任意角的三角函數(shù)三角函數(shù)線(xiàn).doc

1、 任意角的三角函數(shù)-三角函數(shù)線(xiàn) 河南省焦作市第一中學(xué) 孟麗華教學(xué)背景:    1教材地位分析：三角函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，而三角函數(shù)線(xiàn)的概念及其應(yīng)用不僅體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，又貫穿整個(gè)三角函數(shù)的教學(xué).借助三角函數(shù)線(xiàn)可以推出三角函數(shù)公式，求解三角函數(shù)不等式，探索三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，可以說(shuō)，三角函數(shù)線(xiàn)是研究三角函數(shù)的有利工具.    2學(xué)生現(xiàn)實(shí)分析:學(xué)習(xí)本節(jié)前，學(xué)生已經(jīng)掌握任意角三角函數(shù)的定義,三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)，以及誘導(dǎo)公式一，為三角函數(shù)線(xiàn)的尋找做好了知識(shí)準(zhǔn)備。高一上學(xué)期研究指、對(duì)數(shù)函數(shù)圖像時(shí),已帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)

2、了幾何畫(huà)板的基礎(chǔ)知識(shí),現(xiàn)在他們已經(jīng)具備初步的幾何畫(huà)板應(yīng)用能力，能夠制作簡(jiǎn)單的動(dòng)畫(huà)，開(kāi)展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。教學(xué)目標(biāo)：1知識(shí)目標(biāo)： 使學(xué)生掌握如何利用單位圓中的有向線(xiàn)段分別表示任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值，并能利用三角函數(shù)線(xiàn)解決一些簡(jiǎn)單的三角函數(shù)問(wèn)題.2能力目標(biāo): 借助幾何畫(huà)板讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過(guò)程，提高學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)、類(lèi)比、猜想和實(shí)驗(yàn)探索的能力；在論壇上開(kāi)展研究性學(xué)習(xí)，讓學(xué)生借助所學(xué)知識(shí)自己去發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題,并加以解決，提高學(xué)生抽象概括、分析歸納、數(shù)學(xué)表述等基本數(shù)學(xué)思維能力.3情感目標(biāo)：激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)研究的熱情，培養(yǎng)學(xué)生勇于發(fā)現(xiàn)、勇于探索、勇于創(chuàng)新的精神；通過(guò)學(xué)生之間、師生之間的交流合作，實(shí)現(xiàn)共同探究、

3、教學(xué)相長(zhǎng)的教學(xué)情境。教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：1重點(diǎn)：三角函數(shù)線(xiàn)的作法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用.2難點(diǎn):利用與單位圓有關(guān)的有向線(xiàn)段，將任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值分別用它們的幾何形式表示出來(lái)。教學(xué)方法與教學(xué)手段：1教法選擇：“設(shè)置問(wèn)題，探索辨析，歸納應(yīng)用，延伸拓展”-科研式教學(xué)。2學(xué)法指導(dǎo)：類(lèi)比、聯(lián)想，產(chǎn)生知識(shí)遷移；觀察、實(shí)驗(yàn)，體驗(yàn)知識(shí)的形成過(guò)程；猜想、求證，達(dá)到知識(shí)的延展。3教學(xué)手段：本節(jié)課地點(diǎn)選在多媒體網(wǎng)絡(luò)教室，學(xué)生利用幾何畫(huà)板軟件探討數(shù)學(xué)問(wèn)題，做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn); 借助網(wǎng)絡(luò)論壇交流各自的觀點(diǎn),展示自己的才能.教學(xué)過(guò)程：一、設(shè)置疑問(wèn)，實(shí)驗(yàn)探索（17分鐘）教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)意圖設(shè)置疑問(wèn)，點(diǎn)明主題 前面我們學(xué)習(xí)

4、了角的弧度制,角弧度數(shù)的絕對(duì)值,其中是以角作為圓心角時(shí)所對(duì)弧的長(zhǎng)，r是圓的半徑。特別地， 當(dāng)r =1時(shí)，,此時(shí)的圓稱(chēng)為單位圓，這樣就可以用單位圓中弧的長(zhǎng)度表示所對(duì)圓心角弧度數(shù)的絕對(duì)值，那么能否用幾何圖形來(lái)表示任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值呢?這就是我們今天一起要研究的問(wèn)題.既可以引出單位圓，又可以使學(xué)生通過(guò)類(lèi)比聯(lián)想主動(dòng)、快速的探索出三角函數(shù)值的幾何形式。概念學(xué)習(xí),分散難點(diǎn) 有向線(xiàn)段：帶有方向的線(xiàn)段。（1）方向：按書(shū)寫(xiě)順序，前者為起點(diǎn)，后者為終點(diǎn),由起點(diǎn)指向終點(diǎn).如：有向線(xiàn)段OM,O為起點(diǎn),M為終點(diǎn)，由O點(diǎn)指向M點(diǎn).（動(dòng)態(tài)演示）(2） 數(shù)值：（只考慮在坐標(biāo)軸上或與坐標(biāo)軸平行的有向線(xiàn)段)

5、絕對(duì)值等于線(xiàn)段的長(zhǎng)度，若方向與坐標(biāo)軸同向，取正值;與坐標(biāo)軸反向，取負(fù)值.如:  OM= 1,  ON= -1,  AP = 相關(guān)概念的學(xué)習(xí)分散了教學(xué)難點(diǎn)，使學(xué)生能夠更多的圍繞重點(diǎn)展開(kāi)探索和研究.實(shí)驗(yàn)探   索，辨析研討                          

6、          1.（復(fù)習(xí)提問(wèn)）任意角的正弦如何定義？角的終邊上任意一點(diǎn)P(除端點(diǎn)外)的坐標(biāo)是（）,它與原點(diǎn)的距離是r, 比值叫做的正弦。思考:能否用幾何圖形表示出角的正弦呢？學(xué)生聯(lián)想角的弧度數(shù)與弧長(zhǎng)的轉(zhuǎn)化, 類(lèi)比猜測(cè):若令r=1，則.取角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P,過(guò)點(diǎn)P作軸的垂線(xiàn)，設(shè)垂足為M，則有向線(xiàn)段MP=。(學(xué)生分析的同時(shí)，教師用幾何畫(huà)板演示）請(qǐng)學(xué)生利用幾何畫(huà)板作出垂線(xiàn)段MP,并改變角的終邊位置，觀察終邊在各個(gè)位置的情形，注意有向線(xiàn)段的方向和正弦值正負(fù)的對(duì)應(yīng).特別地,當(dāng)角的終邊在軸上時(shí)

7、,有向線(xiàn)段MP變成一個(gè)點(diǎn),記數(shù)值為0.這條與單位圓有關(guān)的有向線(xiàn)段MP叫做角的正弦線(xiàn)。2.思考：用哪條有向線(xiàn)段表示角的余弦比較合適?并說(shuō)明理由。請(qǐng)學(xué)生用幾何畫(huà)板演示說(shuō)明。有向線(xiàn)段OM叫做角的余弦線(xiàn).3. 如何用有向線(xiàn)段表示？討論焦點(diǎn)：若令=1， 則=AT,但是第二、三象限角的終邊上沒(méi)有橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)，若此時(shí)取=-1的點(diǎn)T,tan=TA，有向線(xiàn)段的表示方法又不能統(tǒng)一。引導(dǎo)觀察：當(dāng)角的終邊互為反向延長(zhǎng)線(xiàn)時(shí)，它們的正切值有什么關(guān)系？統(tǒng)一認(rèn)識(shí)：方案1：在象限角的終邊或其反向延長(zhǎng)線(xiàn)上取=1的點(diǎn)T，則tan=AT;方案2：借助正弦線(xiàn)、余弦線(xiàn)以及相似三角形知識(shí)得到=。幾何畫(huà)板演示驗(yàn)證:當(dāng)角的終邊落在坐標(biāo)軸上時(shí)

8、，tan與有向線(xiàn)段AT的對(duì)應(yīng)。這條與單位圓有關(guān)的有向線(xiàn)段AT叫做角的正切線(xiàn).美國(guó)華盛頓一所大學(xué)有句名言：“我聽(tīng)見(jiàn)了,就忘記了;我看見(jiàn)了，就記住了;我做過(guò)了，就理解了?！币胱寣W(xué)生深刻理解三角函數(shù)線(xiàn)的概念，就應(yīng)該讓學(xué)生主動(dòng)去探索，大膽去實(shí)踐,親身體驗(yàn)知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展過(guò)程。      教學(xué)已經(jīng)不再是把教師或?qū)W生看成孤立的個(gè)體，而是把他們的教和學(xué)看成是相互影響的辯證發(fā)展過(guò)程。在和諧的氛圍中，教師和學(xué)生都處在自由狀態(tài)，可以不受框框的束縛，充分表達(dá)各自的意見(jiàn)，在自己積極思維的同時(shí)又能感受他人不同的思維方式，從而打破自己的封閉狀態(tài)，進(jìn)入更加廣闊的

9、領(lǐng)域.     二、作法總結(jié)，變式演練(13分鐘）教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)意圖作法總結(jié)       正弦線(xiàn)、余弦線(xiàn)、正切線(xiàn)統(tǒng)稱(chēng)為三角函數(shù)線(xiàn)。請(qǐng)大家總結(jié)這三種三角函數(shù)線(xiàn)的作法，并用幾何畫(huà)板演示（一學(xué)生描述,同時(shí)用電腦演示)：第一步：作出角的終邊,與單位圓交于點(diǎn)P；第二步：過(guò)點(diǎn)P作軸的垂線(xiàn)，設(shè)垂足為M，得正弦線(xiàn)MP、余弦線(xiàn)OM；第三步：過(guò)點(diǎn)A(1,0)作單位圓的切線(xiàn)，它與角的終邊或其反向延長(zhǎng)線(xiàn)的交點(diǎn)設(shè)為T(mén)，得角的正切線(xiàn)AT。特別注意：三角函數(shù)線(xiàn)是有向線(xiàn)段，在用字母表示這些線(xiàn)段時(shí)，要注

10、意它們的方向，分清起點(diǎn)和終點(diǎn)，書(shū)寫(xiě)順序不能顛倒。余弦線(xiàn)以原點(diǎn)為起點(diǎn)，正弦線(xiàn)和正切線(xiàn)以此線(xiàn)段與坐標(biāo)軸的公共點(diǎn)為起點(diǎn)，其中點(diǎn)A為定點(diǎn)（1，0）。  及時(shí)歸納總結(jié)，加深知識(shí)的理解和記憶.    變式演練,提高能力練習(xí)：利用幾何畫(huà)板畫(huà)出下列各角的正弦線(xiàn)、余弦線(xiàn)、正切線(xiàn)：      （1）;      （2）.學(xué)生先做,然后投影展示一學(xué)生的作品,并強(qiáng)調(diào)三角函數(shù)線(xiàn)的位置和方向.例1 利用幾何畫(huà)板畫(huà)出適合下列條件的角的終邊：（1）；  &#

11、160; （2）；  （3）.共同分析（1）,設(shè)角的終邊與單位圓交于P(）,則=,所以要作出滿(mǎn)足的角的終邊，只要在單位圓上找出縱坐標(biāo)為的點(diǎn)P,則射線(xiàn)OP即為的終邊。（幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)演示）請(qǐng)學(xué)生分析（2）、（3）,同時(shí)用幾何畫(huà)板演示。 例2 利用幾何畫(huà)板畫(huà)出適合下列條件的角的終邊的范圍，并由此寫(xiě)出角的集合：（1） ；     （2)- .        分析:先作出滿(mǎn)足 ，的角的終邊(例1已做）,然后根據(jù)已知條件確定角終邊的范圍.（幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)演示）答案：(1）.（2)。延伸：通

12、過(guò)（1)、（2）兩圖形的復(fù)合又可以得出不等式組的解集：. 鞏固練習(xí),準(zhǔn)確掌握三角函數(shù)線(xiàn)的作法。    逆向思維,靈活運(yùn)用三角函數(shù)線(xiàn)，并為利用三角函數(shù)線(xiàn)求解三角函數(shù)不等式(組)作鋪墊.            數(shù)形結(jié)合思想表現(xiàn)在由數(shù)到形和由形到數(shù)兩方面.將任意角的正弦、余弦、正切值分別用有向線(xiàn)段表示出來(lái)體現(xiàn)了由數(shù)到形的轉(zhuǎn)化;借助三角函數(shù)線(xiàn)求解三角函數(shù)方程和不等式又發(fā)揮了由形到數(shù)的巨大作用。三、思維拓展，論壇交流（10分鐘)教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)過(guò)程設(shè)

13、計(jì)意圖思維拓展，論壇交流 觀察角的終邊在各位置的情形，結(jié)合三角函數(shù)線(xiàn)和已學(xué)知識(shí)，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律，得出哪些結(jié)論？請(qǐng)說(shuō)明你的觀點(diǎn)和理由,并發(fā)表于焦作一中教育論壇 (bbs。jzyz。）.學(xué)生得出的結(jié)論有以下幾種:（1） sin2 + cos2 = 1;(2)sin + cos 1；（3） 1sin1， 1cos1， tanR;（4) 若兩角終邊互為反向延長(zhǎng)線(xiàn)，則兩角的正切值相等，正弦、余弦值互為相反數(shù);(5) 當(dāng)角的終邊在第一象限逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí),正弦、正切值逐漸增大，余弦值逐漸減小;(6） 當(dāng)角的終邊在直線(xiàn)的右下方時(shí), sincos ；當(dāng)角的終邊在直線(xiàn)的左上方時(shí)， sincos ；給學(xué)生

14、建設(shè)一個(gè)開(kāi)放的、有活力、有個(gè)性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)環(huán)境。論壇交流既能展示個(gè)人才華,又能照顧到各個(gè)層次的學(xué)生.來(lái)自他人的信息為自己所吸收，自己的既有知識(shí)又被他人的視點(diǎn)喚起，產(chǎn)生新的思想。這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程使學(xué)生在輕松達(dá)成一個(gè)個(gè)階段目標(biāo)之后，順利到達(dá)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的新境界。四、歸納小結(jié)，課堂延展(5分鐘）教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)意圖歸納小結(jié) 1?；仡櫲呛瘮?shù)線(xiàn)作法。2.三角函數(shù)線(xiàn)是利用數(shù)形結(jié)合思想解決有關(guān)問(wèn)題的重要工具，自從著名數(shù)學(xué)家歐拉提出三角函數(shù)與三角函數(shù)線(xiàn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系,使得對(duì)三角函數(shù)的研究大為簡(jiǎn)化，現(xiàn)在仍然是我們解三角不等式、比較大小、以及今后研究三角函數(shù)圖像與性質(zhì)的基礎(chǔ)。 回顧三角函數(shù)線(xiàn)作法,再

15、次加深理解和記憶.點(diǎn)明三角函數(shù)線(xiàn)在其他方面的應(yīng)用,以及數(shù)形結(jié)合思想,便于學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)中更深入的思考，更廣泛的研究。  鞏固創(chuàng)新，課堂延展 鞏固作業(yè):習(xí)題4。3  1,2提升練習(xí)：1。 已知:，那么下列命題成立的是（  ）A若、是第一象限的角,則coscos.B. 若、是第二象限的角，則tantan.C。 若、是第三象限的角，則coscos。D。 若、是第四象限的角,則tan>tan。2求下列函數(shù)的定義域:（1） y = ；  (2） y = lg（34sin2x） .延展作業(yè):1。 類(lèi)比正切線(xiàn)的作法，你能作出余切線(xiàn)嗎？2.結(jié)合

16、三角函數(shù)線(xiàn)我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了一些很有價(jià)值的結(jié)論，你還能得出哪些結(jié)論?請(qǐng)大家繼續(xù)在論壇上交流.3.查閱數(shù)學(xué)家歐拉的生平事跡，了解他在數(shù)學(xué)方面的突出貢獻(xiàn),談?wù)勀愕膶W(xué)習(xí)感受,并發(fā)表于論壇交流.    既能保證全體學(xué)生的鞏固應(yīng)用，又兼顧學(xué)有余力的學(xué)生，同時(shí)將探究的空間由課堂延伸到課外. 教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明：1。讓計(jì)算機(jī)軟件和網(wǎng)絡(luò)真正走入數(shù)學(xué)課堂,發(fā)揮它們的輔助作用?！白層?jì)算機(jī)軟件和網(wǎng)絡(luò)走入數(shù)學(xué)課堂"是提出了多年的口號(hào)，但是如何真正讓多媒體在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中發(fā)揮積極的作用卻是我們一直在探索的問(wèn)題.本節(jié)課有較廣的延展面，是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、探索、創(chuàng)新能力的很好素材，但是要在一節(jié)課45分鐘時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)構(gòu)想,對(duì)課的安排提出了非常高的要求。幾何畫(huà)板軟件的動(dòng)畫(huà)演示功能正好可以幫助學(xué)生做數(shù)學(xué)試驗(yàn)，探討數(shù)學(xué)問(wèn)題；網(wǎng)絡(luò)論壇可以讓他們充分交流，相互學(xué)習(xí).為此，我把授課地點(diǎn)放在多媒體網(wǎng)絡(luò)教室，充分發(fā)揮多媒體的優(yōu)勢(shì)，既豐富了三角函數(shù)線(xiàn)的概念，又培養(yǎng)了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，探索精神、創(chuàng)新意識(shí)也有了相應(yīng)的提高。2。不僅要讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，更要讓他們領(lǐng)悟科學(xué)的研究方法。 課堂教學(xué)最終是為了讓學(xué)生擺脫課堂，獨(dú)立