整式的乘法與因式分解知識(shí)點(diǎn)及例題

1、名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)整式乘除與因式分解一知識(shí)點(diǎn)（重點(diǎn)）1冪的運(yùn)算性質(zhì)：m nm n（ m、 n 為正整數(shù)）同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加例：22 3a ·a a( 2a) ( 3a )2 am n( a5)5 amn（ m、 n 為正整數(shù)）冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘例：3 abnan bn（n 為正整數(shù)）積的乘方等于各因式乘方的積例：( a2b)3練習(xí)：（ 1） 5x 32 x2 y（ 2）3ab (4b 2 )（3） 3ab 2a（ 4） yz 2 y 2 z 2（ 5） (2x 2 y) 3( 4 xy2 )（ 6） 1 a 3b 6a5b 2 c ( ac 2 ) 234 a

2、manm n（a 0， m、 n 都是正整數(shù)，且m n） a同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減例：（ 1） x8÷ x2（ 2） a4÷ a（ 3）（ ab） 5÷（ ab） 2（ 4）（-a） 7÷（ -a） 5（ 5） (-b) 5÷ (-b)25零指數(shù)冪的概念：a0 1（ a 0）任何一個(gè)不等于零的數(shù)的零指數(shù)冪都等于l例：若 (2a3 )01成立，則 a, b滿足什么條件？b p6負(fù)指數(shù)冪的概念： a 任何一個(gè)不等于零的數(shù)的1ap（ a 0，p 是正整數(shù)）p（p 是正整數(shù)）指數(shù)冪，等于這個(gè)數(shù)的p 指數(shù)冪的倒數(shù)pnm也可表示為：mnp（m0，

3、 n 0，p 為正整數(shù)）7單項(xiàng)式的乘法法則：?jiǎn)雾?xiàng)式相乘，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，作為積的因式；對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式例：（ 1） 3a 2b 2abc 1 abc 2（ 2） ( 1 m3n) 3 ( 2m 2 n) 4328單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則：?jiǎn)雾?xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，用單項(xiàng)式和多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別相乘，再把所得的積相加例：（ 1） 2ab(5ab23 2b)（ ）221a(ab2ab) ab232名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)（ 3） (-5m 2 n) (2n 3m n2 )（ 4） 2( xy 2 z xy 2 z3 ) xyz9多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則：多

4、項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)與另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)相乘，再把所得的積相加例：（ 1）（1x）(0.6 x)（ 2） ( 2 xy )( x y )（3）n)2（ 2m練習(xí)：1計(jì)算 2x 3· ( 2xy)( 12xy) 3 的結(jié)果是2 (3× 10 8)× ( 4× 10 4)3若 n 為正整數(shù)，且x 2n 3，則 (3x 3n) 2 的值為4如果 (a nb· ab m) 3 a 9b 15，那么 mn 的值是5 a 2(2a 3 a)6 ( 4x 2 6x 8)· ( 1x 2)228若 k(2k 5) 2k(1 k)

5、 32，則 k7 2n(1 3mn )9 ( 3x 2 ) (2x 3y)(2x 5y) 3y(4x 5y)10在 (ax 2 bx 3)(x2 1x 8)的結(jié)果中不含x 3 和 x 項(xiàng)，則 a，b211一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為(a 4)cm，寬為 (a 3)cm，高為 (a5)cm ，則它的表面積為，體積為。12一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是10cm，寬比長(zhǎng)少 6cm，則它的面積是，若將長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和都擴(kuò)大了2cm，則面積增大了。10單項(xiàng)式的除法法則：?jiǎn)雾?xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式：對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式例：（ 1） 28x4y2÷ 7x3y（ 2）

6、 -5a5b3c÷ 15a4 b（ 3）（ 2x2y） 3·（ -7xy2）÷ 14x4y311多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則：多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加例： (1)(3x2 y6xy)6xy( 2)(5a3b10a2b215ab3 )( 5ab)練習(xí)：1計(jì)算：（ 1）3 x4 y2 z31 x2 y 2 ；（ 2）2x2 y3 x2 y2；3772（ 3） 16 a b 64 ab 2（ 4） 4x3 y 2 n 22xyn 3（5） 41092103名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)2計(jì)算：（ 1） 16x3 y3 1 x2 y31 xy

7、223323； （ 2） 2 x2 y1 x2 y1 xy5255 an 1b222（ 3）1 anb22 anbn2453計(jì)算：（ 1） 4 x y 5 x y 46 y x 3x y 2 ；（ 2） 16 a b 6 a b 5a b 32a b 4.若 (ax3my12) ÷(3x 3y2n)=4x 6y8 ,則 a =, m =,=;易錯(cuò)點(diǎn)：在冪的運(yùn)算中，由于法則掌握不準(zhǔn)出現(xiàn)錯(cuò)誤；有關(guān)多項(xiàng)式的乘法計(jì)算出現(xiàn)錯(cuò)誤；誤用同底數(shù)冪的除法法則；用單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則或多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則出錯(cuò)；乘除混合運(yùn)算順序出錯(cuò)。12乘法公式：平方差公式： （ ab）（ a b） a2 b2文字語(yǔ)言敘

8、述：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差相乘，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差完全平方公式： （ a b） 2 a2 2abb2（ ab） 2 a2 2abb2文字語(yǔ)言敘述：兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方等于這兩個(gè)數(shù)的平方和加上（或減去）這兩個(gè)數(shù)的積的2 倍例 1： （ 1） (7+6x)(7-6x) ；（ 2）(3y x)(x-3y)；（ 3） (-m 2n)(-m-2n) 例 2：(1) (x+6)2(2) (y-5)2(3) (-2x+5)2練習(xí)：1、a54a23=_ 。 x(x3 y2 )22( x2 y)3( xy2 )3 _ 。2、6a 4b312a3b48a3 b22a3b2 （ _ ）名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)3、

9、 x2_9 y2( x_)2 ； x22 x35( x7) （ _）11124、已知 x5，那么 x3=_； x=_ 。xx3x5、若9x2mxy16 y2 是一個(gè)完全平方式，那么m 的值是 _ 。6、多項(xiàng)式 x3x2 , x 22x1, x 2x 2 的公因式是 _ 。7、因式分解：8x 3_ 。278、因式分解：4m 22mn1 n2_ 。49、計(jì)算： 0.131 80.004 80.002 8_ 。10、 x 2y2xy( xy)A ，則 A =_易錯(cuò)點(diǎn)：錯(cuò)誤的運(yùn)用平方差公式和完全平方公式。13因式分解（難點(diǎn)）因式分解的定義把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因

10、式分解掌握其定義應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（ 1）分解對(duì)象是多項(xiàng)式，分解結(jié)果必須是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個(gè)要素缺一不可；（ 2）因式分解必須是恒等變形；（ 3）因式分解必須分解到每個(gè)因式都不能分解為止弄清因式分解與整式乘法的內(nèi)在的關(guān)系因式分解與整式乘法是互逆變形，因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為和差的形式二、熟練掌握因式分解的常用方法1、提公因式法（ 1）掌握提公因式法的概念；（ 2）提公因式法的關(guān)鍵是找出公因式，公因式的構(gòu)成一般情況下有三部分：系數(shù)一各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；字母 各項(xiàng)含有的相同字母；指數(shù) 相同字母的最低次數(shù)；（ 3）提公因式法的步驟：第一步是找出公因式；第

11、二步是提取公因式并確定另一因式需注意的是，提取完公因式后，另一個(gè)因式的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)一致，這一點(diǎn)可用來檢驗(yàn)是否漏項(xiàng)（ 4）注意點(diǎn)：提取公因式后各因式應(yīng)該是最簡(jiǎn)形式，即分解到“底” ；如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)的，一般要提出“”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)是正的例：（ 1） 8a3b212ab3 c（2） 75 x3 y535 x2 y42、公式法運(yùn)用公式法分解因式的實(shí)質(zhì)是把整式中的乘法公式反過來使用；名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)常用的公式：平方差公式：a2 b2 （ a b）（ a b）完全平方公式：a2 2ab b2（ a b） 2a2 2ab b2（ ab） 2例：（ 1） a2 b20.25

12、c2（ 2） 9(a b)26(b a ) 1（ 3） a4 x24a 2 x2 y4x 2 y2（ 4） ( xy)212( xy)z36z2練習(xí)：1x22(m 3) x 16是完全平方式，則m 的值等于_2 x2x m ( x n)2則 m=_n=_、若。、3、 2x 3 y 2 與 12x 6 y 的公因式是4、若 xmy n = ( xy 2 )( xy 2 )( x 2y 4 ) ，則 m=_， n=_ 。5、在多項(xiàng)式 m 2n2 ,a 2b 2 , x44 y 2 ,4s29t 4 中，可以用平方差公式分解因式的有 _ ，其結(jié)果是_ 。6、若 x22(m3) x16 是完全平方式，

13、則m=_ 。7、 x2(_) x2( x2)( x_) 8、已知 1xx2x2004x20050, 則 x 2006_ .9、若 16(ab)2M25 是完全平方式M=_ 。 10、 x 26x_( x3) 2 ，x2_9(x3)211、若 9x 2ky 2 是完全平方式，則k=_ 。 12、若 x 24x4 的值為 0，則 3x212x5 的值是 _。13、若x2ax 15 ( x 1)( x 15)則 a=_。 、若x y 4, x2y26則xy。14_15、方程 x24x0 ，的解是 _。易錯(cuò)點(diǎn)：用提公因式法分解因式時(shí)易出現(xiàn)漏項(xiàng)，丟系數(shù)或符號(hào)錯(cuò)誤；分解因式不徹底。中考考點(diǎn)解讀：整式的乘除

14、是初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),是中考的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容.其考點(diǎn)主要涉及以下幾個(gè)方面：考點(diǎn) 1、冪的有關(guān)運(yùn)算名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)例 1（ 2009 年湘西）在下列運(yùn)算中，計(jì)算正確的是（）（ A ） a3 a2a 6（ B） ( a2 )3a 5（ C） a8a2a4（ D） ( ab2 )2a2b4分析 :冪的運(yùn)算包括同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算、冪的乘方、 積的乘方和同底數(shù)冪的除法運(yùn)算.冪的運(yùn)算是整式乘除運(yùn)算的基礎(chǔ) ,準(zhǔn)確解決冪的有關(guān)運(yùn)算的關(guān)鍵是熟練理解各種運(yùn)算的法則.解：根據(jù)同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則知a3a2a 3 2a5 ，所以（ A ）錯(cuò)；根據(jù)冪的乘方運(yùn)算法則知(a 2 )3a 2 3a 6 ，所以（ B）錯(cuò)；根據(jù)同

15、底數(shù)冪的除法法則知a8a 2a82a6 ，所以（ C）錯(cuò)；故選（ D） .例 2.（2009 年齊齊哈爾）已知 10m2 ， 10n3 ，則 103 m 2n_ 分析 :本題主要考查冪的運(yùn)算性質(zhì)的靈活應(yīng)用，可先逆用同底數(shù)冪的乘法法則amanam n ,將指數(shù)相加化為冪相乘的形式 ,再逆用冪的乘方的法則(am )namn ,將指數(shù)相乘轉(zhuǎn)化為冪的乘方的形式,然后代入求值即可 .解：103 m 2n103 m102 nm3（10n 23272 .(10 )）23考點(diǎn) 2、整式的乘法運(yùn)算例 3（ 2009 年賀州）計(jì)算：(2a)( 1 a31)=4分析 :本題主要考查單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算.計(jì)算時(shí)，

16、按照法則將其轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的乘法運(yùn)算,注意符號(hào)的變化 .解： (2a)( 1 a31) ( 2a)1 a3(2a) 11 a 42a .442考點(diǎn) 3、乘法公式例 4.(2009 年山西省 )計(jì)算：x32x1x2分析 :運(yùn)用多項(xiàng)式的乘法法則以及乘法公式進(jìn)行運(yùn)算，然后合并同類項(xiàng).2x 1 x 2 = x26x 9 (x22x x 2)解：x 3= x26x 9 x22x x 2 = 9x 7 .例 5. (2009 年寧夏 )已知： ab3， ab1，化簡(jiǎn)(a2)( b2) 的結(jié)果是2分析 :本題主要考查多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算.首先按照法則進(jìn)行計(jì)算,然后靈活變形，使其出現(xiàn)（ ab ）與

17、ab ，以便求值 .解： (a 2)(b2)= ab2a2b4 = ab2(ab) 4 =12342 .2考點(diǎn) 4、利用整式運(yùn)算求代數(shù)式的值例 6（ 2009 年長(zhǎng)沙）先化簡(jiǎn)，再求值：( a b)(ab)(ab)22a2 ，其中 a3， b1 3分析 :本題是一道綜合計(jì)算題,主要在于乘法公式的應(yīng)用.解： (ab)( ab)(ab)22a2名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)a2b2a22ab b22a22ab當(dāng) a3 ， b11時(shí)， 2ab 2 32 .33考點(diǎn) 5、整式的除法運(yùn)算例 7. (2009 年廈門 )計(jì)算： (2x y)(2 x y)y(y 6x) ÷2x分析 :本題的一道綜合計(jì)算題,首先

18、要先算中括號(hào)內(nèi)的,注意乘法公式的使用,然后再進(jìn)行整式的除法運(yùn)算.解：(2 x y)( 2x y) y(y 6x) ÷2x (4x2 y2 y2 6xy) ÷2x (4x2 6xy) ÷2x 2x3y.考點(diǎn) 6、定義新運(yùn)算例 8.（2009年定西） 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義運(yùn)算“”，其法則為： ab a2b2 ，求方程（ 43）x 24 的解分析 :本題求解的關(guān)鍵是讀懂新的運(yùn)算法則，觀察已知的等式aba2b2可知，在本題中“”定義的是平方差運(yùn)算，即用“”前邊的數(shù)的平方減去“”后邊的數(shù)的平方 .解： ab a2b2 ， (4 3) x (4 232 ) x 7 x 72x2 72x224 x225 x5 考點(diǎn) 7、乘法公式例 3（ 1） (2009 年白銀市 )當(dāng) x 3、 y1時(shí)，代數(shù)式 (xy)(xy)y2 的值是（ 2） (2009 年十堰市 ) 已知： a+b=3， ab=2，求 a2+b2 的值 .解析：?jiǎn)栴}（ 1）主要是對(duì)乘法的平方差公式的考查.原式 =x 2- y 2 +y 2= x 2 = 3 2=9.問題（ 2）考查了完全平方公式的變形應(yīng)用， (a b)2a 22ab b 2， a 2b 2( a b) 22ab 322 2 5.說明：乘法公式應(yīng)用極為廣泛，理解公式的本質(zhì)，把握公式的特征，熟練靈活地使用乘法公式，可以使運(yùn)算變得簡(jiǎn)