連續(xù)函數(shù)的四則運算

1、1. 連續(xù)函數(shù)的四則運算連續(xù)函數(shù)的四則運算2. 反函數(shù)與復合函數(shù)的連續(xù)性反函數(shù)與復合函數(shù)的連續(xù)性3. 初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)在各自的定義域上都連續(xù)基本初等函數(shù)在各自的定義域上都連續(xù) .初等函數(shù)在其各自的定義域上都連續(xù)初等函數(shù)在其各自的定義域上都連續(xù) . 這里定義這里定義區(qū)間指包含在其定義域內(nèi)的區(qū)間區(qū)間指包含在其定義域內(nèi)的區(qū)間 .4. 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)1.11 連續(xù)函數(shù)的運算與性質(zhì)連續(xù)函數(shù)的運算與性質(zhì)一、連續(xù)函數(shù)的算術(shù)運算一、連續(xù)函數(shù)的算術(shù)運算定理定理1若函數(shù)若函數(shù))(),(xgxf在點在點0 x處連續(xù)處連續(xù), ,則則),()(xgxf ),()

2、(xgxf )()(xgxf)0)(0 xg在點在點0 x處也連續(xù)處也連續(xù). .例如例如, ,在在,sin xxcos),(內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù), ,故故,cossintanxxx ,sincoscotxxx ,cos1secxx xxsin1csc 在其定義域內(nèi)連續(xù)在其定義域內(nèi)連續(xù). .二、復合函數(shù)的連續(xù)性二、復合函數(shù)的連續(xù)性定理定理2若若,)(lim0axxx 函數(shù)函數(shù))(uf在點在點a處處連續(xù)連續(xù), ,則有則有)()(lim0afxfxx ).(lim0 xfxx 證證)(uf在點在點au 處連續(xù)處連續(xù), , 0 , 0 當當 |au時時, ,恒有恒有,| )()(| afuf又又,)(lim0

3、axxx 對上述對上述, , 0 當當 |00 xx時時, ,恒有恒有|)(|auax , 結(jié)合上述兩步得結(jié)合上述兩步得, , 0 , 0 當當, |00 xx時時, ,恒有恒有| )()(| )()(|afxfafuf )()(lim0afxfxx ).(lim0 xfxx 意義意義1. .2. .極限符號可以與連續(xù)函數(shù)符號互換極限符號可以與連續(xù)函數(shù)符號互換;)(xu 的理論依據(jù)的理論依據(jù).定理定理2給出了變量代換給出了變量代換定理定理3設函數(shù)設函數(shù))(xu 在點在點0 x處連續(xù)處連續(xù), ,且且,)(00ux 而函數(shù)而函數(shù))(ufy 在點在點0uu 處連續(xù)處連續(xù),則復合函數(shù)則復合函數(shù))(xf

4、 在點在點0 x處也連續(xù)處也連續(xù). .注意注意定理定理4是定理是定理3的特殊情況的特殊情況. .例如例如, ,xu1 在在), 0()0 ,( 內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù), ,uysin 在在),(內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù), ,xy1sin 在在), 0()0 ,( 內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù). .例例 1完完求求.)1ln(lim0 xxx 解解xxx)1ln(lim0 xxx10)1ln(lim xxx10)1(limlneln .1 例例 完完求求. )1cos(limxxx 解解 xxxxxxx1)1)(1(limcos xxx11limcos0cos .1 )1cos(limxxx 例例 2完完求求.)21(limsin3

5、0 xxx 解解因為因為xxsin3)21( ,)21(6sin121 xxx所以所以6sin210sin30)21(lim)21(lim xxxxxxxx.6e 三、初等函數(shù)的連續(xù)性三、初等函數(shù)的連續(xù)性三角函數(shù)及反三角函數(shù)三角函數(shù)及反三角函數(shù)的的;指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)xay )1, 0( aa在在),(內(nèi)單調(diào)內(nèi)單調(diào)且連續(xù)且連續(xù);對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)xyalog )1, 0( aa在在), 0(內(nèi)單內(nèi)單調(diào)且連續(xù)調(diào)且連續(xù); xy xaalog ,uay xualog 在在), 0(內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù). .討論討論 的不同值的不同值(均在其定義域內(nèi)連續(xù)均在其定義域內(nèi)連續(xù)). .在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)在它們的定義

6、域內(nèi)是連續(xù)初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性討論討論 的不同值的不同值(均在其定義域內(nèi)連續(xù)均在其定義域內(nèi)連續(xù)). .定理定理4基本初級函數(shù)基本初級函數(shù)定理定理5一切初級函數(shù)一切初級函數(shù)定義區(qū)間定義區(qū)間是指是指注意注意1.但在其但在其定義域內(nèi)不一定連續(xù)定義域內(nèi)不一定連續(xù). .例如例如, , 1cos xy,4,2, 0: xd在這些孤立點的領域內(nèi)沒有定義在這些孤立點的領域內(nèi)沒有定義. .,)1(32 xxy0: xd及及. 1 x在定義域內(nèi)是連續(xù)的在定義域內(nèi)是連續(xù)的.在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.包含在定義域內(nèi)的區(qū)間包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)初等函數(shù)僅在

7、其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù),在這些孤立點的領域內(nèi)沒有定義在這些孤立點的領域內(nèi)沒有定義. .,)1(32 xxy0: xd及及. 1 x在在0點的領域內(nèi)沒有定義點的領域內(nèi)沒有定義, , 函數(shù)在區(qū)間函數(shù)在區(qū)間), 1 上上2.)()(lim00 xfxfxx 0(x定義區(qū)間定義區(qū)間). .連續(xù)連續(xù). .初等函數(shù)求極限的方法初等函數(shù)求極限的方法(代入法代入法)完完例例 3完完求求.12lim2 xexx解解因為因為12)( xexfx是初等函數(shù)是初等函數(shù) , 且且20 x是其定義區(qū)間內(nèi)的點是其定義區(qū)間內(nèi)的點 , 所以所以12)( xexfx在點在點20 x處連續(xù)處連續(xù) , 于是于是12lim2 xexx122

8、2 e.52e 冪指函數(shù)冪指函數(shù)因為因為,)()(ln)()(xuxvxvexu 故冪指函數(shù)可化為復合函數(shù)故冪指函數(shù)可化為復合函數(shù). .易見易見:若若axu )(lim, 0 ,)(limbxv 則則)(ln)()(lim)(limxuxvxvexu )(ln)(limxuxve abeln .ba 即即bxvaxu )()(lim注意公式成立的條件注意公式成立的條件例例6求求.)2(lim110 xxxex稱為稱為冪指函數(shù)冪指函數(shù).解解11lim01100)2(lim)2(lim xxxxxxxexex12 .21 完完形如形如)()()(xvxuxf 的函數(shù)的函數(shù))0)( xu定義定義對于

9、在區(qū)間對于在區(qū)間i上有定義的函數(shù)上有定義的函數(shù)),(xf如果如果有有,0ix 使得對于任一使得對于任一ix 都有都有)()(0 xfxf )()(0 xfxf 則稱則稱)(0 xf是函數(shù)是函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間i上的最大上的最大(小小)值值. .例如例如, ,sin1xy ,2 , 0 x, 2max y. 0min y,sgn xy 在在),(上上, , 1max y. 1min y在在), 0(上上, ,. 1minmax yy四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理定理6 最大值和最小值定理最大值和最小值定理在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù) 一定有最大值和最小值

10、一定有最大值和最小值.定理定理7 有界性定理有界性定理在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)證證設函數(shù)設函數(shù))(xf在在,ba上連續(xù)上連續(xù), ,于是存在于是存在m、,m使得使得,bax 有有,)(mxfm 取取| |,max|mmk .| )(|kxf 故函數(shù)故函數(shù))(xf在在,ba上有界上有界. .完完一定在該區(qū)間上有界一定在該區(qū)間上有界.定義定義如果如果0 x使使, 0)(0 xf則則0 x稱為函數(shù)稱為函數(shù))(xf的零點的零點. .定理定理8零點定理零點定理 設函數(shù)設函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間,ba上連續(xù)上連續(xù), ,且且)(af與與)(bf異號異號(即即),0)()( bfaf即至少有

11、即至少有一點一點 ),(ba 使使. 0)( f那么在開區(qū)那么在開區(qū)),(ba內(nèi)至少有函數(shù)內(nèi)至少有函數(shù)間間)(xf的一個零點的一個零點, ,即方程即方程0)( xf在在),(ba內(nèi)至少存在一個實根內(nèi)至少存在一個實根. .定理定理9介值定理介值定理設函數(shù)設函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間,ba上連續(xù)上連續(xù), ,且且在這區(qū)間的端點取不同的函數(shù)值在這區(qū)間的端點取不同的函數(shù)值推論推論1在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)m與最小值與最小值m之間的任何值之間的任何值. .必取得介于最大值必取得介于最大值例例 5完完證證證明方程證明方程01423 xx少有一個實根少有一個實根 .令令,14)(23 xxx

12、f則則)(xf在在1, 0上連續(xù)上連續(xù) .又又,01)0( f,02)1( f由零點定理由零點定理 , )1, 0( 使使,0)( f即即.01423 方程方程01423 xx根根. 在區(qū)間在區(qū)間)1, 0(內(nèi)至內(nèi)至在在)1, 0(內(nèi)至少有一個實內(nèi)至少有一個實例例 6完完證證設函數(shù)設函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上連續(xù)上連續(xù) , 且且,)(aaf bbf )(證明證明 :),(ba 使得使得.)( f令令,)()(xxfxf 則則)(xf在在,ba上連續(xù)上連續(xù) .而而,0)()( aafaf,0)()( bbfbf由零點定理由零點定理 , ),(ba 使使即即.0)()( ff.)( f1.

13、設設,1)(,sgn)(2xxgxxf 試研究復合函數(shù)試研究復合函數(shù))(xgf與與)(xfg的連續(xù)性的連續(xù)性 .2. 估計方程估計方程0263 xx的根的位置的根的位置 .課堂練習課堂練習1. 設設,1)(,sgn)(2xxgxxf 試研究復合函數(shù)試研究復合函數(shù))(xgf與與)(xfg的連續(xù)性的連續(xù)性 .解解,1)(2xxg ， 0, 10, 00, 1)(xxxxf. 1)1sgn()(2 xxgf)(xgf在在),(上處處連續(xù)上處處連續(xù) .又又,0, 10, 2)(sgn1)(2 xxxxfg)(xfg在在), 0()0 ,( 上處處連續(xù)，上處處連續(xù)， 故故0 x是它的可去間斷點是它的可去間斷點 .2. 估計方程估計方程0263 xx的根的位置的根的位置 .解解 設設, 26)(3 xxxf則則)(xf在在),(內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù).由于由于, 06)2(, 07)3( ff, 03)1(, 02)0(, 07)1( fff, 011)3(, 02)2( ff根據(jù)介值定理的推論可知，根據(jù)介值定理的推論可知， 在在)1 , 0(),2, 3( 和和)3 , 2(內(nèi)至少各有一個根內(nèi)至少各有一個根 . 所以該方程在所以該方程在)1 , 0(),2, 3( 和和)3 , 2(內(nèi)各有一個根內(nèi)各有一個根 .完完又因為三次方程的根最多有三個，又因為三次