整式的乘法與因式分解知識點及例題

1、名師總結(jié)優(yōu)秀知識點整式乘除與因式分解一知識點（重點）1冪的運算性質(zhì)：m nm n（ m、 n 為正整數(shù)）同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加例：22 3a ·a a( 2a) ( 3a )2 am n( a5)5 amn（ m、 n 為正整數(shù)）冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘例：3 abnan bn（n 為正整數(shù)）積的乘方等于各因式乘方的積例：( a2b)3練習：（ 1） 5x 32 x2 y（ 2）3ab (4b 2 )（3） 3ab 2a（ 4） yz 2 y 2 z 2（ 5） (2x 2 y) 3( 4 xy2 )（ 6） 1 a 3b 6a5b 2 c ( ac 2 ) 234 a

2、manm n（a 0， m、 n 都是正整數(shù)，且m n） a同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減例：（ 1） x8÷ x2（ 2） a4÷ a（ 3）（ ab） 5÷（ ab） 2（ 4）（-a） 7÷（ -a） 5（ 5） (-b) 5÷ (-b)25零指數(shù)冪的概念：a0 1（ a 0）任何一個不等于零的數(shù)的零指數(shù)冪都等于l例：若 (2a3 )01成立，則 a, b滿足什么條件？b p6負指數(shù)冪的概念： a 任何一個不等于零的數(shù)的1ap（ a 0，p 是正整數(shù)）p（p 是正整數(shù)）指數(shù)冪，等于這個數(shù)的p 指數(shù)冪的倒數(shù)pnm也可表示為：mnp（m0，

3、 n 0，p 為正整數(shù)）7單項式的乘法法則：單項式相乘，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，作為積的因式；對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式例：（ 1） 3a 2b 2abc 1 abc 2（ 2） ( 1 m3n) 3 ( 2m 2 n) 4328單項式與多項式的乘法法則：單項式與多項式相乘，用單項式和多項式的每一項分別相乘，再把所得的積相加例：（ 1） 2ab(5ab23 2b)（ ）221a(ab2ab) ab232名師總結(jié)優(yōu)秀知識點（ 3） (-5m 2 n) (2n 3m n2 )（ 4） 2( xy 2 z xy 2 z3 ) xyz9多項式與多項式的乘法法則：多

4、項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項與另一個多項式的每一項相乘，再把所得的積相加例：（ 1）（1x）(0.6 x)（ 2） ( 2 xy )( x y )（3）n)2（ 2m練習：1計算 2x 3· ( 2xy)( 12xy) 3 的結(jié)果是2 (3× 10 8)× ( 4× 10 4)3若 n 為正整數(shù)，且x 2n 3，則 (3x 3n) 2 的值為4如果 (a nb· ab m) 3 a 9b 15，那么 mn 的值是5 a 2(2a 3 a)6 ( 4x 2 6x 8)· ( 1x 2)228若 k(2k 5) 2k(1 k)

5、 32，則 k7 2n(1 3mn )9 ( 3x 2 ) (2x 3y)(2x 5y) 3y(4x 5y)10在 (ax 2 bx 3)(x2 1x 8)的結(jié)果中不含x 3 和 x 項，則 a，b211一個長方體的長為(a 4)cm，寬為 (a 3)cm，高為 (a5)cm ，則它的表面積為，體積為。12一個長方形的長是10cm，寬比長少 6cm，則它的面積是，若將長方形的長和都擴大了2cm，則面積增大了。10單項式的除法法則：單項式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式：對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式例：（ 1） 28x4y2÷ 7x3y（ 2）

6、 -5a5b3c÷ 15a4 b（ 3）（ 2x2y） 3·（ -7xy2）÷ 14x4y311多項式除以單項式的法則：多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加例： (1)(3x2 y6xy)6xy( 2)(5a3b10a2b215ab3 )( 5ab)練習：1計算：（ 1）3 x4 y2 z31 x2 y 2 ；（ 2）2x2 y3 x2 y2；3772（ 3） 16 a b 64 ab 2（ 4） 4x3 y 2 n 22xyn 3（5） 41092103名師總結(jié)優(yōu)秀知識點2計算：（ 1） 16x3 y3 1 x2 y31 xy

7、223323； （ 2） 2 x2 y1 x2 y1 xy5255 an 1b222（ 3）1 anb22 anbn2453計算：（ 1） 4 x y 5 x y 46 y x 3x y 2 ；（ 2） 16 a b 6 a b 5a b 32a b 4.若 (ax3my12) ÷(3x 3y2n)=4x 6y8 ,則 a =, m =,=;易錯點：在冪的運算中，由于法則掌握不準出現(xiàn)錯誤；有關(guān)多項式的乘法計算出現(xiàn)錯誤；誤用同底數(shù)冪的除法法則；用單項式除以單項式法則或多項式除以單項式法則出錯；乘除混合運算順序出錯。12乘法公式：平方差公式： （ ab）（ a b） a2 b2文字語言敘

8、述：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差相乘，等于這兩個數(shù)的平方差完全平方公式： （ a b） 2 a2 2abb2（ ab） 2 a2 2abb2文字語言敘述：兩個數(shù)的和（或差）的平方等于這兩個數(shù)的平方和加上（或減去）這兩個數(shù)的積的2 倍例 1： （ 1） (7+6x)(7-6x) ；（ 2）(3y x)(x-3y)；（ 3） (-m 2n)(-m-2n) 例 2：(1) (x+6)2(2) (y-5)2(3) (-2x+5)2練習：1、a54a23=_ 。 x(x3 y2 )22( x2 y)3( xy2 )3 _ 。2、6a 4b312a3b48a3 b22a3b2 （ _ ）名師總結(jié)優(yōu)秀知識點3、

9、 x2_9 y2( x_)2 ； x22 x35( x7) （ _）11124、已知 x5，那么 x3=_； x=_ 。xx3x5、若9x2mxy16 y2 是一個完全平方式，那么m 的值是 _ 。6、多項式 x3x2 , x 22x1, x 2x 2 的公因式是 _ 。7、因式分解：8x 3_ 。278、因式分解：4m 22mn1 n2_ 。49、計算： 0.131 80.004 80.002 8_ 。10、 x 2y2xy( xy)A ，則 A =_易錯點：錯誤的運用平方差公式和完全平方公式。13因式分解（難點）因式分解的定義把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個多項式因

10、式分解掌握其定義應注意以下幾點：（ 1）分解對象是多項式，分解結(jié)果必須是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個要素缺一不可；（ 2）因式分解必須是恒等變形；（ 3）因式分解必須分解到每個因式都不能分解為止弄清因式分解與整式乘法的內(nèi)在的關(guān)系因式分解與整式乘法是互逆變形，因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為和差的形式二、熟練掌握因式分解的常用方法1、提公因式法（ 1）掌握提公因式法的概念；（ 2）提公因式法的關(guān)鍵是找出公因式，公因式的構(gòu)成一般情況下有三部分：系數(shù)一各項系數(shù)的最大公約數(shù)；字母 各項含有的相同字母；指數(shù) 相同字母的最低次數(shù)；（ 3）提公因式法的步驟：第一步是找出公因式；第

11、二步是提取公因式并確定另一因式需注意的是，提取完公因式后，另一個因式的項數(shù)與原多項式的項數(shù)一致，這一點可用來檢驗是否漏項（ 4）注意點：提取公因式后各因式應該是最簡形式，即分解到“底” ；如果多項式的第一項的系數(shù)是負的，一般要提出“”號，使括號內(nèi)的第一項的系數(shù)是正的例：（ 1） 8a3b212ab3 c（2） 75 x3 y535 x2 y42、公式法運用公式法分解因式的實質(zhì)是把整式中的乘法公式反過來使用；名師總結(jié)優(yōu)秀知識點常用的公式：平方差公式：a2 b2 （ a b）（ a b）完全平方公式：a2 2ab b2（ a b） 2a2 2ab b2（ ab） 2例：（ 1） a2 b20.25

12、c2（ 2） 9(a b)26(b a ) 1（ 3） a4 x24a 2 x2 y4x 2 y2（ 4） ( xy)212( xy)z36z2練習：1x22(m 3) x 16是完全平方式，則m 的值等于_2 x2x m ( x n)2則 m=_n=_、若。、3、 2x 3 y 2 與 12x 6 y 的公因式是4、若 xmy n = ( xy 2 )( xy 2 )( x 2y 4 ) ，則 m=_， n=_ 。5、在多項式 m 2n2 ,a 2b 2 , x44 y 2 ,4s29t 4 中，可以用平方差公式分解因式的有 _ ，其結(jié)果是_ 。6、若 x22(m3) x16 是完全平方式，

13、則m=_ 。7、 x2(_) x2( x2)( x_) 8、已知 1xx2x2004x20050, 則 x 2006_ .9、若 16(ab)2M25 是完全平方式M=_ 。 10、 x 26x_( x3) 2 ，x2_9(x3)211、若 9x 2ky 2 是完全平方式，則k=_ 。 12、若 x 24x4 的值為 0，則 3x212x5 的值是 _。13、若x2ax 15 ( x 1)( x 15)則 a=_。 、若x y 4, x2y26則xy。14_15、方程 x24x0 ，的解是 _。易錯點：用提公因式法分解因式時易出現(xiàn)漏項，丟系數(shù)或符號錯誤；分解因式不徹底。中考考點解讀：整式的乘除

14、是初中數(shù)學的基礎,是中考的一個重點內(nèi)容.其考點主要涉及以下幾個方面：考點 1、冪的有關(guān)運算名師總結(jié)優(yōu)秀知識點例 1（ 2009 年湘西）在下列運算中，計算正確的是（）（ A ） a3 a2a 6（ B） ( a2 )3a 5（ C） a8a2a4（ D） ( ab2 )2a2b4分析 :冪的運算包括同底數(shù)冪的乘法運算、冪的乘方、 積的乘方和同底數(shù)冪的除法運算.冪的運算是整式乘除運算的基礎 ,準確解決冪的有關(guān)運算的關(guān)鍵是熟練理解各種運算的法則.解：根據(jù)同底數(shù)冪的乘法運算法則知a3a2a 3 2a5 ，所以（ A ）錯；根據(jù)冪的乘方運算法則知(a 2 )3a 2 3a 6 ，所以（ B）錯；根據(jù)同

15、底數(shù)冪的除法法則知a8a 2a82a6 ，所以（ C）錯；故選（ D） .例 2.（2009 年齊齊哈爾）已知 10m2 ， 10n3 ，則 103 m 2n_ 分析 :本題主要考查冪的運算性質(zhì)的靈活應用，可先逆用同底數(shù)冪的乘法法則amanam n ,將指數(shù)相加化為冪相乘的形式 ,再逆用冪的乘方的法則(am )namn ,將指數(shù)相乘轉(zhuǎn)化為冪的乘方的形式,然后代入求值即可 .解：103 m 2n103 m102 nm3（10n 23272 .(10 )）23考點 2、整式的乘法運算例 3（ 2009 年賀州）計算：(2a)( 1 a31)=4分析 :本題主要考查單項式與多項式的乘法運算.計算時，

16、按照法則將其轉(zhuǎn)化為單項式與單項式的乘法運算,注意符號的變化 .解： (2a)( 1 a31) ( 2a)1 a3(2a) 11 a 42a .442考點 3、乘法公式例 4.(2009 年山西省 )計算：x32x1x2分析 :運用多項式的乘法法則以及乘法公式進行運算，然后合并同類項.2x 1 x 2 = x26x 9 (x22x x 2)解：x 3= x26x 9 x22x x 2 = 9x 7 .例 5. (2009 年寧夏 )已知： ab3， ab1，化簡(a2)( b2) 的結(jié)果是2分析 :本題主要考查多項式與多項式的乘法運算.首先按照法則進行計算,然后靈活變形，使其出現(xiàn)（ ab ）與

17、ab ，以便求值 .解： (a 2)(b2)= ab2a2b4 = ab2(ab) 4 =12342 .2考點 4、利用整式運算求代數(shù)式的值例 6（ 2009 年長沙）先化簡，再求值：( a b)(ab)(ab)22a2 ，其中 a3， b1 3分析 :本題是一道綜合計算題,主要在于乘法公式的應用.解： (ab)( ab)(ab)22a2名師總結(jié)優(yōu)秀知識點a2b2a22ab b22a22ab當 a3 ， b11時， 2ab 2 32 .33考點 5、整式的除法運算例 7. (2009 年廈門 )計算： (2x y)(2 x y)y(y 6x) ÷2x分析 :本題的一道綜合計算題,首先

18、要先算中括號內(nèi)的,注意乘法公式的使用,然后再進行整式的除法運算.解：(2 x y)( 2x y) y(y 6x) ÷2x (4x2 y2 y2 6xy) ÷2x (4x2 6xy) ÷2x 2x3y.考點 6、定義新運算例 8.（2009年定西） 在實數(shù)范圍內(nèi)定義運算“”，其法則為： ab a2b2 ，求方程（ 43）x 24 的解分析 :本題求解的關(guān)鍵是讀懂新的運算法則，觀察已知的等式aba2b2可知，在本題中“”定義的是平方差運算，即用“”前邊的數(shù)的平方減去“”后邊的數(shù)的平方 .解： ab a2b2 ， (4 3) x (4 232 ) x 7 x 72x2 72x224 x225 x5 考點 7、乘法公式例 3（ 1） (2009 年白銀市 )當 x 3、 y1時，代數(shù)式 (xy)(xy)y2 的值是（ 2） (2009 年十堰市 ) 已知： a+b=3， ab=2，求 a2+b2 的值 .解析：問題（ 1）主要是對乘法的平方差公式的考查.原式 =x 2- y 2 +y 2= x 2 = 3 2=9.問題（ 2）考查了完全平方公式的變形應用， (a b)2a 22ab b 2， a 2b 2( a b) 22ab 322 2 5.說明：乘法公式應用極為廣泛，理解公式的本質(zhì)，把握公式的特征，熟練靈活地使用乘法公式，可以使運算變得簡