabn零矩陣零矩陣 元素全為零的矩陣，記為元素全為零的矩陣，記為nA的負(fù)矩陣的負(fù)矩陣 n A-B=A+(-B).0mn()ijmnAa n n n 數(shù)量乘法數(shù)量乘法 n 矩陣矩陣n n n稱為

3、矩陣稱為矩陣 與數(shù)與數(shù)k的數(shù)量乘積，的數(shù)量乘積，n記作記作kA。snijaA)(snssnnkakakakakakakakaka212222111211滿足滿足 (k+l)A=kA+lA, k(A+B)=kA+kB k(lA)=(kl)A, 1A=A k(AB)=(kA)B=A(kB)n n 矩陣乘法矩陣乘法n n 那么那么n n nmkjsnikbBaA)(,)(smijcC)(nkkjiknjinjijiijbabababac12211稱為稱為A與與B的乘積，記為的乘積，記為 C=AB留意：矩陣乘積要求留意：矩陣乘積要求A的列數(shù)與的列數(shù)與B的行數(shù)的行數(shù)必需相等必需相等.其中其中 例例1 設(shè)

4、設(shè) 那么那么 121113121430,415003112101BA101726210765ABC 矩陣的乘法滿足結(jié)合律：矩陣的乘法滿足結(jié)合律： A(BC) = (AB)C 矩陣乘法不適宜交換律。矩陣乘法不適宜交換律。 1AB有意義，有意義，BA不一定有意義；不一定有意義； 2AB,BA都有意義，級也不一定相等；都有意義，級也不一定相等； 3即使即使AB,BA都是同級矩陣都是同級矩陣AB與與BA也也不一定相等。不一定相等。 1111,11110022,0022ABABBA如：如： 矩陣乘法的消去律不成立。矩陣乘法的消去律不成立。 即當(dāng)即當(dāng)AB=AC時，時， 不一定有不一定有B=C 矩陣的乘法和

5、加法適宜分配律：矩陣的乘法和加法適宜分配律： A(B+C)=AB+AC; (B+C)A=BA+CA0A 定義定義 矩陣矩陣 稱為稱為n級單位矩陣，記為級單位矩陣，記為 ，或者在不致，或者在不致引起含混的時候簡記為引起含混的時候簡記為E100010001nnE 數(shù)量矩陣：數(shù)量矩陣： 數(shù)量矩陣與一切的數(shù)量矩陣與一切的nn矩陣是可以交換的，矩陣是可以交換的，有有 kA=(kE)A=A(kE). 數(shù)量矩陣的加法與乘法完全歸結(jié)為數(shù)的加法數(shù)量矩陣的加法與乘法完全歸結(jié)為數(shù)的加法與乘法，及有與乘法，及有 kE+lE=(k+l)E, (kE)(lE)=(kl)EkkkkE000000 定義矩陣的方冪：設(shè)定義矩陣

6、的方冪：設(shè)A為為nn矩陣，矩陣， 滿足滿足 但但 與與 普通不相等普通不相等.AAAAAkk 11kllklklkAAAAA)(,kAB )(kkBA設(shè)設(shè)A為為nn矩陣矩陣2012( )mmf xaa xa xa x2012( )mmf Aa Ea Aa Aa A那么定義 4、轉(zhuǎn)置、轉(zhuǎn)置 定義定義5 所謂所謂A的轉(zhuǎn)置矩陣是指的轉(zhuǎn)置矩陣是指 或記為或記為111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa112111222212mmTnnmnaaaaaaAaaaTA 滿足以下規(guī)律：滿足以下規(guī)律：(),()()()TTTTTTTTTTAAABABABB AkAkA 下面驗證第三條，設(shè)下面驗證第

7、三條，設(shè) AB中中i,j元素為元素為 所以所以 中中i,j元素是元素是snssnnaaaaaaaaaA212222111211nmnnmmbbbbbbbbbB212222111211nkkjikba1()TABnkkijkba1 其次， 中(i,k)的元素是 ， 中(k,j)元素是 ，因此， 中 (i, j) 的元素即為 比較上面兩式即得第三式.TBkibTAjkaTTB Ankjkkiab1nkkijkba1 例 設(shè) 于是124311012,211BA9921 ,2()1TTTABB AABBack124311012,211BA() ,TTTABB A例例5 5 設(shè)設(shè)， 求 Back矩陣乘積

8、的行列式nn階方陣的行列式111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa稱為矩陣 A 的行列式 0A 假設(shè) , 那么稱矩陣 A 是奇特的、非滿秩的退化的，此時 r(A)n假設(shè) , 那么稱矩陣 A 是非奇特的、滿秩的，非退化的，此時 r(A)=n0A 關(guān)于矩陣乘積的行列式有關(guān)于矩陣乘積的行列式有 定理定理1 設(shè)設(shè)A,B是數(shù)域是數(shù)域P上的兩個上的兩個nn矩矩陣，那么陣，那么 |AB|=|A|B| 即矩陣乘積的行列式等于它的因子的行即矩陣乘積的行列式等于它的因子的行列式的乘積列式的乘積. 證明證明111212122212nnnnnna

9、aaaaaAaaa111212122212nnnnnnbbbbbbBbbb111212122212nnnnnnccccccABccc111212122212111212122212000000000100010001nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaDbbbbbbbbb一方面一方面, 行列式行列式 D 按照前按照前 n 行展開，得到行展開，得到 D=另一方面另一方面, 把把 D 中左上角的中左上角的 化為零，化為零，右上角的元素那么是右上角的元素那么是 ,按照前按照前 n 行展開，行展開，得到得到|A BijaijcDCAB 于是 都是 n 階方陣，那么 推論 設(shè)A,B是數(shù)域P上的nn

10、矩陣，矩陣AB為非奇特的充分必要條件是A,B中都是非奇特的|2121mmAAAAAA12,mAAA矩陣的逆n可逆矩陣的定義n伴隨矩陣的定義及其性質(zhì)n利用伴隨矩陣求矩陣的逆n逆矩陣的性質(zhì) 本節(jié)討論矩陣乘法的逆運算本節(jié)討論矩陣乘法的逆運算. 所討論的矩陣是所討論的矩陣是nn的矩陣的矩陣. E是是n級單位矩陣，有級單位矩陣，有AE=EA=A，所以，所以E在方在方陣中的位置相當(dāng)于陣中的位置相當(dāng)于1在復(fù)數(shù)中的位置在復(fù)數(shù)中的位置. 一個復(fù)一個復(fù)數(shù)數(shù) ，那么，那么 . 類似引入：類似引入：0a11aa定義定義6 n6 n級方陣級方陣A A稱為可逆的，假設(shè)有稱為可逆的，假設(shè)有n n級方陣級方陣B B，使得，使

11、得 AB=BA=E (1) AB=BA=E (1)這里這里E是是n級單位矩陣級單位矩陣. 對于恣意矩陣A，適宜等式1的矩陣B是獨一的?，F(xiàn)實上，假設(shè) 是兩個適宜1的矩陣，有A的逆矩陣，記為 .21,BB22212111)()(BEBBABABBEBB1A 定義定義7 設(shè)設(shè) 是矩陣是矩陣 中元素中元素 的代數(shù)余子式，矩陣的代數(shù)余子式，矩陣 稱為稱為A的伴隨矩陣。的伴隨矩陣。ijAnnnnnnaaaaaaaaaA212222111211nnnnnnAAAAAAaAAA212221212111*ija 結(jié)論：結(jié)論： 2 d=|A|。假設(shè)。假設(shè)d=|A|0, 那么那么 3dEdddAAAA000000*

12、EAAdAdA)1()1(*定理定理2 矩陣矩陣A是可逆的充分必要條件是是可逆的充分必要條件是A非退化，非退化， 且且)0|(1*1AdAdA 證明證明 當(dāng)當(dāng) 時，由時，由3可知，可知，A可逆，可逆，且且 4 反過來，假設(shè)反過來，假設(shè)A可逆，那么有可逆，那么有 使使 兩邊取行列式，得兩邊取行列式，得 5 因此因此 ，即，即A非退化非退化.0| Ad*11AdA1AEAA 11|1EAA0|A由定理由定理2容易看出，容易看出，推論推論: 對于對于n級方陣級方陣A,B，假設(shè)，假設(shè) AB=E，那么，那么，A,B就都可逆，并且它們互為逆矩陣就都可逆，并且它們互為逆矩陣.定理定理2同時給出求逆陣的公式同

13、時給出求逆陣的公式4.)0|(1*1AdAdA例例: 求矩陣的逆求矩陣的逆 1213101 02A矩陣逆的性質(zhì)11()AA 由由5式可以看出，假設(shè)式可以看出，假設(shè)|A|=d0, 那么那么 推論推論 假設(shè)矩陣假設(shè)矩陣A,B可逆，那么可逆，那么 與與AB也可逆，也可逆，且且 證明證明 由于矩陣由于矩陣A,B可逆，所以可逆，所以 與與AB的行列的行列式不等于零，即可逆式不等于零，即可逆. 將將 兩邊取轉(zhuǎn)置得兩邊取轉(zhuǎn)置得 因此因此11|dATA11111()()()TTAAABB ATAEAAAA1111()()TTTTTAAAAEE11()()TTAA 由 得 111)(ABABEABABABAB)

14、()(1111 假設(shè) AX=B 假設(shè) ,那么A可逆. 兩邊左乘 得 假設(shè)X=C 是6的另外一個解，那么由 AC=B，知 這就是說 是獨一的解。0|A1ABAX1BAC1BAX1CramerCramer法那么的矩陣推導(dǎo)法那么的矩陣推導(dǎo)矩陣方程 對于兩個矩陣 A， B，假設(shè)它們可逆， 求矩陣 X AX=C XB=C AXB=C3初等矩陣初等矩陣n初等矩陣的三種方式n初等矩陣的作用n矩陣的等價規(guī)范形n用初等變換求矩陣的逆n本節(jié)建立矩陣的初等變換與矩陣乘法的本節(jié)建立矩陣的初等變換與矩陣乘法的聯(lián)絡(luò)。給出初等變換求逆陣的方法，聯(lián)絡(luò)。給出初等變換求逆陣的方法，n定義定義8 由單位矩陣由單位矩陣E經(jīng)過一次初等

15、變換經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣。得到的矩陣稱為初等矩陣。n初等矩陣都是方陣，每一個初等變換都初等矩陣都是方陣，每一個初等變換都有一個與之相應(yīng)的初等矩陣有一個與之相應(yīng)的初等矩陣.n(1) 互換矩陣互換矩陣i 行與行與 j 行的位置得行的位置得初等矩陣的三種方式初等矩陣的三種方式1101111011),(jip (2) 用非零數(shù)用非零數(shù)c乘乘E的的 i 行，行，1111)(ccip (3) 把矩陣E的 j 行的 k 倍加到 i 行，jikkjipji1111)(,( 同樣可得到列變換相應(yīng)的初等矩陣也是同樣可得到列變換相應(yīng)的初等矩陣也是上述三個矩陣上述三個矩陣.初等矩陣的逆初等矩陣的逆初

16、等矩陣都是可逆的，初等矩陣都是可逆的，它們的逆矩陣還是初等矩陣它們的逆矩陣還是初等矩陣.)(,()(,()()(),(),(1111kjipkjipcipcipjipjipn初等矩陣的作用初等矩陣的作用n定理定理4 n對一個對一個mn矩陣矩陣 A 作一初等行變換就作一初等行變換就相當(dāng)于在相當(dāng)于在 A 的左邊乘上相應(yīng)的的左邊乘上相應(yīng)的m m初初等矩陣；等矩陣；n對對 A 作一初等列變換就相當(dāng)于在作一初等列變換就相當(dāng)于在 A 的右的右邊乘上相應(yīng)的邊乘上相應(yīng)的nn的初等矩陣的初等矩陣.證明：證明： 設(shè)設(shè)在在 A 左邊分別乘以三種初等變換，直接驗證左邊分別乘以三種初等變換，直接驗證 111212122

17、212nnmmmnaaaaaaAaaa 定理定理4闡明對于矩陣闡明對于矩陣 A 做一系列的初等變做一系列的初等變換，可以經(jīng)過左乘及右乘假設(shè)干個初等換，可以經(jīng)過左乘及右乘假設(shè)干個初等矩陣來實現(xiàn)矩陣來實現(xiàn)1112131421222324313233344142434421222324 11121314 531323334414243445555aaaaaaaaAaaaaaaaaaaaaaaaaBaaaaaaaa 第 一、 二 兩 行 互 換第 三 列 乘 以例例我們可以寫成我們可以寫成 P(1,2) A P(3(5)=B 矩陣A的規(guī)范形 它稱為矩陣A的規(guī)范形，主對角線上1的數(shù)等于A的1的個數(shù)可以是

18、零.00000000010000100001定理定理 5 5：恣意一個：恣意一個 m mn n矩陣矩陣 可經(jīng)過可經(jīng)過初等變換化為規(guī)范形初等變換化為規(guī)范形 B B，這里矩陣，這里矩陣 B B 中中 1 1 的個數(shù)等于矩陣的個數(shù)等于矩陣 A A 的秩的秩()ijAa證明證明 假設(shè)假設(shè)A=0，那么它曾經(jīng)是規(guī)范形了，那么它曾經(jīng)是規(guī)范形了以下無妨假設(shè)以下無妨假設(shè)A0.當(dāng)當(dāng) 時，把其他的行減去第一行的時，把其他的行減去第一行的 倍倍, 其他的列減去第其他的列減去第一列的一列的 。011a), 3 , 2(1111niaai), 3 , 2(1111njaaj然后，用然后，用 乘第一行，乘第一行，A就變成就

19、變成 是一個是一個 的矩陣。對的矩陣。對 再再反復(fù)以上的步驟。這樣下去就可得出所反復(fù)以上的步驟。這樣下去就可得出所要的規(guī)范形。要的規(guī)范形。111a1A) 1() 1(ns000011A1A 顯然，規(guī)范形矩陣的秩就等于對角線上1的個數(shù). 而初等變換不改動矩陣的秩，所以1的個數(shù)也就是矩陣A的秩.00714284183121 13A例例: 將矩陣將矩陣 A 化為規(guī)范形化為規(guī)范形 用初等變換求矩陣的逆nn階矩陣 A 是可逆矩陣, 當(dāng)且僅當(dāng) A 的秩是 n. 從而矩陣 A 的規(guī)范形是單位矩陣 E,n即:n推論1: 方陣 A 是可逆的充分必要條件是 A可經(jīng)過初等變換化為單位矩陣E.推論推論2 n級矩陣級矩

20、陣A為可逆的充分必要條件為可逆的充分必要條件是它能表成一些初等矩陣的乘法：是它能表成一些初等矩陣的乘法： (2)把把2式改寫一下得式改寫一下得mQQQA21EAQQQm11121 推論推論3 可逆矩陣準(zhǔn)可以經(jīng)過一系列初等可逆矩陣準(zhǔn)可以經(jīng)過一系列初等行變換化成單位矩陣行變換化成單位矩陣. 假設(shè)假設(shè)A是可逆矩陣，存在一系列初等矩陣是可逆矩陣，存在一系列初等矩陣 使使mPP,1EAPPm1EPPPPAmm111求逆陣的方法：初等行變換),(),(1AEEA初等行變換),(),(),(1111AEEPPAPPEAPPmmm 例例 012411210A10000101001221041110001000

21、1012411210求逆。123001010200210411120001010830210411123124236200010011123124010200010411 于是于是211231241121A21123124112100010001123124112200010001Back1( )()AEEA 初等列變換求矩陣逆的方法：初等列變換求矩陣逆的方法：初等列變換求解矩陣方程nAX=B1( , )( ,)( ,)A BE A BE X 初等行變換求解矩陣方程XA=B1()()()AEEBBAX 初等列變換4 矩陣的等價矩陣的等價n矩陣等價的定義n矩陣等價的條件n矩陣等價的規(guī)范形n矩陣乘

22、積的秩矩陣等價的定義n定義9：假設(shè)矩陣 B 可以從矩陣A經(jīng)過一系列的初等變換而得到, 那么稱矩陣 A與B等價.AB 初等變換矩陣等價的性質(zhì)n反身性: 矩陣A 與本人等價n對稱性: A與B等價, 那么B與A等價n傳送性: A與B等價, B與C等價,n 那么A 與 C 等價矩陣等價的條件n由矩陣等價的定義知n 矩陣 A 與 B 等價, 當(dāng)且僅當(dāng)n從而矩陣 A 與 B 等價的充分必要條件n是存在初等矩陣AB 初等變換1 212stBPPPAQQQ12,sP PP12,tQ QQ 推論4: 兩個 矩陣 A和B等價的充分必要 條件是存在 m 階可逆矩陣 P 和 n 階可逆矩陣Q, 使得 B=PAQ 推論

23、5: 兩個 矩陣 A和B等價的充分必要 條件是它們有一樣的秩m nmn矩陣乘積的秩n定理6： np()min( ( ) , ( )r ABr Ar B證明： 設(shè)矩陣 A 是 矩陣，B 是 矩陣，設(shè) r(A)=rm n1假設(shè) 是規(guī)范形，那么 A 有 m-r行全為零，所以 AB 至少有 m-r 行全為零,而AB是 m 行矩陣，所以()r ABrrAI1111()rrABP I Q BPI Q B11rAP I QrPAQI2假設(shè) ,不是規(guī)范形，那么存在 m 階可逆陣 P 和 n 階可逆陣 Q，使得 故有 1rI Q BrAI我們把 看作是 與矩陣 的乘積，所以由1 知：1()rr I Q BrrI

24、1Q B111() rrPI Q BI Q B與等價由于 P 是可逆矩陣，所以 從而111()()( )rrr ABr PI Q Br I Q Br5 矩陣的分塊矩陣的分塊n本節(jié)我們引見一個處置大型矩陣的方法，即矩本節(jié)我們引見一個處置大型矩陣的方法，即矩陣的分塊。我們把一個大矩陣看成一些小矩陣陣的分塊。我們把一個大矩陣看成一些小矩陣組成的，就如矩陣是由數(shù)組成一樣。在進展矩組成的，就如矩陣是由數(shù)組成一樣。在進展矩陣運算時，把這些小塊當(dāng)作數(shù)一樣處置，這就陣運算時，把這些小塊當(dāng)作數(shù)一樣處置，這就是所謂矩陣的分塊是所謂矩陣的分塊.數(shù)量乘法n設(shè) 111212122212ttssstAAAAAAAAAA1

25、11212122212ttssstkAkAkAkAkAkAkAkAkAkA那么 例222112110211140110212301BBBBB0214,1101,1023,210122211211BBBB11122122032200420kkkkBkBkkkkBkBkBkkkkkk加法n設(shè) n那么111212122212ttssstAAAAAAAAAA111212122212ttssstBBBBBBBBBB111112121121212222221122ttttssssststABABABABABABABABABABn普通，設(shè)普通，設(shè) 把把A,B分成：分成：n n n 1n nmkjsnikbB

26、aA,tlttlltlAAAAAAAAAsssAnnn2122221112112121jiijnsA分塊矩陣的乘法分塊矩陣的乘法lrllrrlrBBBBBBBBBnnnBmmm2122221112112121jiijmnB2trttrrtrCCCCCCCCCsssABCmmm2122221112112121 其中), 2 , 1; ., 2 , 1(12211rqtpBABABABAClkkqpklqplqpqppq如如21201011012100100001EAEA 其中222112110211140110212301BBBBB22121211111211222112112120BBABBABBBBBBEAEAB 因此114211012101112121111BBA351122121BBA3511114210212301ABn用矩陣分塊證明用矩陣分塊證明r(AB) min(r(A),r(B)nmnnmmaaaaaaaaaA212222111211msmmssbbbbbbbbbB21222