數(shù)列求和的方法總結(jié)教案

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載授課教案學(xué)員姓名：學(xué)員年級(jí)：_ _授課教師：上課時(shí)間：_所授科目：_年 _月 _日 _時(shí) _分至 _時(shí) _分共 _小時(shí)教學(xué)標(biāo)題教學(xué)目標(biāo)熟練掌握：專題數(shù)列求和的方法總結(jié)教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)掌握：考點(diǎn)內(nèi)容：上次作業(yè)檢查正確數(shù)：正確率：?jiǎn)栴}描述：授課內(nèi)容：一 復(fù)習(xí)上次課內(nèi)容：二 梳理知識(shí)（新課內(nèi)容）數(shù)列求和的常用方法：(1) 公式法 ：必須記住幾個(gè)常見數(shù)列前n 項(xiàng)和等差數(shù)列：n(a1an )na1n(n1)d；Sn22na1q1等比數(shù)列： Sna1 (1q n )q；1q1(2) 分組求和 ：如：求 1+1, 14 ,17, ,132, 的前 n 項(xiàng)和aa 2a n1n可進(jìn)行分組即： 11

2、1111473n2aa 2a3a n1前面是等比數(shù)列，后面是等差數(shù)列，分別求和(3n1)na12（注： Sn）(3n1)na12(3) 裂項(xiàng)法 ：如 an1，求 Sn，常用的裂項(xiàng)111，n(n2)1)nnn(n11111) ；1111n( n2) 2(n 21)(n2) 2(n1)(nnn(nn(n 1)2)(4) 錯(cuò)位相減法： 其特點(diǎn)是 cn=anbn 其中 a n 是等差， b n 是等比 如：求和Sn=1+3x+5x 2+7x3+ +(2n 1)x n 1注意討論 x，n2x1Sn(2n1) xn 1( 2n 1)x n(1 x)(1 x) 2x 1(5) 倒序求和： 等差數(shù)列的求和公式

3、就是用這種方法推導(dǎo)出來(lái)的。如求證：012Cn+3Cn +5Cn +nn+(2n 1) C n=(n+1)2學(xué)習(xí)必備歡迎下載三 典型例題典型題（一）公式法求和如果一個(gè)數(shù)列是等差、等比數(shù)列或者是可以轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列，我們可以運(yùn)用等差、等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和的公式來(lái)求 .等差數(shù)列求和公式： Snn a1anna1nn122dna1 q1等比數(shù)列求和公式： Sna11qna1anqq 11q1q常見的數(shù)列的前 n 項(xiàng)和： 123 +n= n(n1) ， 1+3+5+ +(2n-1)=n2232 +n2 = n(n1)(2n1) ，13n(n 1)212222333 +n3=等.62題 1：等

4、比數(shù)列 an 的前項(xiàng)和 S 2，則 a12a22a32an2 4n13題：若22n2 an3 bn2cn，則a,b,c=21+2+( -1) = + +=.解： 原式 = (n1)n(2n1)2n33n2n .答案： 1;1;166326典型題（二）倒序相加法求和：類似于等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和的公式的推導(dǎo)方法。 如果一個(gè)數(shù)列an ，與首末兩項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，可采用正序?qū)懞团c倒序?qū)懞偷膬蓚€(gè)和式相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和。這一種求和的方法稱為倒序相加法.題 1：已知函數(shù) f2xx22x（ 1）證明： f xf 1 x1；1289的值 .（ 2）求 ffff10101010解：（ 1）

5、先利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)，后證明左邊=右邊（ 2）利用第（ 1）小題已經(jīng)證明的結(jié)論可知，學(xué)習(xí)必備歡迎下載19285f5fffff1101010101010令 S1289ffff10101010則 S9821ffff10101010兩式相加得：2S 91999ff所以S.10102小結(jié)：解題時(shí)，認(rèn)真分析對(duì)某些前后具有對(duì)稱性的數(shù)列，可以運(yùn)用倒序相加法求和 .針對(duì)訓(xùn)練 :求值： S122232102102229232821021212典型題（三）錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前N 項(xiàng)和：類似于等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和的公式的推導(dǎo)方法。 若數(shù)列各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘得到，即數(shù)列是一個(gè)“差

6、·比”數(shù)列，則采用錯(cuò)位相減法 .若 anbncn ，其中bn是等差數(shù)列，cn 是公比為 q 等比數(shù)列，令Snb1c1 b2 c2bn 1cn 1 bn cn則 qSnb1c2b2c3bn 1cn bn cn 1兩式相減并整理即得題 1： 已知 ann 2n 1，求數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和 Sn.解： Sn1 202 21(n 1) 2n 2n 2n 12Sn 1 212 22( n 1) 2n 1n 2n得Snn 2n1 20212n 1n 2n2n1學(xué)習(xí)必備歡迎下載題外音：錯(cuò)位相減法的求解步驟： 在等式兩邊同時(shí)乘以等比數(shù)列cn的公比q ；將兩個(gè)等式相減；利用等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和的公

7、式求和 .題 2：1 , 3, 5 , 2n 1,; 的前 n 項(xiàng)和為 _Sn32n 32 22232 n2n題 3：S x 2x23x3nxn x 0, x 1n典型題（四）裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差， 即數(shù)列的每一項(xiàng)都可按此法拆成兩項(xiàng)之差， 在求和時(shí)一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消， 于是前 n 項(xiàng)的和變成首尾若干少數(shù)項(xiàng)之和， 這一求c和方法稱為裂項(xiàng)相消法。適用于類似（其中an是各項(xiàng)不為零的等差數(shù)anan 1列， c 為常數(shù)）的數(shù)列、部分無(wú)理數(shù)列等。用裂項(xiàng)相消法求和，需要掌握一些常見的裂項(xiàng)方法：（ 1）1111，特別地當(dāng) k1時(shí)，111n n kk n n kn n 1 n n 1（ 2）11

8、nkn特別地當(dāng) k1時(shí)1n1nn knk1nn題 1: 數(shù)列 an的通項(xiàng)公式為 an1，求它的前 n 項(xiàng)和 Snn( n1)解： Sna1a2a3an 1an11111122334n 1 n n n 1= 111111111122 33 4n 1 nn n 111nn1n1題 2：111n.1 447(3n2)(3n1)3n1學(xué)習(xí)必備歡迎下載題 3：111.1=、1 11112435 46(n 1)(n 3)2 23 n 2 n 3題 4 ：數(shù)列 an滿足： a1 1，且對(duì)任意的m， n N* 都有： amn aman mn，則 1111()a1a2a3a2008A 4016B 2008C 2

9、007D 20072009200910042008解：先用疊加法得到： ann(n1) ，122( 11) ，2ann(n1)nn1 11112(111111 )2(11)4016 a1a2a3a20082232008200920092009題外音裂項(xiàng)相消法求和的關(guān)鍵是數(shù)列的通項(xiàng)可以分解成兩項(xiàng)的差，且這兩項(xiàng)是同一數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)，即這兩項(xiàng)的結(jié)構(gòu)應(yīng)一致，并且消項(xiàng)時(shí)前后所剩的項(xiàng)數(shù)相同.1111, ,針對(duì)訓(xùn)練：求數(shù)列 1 2 233 2nn 1的前 n 項(xiàng)和 Sn .典型題（五）拆分組求和法：有一類數(shù)列，它既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列 .若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比數(shù)列或常見的數(shù)列，然

10、后分別求和，再將其合并即可.題 1：求和： S23 5 1435 263 5 32n 3 5 nn解： Sn2351435263532n 3 5 n2462n3 5 15 25 35 nn111n55n n 1n2n311311455題 2： 數(shù)列 1,(1 2),(1222 ),(12222n 1 ),的通項(xiàng)公式 an，前 n 項(xiàng)學(xué)習(xí)必備歡迎下載和 Sn2n1; 2 n 12 n題 3：設(shè) m=1× 2+2× 3+3×4+ +(n-1)·n，則 m 等于 ( A)A. n(n 21)B. 1 n(n+4)C.1 n(n+5)D. 1 n(n+7)322

11、2題4：數(shù)列11,31,51,71 ,前 n 項(xiàng)和為 （ A）24816（ A ）n211（B）n211（ ）n211（D）2 n2n 12Cn2nn 2n112n 12題 外 音這是求和的常用方法，按照一定規(guī)律將數(shù)列分成等差（比）數(shù)列或常見的數(shù)列，使問題得到順利求解 .針對(duì)訓(xùn)練：求和：Sna1a22a33ann典型題（六）奇偶并項(xiàng)求和法題 1：設(shè) Sn1357( 1)n (2n 1) ，則 Sn _ 2( 1)nn .題 2：若 Sn=1-2+3-4+(-1)n-1·n，則 S17+S33 50 等于()A.1B.-1C.0D .2n 1 (n為奇 )解：對(duì)前 n 項(xiàng)和要分奇偶分別解決，即：Sn=2答案： An為偶)( n2題 3 ：1002-992+982 -97