等腰三角形期中復習課

1、 沒有誰能夠隨隨便沒有誰能夠隨隨便便成功！便成功！等腰三角形復習等腰三角形復習如圖，線段如圖，線段ODOD的一個端點的一個端點O O在直線在直線a a上，以上，以ODOD為一邊畫等腰三角形，并且使另一個頂點在直為一邊畫等腰三角形，并且使另一個頂點在直線線a a上，這樣的等腰三角形能畫多少個上，這樣的等腰三角形能畫多少個? ?a150知識回顧知識回顧 變式變式:若上題中若上題中,把周長分為把周長分為9cm和和6cm,則底邊長是則底邊長是_3cm或或7cm 例例1 如圖如圖1，已知等腰三角形一腰上的中線，已知等腰三角形一腰上的中線把三角形周長分為把三角形周長分為12cm和和15cm兩部分，兩部分，

2、求它的底邊求它的底邊BC的長的長要分兩種情況討論：要分兩種情況討論： 設設ADx (1)當當ABAD12，BCDC15時，時， 2xx12， x4，即，即ABAC8 周長是周長是121527， BC11： (2)當當ABAD15，BCDC12時，時， 2xx15， x5 即即ABAC10 周長是周長是121527， BC7 綜上可知，底邊綜上可知，底邊BC的長為的長為7cm或或11cm 點撥點撥 解決等腰三角形解決等腰三角形求邊長或周長問題時，求邊長或周長問題時，解題關鍵是要解題關鍵是要分情況討論分情況討論，明確已知邊是明確已知邊是腰還是底腰還是底，并根據(jù)三角形的并根據(jù)三角形的三邊關系三邊關系

3、定理檢驗各情況是否成立定理檢驗各情況是否成立 例例2 已知等腰三角形一腰的垂直平分線與另已知等腰三角形一腰的垂直平分線與另一腰所在直線的夾角為一腰所在直線的夾角為40，則此等腰三，則此等腰三角形的頂角是角形的頂角是_誤區(qū)警示誤區(qū)警示 不少學生只考慮銳角三角形的情況，不少學生只考慮銳角三角形的情況，如圖所示：圖如圖所示：圖4(1)中中A50 思路分析思路分析 根據(jù)題意，應分銳角三角形和鈍角三角形兩種情況討根據(jù)題意，應分銳角三角形和鈍角三角形兩種情況討論：論： (1)當?shù)妊切螢殇J角三角形時，如圖當?shù)妊切螢殇J角三角形時，如圖4(1)所示所示 EF為為AB的垂直平分線，的垂直平分線， AEF9

4、0 又又AFE40， A180904050； (2)當?shù)妊切螢殁g角三角形時，如圖當?shù)妊切螢殁g角三角形時，如圖4(2)所示所示 EF為為AB的垂直平分線，的垂直平分線， AFE90 又又AEF40， EAF180904050， BAC18050130 綜上，等腰三角形的頂角為綜上，等腰三角形的頂角為50或或130 點撥點撥 解決此類問題的關鍵是注意解決此類問題的關鍵是注意等腰三角形的頂角為銳角和鈍角時等腰三角形的頂角為銳角和鈍角時一腰的垂直平分線與另一腰的交點一腰的垂直平分線與另一腰的交點位置不同，應分銳角三角形和鈍角位置不同，應分銳角三角形和鈍角三角形兩種情況討論三角形兩種情況討論名名

5、稱稱圖圖 形形性性 質質 判判 定定等等 腰腰 三三 角角 形形A AB BC C在一個三角形中，在一個三角形中，等邊對等角等邊對等角三線合一三線合一在一個三角形中，在一個三角形中，等角對等邊等角對等邊兩邊相等兩邊相等兩腰相等兩腰相等軸對稱圖形軸對稱圖形等腰三角形的性質和判定是怎樣的？等腰三角形的性質和判定是怎樣的？AOBC討論一下！討論一下！已知：已知：( (如圖如圖) )在在ABC中中，OAOCAB.請你說明：請你說明：B2C.AOBC討論一下！討論一下！已知：已知：( (如圖如圖) )在在ABC中中， B2C ，AOAB.請你說明：請你說明： OAOC.討論一下！討論一下！ACO O O

6、O O OBH H已知已知： ( (如圖如圖) )在在ABC中中， B2C ，AHBC.請你說明：請你說明： CHABBHHCOBA已知已知： ( (如圖如圖) )在在ABC中中， B2C ，AHBC.請你說明：請你說明： CHABBHCHBAD繼續(xù)討論！繼續(xù)討論！已知已知： ( (如圖如圖) )在在ABC中中， B2C ，AHBC.請你說明：請你說明： CHABBH已知已知： ( (如圖如圖) )在在ABC中中，B2C ， ACAM平分平分BAC.1 12 2請你出招！請你出招！請你說明：請你說明： ACABBMOMBAMBCD請你出招！請你出招！1 12 2已知： (如圖)在ABC中，B2

7、C ， AM平分平分BAC .請你說明：請你說明： ACABBMAMBCD請你出招！請你出招！1 12 2已知： (如圖)在ABC中，B2C ， AM平分平分BAC .請你說明：請你說明： ACABBMAMBCD請你出招！請你出招！已知： (如圖)在ABC中，B2C ， AM平分平分BAC .請你說明：請你說明： ACABBM D一起欣賞！一起欣賞！變變1如圖，已知如圖，已知ABC中，中，AB = AC = 10厘米，厘米，BC = 8厘米，厘米，B =C，點，點D為為AB的中點的中點n（1）如果點）如果點P在線段在線段BC上以上以3厘米厘米/秒的速度由秒的速度由B點向點向C點運動，同時，點點

8、運動，同時，點Q在線段在線段CA上由上由C點點向向A點運動點運動n若點若點Q的運動速度與點的運動速度與點P的運的運n動速度相等，經(jīng)過動速度相等，經(jīng)過1秒后，秒后，nBPD與與CQP是否全等，是否全等，n請說明理由；請說明理由；AQCDBPn若點若點Q的運動速度與點的運動速度與點P的運動速度的運動速度不相等不相等，當點當點Q的運動速度為多少時，能夠使的運動速度為多少時，能夠使BPD與與CQP全等？全等？n（2）若點）若點Q以以中的運動速度從點中的運動速度從點C出發(fā)，出發(fā)，點點P以原來的運動速度從點以原來的運動速度從點B同時出發(fā)，都逆同時出發(fā)，都逆時針沿時針沿ABC三邊運動，求經(jīng)過多長時間點三邊運

9、動，求經(jīng)過多長時間點P與點與點Q第一次相遇？第一次相遇？nAQCDBP變變2如圖所示，在如圖所示，在RtABC中，中，BAC=90，點，點D，E在在BC上，且上，且BE=AB，CD=AC，求，求DAE的度數(shù)的度數(shù) 再變再變（1）如圖，在）如圖，在ABC中，中，BAC=90，AB=AC，點，點D在在BC上，且上，且BD=BA，點，點E在在BC的延長線上，且的延長線上，且CE=CA。試求。試求DAE的度數(shù)。的度數(shù)。n（2）如果把第（）如果把第（1）題中）題中“AB=AC”的條件去的條件去掉，其余條件不變，那么掉，其余條件不變，那么DAE的度數(shù)會改變嗎？的度數(shù)會改變嗎？并說明理由。并說明理由。變變3

10、（2013秋秋富陽市校級期中）富陽市校級期中）如圖，如圖，AD=BC=BA，那么，那么1與與2之間的關系是之間的關系是（）（） 變變4（2013秋秋海門市校級期中）海門市校級期中）如圖，如圖，EAF=15，AB=BC=CD=DE=EF，則，則EFD等于（）等于（） GFDECAB再變再變1如圖，如圖，GFAF于于F，且，且AB=BC=CD=DE=EF=FG，求，求A的度數(shù)。的度數(shù)。再變再變2（2013秋秋寧波期中）寧波期中）如圖，鋼架中如圖，鋼架中A=16，焊上等長的鋼條，焊上等長的鋼條P1P2，P2P3，P3P4來加固鋼架，若來加固鋼架，若AP1=P1P2，則這樣，則這樣的鋼條至多需要（）根

11、的鋼條至多需要（）根 再變再變3（2013紹興）如圖鋼架中，焊上等長的如圖鋼架中，焊上等長的13根鋼條來加固鋼架，若根鋼條來加固鋼架，若AP1=P1P2=P2P3=P13P14=P14A，則則A的度數(shù)是的度數(shù)是 性質性質2 2：等腰三角形的等腰三角形的頂角的平分頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（互相重合（三線合一三線合一）也就是說也就是說： 等腰三角形頂角的平分線等腰三角形頂角的平分線垂直平分底邊垂直平分底邊.在在ABC中中（1）AB=AC，ADBC，_=_，_=_；（2）AB=AC，AD是中線，是中線，=，_；（3）AB=AC，AD是角平分線，是角平

12、分線，_，_= =_. CAB 1 2D D等腰三角形等腰三角形“三線合一三線合一”的性的性質質用符號語言表示為：用符號語言表示為：1 12 2B BC C1 12 2ADADBCBCADADBCBCBDBDCD例例1 1 已知：如圖，在已知：如圖，在ABC中，中，AB=AC，點，點D，E 在邊在邊BC上，且上，且AD=AE. 求證：求證：BD=CE.舉舉例例證明證明 作作AFBC，垂足為點，垂足為點F，則則AF是等腰三角形是等腰三角形ABC和等腰三角形和等腰三角形ADE底邊上的高，也是底邊上的中線底邊上的高，也是底邊上的中線. BF=CF， BF- -DF=CF- -EF，DF=EF，即即

13、BD=CE.F A B C D E F如圖，在等腰三角形如圖，在等腰三角形ABC中，中，AB=AC，D為為BC的中點，的中點，DEAB，DFAC,則則DE=DF。請說明。請說明理由。理由。如圖：在如圖：在ABC中，中，AB=AC，BD=CD.求證：求證：OB=OCDCBAO你的細心加你的耐心等于成功！ 如圖：如圖：ABC中，中，AB=AC,AD和和BE是高，它們是高，它們相交于點相交于點H，且，且AE=BE。 求證：求證：AH=2BDABCDEH證明：證明：AB=AC,AD是高是高,BC=2BD12又又BE是高，是高，ADC=BEC=AEH=90在在AEH和和BEC中中AEH BEC(ASA)

14、1+C=2+C=90 1=2 AEH=BECAE=BE1=2 AH=BCAH=2BD名名稱稱圖圖 形形性性 質質 判判 定定等等 腰腰 三三 角角 形形A AB BC C在一個三角形中，在一個三角形中，等邊對等角等邊對等角三線合一三線合一在一個三角形中，在一個三角形中，等角對等邊等角對等邊兩邊相等兩邊相等兩腰相等兩腰相等軸對稱圖形軸對稱圖形等腰三角形的性質和判定是怎樣的？等腰三角形的性質和判定是怎樣的？1 1. .在在ABCABC中中, , 已知已知A=40A=40,B=70,B=70, ,判斷判斷ABCABC是什是什么三角形么三角形, ,為什么為什么? ?答：等腰三角形。答：等腰三角形。C=

15、180- A- B=180-40-70=70 B= C ABC是等腰三角形是等腰三角形變式變式已知：已知：A=40, B等于多少度等于多少度,判斷判斷ABC是等腰三角形是等腰三角形,為什么為什么? 變式1:已知在已知在ABC中中, AB=AC, BE、CD分別平分別平分分 ABC、 ACB，且相交于點，且相交于點O， 試說明試說明BOC是等腰三角形。是等腰三角形。外角的角平分線1212ODEABCODEBAC變變2：如圖：如圖,BD是等腰三角形是等腰三角形ABC的底邊的底邊AC上的上的 交交AB于點于點E, 判斷判斷BDE是不是是不是 高高,DEBC, 等腰三角形等腰三角形,請說說理由請說說理

16、由.ABCDEOABCDE已知已知: :如圖如圖,在在ABCABC中，中，BOBO、COCO分分別平分別平分ABCABC、ACBACB并交于點并交于點O,O,過點過點O O作作 ODAB, OEAC,BC=16,ODAB, OEAC,BC=16,求求: : ODEODE的周長的周長變3變變4 4三角形兩底角的平分線三角形兩底角的平分線AOAO與與BOBO交于點交于點OO，過，過OO作底邊作底邊ABAB的平行線的平行線EFEF，交交ACAC于于E E，交，交BCBC于于F F。AEAE，EFEF，BFBF之之間的長度有何關系？間的長度有何關系？AE+BF=EFOFEBCAGFEDCBA已知已知:

17、 :如圖如圖,在在ABCABC中，中，BDBD、CDCD分別平分分別平分ABCABC、ACEACE并交于點并交于點D,D,過過F F作作 DFBEDFBE則線段則線段FGFG，BFBF，CGCG之間又會有什么關系？若有之間又會有什么關系？若有請寫出關系式，并說明理由。請寫出關系式，并說明理由。FEDCBA再變再變2 2 已已知知: :如圖如圖,在在ABCABC中，中，BFBF、CFCF分別平分分別平分DBCDBC、ECBECB并交于點并交于點F,F,過過F F作作 DEBCDEBC求證求證: :DE=BD+CEDE=BD+CE再變再變3（2012春春南岸區(qū)期末）南岸區(qū)期末）如圖，在如圖，在Rt

18、ABC中，中，BAC=90，AC=6，BC=10，過，過A作作DEBC交交ABC的平分線的平分線BE于點于點E、交、交ACB的平分線的平分線CD于點于點D，則，則DE為（）為（） 變變5 5. .已知：已知：ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，D D是是ABAB上一點，上一點，延長延長ACAC至點至點E E，使，使CE=BDCE=BD，連結，連結DEDE交交BCBC于于F F。求證：求證：DF=EFDF=EFABCDEHF變6（2014秋如皋市校級期中）已知已知ABC的三的三條邊長分別為條邊長分別為6，8，12，過，過ABC任一頂點畫任一頂點畫一條直線，將一條直線，將ABC分割成兩個三角

19、形，使其分割成兩個三角形，使其中的一個是等腰三角形，則這樣的直線最多可中的一個是等腰三角形，則這樣的直線最多可畫（）畫（） 變7（2012蕪湖縣校級自主招生）如圖，在如圖，在33的網(wǎng)格中，每個網(wǎng)格線的交點稱為格點已知的網(wǎng)格中，每個網(wǎng)格線的交點稱為格點已知圖中圖中A、B兩個格點，請在圖中再尋找另一個格兩個格點，請在圖中再尋找另一個格點點C，使，使ABC成為等腰三角形，則滿足條件成為等腰三角形，則滿足條件的點的點C有（）有（） 再變再變（2011秋秋蕭山區(qū)期中）蕭山區(qū)期中）請在下圖方格中畫請在下圖方格中畫出三個以出三個以AB為腰的等腰為腰的等腰ABC（要求：（要求：1、銳、銳角三角形、直角三角形、

20、鈍角三角形各畫一個；角三角形、直角三角形、鈍角三角形各畫一個；2、點、點C在格點上）在格點上） 變變8 已知已知a，b，c為為ABC的三邊且的三邊且（a-b）（）（b-c）=0，則，則ABC為（）為（） 變變9（2013秋秋諸暨市校級期中）諸暨市校級期中）如果一個三角如果一個三角形三邊長為形三邊長為a、b、c，且滿足，且滿足（a+b+c）（）（a-c）=0，則該三角形的形狀是，則該三角形的形狀是n 變變10（2012南海區(qū)校級二模）南海區(qū)校級二模）已知：如圖，已知：如圖，ABC的兩條高的兩條高BE、CD相交于點相交于點O，且，且OB=OC，求證：，求證：ABC是等腰三角形是等腰三角形 變變11

21、（2012春春金山區(qū)校級期末）金山區(qū)校級期末）如圖，在如圖，在ABC中，中，AB=AC，BAD=CAE，點，點D、E在在BC上，試說明上，試說明ADE是等腰三角形是等腰三角形 變變12（2010春春福安市期末）福安市期末）如圖，在如圖，在ABC中，中，AB=AC=2，B=40，點，點D在線段在線段BC上運動（上運動（D不不與與B、C重合），連接重合），連接AD，作，作ADE=40，DE交線段交線段AC于于E（1）當）當BDA=115時，時，BAD= ；點；點D從從B向向C運動時，運動時，BDA逐漸變（填逐漸變（填“大大”或或“小小”）；）；（2）當）當DC等于多少時，等于多少時，ABD DCE

22、，請說明理由；，請說明理由；n（3）在點）在點D的運動過程中，的運動過程中，ADE的形狀也在改變，判斷當?shù)男螤钜苍诟淖儯袛喈攏BDA等于多少度等于多少度 時，時，ADE是等腰三角形是等腰三角形 當當ADB=110或或80時，時，ADE是等腰三角形是等腰三角形 變變13 如圖所示，如圖所示，BAC=90，ADBC，垂，垂足為足為D，BE平分平分ABC，交，交AC于于E，交，交AD于于F，試判斷試判斷AEF的形狀，并說明理由的形狀，并說明理由 變變14（2015盤錦四模）已知，點盤錦四模）已知，點P是是RtABC斜邊斜邊AB上一動點（不與上一動點（不與A、B重合），分別過重合），分別過A、B向直線向直線CP作作垂線，垂足分別為垂線，垂足分別為E、F、Q為斜邊為斜邊AB的中點的中點n（1）如圖）如圖1，當點，當點P與點與點Q重合時，重合時，AE與與BF的位置關的位置關系是系是，QE與與QF的數(shù)量關系是的數(shù)量關系是；n（2）如圖）如圖2，當點，當點P在線段在線段AB上不與點上不與點Q重合時，試判重合